專題10二次函數(shù)中的特殊角問題(原卷版+解析)

專題10二次函數(shù)中的特殊角問題1．已知點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(2)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)．①直接寫出拋物線解析式為：；②如圖1，點(diǎn)B，以為底的等腰交拋物線于點(diǎn)P，將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，求的坐標(biāo)；(3)如圖2，過拋物線上一點(diǎn)M作直線l平行于y軸，直線交拋物線另一點(diǎn)于E，交直線l于點(diǎn)D，過M作軸，交拋物線于另一點(diǎn)N，過E作于點(diǎn)F．若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．2．拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），AB＝4，點(diǎn)P（2，1）位于第一象限．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M在拋物線上，且使∠MAP＝45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)將（1）中的拋物線平移，使它的頂點(diǎn)在直線y＝x+4上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與線段AP只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍．3．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，過點(diǎn)A、C的直線交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，則的面積為________；(3)在y軸上確定點(diǎn)Q，使得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________；(4)點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖像上有一點(diǎn)，使的面積等于6，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)對(duì)于（2）中的點(diǎn)，在此拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．5．如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積等于面積的三分之二？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)將直線繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到直線l，直線l與拋物線的交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)C），求M點(diǎn)坐標(biāo)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，(1)求拋物線的解析式；(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)①若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)PD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值；②若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠APB＝45°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．7．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)M（0，4），與x軸交于A（－2，0）、B兩點(diǎn)，(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)C（0，2），P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQy軸交直線BC于Q（P在Q上方），再過點(diǎn)P作PRx軸交直線BC于點(diǎn)R，若△PQR的面積為2，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-4），連接AB，BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PQ，PC．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)Q坐標(biāo)；(3)在（2）條件下，時(shí)，在直線PQ上是否存在點(diǎn)M，使？若存在，請(qǐng)直接求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．函數(shù)y＝，其中a是常數(shù)且a≠0，該函數(shù)的圖象記為G．(1)圖象G經(jīng)過3個(gè)定點(diǎn)，分別為，，；(2)圖象G與直線y＝a有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的值；(3)圖象G與直線x＝2和直線x＝﹣2分別相交于點(diǎn)P，Q，當(dāng)∠POQ＝135°時(shí)，直接寫出a的值．10．如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸．(2)若R為拋物線上一點(diǎn)，滿足，求R的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P

使得A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．11．已知，如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)F為二次函數(shù)圖像上與點(diǎn)C對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)F，A，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．12．如圖所示，拋物線y=?x2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B(3，0)，與x軸交于另一點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，設(shè)點(diǎn)D是x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線l⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，連接AC、FC．①若點(diǎn)F在第一象限內(nèi)，當(dāng)∠BCF=∠BCA時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②若∠ACO+∠FCB=45°，則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為______．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：與軸交于，兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線向右平移得到拋物線，且點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．專題10二次函數(shù)中的特殊角問題1．已知點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)．(1)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(2)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)．①直接寫出拋物線解析式為：；②如圖1，點(diǎn)B，以為底的等腰交拋物線于點(diǎn)P，將點(diǎn)P繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，求的坐標(biāo)；(3)如圖2，過拋物線上一點(diǎn)M作直線l平行于y軸，直線交拋物線另一點(diǎn)于E，交直線l于點(diǎn)D，過M作軸，交拋物線于另一點(diǎn)N，過E作于點(diǎn)F．若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】(1)(2)①；②的坐標(biāo)為；(3)．理由見解析【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）①把點(diǎn)代入，即可求解；②利用等腰直角三角形的性質(zhì)求得A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，再求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，證明，據(jù)此即可求解；（3）先后求得點(diǎn)M、D、E、F的坐標(biāo)，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：①點(diǎn)代入得，，解得，∴拋物線解析式為：；故答案為：；②過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)G，∵B，∴，∵是以等腰直角三角形，∴，∴A，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得或(舍去)，∴P，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，由題意得，，∴，∵，，∴，∴，，∵A，P，∴，，∴的坐標(biāo)為；（3）解：．理由如下：∵C，設(shè)直線的解析式為，∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且點(diǎn)M在拋物線上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，且點(diǎn)D在直線上，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，解方程得或，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．2．拋物線y＝ax2+4（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左側(cè)），AB＝4，點(diǎn)P（2，1）位于第一象限．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M在拋物線上，且使∠MAP＝45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)將（1）中的拋物線平移，使它的頂點(diǎn)在直線y＝x+4上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與線段AP只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍．【答案】(1)；(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；(3)（3）拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍為-3≤t＜0或．【分析】（1）根據(jù)拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，，得，，用待定系數(shù)法即得拋物線的解析式是；（2）當(dāng)在上方時(shí)，過作交直線于，作直線，過作于，根據(jù)，，可推得，得到，設(shè)直線為，待定系數(shù)法得直線為，從而解得，；當(dāng)在下方時(shí)，過作交直線于，過作KG//x軸，過作于，過作于，同理可得，；（3）由平移后頂點(diǎn)在直線上，設(shè)平移后的拋物線為，把代入得：，解得或，結(jié)合函數(shù)圖象可得，把代入得：，解得或，結(jié)合函數(shù)圖象可得：．(1)解：拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，，，，把代入得：，，拋物線的解析式是；(2)當(dāng)在上方時(shí)，過作交直線于，作直線，過作于，如圖：，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)直線為，，解得，直線為，由得：（點(diǎn)橫坐標(biāo)，舍去），，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)在下方時(shí)，過作交直線于，過作軸，過作于，過作于，如圖：同理可得，，，，設(shè)直線為，將，代入得：，解得，直線為，由得（舍去）或，，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；(3)平移后頂點(diǎn)在直線上，設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)為，則平移后的拋物線為，把代入得：，解得或，如圖：結(jié)合函數(shù)圖象可得，把代入得：，解得或，如圖：結(jié)合函數(shù)圖象可得：，綜上所述，拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，還考查了數(shù)形結(jié)合、分類等數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，過點(diǎn)A、C的直線交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)和直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接，則的面積為________；(3)在y軸上確定點(diǎn)Q，使得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為________；(4)點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的矩形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)6(3)或(4)存在，或【分析】（1）把B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求出二次函數(shù)解析式，求出A點(diǎn)坐標(biāo)后即可求出AC解析式；（2）先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再用公式法求的面積；（3）當(dāng)Q在正半軸時(shí)，根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)可得，根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱性結(jié)合可得，即AQ平分,即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)Q在負(fù)半軸時(shí)根據(jù)對(duì)稱性可求；（4）以AD為矩形邊長(zhǎng)時(shí)，分別過A、D作直線AD的垂線；當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等求值即可．(1)∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)B，∴，解得∴二次函數(shù)解析式為∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）設(shè)直線AC的解析式為∴，解得：∴直線AC的解析式為(2)∵直線AC：與二次函數(shù)交于點(diǎn)A、D∴聯(lián)立，解得或∴D點(diǎn)坐標(biāo)為：∵AB=4∴(3)∵C（0,2），A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）∴當(dāng)Q在正半軸時(shí)，∵，QA=QB∴∴AQ平分過Q作PQ⊥AC于P設(shè)OQ=x，則∴解得∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)Q在與軸負(fù)半軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為或(4)當(dāng)AD是矩形邊長(zhǎng)時(shí)過A作AM⊥AD交拋物線于M∵直線AC的解析式為∴設(shè)直線AM的解析式為代入A點(diǎn)（-2,0）得∴直線AM的解析式為∴聯(lián)立，解得或∴M點(diǎn)坐標(biāo)為∵此時(shí)MN平行且等于AD∴由A（-2,0）平移到D（1,3）與由M平移到N的平移方式一致∴N點(diǎn)坐標(biāo)為同理：:過D作DM⊥AD交拋物線于M，此時(shí)M（0,4），N（-3,1）綜上所述，存在，N點(diǎn)坐標(biāo)為或（-3,1）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，矩形的判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)在這條拋物線的對(duì)稱軸右邊的圖像上有一點(diǎn)，使的面積等于6，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)對(duì)于（2）中的點(diǎn)，在此拋物線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出的值，也就得出了拋物線的解析式．（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求出了的長(zhǎng)，根據(jù)的面積可求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，然后將符合題意的點(diǎn)縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的右邊來判斷得出的點(diǎn)是否符合要求即可．（3）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線的解析式，由于，由此可求出點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，代入二次函數(shù)解析式可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．求的面積時(shí)，可先求出，的長(zhǎng)度即可求出的面積．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖像與軸相交于，，，，（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，的面積等于6，，當(dāng)，，解得：或3，，，即，解得：或（舍去）．又頂點(diǎn)坐標(biāo)為：1.5，．，軸下方不存在點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為：；（3）解：點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，，當(dāng)，，設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，則縱坐標(biāo)為：，即，解得或（舍），在拋物線上僅存在一點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖像交點(diǎn)、圖像面積求法等知識(shí)．利用已知進(jìn)行分類討論得出符合要求點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．5．如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得的面積等于面積的三分之二？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)將直線繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到直線l，直線l與拋物線的交點(diǎn)為M（異于點(diǎn)C），求M點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為：；(2)不存在這樣的點(diǎn)P，理由見解析；(3)M點(diǎn)坐標(biāo)是或．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線求出a，c的值即可；（2）過點(diǎn)P作軸分別交線段于點(diǎn)N，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，故可得出，，再由，解一元二次方程即可得出結(jié)論；（3）分當(dāng)直線繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)直線繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩種情況討論，當(dāng)直線繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，過A作交于點(diǎn)K，作軸于點(diǎn)H，證明，可得，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，與拋物線聯(lián)立解交點(diǎn)即可得出M的坐標(biāo)；當(dāng)直線繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，同樣的方法可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴．把點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：不存在這樣的點(diǎn)P，使得的面積等于面積的三分之二；理由：如圖，過點(diǎn)P作軸分別交線段于點(diǎn)N．∵拋物線的解析式為，令，則，解得，∴，∴，∴，，由題意得，∴，即，∵，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，故直線的解析式為：．設(shè)，，則，∴，整理得，∵，∴方程無實(shí)數(shù)根，∴不存在這樣的點(diǎn)P，使得的面積等于面積的三分之二；（3）解：當(dāng)直線繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，過A作交于點(diǎn)K，作軸于點(diǎn)H，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，同理求得直線的解析式為，聯(lián)立，解得（舍去），或，∴．當(dāng)直線繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，過A作交于點(diǎn)D，作軸于點(diǎn)E，同理可證得，得到，同理求得直線的解析式為，聯(lián)立，解得（舍去），或，∴．綜上，M點(diǎn)坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、三角形面積的計(jì)算，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵的是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，作輔助線構(gòu)造全等三角形．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，(1)求拋物線的解析式；(2)在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)①若點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，當(dāng)PD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值；②若點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠APB＝45°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，理由見詳解(3)①，PD的最大值為；②、【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可；（3）①過點(diǎn)P作軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)F，先求出直線AC的表達(dá)式為，判斷當(dāng)PF最長(zhǎng)時(shí)，PD的值最大，設(shè)，，點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，有，表示出，可得當(dāng)時(shí)，PF的值最大，最大值為，再求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PD的最大值即可；②根據(jù)點(diǎn)P在x軸下方和上方分類討論，當(dāng)P在x軸下方時(shí)，∠APB最小時(shí)，P在二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)處，當(dāng)P在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)P作軸，垂足為K，過點(diǎn)A作，交BP于點(diǎn)I，過點(diǎn)I作軸，垂足為J，計(jì)算可得，不符合題意；當(dāng)P在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)P作軸，垂足為K，過點(diǎn)A作，交BP于點(diǎn)I，過點(diǎn)I作軸，垂足為J，證明，可得，，設(shè)，則，，，，再證明，可得，將含n的式子代入，即可求出n的值，即為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）解：存在使得，理由如下：∵拋物線的解析式為，∴拋物線的對(duì)稱軸為，，設(shè)：，當(dāng)時(shí)，，∵，，∴，解得，∴．（3）解：①如圖，過點(diǎn)P作軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)F，∵，，∴，直線AC的表達(dá)式為，∴是等腰直角三角形，∵軸∴，∴，又∵PD⊥AC，∴是等腰直角三角形，∴當(dāng)PF最長(zhǎng)時(shí)，PD的值最大，設(shè)：，，∵點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，∴∴當(dāng)時(shí)，PF的值最大，最大值為，∴，，∴，PD的最大值為；②當(dāng)P在x軸下方時(shí)，∠APB最小時(shí)，P在二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)處，∵拋物線的解析式為，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)A作交BP于點(diǎn)G，∵、，∴，∴，∴，∴∴，∴當(dāng)P在x軸下方時(shí)，不符合題意；當(dāng)P在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)P作軸，垂足為K，過點(diǎn)A作，交BP于點(diǎn)I，過點(diǎn)I作軸，垂足為J，當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，，∵軸，，軸，∴，∴，∴，∴，∴，，設(shè)：，則，，∴，，∵∴，∴，∴，∴P的橫坐標(biāo)為、．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及三角形全等的判定和性質(zhì)，相似的判定和性質(zhì)，正確求解函數(shù)解析式、將二次函數(shù)解析式與函數(shù)圖像結(jié)合起來，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．7．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)M（0，4），與x軸交于A（－2，0）、B兩點(diǎn)，(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)C（0，2），P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQy軸交直線BC于Q（P在Q上方），再過點(diǎn)P作PRx軸交直線BC于點(diǎn)R，若△PQR的面積為2，求P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使∠MAD＝45°，若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)P（1，3）；(3)存在，D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．【分析】（1）先設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得出拋物線的解析式；（2）由頂點(diǎn)M（0，4），A（?2，0）可得B（2，0），則OC＝OB，可得∠OCB＝∠OBC＝45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠PQR＝∠PRQ＝45°，則PQ＝PR，根據(jù)△PQR的面積為2可得PQ＝2，求出直線BC的解析式為y＝?x＋2，設(shè)P（m，），則Q（m，?m＋2），PQ＝，解方程求出m的值即可；（3）過點(diǎn)M作MN⊥AD于N，過點(diǎn)N分別作NE⊥y軸于E，NF⊥x軸于F，證明△MNE≌△ANF（AAS），可得NE＝NF，設(shè)N（n，?n＋2），則n＝?n＋2，求出n＝1，可得N（1，1），求出直線AN的解析式為y＝，聯(lián)立即可求解．（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)M（0，4），∴設(shè)拋物線的解析式為：，∵拋物線與x軸交于A（?2，0），∴4a＋4＝0，解得a＝?1，∴拋物線的解析式為：；（2）解：∵頂點(diǎn)M（0，4），A（?2，0），∴B（2，0），∵點(diǎn)C（0，2），∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQy軸，PRx軸，∴∠PRQ＝∠OBC＝45°，∠PQR＝∠OCB＝45°，∴∠PRQ＝∠PQR＝45°，∴PQ＝PR，∵△PQR的面積為2，∴PR·PQ＝＝2，∴PQ＝2，∵C（0，2），∴設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋2，代入B（2，0）得：0＝2k＋2，解得：k＝－1，∴直線BC的解析式為y＝?x＋2，設(shè)P（m，），則Q（m，?m＋2），∴PQ＝，解得：m＝1或0（舍去），∴P（1，3）；（3）解：存在；過點(diǎn)M作MN⊥AD于N，過點(diǎn)N分別作NE⊥y軸于E，NF⊥x軸于F，∴NE⊥NF，∠MEN＝∠AFN＝90°，∴∠MNE＝∠ANF，∵∠MAD＝45°，MN⊥AD，∴MN＝AN，∴△MNE≌△ANF（AAS），∴ME＝AF，NE＝NF，設(shè)N（n，n），則ME＝4－n，AF＝n＋2，∴4－n＝n＋2，解得：n＝1，∴N（1，1），∵A（?2，0），設(shè)直線AN的解析式為y＝kx＋b，∴，解得，∴直線AN的解析式為y＝，聯(lián)立，解得：（舍去）或，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-4），連接AB，BC．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．連接PQ，PC．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)Q坐標(biāo)；(3)在（2）條件下，時(shí)，在直線PQ上是否存在點(diǎn)M，使？若存在，請(qǐng)直接求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，，【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入計(jì)算即可；（2）過作軸于，利用求出的長(zhǎng)，從而用t表示出，列出方程即可得出答案；（3）由（2）及可知，代入求得、，即可得出直線的解析式為，設(shè)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式和勾股定理的逆定理判斷出∠APM=90°，由的直角三角形即可推出，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式列出方程，進(jìn)行求解即可得出答案．（1）解：將點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得，解這個(gè)方程組，得，則二次函數(shù)表達(dá)式．（2）過作軸于，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．∵、，∴,∴．∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)，∴，，∴，∵，∴，∴．∴，解得，，．∵Q的橫坐標(biāo)為，∴或．（3）存在，理由如下：由（2）可知：，，∵，∴．∴，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)P、Q坐標(biāo)代入中，得：，解得：，∴設(shè)直線的解析式為，∴設(shè)，∵,,∴,,∵∴，∴，∵，∴，∴．∵,，∴，∴∴，．故答案為：存在，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何動(dòng)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，利用銳角三角函數(shù)求線段的長(zhǎng)度，勾股逆定理，勾股定理，距離公式及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征等知識(shí)，較為綜合，能夠熟練應(yīng)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．函數(shù)y＝，其中a是常數(shù)且a≠0，該函數(shù)的圖象記為G．(1)圖象G經(jīng)過3個(gè)定點(diǎn)，分別為，，；(2)圖象G與直線y＝a有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的值；(3)圖象G與直線x＝2和直線x＝﹣2分別相交于點(diǎn)P，Q，當(dāng)∠POQ＝135°時(shí)，直接寫出a的值．【答案】(1)，，．(2)或．(3)．【分析】（1）由拋物線解析式可得拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求解．（2）求出函數(shù)在及時(shí)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論與兩種情況求解．（3）過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作軸交軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，由可得為等腰直角三角形，用含代數(shù)式求出所在直線解析式，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解．(1)解：當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，把代入得，拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，由拋物線對(duì)稱性可得拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，同理可得拋物線經(jīng)過定點(diǎn)，故答案為：，，．(2)函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，如圖，頂點(diǎn)在直線上滿足題意，令，解得．當(dāng)時(shí)，如圖，頂點(diǎn)落在直線滿足題意，令，解答．綜上所述，或時(shí)，圖象與直線有2個(gè)交點(diǎn)．(3)由（2）得點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，如圖，過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作軸交軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，為等腰直角三角形，從而可得，設(shè)，則，，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)所在直線為，將代入解析式得，解得，，把，代入得，解得（舍，．當(dāng)時(shí)，如圖，同理可得．綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．10．如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸．(2)若R為拋物線上一點(diǎn)，滿足，求R的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P

使得A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，對(duì)稱軸為直線(2)（4，-5）(3)存在，（4，1）或（-2，1）或或【分析】（1）利用待定系數(shù)解答，即可求解；（2）過點(diǎn)B作BM⊥BC交CR于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，證明△BOC≌△MBE，可得點(diǎn)E（2，-1），然后求出直線CR的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立，即可求解；（3）設(shè)，點(diǎn)Q（m，n），分兩種情況討論：然后分兩種情況討論：當(dāng)AC為邊時(shí)，當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，即可求解．(1)解：∵拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為，∴對(duì)稱軸為直線；(2)解：當(dāng)x=0時(shí)，，∴OC=3，∵點(diǎn)B（-1，0），∴OB=1，如圖，過點(diǎn)B作BM⊥BC交CR于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，∵∠BCR=45°，∴△BCM為等腰直角三角形，∠CBO+∠EBM=90°，∴BM=BC，∵∠EBM+∠BME=90°，∴∠CBO=∠BME，∵∠BEM=∠BOC=90°，∴△BOC≌△MBE，∴EM=BO=1，BE=OC=3，∴OE=2，∴點(diǎn)E（2，-1），設(shè)直線CR的解析式為把點(diǎn)C（0，3），M（2，-1）代入得：，解得：，∴直線CR的解析式為，聯(lián)立得：，解得：0或（舍去），∴點(diǎn)R（4，-5）；(3)解：存在．設(shè)，點(diǎn)Q（m，n），當(dāng)以AC為邊時(shí)，點(diǎn)C向點(diǎn)P（或點(diǎn)Q）平移的方向和距離與點(diǎn)A向點(diǎn)Q（或點(diǎn)P）平移的方向和距離相同，且AP=CQ（或AQ=CP），∴或，解得：或，∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）如圖，當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，AC=PQ，且PQ與AC的中點(diǎn)重合，如圖，PQ=AC，∴，解得：或，∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，1）或（-2，1）或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合題，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題．11．已知，如圖，拋物線與坐標(biāo)軸相交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)F為二次函數(shù)圖像上與點(diǎn)C對(duì)稱的點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)F，A，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）由對(duì)稱軸為直線則設(shè)拋物線代入點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出解析式；（2）過作，且，過作，過C作于，過作于，構(gòu)建，即可得出，求得直線的解析式為：與拋物線解析式聯(lián)立即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)，，分以AF為對(duì)角線時(shí)以AN為對(duì)角線時(shí)，以為對(duì)角線時(shí)，進(jìn)行討論，列出方程組，即可解答問題．（1）解：∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴設(shè)拋物線，把，代入得：，∴，∴；（2）如圖過作，且，過作，過C作于，過作于，∴，，∴，，∴，∴，∴，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，∴，∴，，∴；（3）∵，∴，依題意設(shè)，，∵，對(duì)稱軸為直線，∴，∵，，，，當(dāng)以AF為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴，當(dāng)以AN為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴，當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴，綜上所述：或或．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，一次函數(shù)的解析式求法，構(gòu)造全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形存在性問題，是一道有關(guān)二次函數(shù)的綜合題，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)．12．如圖所示，拋物線y=?x2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B(3，0)，與x軸交于另一點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖，設(shè)點(diǎn)D是x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線l⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，連接AC、FC．①若點(diǎn)F在第一象限內(nèi)，當(dāng)∠BCF=∠BCA時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②若∠ACO+∠FCB=45°，則點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為______．【答案】(1)y=?x2+2x+3(2)①；②或5【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）①作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG交拋物線于點(diǎn)F，此時(shí)，∠BCF=∠BCA，求得G(3，4)，利用待定系數(shù)法求得直線CF的解析式為：y=x+3，聯(lián)立方程組，即可求解；②分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可求CF的解析式，聯(lián)立方程可求解．（1）解：∵B(3，0)在拋物線y=?x2+b