專練06動角問題(B卷解答題)(原卷版+解析)

專練06動角問題（B卷解答題）1．如圖①，已知，在內部畫射線，得到三個角，分別為、、．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線為的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于而小于的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，，射線為的“幸福線”，求的度數；(3)如圖②，已知，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，同時，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，設運動的時間為秒（）．若、、三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的值．2．已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當α=0°時，如圖1，則∠POQ=；②當α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數；③當α=130°時，如圖3，請先補全圖形，然后求出∠POQ的度數；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數式表示）．3．如圖所示，O是直線上的一點，是直角，平分．（1）如圖①，若，求的度數；（2）在圖①，若，直接寫出的度數_________（用含a的代數式表示）；（3）將圖①中的繞頂點O順時針旋轉至圖②的位置．①探究和的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由；②在的內部有一條射線，滿足，試確定與的度數之間的關系，說明理由．4．點O直線AB上一點，過點O作射線OC，使得∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處．（1）如圖1，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，求∠MOC的度數；（2）如圖2，將三角板MON繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠MOB的平分線，求∠BON和∠CON的度數；（3）將三角板MON繞點O逆時針旋轉至圖3時，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度數．5．已知，OC、OD是過點O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則______°(2)如圖②，若，，則______°(3)如圖③，在∠AOB內，若，則______°(4)將（3）中的∠COD繞著點O逆時針旋轉到∠AOB的外部（，），求此時∠MON的度數．6．已知：A、O、B三點在同一條直線上，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉的角度為度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；（3）將圖1中的三角板繞點O按5°每秒的速度沿逆時針方向旋轉一周的過程中，當直角三角板的直角邊OM所在直線恰好平分∠BOC時，時間t的值為（直接寫結果）．7．如圖，兩條直線AB、CD相交于點O，且，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉，速度為，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉，速度為兩條射線OM、ON同時運動，運動時間為t秒本題出現(xiàn)的角均小于平角當時，的度數為多少，的度數為多少；的度數為多少；當時，若，試求出t的值；當時，探究的值，問：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？8．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使邊OM在的內部，且恰好平分．問：此時直線ON是否平分？請說明理由．(2)將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉過程中，第n秒時，直線ON恰好平分，則n的值為______（點接寫結果）(3)若圖1中的三角板繞點O旋轉至圖3，使ON在的內部時，的度數是多少？9．如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當，時，______，______，______；②______（用含有或的代數式表示）．(2)如圖（3），P為∠AOB內任意一點，直線PQ過點O，點Q在∠AOB外部：①當OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數為______；②當OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數為______；（∠MON的度數用含有或的代數式表示）(3)如圖（4），當，時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數是40°？10．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側，∠BOC=112°，∠MON=α．(1)如圖1，當α=70°，OM平分∠BOC時，求∠NOB的度數；(2)如圖2，當OM與OB邊重合，ON在OB的下方時，α=80°，將∠MON繞O點按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉n（0°＜n＜180°），使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°，求此時旋轉一共用了多少秒；(3)當∠MON在直線AB上方時，若α=90°，點F在射線OB上，射線OF繞點O順時針旋轉n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，請直接寫出此時n的值．11．【閱讀理解】定義：在一條直線同側的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數量關系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點O在直線MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉，運動時間為t秒，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉，且在旋轉過程中，射線OD平分∠AOB．當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數．12．(1)特例感知：如圖①，已知線段MN＝30cm，AB＝2cm，線段AB在線段MN上運動(點A不超過點M，點B不超過點N)，點C和點D分別是AM，BN的中點．①若AM＝16cm，則CD＝cm；②線段AB運動時，試判斷線段CD的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出CD的長度，如果變化，請說明理由．(2)知識遷移：我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知∠AOB在∠MON內部轉動，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON．①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．②請你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個角有怎樣的數量關系．請說明理由．(3)類比探究：如圖③，∠AOB在∠MON內部轉動，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，，用含有k的式子表示的度數．(直接寫出計算結果)13．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起：(1)若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數為__________；(2)若∠ACB＝140°，求∠DCE的度數；(3)猜想∠ACB與∠DCE的大小關系，并說明理由(4)三角尺ACD不動，將三角尺BCE的CE邊與CA邊重合，然后繞點C按順時針或逆時針方向任意轉動一個角度，當∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度時，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出∠ACE角度所有可能的值．不用說明理由．14．一個問題解決往往經歷發(fā)現(xiàn)猜想——探索歸納——問題解決的過程，下面結合一道幾何題來體驗一下.【發(fā)現(xiàn)猜想】（1）如圖①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC為∠BOD的角平分線，則∠AOC的度數為；.【探索歸納】（2）如圖①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC為∠BOD的角平分線.猜想∠AOC的度數（用含m、n的代數式表示），并說明理由.【問題解決】（3）如圖②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射線OB繞點O以每秒20°逆時針旋轉，射線OC繞點O以每秒10°順時針旋轉，射線OD繞點O每秒30°順時針旋轉，三條射線同時旋轉，當一條射線與直線OA重合時，三條射線同時停止運動.運動幾秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的角平分線？15．如圖，以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC=70°，將一塊直角三角板DOE直角頂點放在點O處．(1)如圖1，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=____________°；(2)如圖2，將直角三角板DOE繞點O逆時針方向轉動到某個位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度數；(3)如圖3，將直角三角板DOE繞點O轉動，如果OD始終在∠BOC的內部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數量關系？并說明理由．專練06動角問題（B卷解答題）1．如圖①，已知，在內部畫射線，得到三個角，分別為、、．若這三個角中有一個角是另外一個角的3倍，則稱射線為的“幸福線”．（本題中所研究的角都是大于而小于的角．）(1)角的三等分線________這個角的“幸福線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，，射線為的“幸福線”，求的度數；(3)如圖②，已知，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，同時，射線從出發(fā)，以每秒的速度繞點逆時針旋轉，設運動的時間為秒（）．若、、三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸福線”，求出所有可能的值．【答案】(1)是；(2)，，，；(3)或或．【詳解】（1）解：若OC為∠AOB的三等分線，則有，符合“幸福線”的定義，所以角的三等分線是這個角的“幸福線”；故答案為：是．（2）解：由題意得：∵，射線為的“幸福線”，∴①當時，則有：；②當時，則有；③當時，則有；④當時，則有：；；綜上所述：當射線為的“幸福線”時，∠AOC的度數為，，，；（3）解：∵，∴射線ON與OA重合的時間為（秒），∴當時在與重合之前，如圖所示：∴°，°，是的“幸福線”，則有以下三類情況：①，即，（舍去），②，即，，③，即，；④，即，（舍去）；當時，在與重合之后，如圖所示：∴°，°，是的“幸福線”，則有以下三類情況：①，即，（不符合題意，舍去），②，即，（不符合題意，舍去）；③，即，；④，即，不存在；綜上：或或．2．已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當α=0°時，如圖1，則∠POQ=；②當α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數；③當α=130°時，如圖3，請先補全圖形，然后求出∠POQ的度數；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°【詳解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案為：50°；②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；

③解：補全圖形如圖3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；（2）當∠AOB=m°，∠COD=n°時，如圖2，∴∠AOC=m°+°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+°)，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+°)-(-n°+°)=m°+n°，當∠AOB=m°，∠COD=n°時，如圖3，∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+°)，∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+°)+(-n°+°)=180°-m°-n°，綜上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，則∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．故答案為：m°+n°或180°-m°-n°．3．如圖所示，O是直線上的一點，是直角，平分．（1）如圖①，若，求的度數；（2）在圖①，若，直接寫出的度數_________（用含a的代數式表示）；（3）將圖①中的繞頂點O順時針旋轉至圖②的位置．①探究和的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由；②在的內部有一條射線，滿足，試確定與的度數之間的關系，說明理由．【答案】（1）14°；（2）；（3）①∠AOC＝2∠DOE；（2）2∠DOE?∠AOF＝90°【詳解】解：（1）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝28°，∴∠BOC＝180°?∠AOC＝152°，∠COE＝∠BOC，∠COD＝90°．∴∠COE＝76°，∠DOE＝∠COD?∠COE＝90°?76°＝14°．即∠DOE＝14°；（2）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC＝a，∴∠DOE＝90°?＝．故答案是：；（3）①∠AOC＝2∠DOE．理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．∵∠COD是直角，∠AOC＋∠BOC＝180°，∴∠DOE＋∠COE＝90°，∠AOC＋2∠COE＝180°．∴∠AOC＋2（90°?∠DOE）＝180°．化簡，得∠AOC＝2∠DOE；②2∠DOE?∠AOF＝90°．理由：∵，∴2∠AOF＋∠BOE＝（∠AOC?∠AOF），∴2∠AOF＋∠BOE＝∠AOC?∠AOF．又∵∠AOC＝2∠DOE，∴∠AOF＝∠DOE?∠BOE，∴∠AOF＝∠DOB．∵∠DOB＋∠BOC＝90°，∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝2∠DOE．∴∠AOF＋180°?∠AOC＝90°．∴∠AOF＋180°?2∠DOE＝90°．化簡，得2∠DOE?∠AOF＝90°．4．點O直線AB上一點，過點O作射線OC，使得∠BOC＝65°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處．（1）如圖1，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，求∠MOC的度數；（2）如圖2，將三角板MON繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠MOB的平分線，求∠BON和∠CON的度數；（3）將三角板MON繞點O逆時針旋轉至圖3時，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度數．【答案】（1）∠MOC＝25°；（2）∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∠NOB＝70°．【詳解】（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分線，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，即∠BON＝40°，∠CON＝25°；（3）∵∠NOC＝∠AOM，∴∠AOM＝4∠NOC．∵∠BOC＝65°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，∵∠MON＝90°，∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，∴4∠NOC+∠NOC＝25°，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．5．已知，OC、OD是過點O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則______°(2)如圖②，若，，則______°(3)如圖③，在∠AOB內，若，則______°(4)將（3）中的∠COD繞著點O逆時針旋轉到∠AOB的外部（，），求此時∠MON的度數．【答案】(1)80；(2)80(3)(4)或【詳解】（1）解：、是的三等分線，，射線、分別平分和，，，；故答案為80；（2）解：射線、分別平分和，，，，，，，；故答案為80；（3）解：射線、分別平分和，，，，，，，，；故答案為；（4）解：反向延長、得到、，如圖，當、在內部，設，則，，，；當、在內部，可計算得到；當、在內部，可計算得到；當、在內部，可計算得到．6．已知：A、O、B三點在同一條直線上，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉的角度為度；（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；（3）將圖1中的三角板繞點O按5°每秒的速度沿逆時針方向旋轉一周的過程中，當直角三角板的直角邊OM所在直線恰好平分∠BOC時，時間t的值為（直接寫結果）．【答案】（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．【詳解】（1）由旋轉的定義可知：旋轉角＝∠NOB＝90°．故答案為90°（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝60°．∴∠NOC＝60°﹣∠AON．∵∠NOM＝90°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．（3）如圖1所示：當OM為∠BOC的平分線時，∵OM為∠BOC的平分線，∴∠BOM＝∠BOC＝60°，∴t＝60°÷5°＝12秒．如圖2所示：當OM的反向延長為∠BOC的平分線時，∵ON為為∠BOC的平分線，∴∠BON＝60°．∴旋轉的角度＝60°+180°＝240°．∴t＝240°÷5°＝48秒．故答案為12秒或48秒．7．如圖，兩條直線AB、CD相交于點O，且，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉，速度為，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉，速度為兩條射線OM、ON同時運動，運動時間為t秒本題出現(xiàn)的角均小于平角當時，的度數為多少，的度數為多少；的度數為多少；當時，若，試求出t的值；當時，探究的值，問：t滿足怎樣的條件是定值；滿足怎樣的條件不是定值？【答案】（1），，；（2）t的值為秒或10秒；（3）當時，的值不是定值；當時，的值是3．【詳解】由題意得：，，，故答案為，，；當ON與OA重合時，當OM與OA重合時，如圖所示，當時，，由，可得，解得，

如圖所示，當時，，，由，可得，解得，綜上，t的值為秒或10秒；當時，，，解得，如圖所示，當時，，，，不是定值，如圖所示，當時，，，，定值，綜上所述，當時，的值不是定值；當時，的值是3．8．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊OM在射線OB上，另一直角邊ON在直線AB的下方．(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使邊OM在的內部，且恰好平分．問：此時直線ON是否平分？請說明理由．(2)將圖1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉過程中，第n秒時，直線ON恰好平分，則n的值為______（點接寫結果）(3)若圖1中的三角板繞點O旋轉至圖3，使ON在的內部時，的度數是多少？【答案】(1)平分，理由見解析(2)10或40(3)30°【解析】（1）解：（1）直線ON平分∠AOC．理由：設ON的反向延長線為OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵OM⊥ON，∴∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝∠BON，又∵∠AOD＝∠BON（對頂角相等），∴∠COD＝∠AOD，∴OD平分∠AOC，即直線ON平分∠AOC；（2）解：由（1）得，∠BOM＝60°時，直線ON恰好平分，即旋轉60°時，ON平分∠AOC，再旋轉180°即旋轉240°時，ON平分∠AOC，由題意得，6n＝60°或6n＝240°，∴n＝10或40；故答案為：10或40；（3）解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．9．如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當，時，______，______，______；②______（用含有或的代數式表示）．(2)如圖（3），P為∠AOB內任意一點，直線PQ過點O，點Q在∠AOB外部：①當OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數為______；②當OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數為______；（∠MON的度數用含有或的代數式表示）(3)如圖（4），當，時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數是40°？【答案】(1)(2)，(3)分鐘時，∠MON的度數是40°【詳解】（1）①OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，當，時，，，②故答案為：（2）①OM平分∠POB，ON平分∠POA，②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，故答案為：，（3）根據題意OM平分∠POQ，如圖，當在的外部時，MON的度數是40°ON平分∠POA，則旋轉了分即分鐘時，∠MON的度數是40°如圖，在的內部時，，即，此情況不存在，綜上所述，分鐘時，∠MON的度數是40°10．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側，∠BOC=112°，∠MON=α．(1)如圖1，當α=70°，OM平分∠BOC時，求∠NOB的度數；(2)如圖2，當OM與OB邊重合，ON在OB的下方時，α=80°，將∠MON繞O點按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉n（0°＜n＜180°），使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°，求此時旋轉一共用了多少秒；(3)當∠MON在直線AB上方時，若α=90°，點F在射線OB上，射線OF繞點O順時針旋轉n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，請直接寫出此時n的值．【答案】(1)∠NOB=14°；(2)旋轉一共用了26.5s或41.5s；(3)n為54.4°或144°．【詳解】（1）解：∵∠BOC=112°，OM平分∠BOC，∴∠MOB=∠BOC=56°，∵∠MON=70°，∴∠NOB=∠MON-∠MOB=14°；（2）解：由（1）知∠HOB=∠COB=56°，設旋轉時間為ts，①當點N′在OH的右側時，∠HON′=30°，∴∠N′OB=56°-30°=26°，∴∠NON′=∠N′OB+∠BON=26°+80°=106°；∴t=106°÷4°=26.5；②當點N′在OH的左側時，∠HON′′=30°，∴∠N′OB=56°-30°=26°，∴∠NON′′=∠N′′OH+∠HOB+∠BON=30°+56°+80°=166°；∴t=166°÷4°=41.5；綜上，旋轉一共用了26.5s或41.5s；（3）解：當0°＜n＜90°時，如圖，∵∠BOF=n，∴∠AOF=180°-n，∵∠FOA=2∠AOM，∴∠AOM=∠AOF=90°-n，∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∴∠BON=n，∴∠HON=∠HOF-∠BON-∠BOF=124°-n，∠CON=∠BOC-∠BON=112°-n，∵OH平分∠CON，∴∠CON=2∠HON，∴112°-n=2（124°-n），解得n=54.4°；當90°＜n＜180°時，如圖，∵∠BOF=n，∴∠AOF=180°-n，∵∠FOA=2∠AOM，∴∠AOM=∠AOF=90°-n，∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，∴∠BON=n，∴∠HON=360°-∠HOF-∠BON-∠BOF=360°-124°-n-n=236°-n，∠CON=∠BOC-∠BON=112°-n，∵OH平分∠CON，∴∠CON=2∠HON，∴112°-n=2（236°-n），解得n=144°；綜上，n為54.4°或144°．11．【閱讀理解】定義：在一條直線同側的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數量關系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點O在直線MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉，運動時間為t秒，當射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉，且在旋轉過程中，射線OD平分∠AOB．當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數．【答案】(1)不是；是(2)①或；②160°或172°【詳解】（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射線PS不是射線PR，PT的“雙倍和諧線”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射線PT是射線PS，PR的“雙倍和諧線”．故答案為：不是；是；（2）①由題意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．∵射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．當∠AOC=2∠AOB時，如圖，則：90-4t=2×40．解得：t=，當∠AOB=2∠AOC時，如圖，則：40=2（90-4t）．解得：t=，綜上，當射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，t的值為或；②由題意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．∵當射線OC與射線OA重合時，運動停止，∴此時∠AON=∠CON．∴90+2t=4t．∴t=45．∴當t=45秒時，運動停止，此時∠AON=180°．∵射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．當∠COM=2∠COD時，如圖，即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），則：180-4t=2（4t-70-2t）．解得：t=40．∴∠CON=4°×40=160°．當∠COD=2∠COM時，如圖，即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．則：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠CON=4°×43=172°．綜上，當射線OC位于射線OD左側且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，∠CON的度數為160°或172°．12．(1)特例感知：如圖①，已知線段MN＝30cm，AB＝2cm，線段AB在線段MN上運動(點A不超過點M，點B不超過點N)，點C和點D分別是AM，BN的中點．①若AM＝16cm，則CD＝cm；②線段AB運動時，試判斷線段CD的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出CD的長度，如果變化，請說明理由．(2)知識遷移：我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖②，已知∠AOB在∠MON內部轉動，射線OC和射線OD分別平分∠AOM和∠BON．①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．②請你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三個角有怎樣的數量關系．請說明理由．(3)類比探究：如圖③，∠AOB在∠MON內部轉動，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，，用含有k的式子表示的度數．(直接寫出計算結果)【答案】（1）①16，②不變，16cm，理由見解析；（2）①90，②∠COD=（∠MON+∠AOB），理由見解析；（3）【詳解】解：（1）①∵MN=30cm，AB=2cm，AM=16cm，∴BN=MN-AB-AM=12（cm），∵點C和點D分別是AM，BN的中點，∴AC=AM=8cm，BD=BN=6cm．∴AC+BD=14（cm）．∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．故答案為：16．②不變，理由如下：∵點C和點D分別是AM，BN的中點，∴AC=AM，BD=BN，∴AC+BD=AM+BN=（AM+BN）．又∵MN=30cm，AB=2cm，∴AM+BN=MN-AB=30-2=28（cm）．∴AC+BD=（AM+BN）=14（cm）．∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．（2）①∵OC和OD分別平分∠AOM和∠BON，∴∠AOC=∠AOM，∠BOD=∠BON．∴∠AOC+∠BOD=∠AOM+∠BON=（∠AOM+∠BON）．又∵∠MON=150°，∠AOB=30°，∴∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=120°．∴∠AOC+∠BOD=60°．∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=60°+30°=90°．故答案為：90．②∠COD=（∠MON+AOB）．理由如下：∵OC和OD分別平分∠AOM和∠BON，∴∠AOC=∠AOM，∠BOD=∠BON．∴∠AOC+∠BOD=∠AOM+∠BON=（∠AOM+∠BON）．∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=（∠AOM+∠BON）+∠AOB=（∠MON-∠AOB）+∠AOB．=（∠MON+AOB）．（3）∵∠MON=150°，∠AOB=30°，∴∠AOM+∠BON=120°，∵，∴∠MOC=k∠AOC，∠NOD=k∠BOD，∴∠AOM=∠MOC+∠AOC=（1+k）∠AOC，∠BON=∠NOD+∠BOD=（1+k）∠BOD，∴，∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=．13．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起：(1)若∠DCE＝35°，則∠ACB的度數為__________；(2)若∠ACB＝140°，求∠DCE的度數；(3)猜想∠ACB與∠DCE的大小關系，并說明理由(4)三角尺ACD不動，將三角尺BCE的CE邊與CA邊重合，然后繞點C按順時針或逆時針方向任意轉動一個角度，當∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度時，這兩塊三角尺各有一條邊互相垂直，直接寫出∠ACE角度所有可能的值．不用說明理由．【答案】(1)(2)(3)理由見解析(4)30°、45°、60°、75°．【解析】（1）解：∵∠ACD=∠ECB=90°，∠DCE＝35°，∴∠ACB==145°．（2）∵∠ACD=∠ECB=90°，

∴∠DCE=．（3）∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=180．∠ACE+∠ECD+