廣西桂林全州縣石塘中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

廣西桂林全州縣石塘中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量檢測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.32.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.113.如圖,內(nèi)接于圓,是圓的直徑,,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.4.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.5.如圖在一個的二面角的棱有兩個點,線段分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi),且都垂直于棱,且,則的長為()A.4 B. C.2 D.6.已知當(dāng),,時,,則以下判斷正確的是A. B.C. D.與的大小關(guān)系不確定7.某校團委對“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查,利用列聯(lián)表,由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A.有99%以上的把握認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”B.有99%以上的把握認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下,認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”8.射線測厚技術(shù)原理公式為,其中分別為射線穿過被測物前后的強度,是自然對數(shù)的底數(shù),為被測物厚度,為被測物的密度,是被測物對射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241()低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為()(注:半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度,,結(jié)果精確到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.9.已知是等差數(shù)列的前項和,,,則()A.85 B. C.35 D.10.已知函數(shù),,的零點分別為,,,則()A. B.C. D.11.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.12.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在點處的切線方程為________.14.中,角的對邊分別為,且成等差數(shù)列,若,,則的面積為__________.15.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列,其前項和為,已知,,若對任意都有成立,則的值為__________.16.設(shè),滿足約束條件,若的最大值是10,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學(xué)的計算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個,求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標,某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花,為了評價該品種的棉花質(zhì)量,在棉花成熟后,分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取21根棉花纖維進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:(記纖維長度不低于311的為“長纖維”,其余為“短纖維”)纖維長度甲地(根數(shù))34454乙地(根數(shù))112116(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù),填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計長纖維短纖維總計附:(1);(2)臨界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)現(xiàn)從上述41根纖維中,按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測,在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19.(12分)已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)己知函數(shù).(1)當(dāng)時,求證:;(2)若函數(shù),求證:函數(shù)存在極小值.21.(12分)某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動,規(guī)定消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動,隨著抽獎活動的有效開展,參與抽獎活動的人數(shù)越來越多,該商店經(jīng)理對春節(jié)前天參加抽獎活動的人數(shù)進行統(tǒng)計,表示第天參加抽獎活動的人數(shù),得到統(tǒng)計表格如下:123456758810141517(1)經(jīng)過進一步統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系.請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;(2)該商店規(guī)定:若抽中“一等獎”,可領(lǐng)取600元購物券;抽中“二等獎”可領(lǐng)取300元購物券;抽中“謝謝惠顧”,則沒有購物券.已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為,獲得“二等獎”的概率為.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動,且他們是否中獎相互獨立,求此二人所獲購物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式:,,,.22.(10分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,點A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點E.(1)求證:四邊形ACC1A1為矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.2、D【解析】

由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項公式,屬于基礎(chǔ)題目.3、B【解析】

根據(jù)已知證明平面,只要設(shè),則,從而可得體積,利用基本不等式可得最大值.【詳解】因為,所以四邊形為平行四邊形.又因為平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,,設(shè),則,所以,所以.又因為,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以.故選:B.【點睛】本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設(shè)出底面三角形一邊長為,用建立體積與邊長的函數(shù)關(guān)系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.4、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運算,屬于基礎(chǔ)題題.5、A【解析】

由,兩邊平方后展開整理,即可求得,則的長可求.【詳解】解:,,,,,,.,,故選:.【點睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.6、C【解析】

由函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),求得可得為增函數(shù),又,,時,根據(jù)條件得,即可得結(jié)果.【詳解】解:設(shè),則,即為增函數(shù),又,,,,即,所以,所以.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)的增減性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬中檔題.7、B【解析】

通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較,可以得出正確的選項.【詳解】解:,可得有99%以上的把握認為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”,故選B.【點睛】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

根據(jù)題意知,,代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因為,所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點睛】本題主要考查知識的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識與物理知識相融合;重點考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程;屬于中檔題.9、B【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,求得,由此求得.【詳解】設(shè)公差為,則,所以,,,.故選:B【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算,考查等差數(shù)列前項和的計算,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

轉(zhuǎn)化函數(shù),,的零點為與,,的交點,數(shù)形結(jié)合,即得解.【詳解】函數(shù),,的零點,即為與,,的交點,作出與,,的圖象,如圖所示,可知故選:C【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)的零點,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于中檔題.11、A【解析】

投影即為,利用數(shù)量積運算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確,選項D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

求導(dǎo),得到和,利用點斜式即可求得結(jié)果.【詳解】由于,,所以,由點斜式可得切線方程為.故答案為:.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程,屬基礎(chǔ)題.14、.【解析】

由A,B,C成等差數(shù)列得出B=60°,利用正弦定理得進而得代入三角形的面積公式即可得出.【詳解】∵A,B,C成等差數(shù)列,∴A+C=2B,又A+B+C=180°,∴3B=180°,B=60°.故由正弦定理,故所以S△ABC,故答案為:【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),三角形的面積公式,考查正弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由已知條件得出關(guān)于首項和公差的方程組,解出這兩個量,計算出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對應(yīng)的值,即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,解得,.所以,當(dāng)時,取得最大值,對任意都有成立,則為數(shù)列的最大值,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和最值的計算,一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解,考查計算能力,屬于中等題.16、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:目標函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線平行,數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標函數(shù)過點,取得最大值,故可得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查由目標函數(shù)的最值求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)乙同學(xué)正確(2)分布列見解析,【解析】

(1)由已知可得甲不正確,求出樣本中心點代入驗證,即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)(1)中得到的回歸方程,求出估值,得到“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù),確定“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解.【詳解】(1)已知變量具有線性負相關(guān)關(guān)系,故甲不正確,,代入兩個回歸方程,驗證乙同學(xué)正確,故回歸方程為:(2)由(1)得到的回歸方程,計算估計數(shù)據(jù)如下表:“理想數(shù)據(jù)”有3個,故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的取值為:.,,于是“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列【點睛】本題考查樣本回歸中心點與線性回歸直線方程關(guān)系,以及離散型隨機變量的分布列和期望,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力,屬于中檔題.18、(1)在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.(2)見解析【解析】試題分析:(1)可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表,利用列聯(lián)表求出,結(jié)合所給數(shù)據(jù),應(yīng)用獨立性檢驗知識可作出判斷;(2)寫出的所有可能取值,并求出對應(yīng)的概率,可列出分布列并進一步求出的數(shù)學(xué)期望.試題解析:(Ⅰ)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:甲地乙地總計長纖維91625短纖維11415總計212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可得所以,在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為,的可能取值為:1,1,2,3,,,,.∴的分布列為:1123∴.19、(1)見解析;(2).【解析】

(1)取的中點,連接、,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,可得出,由此能證明平面;(2)由,得平面,則點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點,連接、,、分別為、的中點,則且,、均垂直于平面,且,則,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,設(shè),則到平面的距離,,因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.20、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo)得,由,且,得到,再利用函數(shù)在上單調(diào)遞減論證.(2)根據(jù)題意,求導(dǎo),令,易知;,易知當(dāng)時,,;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,而,又,由零點存在定理得,使得,,使得,有從而得證.【詳解】(1)依題意,,因為,且,故,故函數(shù)在上單調(diào)遞

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