四川省新高考教研聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期八省適應(yīng)性聯(lián)考模擬演練（一模）考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

八省適應(yīng)性聯(lián)考模擬演練考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在木試卷上無效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的4個選項中只有一個答案符合要求．1.若隨機(jī)變量，且，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性，即可求解.隨機(jī)變量，且，，由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，，所以.故選：B2.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為1，高為1的正四棱錐，所得棱臺的體積為（）A.18 B.21 C.54 D.63【答案】B【解析】【分析】利用相似比計算出，然后再利用棱臺的體積公式求解．如圖所示，因為上下邊長比為，所以，則棱臺高，根據(jù)體積公式可得，故選：B．3.設(shè)圓：與圓：，點，分別是，上的動點，為直線上的動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析發(fā)現(xiàn)兩圓心和的連線恰好垂直于直線，從而得出當(dāng)與和共線時最小，從而得解.因為圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為；圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：所以和的圓心坐標(biāo)分別為、，半徑，，所以直線的斜率，而直線的斜率為1所以直線與直線垂直，如圖，所以當(dāng)與和共線時最小，此時，又此時，，所以最小值為.故選：C4.已知直線：和直線：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行求得或，再結(jié)合包含關(guān)系分析充分、必要條件.若，則，解得或，若，則直線：、直線：，可知；若，則直線：、直線：，可知；綜上所述：或.因為是的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.某單位春節(jié)共有四天假期，但每天都需要留一名員工值班，現(xiàn)從甲、乙、丙、丁、戊、己六人選出四人值班，每名員工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，則值班安排共有（）A.192種 B.252種 C.268種 D.360種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理，結(jié)合排列、組合計數(shù)問題列式計算即得.若甲乙不值班，值班安排有種；若甲乙只有一人不值班，值班安排有種；若甲乙都值班，值班安排有種，所以值班安排共有252種.故選：B6.設(shè)的三個頂點為復(fù)平面上的三點，，，滿足，，，則內(nèi)心的復(fù)數(shù)坐標(biāo)的虛部所在區(qū)間是（）.A. B. C. D.前三個選項都不對【答案】A【解析】【分析】由對稱性及，不妨設(shè)，則，，根據(jù)韋達(dá)定理知，是方程，可得方程兩根為、，不妨設(shè)，，則在復(fù)平面上的頂點坐標(biāo)為A5,0，，，設(shè)的內(nèi)心為，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)即可求解.由對稱性及，不妨設(shè)，則，.由韋達(dá)定理知，是方程的兩個根，則方程的兩根為、.不妨設(shè)，，則在復(fù)平面上的頂點坐標(biāo)為A5,0，，,則,設(shè)三角形內(nèi)心為，由內(nèi)心的性質(zhì)知，所以，解得，又，所以.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義及三角形的內(nèi)心性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要熟悉三角形內(nèi)心性質(zhì).7.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，M和N分別是的重心和內(nèi)心，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知等式，利用和角公式和正弦定理化簡得到，作出圖形，利用面積相等建立邊與之間的關(guān)系式，再由題設(shè)條件推得，代入計算即得.由可得，，因，代入得，由正弦定理得，.如圖所示，分別延長交于點，延長交于點，分別過點作于點,過點作于點.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，邊上的高為.由可得（*），因M和N分別是的重心和內(nèi)心，且，則,即，代入（*）式，可得，，解得故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查正弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于較難題.解題的關(guān)鍵是在由正弦定理化簡已知式求得邊后，要結(jié)合三角形的內(nèi)切圓半徑與三角形面積的關(guān)系建立等式，再利用其他條件消元即可.8.正整數(shù)，且，，滿足這樣條件的的組數(shù)為（）．A.60 B.90 C.75 D.86【答案】D【解析】【分析】由可得，，成等差數(shù)列，設(shè)設(shè)，，通分后為，，，其中，則可結(jié)合分k為奇數(shù)與k為偶數(shù)進(jìn)行討論，再分類后逐個列舉出所有符合要求的數(shù)即可得.∵，∴，，成等差數(shù)列，設(shè)，，通分后為，，，其中；則，，，，，，∴當(dāng)k為奇數(shù)時，，；當(dāng)k為偶數(shù)時，，，；（1）當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)，則，①若，則，∴，∴，2，3，4，5，6，取，，，2，…，16；取，，，2，…，6；取，，，2，3；取，，，2；取，，；取，，；共種；②若，則，∴，∴，2，3，4，考慮到，從而，2，4，取，，，2，3，4，5；取，，，2；取，，；共種；③若，則，∴，∴，2，3，取，，，2；取，，；取，，；共種；④若，則，∴，∴，2，取，，；取，，；共2種，⑤若，則，∴，∴，∴，∴，矛盾；（2）當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)，則，①若，則，∴，∴，2，3，4，5，6，7，8，考慮到，從而，3，5，7，取，，，2，…，16；取，，，2，…，5；取，，，2；取，，，共種；②若，則，∴，∴，2，3，4，5，6，7，考慮到，從而，3，5，7，取，，，2，…，6；取，，，2；取，，；取，，；共種；③若，則，∴，∴，2，3，4，5，考慮到，從而，5，取，，，2，3；取，，；共種；④若，則，∴；∴，2，3，4，考慮到，從而，3，取，，，2；取，，；共種；⑤若，則，∴，∴，∴，，12，取，，；取，，；共2種，綜上所述，共有組.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于借助等差數(shù)列性質(zhì)可將，，通分為，，，其中，再結(jié)合進(jìn)行分類討論.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯得0分．9.已知，，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的可能值為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由已知得函數(shù)周期，求出，再利用圖像的平移變換規(guī)律寫出函數(shù)平移后的解析式，再利用函數(shù)關(guān)于原點對稱，列出等式即可得到結(jié)果.由題意知函數(shù)的最小正周期，則，得，所以.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，要使該圖象關(guān)于原點對稱，則，，所以，，又，所以當(dāng)時，為；當(dāng)時，為；當(dāng)時，為；故選：ABC10.曲線的方程為，下列對曲線的描述正確的是（）A.曲線關(guān)于原點對稱B.曲線與橢圓無公共點C.曲線所圍成的封閉圖形的面積大于橢圓圍成的封閉圖形的面積D.曲線上的點到原點距離的最大值為【答案】AC【解析】【分析】對A：若在曲線上，研究是否在曲線上即可得；對B：找出兩曲線公共點即可得；對C：計算可得除去，其余上的點都在外，即可得解；對D：借助三角換元結(jié)合兩點間距離公式與輔助角公式可得曲線上的點到原點距離的最大值.對A：若滿足，則亦在曲線上，故A正確；對B：如即為兩個曲線公共點，故B錯誤；對C：記在曲線上，在曲線上，且，則有，，故，即除去，其余上的點都在外，故C正確；對D：令，則，則，（其中），所以曲線上的點到原點距離的最大值為，故D錯誤．故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項關(guān)鍵點在于借助三角換元結(jié)合兩點間距離公式與輔助角公式即可得曲線上的點到原點距離的最大值.11.在棱長為2的正方體中，是的中點，下列說法正確的是（）A.若是線段上的動點，則三棱錐的體積為定值B.三棱錐外接球的半徑為C.若與平面，平面，平面所成的角分別為（），則D.若平面與正方體各個面所在的平面所成的二面角分別為，則【答案】ACD【解析】【分析】對于A，連接交于點，連接，可證得∥平面，進(jìn)而進(jìn)行判斷，對于B，根據(jù)線面垂直的判定定理可證得平面，設(shè)為等邊三角形的外心，過作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心在此直線上，然后求解，對于C，取的中點，連接，可得與平面，平面，平面所成的角分別，然后求它們的余弦值即可，對于D，由題意可得平面平面，平面平面，為二角面的平面角，為二面角的平面角，然后求出它們的正弦值判斷.對于A，連接交于點，連接，因為四邊形為正方形，所以為的中點，因為是的中點，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為是線段上的動點，所以點到平面的距離為定值，因為的面積也為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以A正確，對于B，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證，由選項A可知∥，所以，，因為，平面，所以平面，設(shè)為等邊三角形的外心，則,過作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心在此直線上，設(shè)球心為，連接，過作于，則，，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，設(shè)，則，因為，所以，解得，，所以B錯誤，對于C，取的中點，連接，則∥，∥，所以平面，平面，因為平面，所以與平面，平面，平面所成的角分別，因為，所以，所以，即，所以C正確，對于D，因為∥，∥，所以∥，所以平面就是平面，因為平面，平面，平面，所以平面平面，平面平面，因為平面，平面，所以，所以為二角面的平面角，為二面角的平面角，，，所以平面與上下兩個底面所成二面角的正弦值為，與前后兩個平面所成二面角的正弦值為，與左右兩個平面所成二面角的正弦值為，所以，所以D正確，故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查線面垂直，面面垂直，考查線面角，面面角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合線面角和面面角的定義找出線面角和面面角，考查空間想象能力和計算能力，屬于難題.三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分15分．12.曲線在，兩點處的切線分別為，，且，則______；若，交點的橫坐標(biāo)為，則______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、互相垂直的兩直線的斜率的關(guān)系分類討論進(jìn)行求解即可.由，不妨設(shè)，切線，的斜率分別為，，當(dāng)時，則有，，此時，顯然，因此不成立，不符合題意；當(dāng)時，則有，，此時，顯然，因此不成立，不符合題意；當(dāng)時，則有，，此時，由可得，此時切線，的切線方程分別為：，，兩個方程聯(lián)立，得，因此，故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡函數(shù)的解析式，利用兩直線垂直的斜率之間的關(guān)系進(jìn)行求解.13.設(shè)函數(shù)，其中是的三條邊長，且有．給出下列四個結(jié)論：①若，則的零點均大于1；②若，則對任意都能構(gòu)成一個三角形的三條邊長；③對任意；④若為直角三角形，則對任意．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①③④【解析】【分析】令，則有，求出的范圍可判斷①；利用構(gòu)成三角形的條件可判斷②④；利用可判斷③．對于①，因為，所以，令，則有，所以，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，函數(shù)的零點大于1，故正確；對于②，因為，當(dāng)時，，此時，不能夠成三角形的三邊，故錯誤；對于③，因為，所以，所以當(dāng)時，，故正確；對于④，因為為直角三角形，所以，所以（時等號成立），故正確．所以說法正確的是：①③④．故答案：①③④．【點睛】思路點睛：對于③，要根據(jù)題意認(rèn)真分析解決每一步，提取后進(jìn)行放縮得證，判斷都要有理有據(jù).14.設(shè)，滿足：關(guān)于x的方程恰有三個不同的實數(shù)解，且，則的值為_____．【答案】144．【解析】【分析】令，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行計算，即可得到結(jié)果.解：令，則關(guān)于t的方程恰有三個不同的實數(shù)解．由于為偶函數(shù)，故方程的三個實數(shù)解關(guān)于數(shù)軸原點對稱分布，從而必有．以下求方程的實數(shù)解．當(dāng)時，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)；當(dāng)時，單調(diào)增，且當(dāng)時；當(dāng)時，單調(diào)減，且當(dāng)時．從而方程恰有三個實數(shù)解．由條件知，結(jié)合得．于是．故答案為：144【點睛】關(guān)鍵點點睛：要求解方程的根，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行求解，考查轉(zhuǎn)化能力.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程及步驟．15.已知圓：和點，為圓外一點，直線與圓相切于點，.（1）求點的軌跡方程；（2）記（1）中的點的軌跡為，是否存在斜率為的直線，使以被曲線截得得弦為直徑得圓過點？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結(jié)合兩點間距離公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合直徑所對圓周角為直角的性質(zhì)、互相垂直兩直線的斜率關(guān)系進(jìn)行求解即可.【小問1】設(shè)點坐標(biāo)為，直線與圓相切于點，則，所以，即，化簡得.【小問2】設(shè)直線方程為，點Mx1,y聯(lián)立方程，得，所以.因為以為直徑得圓過點B-2,0，則，即，化簡得，代入根與系數(shù)關(guān)系中，得，解得或，故直線的方程為或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用直徑所對圓周角為直角、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解.16.隨著“雙十一購物節(jié)”的來臨，某服裝店準(zhǔn)備了抽獎活動回饋新老客戶，活動規(guī)則如下：獎券共3張，分別可以再店內(nèi)無門檻優(yōu)惠10元?20元和30元，每人每天可抽1張獎券，每人抽完后將所抽取獎券放回，以供下一位顧客抽取.若某天抽獎金額少于20元，則下一天可無放回地抽2張獎券，以優(yōu)惠金額更大的作為所得，否則正常抽取.（1）求第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學(xué)期望；（2）記“第天抽取1張獎券”的概率為，寫出與的關(guān)系式并求出.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)乘法公式求解概率，即可由期望公式求解，（2）由題意得，即可利用構(gòu)造法求解為等比數(shù)列，即可由等比數(shù)列的通項求解.【小問1】設(shè)第二天獲得的優(yōu)惠券金額為的可能取值為，第二天抽1張獎券的概率為，抽2張獎券的概率為，若抽2張獎券，優(yōu)惠金額20元的概率為，優(yōu)惠金額30元的概率為，，，，故第二天獲得優(yōu)惠金額的數(shù)學(xué)期望.【小問2】記“第天抽取1張獎券”的概率為，則“第天抽取2張獎券”的概率為，則“第天抽取1張獎券”的概率為，，設(shè)，則，又，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，.17.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）已知實數(shù)，設(shè).（i）若，求的極值；（ii）若有3個零點，求的值.【答案】（1）（2）（i）有極小值為，無極大值；（ii）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，求切點處的切線方程；（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，判斷極值點并求極值；（ii）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，通過構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)值的符號討論零點所在區(qū)間，由零點個數(shù)求的值.【小問1】由，得，所以，又，所以曲線在處的切線方程為.【小問2】（i），則，則，設(shè)，則，令得，令得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，恒成立，令得，令得，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有極小值為，無極大值.（ii），則，設(shè)，則，，.令得，令得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時，，，恒成立，令得，令得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不可能有3個零點，②當(dāng)，即時，，又，，，設(shè)，由（i）得恒成立，在上單調(diào)遞增，又，恒成立，，存在和，使得，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以，當(dāng)或時，；當(dāng)或時，，在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，又，，在有唯一零點；，設(shè)，由（i）得恒成立，在上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，所以當(dāng)時，，，在有惟一零點；所以要使得有3個零點，必有，代入可得.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧，許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.18.已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作.定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量，都垂直，它的模.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點，.（1）求的長；（2）若為的中點，求二面角的余弦值；（3）若為上一點，且滿足，求.【答案】（1）2（2）（3）10【解析】【分析】（1）證明，為直線與所成的角，設(shè)，結(jié)合“向量積”的模的定義由條件列方程求可得的長；（2）過點作交的延長線于點，證明為二面角的平面角，解三角形求其大小，結(jié)合二面角與二面角互補可得結(jié)論；（3）過點作，證明平面，過點作交于點，證明，結(jié)合條件可求.【小問1】因為底面為矩形，所以，，因為底面，底面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以為直線與所成的角，即，設(shè)，則，，在中，又，所以，解得或（舍去），所以；【小問2】在平面內(nèi)過點作交的延長線于點，連接，因為底面，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因為為的中點，所以，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，所以，即二面角的余弦值為；【小問3】依題意，，又，所以，，又，所以，又，平面，所以平面，在平面內(nèi)過點作，垂足為，由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，在平面內(nèi)過點作交于點，在上取點，使得，連接，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，即，所以.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.19.桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，我們會發(fā)現(xiàn)至少會有一個抽屜里面放不少于兩個蘋果．這一現(xiàn)象就是我們所說的“抽屜原理”．抽屜原理的一般含義為：如果每個抽屜代表一個集