專題13隱圓問題(原卷版+解析)

專題13隱圓問題1．如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點．，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3．如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．34．如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點P為CA上的動點，連BP，過點A作AM⊥BP于M．當點P從點C運動到點A時，線段BM的中點N運動的路徑長為（

）A．π B．π C．π D．2π5．如圖，在等腰Rt?ABC中，，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點.當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是（

）A． B．2 C． D．46．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個動點，滿足，則線段CP長的最小值為（

）A． B．2 C． D．7．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點P運動的路徑長為_________．8．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是_____．9．如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個動點，且，則線段的最小值為______．10．如圖，AB是半圓O的直徑，點D在半圓O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一個動點，連接AC，過D點作DH⊥AC于H．連接BH，在點C移動的過程中，BH的最小值是___．11．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形內(nèi)部一動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP的最小值是_______．12．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點F與點C的最小距離為________．13．如圖，在矩形中，，，點、分別是邊、上的動點，且，點是的中點，、，則四邊形面積的最小值為______．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點，且CD＝3，E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，連接BF，則BF的最小值為_______．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，過點E作EF⊥AB交BC于點F，則CF的最大值是__________________．16．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為______．17．如圖，點，的坐標分別為，，為坐標平面內(nèi)一動點，且，點為線段的中點，連接，當取最大值時，點的縱坐標為____．18．如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值為________.19．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是___．20．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點P在射線BC上，則的最小值為__________________．21．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點，E為AB上一動點，點B關于DE的對稱點在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長的范圍為______．22．如圖，是的直徑，，點C為上一點，，點為上一動點，點是的中點，求的最小值．23．如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE，CF．（1）求證：AE=CF；（2）若A，E，O三點共線，連接OF，求線段OF的長．（3）求線段OF長的最小值．專題13隱圓問題1．如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點．，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明，得出點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計算出答案．【詳解】設AD的中點為O，以O點為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形為矩形∴∵∴∴∴點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點N∵點B為圓O外一點∴當直線BM過圓心O時，BM最短∵，∴∴∵故選：D．【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關知識．2．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由∠AEC＝90°知，點E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點C、可含點N），從而得BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），BE長度的最小值BE′＝BM?ME′．【詳解】如圖，由題意知，，在以為直徑的的上（不含點、可含點，最短時，即為連接與的交點（圖中點點），在中，，，則．，長度的最小值，故選：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關系等知識點，難度偏大，解題時，注意輔助線的作法．3．如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，在折疊過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當A′C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、A′、C三點共線，得出A′的位置，過點M作MH⊥DC于點H，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出MC的長，進而求出A′C的長即可．【詳解】解：如圖所示，∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上．過點M作MH⊥DC于點H，∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M為AD的中點，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故選：C．【點睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，突破點是正確尋找點A′的位置．4．如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點P為CA上的動點，連BP，過點A作AM⊥BP于M．當點P從點C運動到點A時，線段BM的中點N運動的路徑長為（

）A．π B．π C．π D．2π【答案】A【詳解】解：設AB的中點為Q，連接NQ，如圖所示：∵N為BM的中點，Q為AB的中點，∴NQ為△BAM的中位線，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴點N的路徑是以QB的中點O為圓心，AB長為半徑的圓交CB于D的，∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，∴為⊙O的周長，∴線段BM的中點N運動的路徑長為：π，故選：A．5．如圖，在等腰Rt?ABC中，，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點.當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【詳解】分析：取AB的中點O、AC的中點E、BC的中點F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC=8，則OC=AB=4，OP=AB=4，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據(jù)圓周角定理得到點M在以OC為直徑的圓上，由于點P點在A點時，M點在E點；點P點在B點時，M點在F點，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=4，所以M點的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長公式計算點M運動的路徑長．詳解：取AB的中點O、AC的中點E、BC的中點F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．

∵M為PC的中點，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴點M在以OC為直徑的圓上，點P點在A點時，M點在E點；點P點在B點時，M點在F點，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=4，∴M點運動的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點M運動的路徑長=?4π=2π．

故選B．

點睛：本題考查了軌跡：點按一定規(guī)律運動所形成的圖形為點運動的軌跡．解決此題的關鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點的軌跡為以EF為直徑的半圓．6．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個動點，滿足，則線段CP長的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意推導得，取AB的中點O，以點O為圓心，為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)圓的對稱性，得點P在以AB為直徑的上，根據(jù)兩點之間直線段最短的性質(zhì)，得當點O、點P、點C三點共線時，PC最小；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計算得，通過線段和差計算即可得到答案．【詳解】，，，，，取AB的中點O，以點O為圓心，為直徑作圓，連接OP，點P在以AB為直徑的上，連接OC交于點P，當點O、點P、點C三點共線時，PC最小在中，，，，，最小值為故選：D．【點睛】本題考查了兩點之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓的對稱性、兩點之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題7．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點P運動的路徑長為_________．【答案】【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點P的運動軌跡是，如圖所示：連接OA、OC，作OD⊥AC于D，則AD＝CDAC＝1，∵所對的圓心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所對的圓心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，∴的長為π；故答案為：π．8．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是_____．【答案】.【分析】如圖所示，點B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當D、B'、E共線時，B'D的值最小，根據(jù)勾股定理求出DE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知B'E=BE=2，即可求出B'D．【詳解】如圖所示點B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當D、B'、E共線時，B'D的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．∵E是AB邊的中點，AB=4，∴AE=EB'=2．∵AD=6，∴DE2，∴B'D=22．故答案為22．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點之間線段最短的綜合運用；確定點B'在何位置時，B'D的值最小是解決問題的關鍵．9．如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個動點，且，則線段的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)，可得到點E的運動軌跡是以AB的中點O為圓心，AB長為直徑的圓，連接OC交圓O于點，從而得到當點E位于點位置時，線段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解【詳解】解：∵，∴點E的運動軌跡是以AB的中點O為圓心，AB長為直徑的圓，如圖所示，連接OC交圓O于點，∴當點E位于點位置時，線段CE取最小值，在矩形中，∠ABC=90°，∵，∴OA=OB==1，∵，∴，∴故答案為：【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的基本性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)，可得到點E的運動軌跡是以AB的中點O為圓心，AB長為直徑的圓是解題的關鍵10．如圖，AB是半圓O的直徑，點D在半圓O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一個動點，連接AC，過D點作DH⊥AC于H．連接BH，在點C移動的過程中，BH的最小值是___．【答案】【分析】連接BD，取AD的中點E，連接BE，由題意先判斷出點H在以點E為圓心，AE為半徑的圓上，當B、H、E三點共線時，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的長，利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出EH的長，由即可算出BH的長度．【詳解】解：連接BD，取AD的中點E，連接BE，如下圖：∵DH⊥AC∴點H在以點E為圓心，AE為半徑的圓上，當B、H、E三點共線時，BH取得最小值∵AB是直徑∴在中，AB=13，AD=5由勾股定理得：即：∵∴∵E為AD的中點∴在中，，由勾股定理得：即：∵∴又∵DH⊥AC，且點E為AD的中點∴∴故答案為：【點睛】本題考查勾股定理解三角形，直徑所對的圓周角為直角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，隱圓問題的處理等相關知識點，能夠判斷出從動點的運動軌跡是解題的關鍵．11．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形內(nèi)部一動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP的最小值是_______．【答案】﹣4．【分析】連接OC與圓O交于點P,先證明點P在以AB為直徑的圓O上，再利用勾股定理求出OC即可.【詳解】∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，∴OC=，∴PC=OC﹣OP=﹣4．∴PC最小值為﹣4．故答案為﹣4．【點睛】本題考查了點與圓的的位置關系、圓周角定理及最短路徑等知識，會求圓外一點到圓的最大距離和最小距離是解題的關鍵.12．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動點，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點F與點C的最小距離為________．【答案】4【分析】如圖，取AB的中點G，連接FG，F(xiàn)C，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因為DE＝4，可得FG＝，推出點F的運動軌跡是以G為圓心為半徑的圓，再利用兩點之間線段最短即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AB的中點G，連接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4，∵AD＝12，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝4，∴FG＝，∴點F的運動軌跡是以G為圓心為半徑的圓，∵GC＝，∴FC≥GC?FG，∴FC≥4，∴CF的最小值為4．故答案為：4．【點睛】本題考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．13．如圖，在矩形中，，，點、分別是邊、上的動點，且，點是的中點，、，則四邊形面積的最小值為______．【答案】38【分析】首先連接AC，過B作BH⊥AC于H，當G在BH上時，三角形ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面積取最小值，再連接BG，知BG=2，得到G點軌跡圓，該軌跡與BH交點即為所求最小值時的G點，利用面積法求出BH、GH的長，代入三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，過作于，當G在BH上時，△ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面積取最小值，四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+三角形ACD面積，即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24．連接BG，由G是EF中點，EF=4知，BG=2，故G在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧交于，此時四邊形AGCD面積取最小值，如圖所示，由勾股定理得：AC=10，∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，即四邊形面積的最小值=．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動點相關的最值問題，解題的關鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜邊的一半確定出點的運動軌跡．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點，且CD＝3，E是BC邊上一點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，連接BF，則BF的最小值為_______．【答案】##【分析】先由折疊判斷出F的運動軌跡是為以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，當B、D、F共線且F在B、D之間時BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時BD、BF的長度即可．【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點的運動軌跡為：以D為圓心，CD的長度為半徑的圓，如圖所示，可知，當點B、D、F共線，且F在B、D之間時，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識，該題涉及的最值問題屬于中考?？碱}型，根據(jù)折疊確定出F點運動軌跡是解題關鍵．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，過點E作EF⊥AB交BC于點F，則CF的最大值是__________________．【答案】【分析】如圖，取AC的中點O，連接OE，OF，延長FE交AB于T．證明OE＝AC＝1，推出點E的在以O為圓心，1為半徑的圓上運動，推出當FT與⊙O相切時，CF的值最大．【詳解】解：如圖，取AC的中點O，連接OE，OF，延長FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE＝AC＝1，∴點E在以O為圓心，1為半徑的圓上運動，∴當FT與⊙O相切時，CF的值最大，∵直線CF，直線EF都是⊙O的切線，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC?tan30°＝，∴CF的最大值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查直角三角形30°角的性質(zhì)，直線與圓的位置關系，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解決本題的關鍵是發(fā)現(xiàn)點E在以O為圓心，1為半徑的圓上運動，推出當FT與⊙O相切時，CF的值最大．16．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為______．【答案】【詳解】解：如圖：以AO為邊作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四邊形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AFAO∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若點A，點C，點F三點不共線時，AF＜AC+CF；若點A，點C，點F三點共線時，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝2+4＝6∴AF的最大值為6∵AFAO∴AO的最大值為3．故答案為：317．如圖，點，的坐標分別為，，為坐標平面內(nèi)一動點，且，點為線段的中點，連接，當取最大值時，點的縱坐標為____．【答案】【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在AB的延長線上時，AC最大，根據(jù)中點坐標公式可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點C為坐標平面內(nèi)一點，BC=2，∴C在⊙B上，且半徑為2，∴當C在AB的延長線上時，AC最大，過點C作CD⊥x軸，∵點，的坐標分別為，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴．∵CD⊥x軸，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，解得：，∴C點的縱坐標為，∵點為線段的中點，∴點的縱坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標和圖形的性質(zhì)，動點線段最值問題，勾股定理等知識，確定AC為最大值時點C的位置是解題的關鍵．18．如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個動點，且滿足，則線段長的最小值為________.【答案】2：【分析】首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題．【詳解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴點P在以AB為直徑的弧上（P在△ABC內(nèi)）設以AB為直徑的圓心為點O，如圖接OC，交☉O于點P，此時的PC最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴∴PC=5-3=2【點睛】此題考查了三角形與圓的綜合題，重點是發(fā)現(xiàn)滿足什么條件時PC有最小值.關于三點共線的最短距離是中考偏好考的考點之一，此類問題借助圖形進行理解，發(fā)現(xiàn)點O的位置是關鍵.19．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是___．【答案】【分析】如圖，連接OP，OC，取OC的中點K，連接MK．由三角形的中位線定理可得KM，推出當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑是以K為圓心，為半徑的半圓，由此即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，連接OP，OC，取OC的中點K，連接MK．∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB2，∴OPAB=1．∵CM=MP，CK=OK，∴MKOP，∴當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑是以K為圓心，為半徑的半圓，∴點M運動的路徑長?2?π?．故答案為．【點睛】本題考查了軌跡，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找點的運動軌跡．20．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點P在射線BC上，則的最小值為__________________．【答案】【分析】在AP上取點E，連接DE，使∠ADE=∠APD，由△ADE∽△APD，可得，當DE最小時，的值最小，作△ABE的外接圓⊙O，連接OD，OE，利用勾股定理及三角形三邊關系可得答案．【詳解】解：如圖，在AP上取點E，連接DE，使∠ADE＝∠APD，∵△ADE∽△APD，∴，∴，∵AD＝2，∴DE最小時，的值最小，作△ABE的外接圓⊙O，連接OD，OE，則OE＝OA＝OB＝1，在Rt△AOD中，，∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，∴DE的最小值為﹣1，∴的最小值＝，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學會利用輔助圓解決問題，屬于中考填空壓軸題．21．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點，E為AB上一動點，點B關于DE的對稱點在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長的范圍為______．【答案