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文檔簡介
河南商丘市九校2025屆高三數學第一學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若,則下列關系式正確的個數是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.42.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點,為的三等分點(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.3.已知為虛數單位,復數滿足,則復數在復平面內對應的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知雙曲線的一條漸近線傾斜角為,則()A.3 B. C. D.5.不等式的解集記為,有下面四個命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.6.記為等差數列的前項和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-137.拋物線的焦點為F,點為該拋物線上的動點,若點,則的最小值為()A. B. C. D.8.已知函數若恒成立,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知橢圓(a>b>0)與雙曲線(a>0,b>0)的焦點相同,則雙曲線漸近線方程為()A. B.C. D.10.的展開式中的系數是-10,則實數()A.2 B.1 C.-1 D.-211.如圖,在△ABC中,點M是邊BC的中點,將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點B'不在平面AMC內,點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經過△AB'CA.重心 B.垂心 C.內心 D.外心12.三棱錐中,側棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,則____________.14.若正實數x,y,滿足x+2y=5,則x215.在平面直角坐標系中,點的坐標為,點是直線:上位于第一象限內的一點.已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,則點的坐標__________.16.在平面直角坐標系中,已知點,,若圓上有且僅有一對點,使得的面積是的面積的2倍,則的值為_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間;(2)若,證明.18.(12分)在直角坐標系中,已知圓,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標方程;(2)過原點作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點,與圓M交于O,B兩點,求面積的最大值.19.(12分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點,△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長.20.(12分)已知傾斜角為的直線經過拋物線的焦點,與拋物線相交于、兩點,且.(1)求拋物線的方程;(2)設為拋物線上任意一點(異于頂點),過做傾斜角互補的兩條直線、,交拋物線于另兩點、,記拋物線在點的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補.21.(12分)在平面直角坐標系中,以為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為;直線的參數方程為(為參數),直線與曲線分別交于兩點.(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;(2)若點的極坐標為,,求的值.22.(10分)已知橢圓()經過點,離心率為,、、為橢圓上不同的三點,且滿足,為坐標原點.(1)若直線、的斜率都存在,求證:為定值;(2)求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
a,b可看成是與和交點的橫坐標,畫出圖象,數形結合處理.【詳解】令,,作出圖象如圖,由,的圖象可知,,,②正確;,,有,①正確;,,有,③正確;,,有,④正確.故選:D.【點睛】本題考查利用函數圖象比較大小,考查學生數形結合的思想,是一道中檔題.2、D【解析】
使用不同方法用表示出,結合平面向量的基本定理列出方程解出.【詳解】解:,又解得,所以故選:D【點睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎題.3、B【解析】
求出復數,得出其對應點的坐標,確定所在象限.【詳解】由題意,對應點坐標為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數的幾何意義,考查復數的除法運算,屬于基礎題.4、D【解析】
由雙曲線方程可得漸近線方程,根據傾斜角可得漸近線斜率,由此構造方程求得結果.【詳解】由雙曲線方程可知:,漸近線方程為:,一條漸近線的傾斜角為,,解得:.故選:.【點睛】本題考查根據雙曲線漸近線傾斜角求解參數值的問題,關鍵是明確直線傾斜角與斜率的關系;易錯點是忽略方程表示雙曲線對于的范圍的要求.5、A【解析】
作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示,當時,,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關鍵,屬于中檔題.6、B【解析】
由題得,,解得,,計算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式,前項和公式,考查了學生運算求解能力.7、B【解析】
通過拋物線的定義,轉化,要使有最小值,只需最大即可,作出切線方程即可求出比值的最小值.【詳解】解:由題意可知,拋物線的準線方程為,,過作垂直直線于,由拋物線的定義可知,連結,當是拋物線的切線時,有最小值,則最大,即最大,就是直線的斜率最大,設在的方程為:,所以,解得:,所以,解得,所以,.故選:.【點睛】本題考查拋物線的基本性質,直線與拋物線的位置關系,轉化思想的應用,屬于基礎題.8、D【解析】
由恒成立,等價于的圖像在的圖像的上方,然后作出兩個函數的圖像,利用數形結合的方法求解答案.【詳解】因為由恒成立,分別作出及的圖象,由圖知,當時,不符合題意,只須考慮的情形,當與圖象相切于時,由導數幾何意義,此時,故.故選:D【點睛】此題考查的是函數中恒成立問題,利用了數形結合的思想,屬于難題.9、A【解析】
由題意可得,即,代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點相同,可得:,即,∴,可得,雙曲線的漸近線方程為:,故選:A.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質,考查漸近線方程的求法,考查方程思想和運算能力,屬于基礎題.10、C【解析】
利用通項公式找到的系數,令其等于-10即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,則,所以,解得.故選:C【點睛】本題考查求二項展開式中特定項的系數,考查學生的運算求解能力,是一道容易題.11、A【解析】
根據題意P到兩個平面的距離相等,根據等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點.故選:A.【點睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.12、B【解析】由題,側棱底面,,,,則根據余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點睛:本題考查的知識點是球內接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據并集的定義計算即可.【詳解】由集合的并集,知.故答案為:【點睛】本題考查集合的并集運算,屬于容易題.14、8【解析】
分析:將題中的式子進行整理,將x+1當做一個整體,之后應用已知兩個正數的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問題的求解方法,即可求得結果.詳解:x2-3x+1+2點睛:該題屬于應用基本不等式求最值的問題,解決該題的關鍵是需要對式子進行化簡,轉化,利用整體思維,最后注意此類問題的求解方法-------相乘,即可得結果.15、【解析】
依題意畫圖,設,根據圓的直徑所對的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點間的距離公式即可求出,進而得出點坐標.【詳解】解:依題意畫圖,設以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因為為圓的直徑,則所對的圓周角,則,則為點到直線:的距離.所以,則.又因為點在直線:上,設,則.解得,則.故答案為:【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系,考查了兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,是基礎題.16、【解析】
寫出所在直線方程,求出圓心到直線的距離,結合題意可得關于的等式,求解得答案.【詳解】解:直線的方程為,即.圓的圓心到直線的距離,由的面積是的面積的2倍的點,有且僅有一對,可得點到的距離是點到直線的距離的2倍,可得過圓的圓心,如圖:由,解得.故答案為:.【點睛】本題考查直線和圓的位置關系以及點到直線的距離公式應用,考查數形結合的解題思想方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調遞減區(qū)間為,,無單調遞增區(qū)間(2)證明見解析【解析】
(1)求導,根據導數的正負判斷單調性,(2)整理,化簡為,令,求的單調性,以及,即證.【詳解】解:(1)函數定義域為,則,令,,則,當,,單調遞減;當,,單調遞增;故,,,,故函數的單調遞減區(qū)間為,,無單調遞增區(qū)間.(2)證明,即為,因為,即證,令,則,令,則,當時,,所以在上單調遞減,則,,則在上恒成立,所以在上單調遞減,所以要證原不等式成立,只需證當時,,令,,,可知對于恒成立,即,即,故,即證,故原不等式得證.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性,利用導數證明不等式,函數的最值問題,屬于中檔題.18、(1),(2)【解析】
先求出,再求圓的半徑和極坐標方程;(2)設求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標方程,得.即圓M的極坐標方程為.(2)設,則,用代替.可得,【點睛】本題主要考查直角坐標和極坐標的互化,考查極徑的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用三角形面積公式以及并結合正弦定理,可得結果.(Ⅱ)根據,可得,然后使用余弦定理,可得結果.【詳解】(Ⅰ),所以所以;(Ⅱ),所以,所以,,所以,所以邊.【點睛】本題考查三角形面積公式,正弦定理以及余弦定理的應用,關鍵在于識記公式,屬中檔題.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據題意,設直線方程為,聯立方程,根據拋物線的定義即可得到結論;(2)根據題意,設的方程為,聯立方程得,同理可得,進而得到,再利用點差法得直線的斜率,利用切線與導數的關系得直線的斜率,進而可得與互補.【詳解】(1)由題意設直線的方程為,令、,聯立,得,根據拋物線的定義得,又,故所求拋物線方程為.(2)依題意,設,,設的方程為,與聯立消去得,,同理,直線的斜率=切線的斜率,由,即與互補.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用,直線斜率的應用,考查分析問題解決問題的能力,屬于中檔題.21、(1)曲線的直角坐標方程為即,直線的普通方程為;(2).【解析】
(1)利用代入法消去參數方程中的參數,可得直線的普通方程,極坐標方程兩邊同乘以利用即可得曲線的直角坐標方程;(2)直線的參數方程代入圓的直角坐標方程,根據直線參數方程的幾何意義,利用韋達定理可得結果.【詳解】(1)由,得,所以曲線的直角坐標方程為,即,直線的普通方程為.(2)將直線的參數方程代入并化簡、整理,得.因為直線與曲線交于,兩點.所以,解得.由根與系數的關系,得,.因為點的直角坐標為,在直線上.所以,解得,此時滿足.且,故..【點睛】參數方程主要通過代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去參數化為普通方程,通過選取相應的參數可以把普通方程化為參數方程,利用關系式,等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化,這類問題一般我們可以先把曲線方程化
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