專題13隱圓問題(原卷版+解析)

專題13隱圓問題1．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．3．如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．34．如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（

）A．π B．π C．π D．2π5．如圖，在等腰Rt?ABC中，，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（

）A． B．2 C． D．46．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．2 C． D．7．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_________．8．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是_____．9．如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的最小值為______．10．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D在半圓O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過D點(diǎn)作DH⊥AC于H．連接BH，在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，BH的最小值是___．11．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP的最小值是_______．12．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點(diǎn)F與點(diǎn)C的最小距離為________．13．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、，則四邊形面積的最小值為______．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是__________________．16．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為______．17．如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為____．18．如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)的最小值為________.19．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是___．20．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在射線BC上，則的最小值為__________________．21．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長(zhǎng)的范圍為______．22．如圖，是的直徑，，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的最小值．23．如圖，正方形ABCD中，AB=，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE=2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE，CF．（1）求證：AE=CF；（2）若A，E，O三點(diǎn)共線，連接OF，求線段OF的長(zhǎng)．（3）求線段OF長(zhǎng)的最小值．專題13隱圓問題1．如圖，四邊形為矩形，，．點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)．，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明，得出點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計(jì)算出答案．【詳解】設(shè)AD的中點(diǎn)為O，以O(shè)點(diǎn)為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形為矩形∴∵∴∴∴點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點(diǎn)N∵點(diǎn)B為圓O外一點(diǎn)∴當(dāng)直線BM過圓心O時(shí)，BM最短∵，∴∴∵故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．2．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由∠AEC＝90°知，點(diǎn)E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），從而得BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)E′點(diǎn)），BE長(zhǎng)度的最小值BE′＝BM?ME′．【詳解】如圖，由題意知，，在以為直徑的的上（不含點(diǎn)、可含點(diǎn)，最短時(shí)，即為連接與的交點(diǎn)（圖中點(diǎn)點(diǎn)），在中，，，則．，長(zhǎng)度的最小值，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，難度偏大，解題時(shí)，注意輔助線的作法．3．如圖，菱形ABCD邊長(zhǎng)為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，在折疊過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A′C取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、A′、C三點(diǎn)共線，得出A′的位置，過點(diǎn)M作MH⊥DC于點(diǎn)H，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出MC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出A′C的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，∵M(jìn)A′是定值，A′C長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即A′在MC上．過點(diǎn)M作MH⊥DC于點(diǎn)H，∵在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M為AD的中點(diǎn)，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，突破點(diǎn)是正確尋找點(diǎn)A′的位置．4．如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（

）A．π B．π C．π D．2π【答案】A【詳解】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，連接NQ，如圖所示：∵N為BM的中點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，∴NQ為△BAM的中位線，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴點(diǎn)N的路徑是以QB的中點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓交CB于D的，∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，∴為⊙O的周長(zhǎng)，∴線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：π，故選：A．5．如圖，在等腰Rt?ABC中，，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【詳解】分析：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BC=8，則OC=AB=4，OP=AB=4，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OM⊥PC，則∠CMO=90°，于是根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，由于點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，則利用四邊形CEOF為正方得到EF=OC=4，所以M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，然后根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．詳解：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連結(jié)OC、OP、OM、OE、OF、EF，如圖，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，∴AB=BC=8，∴OC=AB=4，OP=AB=4．

∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，易得四邊形CEOF為正方形，EF=OC=4，∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)=?4π=2π．

故選B．

點(diǎn)睛：本題考查了軌跡：點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成的圖形為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡．解決此題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理確定M點(diǎn)的軌跡為以EF為直徑的半圓．6．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則線段CP長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)圓的對(duì)稱性，得點(diǎn)P在以AB為直徑的上，根據(jù)兩點(diǎn)之間直線段最短的性質(zhì)，得當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計(jì)算得，通過線段和差計(jì)算即可得到答案．【詳解】，，，，，取AB的中點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，為直徑作圓，連接OP，點(diǎn)P在以AB為直徑的上，連接OC交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)O、點(diǎn)P、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，PC最小在中，，，，，最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、兩點(diǎn)之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明二、填空題7．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_________．【答案】【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是，如圖所示：連接OA、OC，作OD⊥AC于D，則AD＝CDAC＝1，∵所對(duì)的圓心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所對(duì)的圓心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴ODAD，OA＝2OD，∴的長(zhǎng)為π；故答案為：π．8．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值是_____．【答案】.【分析】如圖所示，點(diǎn)B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、B'、E共線時(shí)，B'D的值最小，根據(jù)勾股定理求出DE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知B'E=BE=2，即可求出B'D．【詳解】如圖所示點(diǎn)B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、B'、E共線時(shí)，B'D的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB=4，∴AE=EB'=2．∵AD=6，∴DE2，∴B'D=22．故答案為22．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用；確定點(diǎn)B'在何位置時(shí)，B'D的值最小是解決問題的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則線段的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)，可得到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為直徑的圓，連接OC交圓O于點(diǎn)，從而得到當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)位置時(shí)，線段CE取最小值，再利用勾股定理即可求解【詳解】解：∵，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為直徑的圓，如圖所示，連接OC交圓O于點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E位于點(diǎn)位置時(shí)，線段CE取最小值，在矩形中，∠ABC=90°，∵，∴OA=OB==1，∵，∴，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的基本性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)，可得到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為直徑的圓是解題的關(guān)鍵10．如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)D在半圓O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC，過D點(diǎn)作DH⊥AC于H．連接BH，在點(diǎn)C移動(dòng)的過程中，BH的最小值是___．【答案】【分析】連接BD，取AD的中點(diǎn)E，連接BE，由題意先判斷出點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出EH的長(zhǎng)，由即可算出BH的長(zhǎng)度．【詳解】解：連接BD，取AD的中點(diǎn)E，連接BE，如下圖：∵DH⊥AC∴點(diǎn)H在以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑的圓上，當(dāng)B、H、E三點(diǎn)共線時(shí)，BH取得最小值∵AB是直徑∴在中，AB=13，AD=5由勾股定理得：即：∵∴∵E為AD的中點(diǎn)∴在中，，由勾股定理得：即：∵∴又∵DH⊥AC，且點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解三角形，直徑所對(duì)的圓周角為直角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，隱圓問題的處理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，能夠判斷出從動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP的最小值是_______．【答案】﹣4．【分析】連接OC與圓O交于點(diǎn)P,先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的圓O上，再利用勾股定理求出OC即可.【詳解】∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，∴OC=，∴PC=OC﹣OP=﹣4．∴PC最小值為﹣4．故答案為﹣4．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的的位置關(guān)系、圓周角定理及最短路徑等知識(shí)，會(huì)求圓外一點(diǎn)到圓的最大距離和最小距離是解題的關(guān)鍵.12．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點(diǎn)F與點(diǎn)C的最小距離為________．【答案】4【分析】如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接FG，F(xiàn)C，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因?yàn)镈E＝4，可得FG＝，推出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心為半徑的圓，再利用兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝8，AG＝GB，∴AG＝GB＝4，∵AD＝12，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝4，∴FG＝，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心為半徑的圓，∵GC＝，∴FC≥GC?FG，∴FC≥4，∴CF的最小值為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形，圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．13．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、，則四邊形面積的最小值為______．【答案】38【分析】首先連接AC，過B作BH⊥AC于H，當(dāng)G在BH上時(shí)，三角形ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，再連接BG，知BG=2，得到G點(diǎn)軌跡圓，該軌跡與BH交點(diǎn)即為所求最小值時(shí)的G點(diǎn)，利用面積法求出BH、GH的長(zhǎng)，代入三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，過作于，當(dāng)G在BH上時(shí)，△ACG面積取最小值，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+三角形ACD面積，即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24．連接BG，由G是EF中點(diǎn)，EF=4知，BG=2，故G在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧交于，此時(shí)四邊形AGCD面積取最小值，如圖所示，由勾股定理得：AC=10，∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，即四邊形面積的最小值=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜邊的一半確定出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．14．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_______．【答案】##【分析】先由折疊判斷出F的運(yùn)動(dòng)軌跡是為以D為圓心，CD的長(zhǎng)度為半徑的圓，當(dāng)B、D、F共線且F在B、D之間時(shí)BF最小，根據(jù)勾股定理及圓的性質(zhì)求出此時(shí)BD、BF的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：由折疊知，F(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以D為圓心，CD的長(zhǎng)度為半徑的圓，如圖所示，可知，當(dāng)點(diǎn)B、D、F共線，且F在B、D之間時(shí)，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，∴BF=BD－DF=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、勾股定理解直角三角形的知識(shí)，該題涉及的最值問題屬于中考常考題型，根據(jù)折疊確定出F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是__________________．【答案】【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，延長(zhǎng)FE交AB于T．證明OE＝AC＝1，推出點(diǎn)E的在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)FT與⊙O相切時(shí)，CF的值最大．【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，延長(zhǎng)FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE＝AC＝1，∴點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)FT與⊙O相切時(shí)，CF的值最大，∵直線CF，直線EF都是⊙O的切線，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC?tan30°＝，∴CF的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形30°角的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，推出當(dāng)FT與⊙O相切時(shí)，CF的值最大．16．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為______．【答案】【詳解】解：如圖：以AO為邊作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四邊形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AFAO∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)F三點(diǎn)不共線時(shí)，AF＜AC+CF；若點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝2+4＝6∴AF的最大值為6∵AFAO∴AO的最大值為3．故答案為：317．如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為____．【答案】【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AC最大，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=2，∴C在⊙B上，且半徑為2，∴當(dāng)C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，AC最大，過點(diǎn)C作CD⊥x軸，∵點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∴．∵CD⊥x軸，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，解得：，∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)線段最值問題，勾股定理等知識(shí)，確定AC為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．18．如圖，中，，，，是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則線段長(zhǎng)的最小值為________.【答案】2：【分析】首先證明點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題．【詳解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴點(diǎn)P在以AB為直徑的弧上（P在△ABC內(nèi)）設(shè)以AB為直徑的圓心為點(diǎn)O，如圖接OC，交☉O于點(diǎn)P，此時(shí)的PC最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴∴PC=5-3=2【點(diǎn)睛】此題考查了三角形與圓的綜合題，重點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)滿足什么條件時(shí)PC有最小值.關(guān)于三點(diǎn)共線的最短距離是中考偏好考的考點(diǎn)之一，此類問題借助圖形進(jìn)行理解，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)O的位置是關(guān)鍵.19．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是___．【答案】【分析】如圖，連接OP，OC，取OC的中點(diǎn)K，連接MK．由三角形的中位線定理可得KM，推出當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以K為圓心，為半徑的半圓，由此即可得出結(jié)論．【詳解】如圖，連接OP，OC，取OC的中點(diǎn)K，連接MK．∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB2，∴OPAB=1．∵CM=MP，CK=OK，∴MKOP，∴當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以K為圓心，為半徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)?2?π?．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．20．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P在射線BC上，則的最小值為__________________．【答案】【分析】在AP上取點(diǎn)E，連接DE，使∠ADE=∠APD，由△ADE∽△APD，可得，當(dāng)DE最小時(shí)，的值最小，作△ABE的外接圓⊙O，連接OD，OE，利用勾股定理及三角形三邊關(guān)系可得答案．【詳解】解：如圖，在AP上取點(diǎn)E，連接DE，使∠ADE＝∠APD，∵△ADE∽△APD，∴，∴，∵AD＝2，∴DE最小時(shí)，的值最小，作△ABE的外接圓⊙O，連接OD，OE，則OE＝OA＝OB＝1，在Rt△AOD中，，∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，∴DE的最小值為﹣1，∴的最小值＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，屬于中考填空壓軸題．21．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長(zhǎng)的范圍為______．【答案