概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件2.3隨機(jī)變量函數(shù)的分布

§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布

在實(shí)際中，人們不僅對(duì)隨機(jī)變量感興趣，還對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)感興趣.求截面面積A=

的分布.例如，已知圓軸截面直徑d

的分布，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的.一、基本概念

設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X的分布求出Y

的分布？

設(shè)函數(shù)g是定義在隨機(jī)變量X的一切可能值的集合上的連續(xù)函數(shù)，如果X取x時(shí)，隨機(jī)變量Y取值g(x)為，稱隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù).記作Y=g(X).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律故Y～0.30.50.2

P

13

7

5

Y

求Y=2X+3的分布律。例1設(shè)X～0.30.50.2

P5

2

1

X

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2設(shè)X～0.20.10.50.2P

-1012

X求的分布律.Y～0.10.70.2P125

Y概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地，若X是離散型R.VX的分布律為X～

P

XY=g( X)～

P

Y則如果

中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布例3已知隨機(jī)變量X的分布律為：求的分布律。Y～2/151/38/15P

-101

Y概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

已知隨機(jī)變量X～，求出的密度函數(shù)，即～.例4設(shè)X

~求Y=2X+8的密度函數(shù).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布由此可見，求連續(xù)型隨機(jī)變量Y的函數(shù)的密數(shù)建立了一定的關(guān)系，然后利用分布函數(shù)與密度的方法是：首先將Y的分布函數(shù)在y處的函轉(zhuǎn)化為X的分布函數(shù)在處的函數(shù)數(shù)值值，這樣將Y的分布函數(shù)與X的分布函稱為“分布函數(shù)法”。度函數(shù)的關(guān)系，求出Y的密度函數(shù)。這種方法概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布

已知隨機(jī)變量X～，求出的密度函數(shù)，即～的步驟：①建立隨機(jī)變量X的分布函數(shù)與隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)的關(guān)系式；②利用上述的關(guān)系式求隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)，得到隨機(jī)變量X的密度函數(shù)與隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)的關(guān)系式；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布例5

若，求的密度函數(shù)。③將已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)代入上面的關(guān)系式.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布例6.設(shè)隨機(jī)變量，令,求Y的密度函數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)§2.3

隨機(jī)變量函數(shù)的分布其中，定理1

設(shè)X是一連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，對(duì)于任意x,恒有

或者

(連續(xù)),則

Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為是的反函數(shù)。例