浙江省普通高等學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

浙江省普通高等學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.2．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上第一象限的點(diǎn)，若，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.3．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.4．若正實(shí)數(shù)、滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A.或 B.或C. D.5．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.6．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.8．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.9．以下說(shuō)法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位③線性回歸方程必過(guò)④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關(guān)程度越高；⑤在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，那么的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.310．是等差數(shù)列，，，的第（）項(xiàng)A.98 B.99C.100 D.10111．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.12．若集合，，則A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列的前5項(xiàng)為_(kāi)_____.14．若直線與直線相互平行，則實(shí)數(shù)___________.15．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________.16．九連環(huán)是中國(guó)的一種古老智力游對(duì)，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，環(huán)環(huán)相扣，以解開(kāi)為勝，趣味無(wú)窮.中國(guó)的末代皇帝溥儀（1906-1967）也曾有一個(gè)精美的由九個(gè)翡翠繯相連的銀制的九連環(huán)（如圖）.現(xiàn)假設(shè)有個(gè)圓環(huán)，用表示按照某種規(guī)則解下個(gè)圓環(huán)所需的銀和翠玉制九連環(huán)最少移動(dòng)次數(shù)，且數(shù)列滿足，，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項(xiàng)為5，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）點(diǎn)在（1）中軌跡上運(yùn)動(dòng)軸，為垂足，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)軌跡方程.19．（12分）在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知，且.（1）求的面積；（2）若a、b、c成等差數(shù)列，求b的值.20．（12分）某市共有居民60萬(wàn)人，為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，……分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中的a值，并估計(jì)該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)（單位：人）；（2）估計(jì)該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)≥0對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22．（10分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來(lái)高考選考物理的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生，將他們某次物理測(cè)試成績(jī)（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計(jì)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績(jī)的中位數(shù).（2）根據(jù)調(diào)查，本次物理測(cè)試成績(jī)不低于60分的學(xué)生，高考將選考物理科目；成績(jī)低于60分的學(xué)生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測(cè)試成績(jī)?cè)?，的學(xué)生中選取5人，再?gòu)倪@5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：C2、C【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，根據(jù)拋物線的定義求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得直線的斜率，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，，則，可得，則，所以點(diǎn)，故，因此，直線的傾斜角為.故選：C.3、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B4、A【解析】將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，因?yàn)椴坏仁接薪?，則，即，即，解得或.故選：A.II卷5、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求得，再求解【詳解】因?yàn)椋?，所以故選：C6、B【解析】結(jié)合已知條件，利用對(duì)稱的概念即可求解.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段垂直于軸且的中點(diǎn)在軸，從而點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B.7、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，，因?yàn)?，所以，解得：，故選：A.8、A【解析】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，由題意結(jié)合平面幾何的知識(shí)可得、、或其補(bǔ)角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質(zhì)可得且，且，所以或其補(bǔ)角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面直線的問(wèn)題化歸為共面直線問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角9、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位，故②不正確；線性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對(duì)于觀察值來(lái)說(shuō)，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查用樣本估計(jì)總體、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.10、C【解析】等差數(shù)列，，中，，，由此求出，令，得到是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)【詳解】解：等差數(shù)列，，中，，令，得是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)故選：C11、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C12、A【解析】通過(guò)解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關(guān)系示意圖，可得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，解不等式即，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列的前5項(xiàng)為.故答案為：14、##【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互平行，所以，解得，故答案為：15、【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，求得切點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為∴，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.16、684【解析】利用累加法可求得的值.【詳解】當(dāng)且時(shí)，，所以，.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解得結(jié)果代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】解析：（1）由題意可得：，∴∵，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）∴上述兩式相減可得∴【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法求和，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)題意用表示出與，再代入，再化簡(jiǎn)即可得出答案。（2）設(shè)，利用表示出點(diǎn)，再將點(diǎn)代入橢圓，化簡(jiǎn)即可得出答案?！驹斀狻浚?）由題意知，所以化簡(jiǎn)得：（2）設(shè)，因?yàn)?，則將代入橢圓得化簡(jiǎn)得【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程，一般求某點(diǎn)的軌跡方程，只需要設(shè)該點(diǎn)為，利用所給條件建立的關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可。屬于基礎(chǔ)題。19、（1）；（2）.【解析】（1）先利用數(shù)量積和余弦值得到，再利用面積公式計(jì)算即得結(jié)果；（2）根據(jù)等差數(shù)列得到，再結(jié)合余弦定理進(jìn)行運(yùn)算得到關(guān)于b的關(guān)系，求值即可.【詳解】（1）由得，所以，所以，所以，所以；（2）因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，所以，由余弦定理得，即，解得.20、（1）a0.3，72000人；（2）眾數(shù)2.25；中位數(shù)2.04.【解析】（1）根據(jù)所有小長(zhǎng)方形面積和為1即可求得參數(shù)，結(jié)合題意求得用水量不少于3噸對(duì)應(yīng)的頻率，再求頻數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖直接寫(xiě)出眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的求法，結(jié)合頻率的計(jì)算，即可容易求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖，可知：，解得；月均用水量不少于3噸的人數(shù)為：（人）【小問(wèn)2詳解】由圖可估計(jì)眾數(shù)為2.25；設(shè)中位數(shù)為x噸，因?yàn)榍?組的頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，由，可得，故居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.21、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用（1）中函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)在處取得最小值，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：求導(dǎo)可得①時(shí)，令可得，由于知；令，得∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②時(shí)，令可得；令，得或，由于知或；∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；④時(shí)，令可得；令，得或，由于知或∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】由（1）時(shí)，，（不符合，舍去）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得最小值，所以函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意x恒成立時(shí)，只需要即可∴.綜上，.22、（1），中位數(shù)為；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)直方圖及中位數(shù)性質(zhì)求中位數(shù)即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況，再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【小問(wèn)1詳解】由圖