24.4弧長和扇形面積（13大題型）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)（人教版）（原卷版）

24.4弧長和扇形面積弧長公式半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的弧長(圓的周長)公式：

n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)題型1：運(yùn)用公式計(jì)算弧長1.已知一個(gè)扇形的圓心角是150°，半徑是3，則該扇形的弧長為（）A． B． C． D．【變式11】如圖，AB是圓O的直徑，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，則弧BD的長為（）A．π B．4π C．2π D．45π【變式12】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，則弧長為（）A． B． C． D．題型2：列方程求圓心角或半徑2.已知一段弧長為9.42cm，該段弧所在的圓的半徑為6cm，求這段弧所對(duì)的圓心角度數(shù)．【變式21】如圖，劣弧AB的長為6π，圓心角∠AOB＝90°，求此弧所在圓的半徑．【變式22】已知圓上一段弧長為4πcm，它所對(duì)的圓心角為100°，求該圓的半徑．題型3：弧長計(jì)算中的最值問題（提升）3.如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，OB＝2，點(diǎn)D為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B兩點(diǎn)重合），連接OD并延長交于點(diǎn)C，當(dāng)CD為最大值時(shí)，的長為（）A． B． C． D．π【變式31】如圖，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)．若OB＝2，則陰影部分周長的最小值為（）A． B． C． D．【變式32】如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C在上，且∠AOC＝60°，點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OA＝2，則圖中陰影部分周長的最小值是．題型4：弧長計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用問題4.有一段圓弧形公路，彎道半徑為45米，請(qǐng)你計(jì)算，圓心角等于60°的圓弧形公路有多少米長？（精確到0.1米）【變式41】如圖，已知中心線的兩個(gè)半圓弧半徑都為1000mm，兩直管道的長度都為2000mm，求圖中管道的展直長度（即圖中虛線所表示的中心線的長度，精確到1mm）扇形面積公式

半徑為R的圓中，360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：題型5：應(yīng)用公式計(jì)算扇形面積5.一個(gè)扇形的弧長是10πcm，其圓心角是150°，此扇形的面積為（）A．30πcm2 B．60πcm2 C．120πcm2 D．180πcm2【變式51】已知一個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)為120°，半徑長為3，則這個(gè)扇形的面積為多少？（結(jié)果保留π）【變式52】如圖、A、B、C三點(diǎn)在半徑為1的⊙O上，四邊形ABCO是菱形，求扇形OAC的面積．題型6：列方程求圓心角或半徑6.已知扇形的圓心角為30°，面積為3πcm2，則扇形的半徑為（）A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm【變式61】已知一個(gè)扇形的半徑為R，圓心角為n°，當(dāng)這個(gè)扇形的面積與一個(gè)直徑為R的圓面積相等時(shí)，則這個(gè)扇形的圓心角n的度數(shù)是（）A．180° B．120° C．90° D．60°【變式62】已知⊙O的半徑為2cm，扇形AOB的面積為πcm2，圓心角∠AOB是多少度？題型7：扇形計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用問題7.如圖，一扇形紙扇完全打開后，AB和AC的夾角為120°，AB長為30cm，貼紙部分的寬BD為18cm，求紙扇上貼紙部分的面積．【變式71】某燈具廠生產(chǎn)一批臺(tái)燈罩，如圖的陰影部分為燈罩的側(cè)面展開圖．已知半徑OA＝24cm，OC＝12cm，∠AOB＝135°．（計(jì)算結(jié)果保留π）（1）若要在燈罩的上下邊緣鑲上花邊（花邊的寬度忽略不計(jì)），至少需要多長的花邊？（2）求燈罩的側(cè)面積（接縫處忽略不計(jì)）．【變式72】如圖，一只小羊被主人用繩子拴在長為5米，寬為2米的長方形水泥臺(tái)的一個(gè)頂點(diǎn)上，水泥臺(tái)的周圍都是草地．（1）若繩子長為4米，求這只羊能吃到草的區(qū)域的最大面積．（結(jié)果保留π）（2）為了增加小羊吃草的范圍，現(xiàn)決定把繩子的長度增加到6米，求這只羊現(xiàn)在能吃到草的區(qū)域的最大面積．（結(jié)果保留π）題型8：求陰影部分面積規(guī)則圖形8（S陰=S扇S△）.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，AB＝2，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，連接BD，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．【變式81】（S陰=S大扇S小扇）如圖是2022年杭州亞運(yùn)會(huì)徽標(biāo)的示意圖，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，則陰影部分面積為（）A．14π B．7π C． D．2π【變式82】（化零為整）如圖，分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心，以2為半徑畫圓，則圖中陰影部分面積之和為（）A．π B．2π C．3π D．4π【變式83】（S陰=S△S扇）如圖，正三角形ABC的邊長為8，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點(diǎn)，以A，B，C三點(diǎn)為圓心，4為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為16﹣8π．（結(jié)果保留π）題型9：求陰影部分面積不規(guī)則圖形9（割補(bǔ)法）.如圖，在正方形ABCD中有一點(diǎn)P，連接AP、BP，旋轉(zhuǎn)△APB到△CEB的位置．（1）若正方形的邊長是8，PB＝4．求陰影部分面積；（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的長．【變式91】（等面積法）如圖，A是半徑為1的⊙O外的一點(diǎn)，OA＝2，AB是⊙O的切線，點(diǎn)B是切點(diǎn)，弦BC∥OA，連接AC．則圖中陰影部分面積等于（）A． B． C． D．【變式92】（構(gòu)造法）求陰影部分面積．圓錐的側(cè)面積和全面積

連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.

圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則

圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.

注意：

扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.題型10：求圓錐的側(cè)面積（全面積）10.已知圓錐的底面半徑為4，母線長為6，則它的側(cè)面展開圖的面積是（）A．24 B．48 C．12π D．24π【變式101】一個(gè)圓錐的底面直徑是8cm，母線長為9cm，則圓錐的全面積為（）A．36πcm2 B．52πcm2 C．72πcm2 D．136πcm2【變式102】如圖，圓錐的表面展開圖由一扇形和一個(gè)圓組成，已知圓的面積為100π，扇形的圓心角為120°，求這個(gè)扇形的面積．題型11：計(jì)算底面半徑或展開圖圓心角11.圓錐的軸截面是一個(gè)等邊三角形，則它的側(cè)面展開圖圓心角度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．180°【變式111】一個(gè)扇形半徑30cm，圓心角120°，用它作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圓錐底面半徑為（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm【變式112】如圖，圓錐的側(cè)面積恰好等于其底面積的2倍，求該圓錐側(cè)面展開圖所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)．題型12：圓錐計(jì)算與實(shí)際應(yīng)用問題12.用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示．（1）求圓錐的高；（2）求所需鐵皮的面積S（結(jié)果保留π）．【變式121】一個(gè)圓錐形沙堆，底面半徑是5米，高是2.5米．（π取3）（1）求這堆沙子有多少立方米？（2）用這堆沙子在10m寬的公路上鋪2cm厚的路面，能鋪多少米？（3）在（2）的條件下，一臺(tái)壓路機(jī)的前輪直徑是1m，前輪寬度是2m．如果前輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6周，這臺(tái)壓路機(jī)壓一遍這段路面大約需要多少分鐘？（得數(shù)保留整數(shù)．）【變式122】蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，其外形可以近似地看作由圓錐和圓柱組成，如果想用毛氈搭建20個(gè)底面半徑為4m，總高為4.5m，外圍（圓柱）高為1.5m的蒙古包（不包含底面圓），至少需要多少m2的毛氈？題型13：圓錐與最短距離13.如圖，AB為圓錐軸截面△ABC的一邊，一只螞蟻從B地出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面爬向AC邊的中點(diǎn)D，其中AB＝6，OB＝3，請(qǐng)螞蟻爬行的最短距離為．【變式131】已知圓錐的底面半徑是4cm，母線長為12cm，C為母線PB的中點(diǎn)，求從A到C在圓錐的側(cè)面上的最短距離．【變式132】圓錐的底面半徑是3，母線長是9，P是底面圓周上一點(diǎn)：從點(diǎn)P拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一周，再回到P點(diǎn)，求這根繩子的最短長度．一、單選題1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=60°，OM⊥BC于點(diǎn)M，若OM=2，則BC的長為（）A．4π B．43π C．832．扇形的圓心角為60°，面積為6π，則扇形的半徑是（）A．3 B．6 C．18 D．363．如圖，AC⊥BC，AC=BC=8，以BC為直徑作半圓，圓心為點(diǎn)O；以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑作AB，過點(diǎn)O作AC的平行線交兩弧于點(diǎn)D、E，則圖中陰影部分的面積是（）A．20π3?83 B．20π3+834．如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=23，以直角邊AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是（）A．1534﹣32π C．734﹣π6 D．5．如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊邊角空地建造了一個(gè)扇形花圃，扇形圓心角∠AOB=120°，半徑OA為9m，那么花圃的面積為()A．54πm2 B．27πm2 C．18πm2 D．9πm26．如圖，BC是圓錐底面圓的直徑，底面圓的半徑為3m，母線長6m，若一只小蟲從點(diǎn)B沿圓錐的側(cè)面爬行到母線AC的中點(diǎn)P.則小蟲爬行的最短路徑是（）A．3 B．35 C．337．如圖，從一塊直徑為24cm的圓形紙片上，剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形ABC，使點(diǎn)A，B，C都在圓周上，將剪下的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是（）A．32cm B．23cm C．6cm D．12cm8．如圖，一個(gè)半徑為r的圓形紙片在邊長為a（a≥23A．π3r2 B．(33?π)3二、填空題9．如果圓的半徑為6，那么60°的圓心角所對(duì)的弧長為.10．如圖，正方形ABCD的邊長為6，分別以A、B為圓心，6為半徑畫BD、AC，則圖中陰影部分的面積為．11．如圖，在矩形ABCD中，AB=1,∠DBC=30°.若將BD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在BC延長線上的點(diǎn)E處，點(diǎn)D經(jīng)過的路徑為DE，則圖中陰影部分的面積為.12．如圖，四個(gè)三角形拼成一個(gè)風(fēng)車圖形，若AB=2，當(dāng)風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)路徑的長度為.13．若圓錐底面圓的周長為8π，側(cè)面展開圖的圓心角為90°，則該圓錐的母線長為．14．用一個(gè)半徑為6，圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圓錐的高為．三、解答題15．如圖，△OAB的底邊與⊙O相切，切點(diǎn)為C，且OA=OB，⊙O與OA、OB分別交于D、E兩點(diǎn)，D、E分別為OA、OB的中點(diǎn)。

（1）求∠AOB的度數(shù)；

（2）若陰影部分的面積為3?π316．如圖，AB、CD為⊙O的直徑，AC∧=CE17．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)