專題13平行線之豬腳模型(M模型)-【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案(原卷版+解析)

【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題13平行線之豬腳模型（M模型）解題策略解題策略經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】（2022春?桐城市期末）【問(wèn)題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題解決】（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．則∠AEC＝．【問(wèn)題探究】（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC交于點(diǎn)E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度數(shù)．【問(wèn)題拓展】（3）如圖3．AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點(diǎn)G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CB交直線AB于點(diǎn)F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度數(shù)．【例2】（2022春?南京期中）已知直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，O是平面內(nèi)一點(diǎn)（不在直線AB、CD、EF上），OG平分∠EOF，射線OH∥AB，交EF于點(diǎn)H．（1）如圖①，若∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，則∠HOG＝，（2）如圖②，若∠AEO＝150°，∠HOG＝20°，則∠CFO＝；（3）直接寫出點(diǎn)O在不同位置時(shí)∠AEO、∠CFO和∠HOG三個(gè)角之間滿足的數(shù)量關(guān)系．【例3】（2022春?上城區(qū)校級(jí)期中）如圖，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°．（1）若這副三角板如圖擺放，EF∥CD，求∠ABF的度數(shù)．（2）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，保持三角板ABC不動(dòng)，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且0≤t≤180，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時(shí)，求所有滿足條件的t的值．（3）將一副三角板如圖3所示擺放，直線GH∥MN，現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒1°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)何為t秒，如圖4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的t的值．【例4】（2021春?梅江區(qū)期末）如圖（1），AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，連接EA、EC；如圖（2），AB∥CD．點(diǎn)M、N分別在AB、CD上，連接MN．（1）在圖（1）中，若∠A＝30°，∠C＝50°，則∠AEC＝；若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝．（2）圖（1）的條件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論．（3）如圖（2），點(diǎn)E是四邊形ACDB內(nèi)（不含邊界和MN）任意一點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明∠EMB、∠END、∠MEN的關(guān)系．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一．選擇題1．（2022?黔東南州）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長(zhǎng)方形紙條上，若∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為（）A．28° B．56° C．36° D．62°2．（2022?臨清市二模）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（）A．180°﹣∠2+∠1 B．180°﹣∠1﹣∠2 C．∠2＝2∠1 D．∠1+∠23．（2021春?硚口區(qū)月考）如圖，AB與HN交于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直線CD上，GF交AB于點(diǎn)M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④4．（2018春?南昌期中）如圖，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，則∠3的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．60°5．（2018春?沂源縣期末）如圖，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，則∠E：∠F＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：36．（2022春?諸暨市期末）從汽車燈的點(diǎn)O處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是．7．（2022春?潛山市月考）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點(diǎn)N，則∠N的度數(shù)為．（用含n的式子表示）8．（2019?大豐區(qū)一模）如圖，已知：AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝113°，則∠3＝度．9．（2019秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD＝．10．（2022春?交城縣期中）如圖，已知AB∥CD，AE和CF分別平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，則∠BAF的度數(shù)為．11．（2022春?濠江區(qū)期末）已知直線AB∥CD，直線EF分別截AB、CD于點(diǎn)G、H，點(diǎn)M在直線AB、CD之間，連接MG，MH．（1）如圖1，求證：∠M＝∠AGM+∠MHC；（2）如圖2，若HM平分∠GHC，在HM上取點(diǎn)Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求證：∠M+∠GQH＝180°；（3）如圖3，若GH平分∠MGB，N在為HD上一點(diǎn)，連接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度數(shù)．12．（2022春?沂源縣期末）在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖，已知兩直線a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．操作發(fā)現(xiàn)：（1）在圖1中，∠1＝46°，求∠2的度數(shù)．（2）某同學(xué)把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，如圖2，發(fā)現(xiàn)∠2﹣∠1＝120°，說(shuō)明理由．13．（2022春?無(wú)棣縣期末）如圖1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，點(diǎn)E在直線AB，CD之間．（1）求證：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，F(xiàn)G∥CE．①如圖2，若∠AEC＝84°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；②如圖3，若FH平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．14．（2022春?墨玉縣期末）問(wèn)題情景：（1）如圖①，已知AB∥DE．試∠B、∠E、∠BCE有什么關(guān)系？小明添加了一條輔助線．解決了這道題．得到的結(jié)果是∠B+∠E＝∠BCE．請(qǐng)你幫他完善證明過(guò)程：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB∴＝（）∵AB∥DE，AB∥CF∴∥．∴∠E＝（）∴∠B+∠E＝∠1+∠2即∠B+∠E＝∠BCE．（2）在圖①中．若BC⊥CE，且∠B＝52°，請(qǐng)你計(jì)算∠E的度數(shù)等于．（3）問(wèn)題遷移：如圖③．AD∥BC．當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β請(qǐng)你猜想∠α、∠β與∠CPD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．15．（2022春?撫遠(yuǎn)市期末）如圖，已知AD∥BC，AB∥CD，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，AE平分∠BAD，連接DE，∠ADC＝2∠CDE，∠AED＝60°．（1）求證∠ABC＝∠ADC；（2）求∠CDE的度數(shù)．16．（2022春?來(lái)賓期末）如圖，直線PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按圖甲方式放置，則∠MAC+∠PBC＝°；（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；（3）如圖丙，三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，連接EG，適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．17．（2022春?咸安區(qū)期末）（1）如圖1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝110°，求∠EPF的度數(shù)．（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問(wèn)∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)．18．（2022春?上虞區(qū)期末）如圖1，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB與CD之間，且AB∥CD．（1）若∠EMF＝80°，則∠AEM+∠CFM＝．（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作射線EN，F(xiàn)N交于點(diǎn)N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，設(shè)∠EMF＝α，猜想∠ENF的度數(shù)（用α表示），并說(shuō)明理由．（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線EP，F(xiàn)P交于點(diǎn)P，作射線EQ，F(xiàn)Q交于點(diǎn)Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，請(qǐng)直接寫出∠P與∠Q間的數(shù)量關(guān)系．19．（2022春?西崗區(qū)期末）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)P，Q分別在AB，CD上，點(diǎn)E在AB，CD之間．連接PE，QE，PE⊥QE．（1）直接寫出∠BPE與∠DQE的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，∠APE的平分線PG和∠CQE的平分線QH的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)；（3）如圖3，M為線段PE上一點(diǎn)，連接QM，∠BPE和∠MQD的平分線相交于點(diǎn)N，直接寫出∠PNQ和∠MQE的數(shù)量關(guān)系為．20．（2022春?宜春期末）問(wèn)題：已知線段AB∥CD，在AB、CD間取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不在直線AC上），連接PA、PC，試探索∠APC與∠A、∠C之間的關(guān)系．（1）端點(diǎn)A、C同向：如圖1，點(diǎn)P在直線AC右側(cè)時(shí)，∠APC﹣（∠A+∠C）＝度；如圖2，點(diǎn)P在直線AC左側(cè)時(shí)，∠APC+（∠A+∠C）＝度；（2）端點(diǎn)A、C反向：如圖3，點(diǎn)P在直線AC右側(cè)時(shí)，∠APC與∠A﹣∠C有怎樣的等量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；如圖4，點(diǎn)P在直線AC左側(cè)時(shí)，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝度．【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案專題13平行線之豬腳模型解題策略解題策略經(jīng)典例題經(jīng)典例題【例1】（2022春?桐城市期末）【問(wèn)題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．【問(wèn)題解決】（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．則∠AEC＝70°．【問(wèn)題探究】（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC交于點(diǎn)E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度數(shù)．【問(wèn)題拓展】（3）如圖3．AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點(diǎn)G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CB交直線AB于點(diǎn)F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度數(shù)．【分析】（1）延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，利用平行線的性質(zhì)可得∠AFC＝28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC＝∠A+∠C，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用豬蹄模型可得：∠AEC＝∠A+∠C＝90°，再利用對(duì)頂角相等可得∠BED＝90°，然后利用角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）利用平行線的性質(zhì)可求出∠CDF的度數(shù)，從而利用角平分線的定義求出∠CDG的度數(shù)，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)可求出∠BAD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE的度數(shù)，再利用平角定義求出∠EDH的度數(shù)，最后根據(jù)豬蹄模型可得∠AED＝∠BAE+∠EDH，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠C＝28°，∵∠AEC是△AEF的一個(gè)外角，∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，故答案為：70°；（2）利用（1）的結(jié)論可得：∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，∴∠AEC＝∠BED＝90°，∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠BED＝45°，∴∠BEF的度數(shù)為45°；（3）∵BC∥DF，∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，∵DG平分∠CDF，∴∠CDG＝∠CDF＝62°，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠CDG＝62°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠BAD＝31°，∵∠GDE＝20°，∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°，利用（1）的結(jié)論可得：∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，∴∠AED的度數(shù)為129°．【例2】（2022春?南京期中）已知直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，O是平面內(nèi)一點(diǎn)（不在直線AB、CD、EF上），OG平分∠EOF，射線OH∥AB，交EF于點(diǎn)H．（1）如圖①，若∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，則∠HOG＝15°，（2）如圖②，若∠AEO＝150°，∠HOG＝20°，則∠CFO＝110°；（3）直接寫出點(diǎn)O在不同位置時(shí)∠AEO、∠CFO和∠HOG三個(gè)角之間滿足的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）由AB∥CD，OH∥AB可得AB∥OH∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠AEO＝∠EOH，∠CFO＝∠FOH，由∠EOF＝∠EOH+∠FOH，等量代換可得∠AEO+∠CFO＝∠EOF，根據(jù)已知條件和角平分線的定義求出∠EOG＝60°，即可得到∠HOG的度數(shù)；（2）同（1）類似，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義計(jì)算可以得出∠CFO的度數(shù)；（3）由（1）和（2）的計(jì)算方法可以得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO＝∠EOH，∠CFO＝∠FOH，∴∠AEO+∠CFO＝∠EOH+∠FOH，即∠AEO+∠CFO＝∠EOF，∵∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，∴∠EOF＝120°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOG＝60°，∴∠HOG＝∠EOG﹣∠EOH＝15°，故答案為：15°；（2）∵AB∥CD，OH∥AB，∴AB∥OH∥CD，∴∠AEO+∠EOH＝180°，∠CFO+∠FOH＝180°，∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH＝360°，即∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∵AB∥OH，∴∠AEO+∠EOH＝180°，∵∠AEO＝150°，∴∠EOH＝30°，∵∠HOG＝20°，∴∠EOG＝∠EOH+∠HOG＝30°+20°＝50°，∵OG平分∠EOF，∴∠EOF＝2∠EOG＝100°，∵∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∠AEO＝150°，∴∠CFO＝360°﹣150°﹣100°＝110°，故答案為：110°；（3）①若點(diǎn)O在直線AB與CD之間，則有|∠AEO﹣∠CFO|＝2∠HOG；②若點(diǎn)O在直線AB與CD之外，且在直線EF的左側(cè)，則有∠AEO+∠CFO＝2∠HOG；若點(diǎn)O在直線AB與CD之外，且在直線EF的右側(cè)，則有360°﹣∠AEO﹣∠CFO＝2∠HOG．【例3】（2022春?上城區(qū)校級(jí)期中）如圖，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°．（1）若這副三角板如圖擺放，EF∥CD，求∠ABF的度數(shù)．（2）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，保持三角板ABC不動(dòng)，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且0≤t≤180，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時(shí)，求所有滿足條件的t的值．（3）將一副三角板如圖3所示擺放，直線GH∥MN，現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒1°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)何為t秒，如圖4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的t的值．【分析】（1）由題意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，利用平行線的性質(zhì)可得∠CDE＝∠E＝45°，即可求得答案；（2）①當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，分兩種情況：當(dāng)DE在MN上方時(shí)或當(dāng)DE在MN下方時(shí)，分別運(yùn)用平行線的性質(zhì)即可；②當(dāng)BC∥DF時(shí)，延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)T，分兩種情況：當(dāng)DF在MN上方時(shí)或當(dāng)DF在MN下方時(shí)，分別運(yùn)用平行線的性質(zhì)即可；（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，分兩種情況討論：①DE在MN上方時(shí)，②DE在MN下方時(shí)，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）當(dāng)BC∥DF時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)I，①DF在MN上方時(shí)，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方時(shí)，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．【解答】解：（1）如圖，由題意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，∵EF∥CD，∴∠CDE＝∠E＝45°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CDE＝60°﹣45°＝15°，∴∠ABF＝∠EBF﹣∠ABE＝90°﹣15°＝75°；（2）如圖，①當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，當(dāng)DE在MN上方時(shí)，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM＝∠MPA，∵M(jìn)N∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝30°，∴t＝15；當(dāng)DE在MN下方時(shí)，∠F′DP＝2t°﹣180°，∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP＝∠MPA，∵M(jìn)N∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝30°，∴t＝105；②當(dāng)BC∥DF時(shí)，當(dāng)DF在MN上方時(shí)，BC∥DF，如圖，延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)T，根據(jù)題意得：∠FDN＝180°﹣2t°，∵DF∥BC，∴∠FDN＝∠BTN，∵GH∥MN，∴∠BTN＝∠ABC＝60°，∴∠FDN＝60°，即180°﹣2t°＝60°，∴t＝60；當(dāng)DF在MN下方時(shí)，如圖，延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)T，根據(jù)題意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，∵DF∥BC，∴∠FDN＝∠BTM，∵GH∥MN，∴∠BTN＝∠ABC＝60°，∴∠BTM＝180°﹣∠BTN＝120°，∴∠NDF＝120°，即2t°﹣180°＝120°，∴t＝150，綜上所述：所有滿足條件的t的值為15或60或105或150；（3）由題意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，①如圖，當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，當(dāng)DE在MN上方時(shí)，∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，∴AP∥DF，∴∠FDM＝∠MPA，∵M(jìn)N∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，∴t＝30，當(dāng)DE′在MN下方時(shí)，∠F′DP＝2t°﹣180°，∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，∴AP∥DF′，∴∠F′DP＝∠MPA，∵M(jìn)N∥GH，∴∠MPA＝∠HAC，∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，∴t＝210（不符合題意，舍去），②當(dāng)BC∥DF時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)I，當(dāng)DF在MN上方時(shí)，BC∥DF，如圖，根據(jù)題意得：∠FDN＝180°﹣2t°，∵DF∥BC，AC⊥BC，∴CI⊥DF，∴∠FDN+∠MIC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，∴t＝120，∴2t＝240°＞180°，此時(shí)DF應(yīng)該在MN下方，不符合題意，舍去；當(dāng)DF在MN下方時(shí)，如圖，根據(jù)題意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，∵DF∥BC，∴∠MIC＝∠NDF，∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，即2t°﹣180°＝t°﹣60°，∴t＝120，綜上所述：所有滿足條件的t的值為30或120．【例4】（2021春?梅江區(qū)期末）如圖（1），AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，連接EA、EC；如圖（2），AB∥CD．點(diǎn)M、N分別在AB、CD上，連接MN．（1）在圖（1）中，若∠A＝30°，∠C＝50°，則∠AEC＝80°；若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝65°．（2）圖（1）的條件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論．（3）如圖（2），點(diǎn)E是四邊形ACDB內(nèi)（不含邊界和MN）任意一點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明∠EMB、∠END、∠MEN的關(guān)系．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEG＝∠A，∠CEG＝∠C，由∠AEC＝∠AEG+∠CEG，可得∠AEC＝∠A+∠C，代入計(jì)算即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，∠AEG＝∠EAB，∠CEG＝∠ECD．由∠AEC＝∠AEG+∠CEG，即可得出答案；（3）根據(jù)題意畫(huà)圖，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，∠EMB+∠MEF＝180°，∠NEF+∠END＝180°，由∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END＝360°，根據(jù)∠MEN＝∠MEF+∠NEF，即可得出答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG＝∠A，∠CEG＝∠C，∴∠AEC＝∠AEG+∠CEG，∴∠AEC＝∠A+∠C，若∠A＝30°，∠C＝50°，則∠AEC＝30°+50°＝80°，若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝25°+40°＝65°；故答案為：80°，65°；（2）∠AEC＝∠EAB+∠ECD．理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖1，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠AEG＝∠EAB，∠CEG＝∠ECD．∵∠AEC＝∠AEG+∠CEG，∴∠AEC＝∠EAB+∠ECD；（3）∠ENB+∠NEN+∠END＝360°．理由如下：根據(jù)題意畫(huà)圖，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠EMB+∠MEF＝180°，∵AB∥CD，∴GF∥CD，∴∠NEF+∠END＝180°，∴∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END＝360°，∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，∴∠ENB+∠NEN+∠END＝360°．培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練一．選擇題1．（2022?黔東南州）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長(zhǎng)方形紙條上，若∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為（）A．28° B．56° C．36° D．62°【分析】過(guò)直角的頂點(diǎn)E作MN∥AB，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如下圖所示，過(guò)直角的頂點(diǎn)E作MN∥AB，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，則∠2＝∠3．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵AB∥MN，∴MN∥CD，∴∠4＝∠1＝28°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．∴∠2＝∠3＝62°．故選：D．2．（2022?臨清市二模）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（）A．180°﹣∠2+∠1 B．180°﹣∠1﹣∠2 C．∠2＝2∠1 D．∠1+∠2【分析】先利用平行線的性質(zhì)說(shuō)明∠3、∠1、∠4、∠2間關(guān)系，再利用角的和差關(guān)系求出∠BCE．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°．∴∠BCE＝∠3+∠4＝∠1+180°﹣∠2．故選：A．3．（2021春?硚口區(qū)月考）如圖，AB與HN交于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直線CD上，GF交AB于點(diǎn)M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④【分析】過(guò)點(diǎn)F作FP∥AB，HQ∥AB，設(shè)∠NEB＝x，∠HGC＝y(tǒng)，利用豬腳模型、鋸齒模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正確；過(guò)點(diǎn)F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，設(shè)∠NEB＝x，∠HGC＝y(tǒng)，則∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②錯(cuò)誤；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③錯(cuò)誤；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正確．綜上所述，正確答案為①④．故選：D．4．（2018春?南昌期中）如圖，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，則∠3的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．60°【分析】作輔助線，過(guò)點(diǎn)O做OP∥AB∥CD，再結(jié)合兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，即可得出∠3的度數(shù)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)O做OP∥AB∥CD，∴∠A＝∠AOP＝30°，∠D＝∠POC，∵∠2＝90°，即∠AOC＝90°，∴∠POC＝60°，∴∠3＝60°．故選：D．5．（2018春?沂源縣期末）如圖，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，則∠E：∠F＝（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】本題主要利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等作答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E、F分別作AB的平行線EG、FH，由平行線的傳遞性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，∴∠BED：∠BFD＝3：2．故選：C．6．（2022春?諸暨市期末）從汽車燈的點(diǎn)O處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是45°或99°．【分析】分兩種情況：如果∠AOD是銳角，∠AOD＝∠COA﹣∠COD；如果∠AOD是鈍角，∠AOD＝∠COA+∠COD，由平行線的性質(zhì)求出∠COA，∠COD，從而求出∠AOD的度數(shù)．【解答】解：∵DE∥CF，∴∠COD＝∠ODE．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠ODE＝22°，∴∠COD＝22°．在圖1的情況下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．在圖2的情況下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．∴∠AOD的度數(shù)為45°或99°．故答案為：45°或99°．7．（2022春?潛山市月考）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝270°；（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點(diǎn)N，則∠N的度數(shù)為n°．（用含n的式子表示）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，則AB∥CD∥MP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，則AB∥CD∥NQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和角平分線的定義可得答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案為：270°；（2）過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點(diǎn)N，∵∠NEB＝∠MEB，∠DFN＝MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN＝（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF＝∠EMF＝n°．故答案為：n°．8．（2019?大豐區(qū)一模）如圖，已知：AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝113°，則∠3＝63度．【分析】如圖，作EF∥AB．證明基本結(jié)論；∠AEC＝∠1+∠3即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，作EF∥AB．∵AB∥CD，AB∥EF，∴EF∥CD，∴∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，∴∠AEC＝∠1+∠3，∴113°＝50°+∠3，∴∠3＝63°．故答案為63；9．（2019秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD＝125°．【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根據(jù)角平分線的定義，即可求得∠ABF+∠CDF的度數(shù)，又由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得∠BFD的度數(shù)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD∥FN，∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠BED＝110°，∴∠ABE+∠CDE＝250°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝125°，∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．故答案為125°10．（2022春?交城縣期中）如圖，已知AB∥CD，AE和CF分別平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，則∠BAF的度數(shù)為46°．【分析】延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，設(shè)∠BAE＝x，∠FCG＝y(tǒng)，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAF＝2x，∠ECG＝2y，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠AGC＝2x，∠AHC＝x，，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠AEC＝x+2y，∠AFC＝2x+y，最后列出關(guān)于x，y的方程組，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，設(shè)∠BAE＝x，∠FCG＝y(tǒng)，∵AE和CF分別平分∠BAF和∠DCE，∴∠BAF＝2∠BAE＝2x，∠ECG＝2∠FCG＝2y，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AGC＝2x，∠BAH＝∠AHC＝x，∵∠AEC是△EHC的一個(gè)外角，∴∠AEC＝∠AHC+∠ECG＝x+2y，∵∠AFC是△GCF的一個(gè)外角，∴∠AFC＝∠AGC+∠FCG＝2x+y，∵∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，∴，解得：，∴∠BAF＝46°，故答案為：46°．11．（2022春?濠江區(qū)期末）已知直線AB∥CD，直線EF分別截AB、CD于點(diǎn)G、H，點(diǎn)M在直線AB、CD之間，連接MG，MH．（1）如圖1，求證：∠M＝∠AGM+∠MHC；（2）如圖2，若HM平分∠GHC，在HM上取點(diǎn)Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求證：∠M+∠GQH＝180°；（3）如圖3，若GH平分∠MGB，N在為HD上一點(diǎn)，連接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度數(shù)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，利用平行線的豬腳模型，即可解答；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠MHG＝∠CHM，再利用（1）的結(jié)論可得∠GMH＝∠AGM+∠MHC，從而可得∠GMH＝∠HGQ+∠MHG，然后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）設(shè)∠AGM＝2α，∠CHM＝β，從而可得∠HGN＝2β，再利用（1）的結(jié)論可得∠GMH＝2α+β，從而可得∠GNH＝2α+β，然后利用角平分線的定義可得∠MGH＝90°﹣α，再利用三角形的外角可得∠CHG＝3β+2α，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠AGH+∠CHG＝180°，從而可得α+β＝30°，再利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，∴∠AGM＝∠GMN，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠NMH＝∠CHM，∵∠GMH＝∠GMN+∠NMH，∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC；（2）證明：∵HM平分∠GHC，∴∠MHG＝∠CHM，由（1）得：∠GMH＝∠AGM+∠MHC，∵∠HGQ＝∠AGM，∴∠GMH＝∠HGQ+∠MHG，∵∠GQH+∠HGQ+∠MHG＝180°，∴∠GMH+∠GQH＝180°；（3）解：設(shè)∠AGM＝2α，∠CHM＝β，由（1）可得：∠GMH＝∠AGM+∠MHC，∴∠GMH＝2α+β，∵∠GNH＝∠M，∴∠GNH＝2α+β，∵∠HGN＝2∠MHC，∴∠HGN＝2β，∵GH平分∠MGB，∴∠MGH＝∠BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，∵∠CHG是△GHN的一個(gè)外角，∴∠CHG＝∠HGN+∠GNH＝2β+2α+β＝3β+2α，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴∠AGM+∠MGH+∠CHG＝180°，∴2α+90°﹣α+3β+2α＝180°，∴α+β＝30°，∴∠MHG＝∠CHG﹣∠CHM＝3β+2α﹣β＝2β+2α＝60°，∴∠MHG的度數(shù)為60°．12．（2022春?沂源縣期末）在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖，已知兩直線a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．操作發(fā)現(xiàn)：（1）在圖1中，∠1＝46°，求∠2的度數(shù)．（2）某同學(xué)把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，如圖2，發(fā)現(xiàn)∠2﹣∠1＝120°，說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠3，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD∥a，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝180°﹣∠2，∠DBC＝∠1，結(jié)合圖形計(jì)算，證明結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，∴∠3＝90°﹣∠1＝44°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝44°．（2）理由如下：過(guò)點(diǎn)B作BD∥a，則∠ABD＝180°﹣∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC＝∠1，∵∠ABC＝60°∴180°﹣∠2+∠1＝60°，∴∠2﹣∠1＝120°．13．（2022春?無(wú)棣縣期末）如圖1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，點(diǎn)E在直線AB，CD之間．（1）求證：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，F(xiàn)G∥CE．①如圖2，若∠AEC＝84°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；②如圖3，若FH平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【分析】（1）過(guò)E作EN∥AB，可得∠BAE＝∠AEN，∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，證得∠ECD＝∠CEN，故EF∥CD∥AB；（2）①HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH＝∠DFH＝x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠AHF的度數(shù)；②設(shè)∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y(tǒng)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得到∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線EN∥AB，∴∠BAE＝∠AEN，∵∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC，∵∠AEN+∠CEN＝∠AEC，∴∠ECD＝∠CEN，∴EN∥CD，∴CD∥AB；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH，①∵HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x，又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝84°，∴∠BAH＝∠EAH＝42°﹣x，如圖2，過(guò)點(diǎn)H作HM∥AB，∴∠BAH＝∠AHM，∵HM∥AB，∴HM∥CD，∴∠DFH＝∠MHF，∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝42°﹣x+x＝42°；②設(shè)∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y(tǒng)，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，如圖3，過(guò)點(diǎn)H作HK∥AB，∴∠BAH＝∠AHK，∵HK∥AB，∴HK∥CD，∴∠KHF+∠CFH＝180°，∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），∴∠AHF＝90°+∠AEC．14．（2022春?墨玉縣期末）問(wèn)題情景：（1）如圖①，已知AB∥DE．試∠B、∠E、∠BCE有什么關(guān)系？小明添加了一條輔助線．解決了這道題．得到的結(jié)果是∠B+∠E＝∠BCE．請(qǐng)你幫他完善證明過(guò)程：如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB∴∠B＝∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥DE，AB∥CF∴DE∥CF．∴∠E＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠B+∠E＝∠1+∠2即∠B+∠E＝∠BCE．（2）在圖①中．若BC⊥CE，且∠B＝52°，請(qǐng)你計(jì)算∠E的度數(shù)等于38°．（3）問(wèn)題遷移：如圖③．AD∥BC．當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β請(qǐng)你猜想∠α、∠β與∠CPD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解；（2）由（1）可知∠B+∠E＝90°，即可求解；（3）由三角形外角性質(zhì)可得∠CPD+∠CDP＝∠OCP，從而可得∠CPD+∠α+∠ADO＝∠β+∠BCO，由AD∥BC可得∠ADO＝∠BCO，即可得出∠CPD+∠α＝∠β．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，∴∠B＝∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵AB∥DE，AB∥CF，∴DE∥CF，∴∠E＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠B+∠E＝∠1+∠2，即∠B+∠E＝∠BCE，故答案為：∠B＝∠1；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；DE；CF；∠2；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）由（1）可知∠B+∠E＝∠BCE，∵∠BCE＝90°，∠B＝52°，∴∠E＝∠BCE﹣∠B＝38°，故答案為：38°；（3）∠CPD+∠α＝∠β，理由如下：∵∠CPD+∠CDP＝∠OCP，∴∠CPD+∠α+∠ADO＝∠β+∠BCO，∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠BCO，∴∠CPD+∠α＝∠β．15．（2022春?撫遠(yuǎn)市期末）如圖，已知AD∥BC，AB∥CD，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，AE平分∠BAD，連接DE，∠ADC＝2∠CDE，∠AED＝60°．（1）求證∠ABC＝∠ADC；（2）求∠CDE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案．（2）根據(jù)∠ADE＝3∠CDE，設(shè)∠CDE＝x，∠ADE＝3x，∠ADC＝2x，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出方程90°﹣x+60°+3x＝180°，求出x即可．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCE，∴∠ABC＝∠ADC．（2）解：設(shè)∠CDE＝x，則∠ADC＝2x，∵AB∥CD，∴∠BAD＝180°﹣2x，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠BAD＝90°﹣x，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAD＝90°﹣x，∴∠BED+∠ADE＝180°，∴90°﹣x+60°+3x＝180°，∴x＝15°，∴∠CDE＝15°．16．（2022春?來(lái)賓期末）如圖，直線PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按圖甲方式放置，則∠MAC+∠PBC＝90°；（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；（3）如圖丙，三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，連接EG，適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．【分析】（1）延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)D，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PBC＝∠ADC，再利用三角形的外角可得∠ACB＝∠ADC+∠MAC，然后利用等量代換即可解答；（2）根據(jù)已知可得∠AEN＝∠A＝30°，再利用對(duì)頂角相等可得∠CEM＝30°，然后利用（1）的結(jié)論可得：∠PDC＝60°，最后利用對(duì)頂角相等即可解答；（3）利用角平分線的定義設(shè)∠CEM＝∠CEG＝x，從而利用平角定義可得∠GEN＝180°﹣2x，再利用（1）的結(jié)論可得：∠PDC＝90°﹣x，然后利用對(duì)頂角相等可得∠BDF＝90°﹣x，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)D，∵PQ∥MN，∴∠PBC＝∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一個(gè)外角，∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，故答案為：90；（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，∴∠AEN＝∠A＝30°，∴∠CEM＝∠AEN＝30°，利用（1）的結(jié)論可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°，∴∠BDF的度數(shù)為60°；（3）∵CE平分∠MEG，∴∠CEM＝∠CEG，設(shè)∠CEM＝∠CEG＝x，∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，利用（1）的結(jié)論可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，∴＝＝2，∴的值為2．17．（2022春?咸安區(qū)期末）（1）如圖1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝110°，求∠EPF的度數(shù)．（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問(wèn)∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)．【分析】（1）延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G，利用平行線的性質(zhì)可得∠PGF＝40°，再利用平角定義可得∠PFG＝70°，然后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）設(shè)AB與PF交于點(diǎn)M，先利用三角形的外角可得∠PMA＝∠PEA+∠EPF，再利用平行線的性質(zhì)可得∠PMA＝∠PFC，然后利用等量代換可得∠PFC＝∠PEA+∠EPF，即可解答；（3）利用（2）的結(jié)論可得∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°，再利用角平分線的性質(zhì)可得∠GEA＝∠AEP，∠GFC＝∠PFC，然后利用（2）的結(jié)論可得∠G＝∠GFC﹣∠GEA＝（∠PFC﹣∠AEP），進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠PGF＝40°，∵∠PFD＝110°，∴∠PFG＝180°﹣∠PFD＝70°，∵∠EPF是△PFG的一個(gè)外角，∴∠EPF＝∠PGF+∠PFG＝110°，∴∠EPF的度數(shù)為110°；（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，理由：如圖：設(shè)AB與PF交于點(diǎn)M，∵∠PMA是△PME的一個(gè)外角，∴∠PMA＝∠PEA+∠EPF，∵AB∥CD，∴∠PMA＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；（3）由（2）可得：∠PFC＝∠PEA+∠EPF，∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°，∵EG平分∠AEP，F(xiàn)G平分∠PFC，∴∠GEA＝∠AEP，∠GFC＝∠PFC，由（2）得：∠GFC＝∠G+∠GEA，∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA＝∠PFC﹣∠AEP＝（∠PFC﹣∠AEP）＝×60°＝30°，∴∠G的度數(shù)為30°．18．（2022春?上虞區(qū)期末）如圖1，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB與CD之間，且AB∥CD．（1）若∠EMF＝80°，則∠AEM+∠CFM＝80°．（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作射線EN，F(xiàn)N交于點(diǎn)N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，設(shè)∠EMF＝α，猜想∠ENF的度數(shù)（用α表示），并說(shuō)明理由．（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線EP，F(xiàn)P交于點(diǎn)P，作射線EQ，F(xiàn)Q交于點(diǎn)Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，請(qǐng)直接寫出∠P與∠Q間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，利用平行線的性質(zhì)，把∠AEM+∠CFM轉(zhuǎn)化為∠EMF，從而求得度數(shù)．（2）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，利用平行線的性質(zhì)，把∠EMF轉(zhuǎn)化為∠AEM+∠CFM，把∠ENF轉(zhuǎn)化為∠AEN+∠CFN，得出∠ENF＝∠EMF，從而用α表示出∠ENF的度數(shù)．（3）利用（2）的結(jié)論，同時(shí)利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，進(jìn)而找到∠P與∠Q間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MG，∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠CFM，∴∠AEM+∠CFM＝∠EMG+∠GMF＝∠EMF＝80°．故答案為：80°．（2）∠ENF＝α．理由如下：過(guò)點(diǎn)M作MG∥AB，由（1）知，∠EMF＝∠AEM+∠CFM，過(guò)點(diǎn)N作NH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NH，∴∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN，∴∠ENF＝∠ENH+∠HNF＝∠AEN+∠CFN，∵∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，∴∠ENF＝∠AEM+∠CFM＝（∠AEM+∠CFM）＝∠EMF，∵∠EMF＝α，∴∠ENF＝α．（3）n∠Q+m∠P＝360°．理由如下：由（2）的結(jié)論可知，