（滬教版2020選修一）2022年上海高二數(shù)學(xué)同步講義-第３章 空間向量及其應(yīng)用（壓軸題專練）

第3章空間向量及其應(yīng)用壓軸題專練

能力提升

一、單選題

1.(2021?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二期中)在長(zhǎng)方體中，

AB=BC=\,例=6,則異面直線AR與。片所成角的余弦值為

A.-B.—C.—D.—

5652

【答案】C

【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根

據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.

詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DDjyx,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

0(0,0,0),4(1,0,0),4(1,1,揚(yáng),A(0,0,揚(yáng),所以函=(T0,百),函=(1,L6),

因?yàn)閏os(函，函)=讖贏==,所以異面直線AR與OB,所成角的余弦值為

y,選C.

點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)?/p>

空間直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量

關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

2.(2021?上海?模擬預(yù)測(cè))設(shè)向量日=(。力,0),D=(c,4,l),其中a2+6=c2+『=l,則

下列判斷錯(cuò)誤的是

A.向量。與z軸正方向的夾角為定值(與。、”之值無關(guān))

B.公。的最大值為近

C.分與。夾角的最大值為3?兀

4

D.ad-Ac的最大值為1

【答案】B

【分析】在A中，取z軸的正方向向量，=(0,0,t),求出;;與彳的夾角即可判斷命題正確；在B

中，計(jì)算五./=℃+〃，利用不等式求出最大值即可判斷命題錯(cuò)誤；在C中，利用數(shù)量積求出

；與3的夾角的最大值，即可判斷命題正確；在D中，利用不等式求出最大值即可判斷命題正

確.

【詳解】解：由向量1=3,40),v=(c,d,l),K^a2+b2=c2+d2=l,知:

在A中，設(shè)z軸正方向的方向向量無=（0,。"）/>0,

向量。與z軸正方向的夾角的余弦值：

z-vt&,_o

cosa=————=——.=——,。=45,

|z||v|t.^+d2+\2

向量5與z軸正方向的夾角為定值45°（與c,此值無關(guān)），故A正確;

a2+c2b2+d2a2+b2+c2+J21

在B中,u-v=ac+bd<--------------1---------------

22---------2---------二'

且僅當(dāng)&=c,b=d時(shí)取等號(hào)，因此7爐的最大值為1,故B錯(cuò)誤;

在C中,由B可得：|wv|<l,

__u-vac+bd、1A/2

/.COS<W,V>=--------------=/~.>------------==---------,

\a\-\v\yla2+h2^c2+d2+\lx也2

.?二與。的夾角的最大值為京，故C正確：

在D中，加一y3+―/+/+~

ad-6c的最大值為1.故D正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查

運(yùn)算求解能力，是中檔題.

3.（2021?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中）已知￡,b，2和［為空間中的4個(gè)單位向量，且

a+b+c=6,則|0一4+|萬一4+上一目不可能等于

A.3B.2邪）C.4D.3yli

【答案】A

【分析】根據(jù)n個(gè)向量的和的模不大于n個(gè)向量的模的和可推出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)殁钜?|+忸一2|+忸一《>^a-d+b-d+c-d\=\a+b+c-3d^

而a+b+c=0，

所以1_司+亞_a+忸_4>|-3J|=3

因?yàn)閍,b,c,3是單位向量，且a+6+e=0,

^\^a-d,b-d,c-d不共線，

所以,一司+忸-2|+歸一4>3,故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量與不等式的關(guān)系，涉及向量的共線問題，屬于難題.

4.（2021?上海市控江中學(xué)高二期中）如圖，平面。鉆■!平面a,OAcia,OA^AB,

^OAB=120°.平面a內(nèi)一點(diǎn)月茜足上4，PB,記直線OP與平面OAB所成角為。，則tan0的

【答案】A

【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令O4=AB=1,即可得到A、B的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y,0),

根據(jù)％門8,則麗?麗=0，即可得到f=停-力&-1),再求出平面04B的法向量，依

題意根據(jù)正弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)可知，要求tan。的最大值，即可求sin。的最大值，利

用空間向量法表示出線面角的正弦值，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出sin。的最大值，從而根據(jù)同角

三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tan。：

【詳解】解：如圖以平面a為初y平面，平面。鉆為Wz平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

系，令。4=鉆=1,則A(OJO),?0,-,^-,顯然平面OAB的法向量可以為〃=(1,0,0),

設(shè)P(x,y,0),則加=(x,y,0),而=(x,y—1,0),,因?yàn)镽4_LPB,所以

AP-PB=-x2+f|-)Jx(y-l)=O,即x2=(1_y)x(y-l),因?yàn)橹本€OP與平面OAB所成角為

TT顯然即可詞因?yàn)椤?在。,］卜勻單調(diào)遞

0,因?yàn)镺e0,-y=sinxVtanx

增，要求tan。的最大值，即可求sin。的最大值,

*六后再二手，所以tan"晦=哈

二、填空題

5.(2021?上海交大附中高二開學(xué)考試)如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-%8GA中，M

是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面4BBM內(nèi)，若。/垂直于CM,則"8C的面積的最小值為

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由印_L兩，求得z=2y-2,得到怛P|=j5y2-12)，+8,進(jìn)

而求得三角形的面積的最小值，得到答案.

【詳解】以。點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以戊所在直線為y軸，以為所在直線為x軸，以

DD,為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)P(2,y,z),口點(diǎn),0,2),

所以QA=(2,y,z—2).

因?yàn)镃(0,2,0),M(2,0,1),所以兩'=(2,-2,1),

因?yàn)锳戶，所以4-2y+z-2=0,所以z=2y-2,

因?yàn)锽(2,2,0),所以麗=(0,y—2,z),

所以忸P|=yl(y-2)2+z2=J(y-2f+(2y-2>=J5y12y+8

因?yàn)?4”2,所以當(dāng)y=\時(shí)，忸PL=|0.

因?yàn)锽CLBP,所以⑸詠濡=

故答案為：竽.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用，其中解答建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量

的坐標(biāo)表示，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得忸A(yù)的最小值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理

與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

6.（2019?上海交大附中高二期中）已知A8C,尸為半徑為R的球面上的四點(diǎn)，其中

A8,AC,BC間的球面距離分別為十,三R,^R,若麗=x》+y詼+z祝，其中。為球

心，則x+y+z的最大值是.

【答案】孝

【分析】根據(jù)球面距離可求得AABC三邊長(zhǎng)，利用正弦定理可求得AABC所在小圓的半徑；

0尸'=若石，根據(jù)平面向量基本定理可知P，AB,C四點(diǎn)共面，從而將所求問題變?yōu)槲?/p>

的最大值；根據(jù)|而|最小值為球心到AABC所在平面的距離，可求得|而|最小值，代入可求

得所求的最大值.

【詳解】QA5間的球面距離為工R:.ZAOB=^-:.AB=2Rsin^=R

336

同理可得：BC=AC=?R

...AA8C所在小圓的半徑：r=>x-="R

2sinC7

xOA+yOB+zOC

.?.P,A,B,C四點(diǎn)共面

x+y+z1+y+zx+y+zx+y+z

x+y+z=審二函

若x+y+z取最大值，則需可取最小值

V|討|最小值為球心到AA5C所在平面的距離d=在一戶=母R

R向

等1

本題正確結(jié)果：耳

【點(diǎn)睛】本題考杳球面距離、球的性質(zhì)的應(yīng)用、平面向量基本定理的應(yīng)用、正余弦定理解三

角形等知識(shí)；關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出符合平面向量基本定理的形式，從而證得四點(diǎn)共面，將問題

轉(zhuǎn)化為半徑與球心到小圓面距離的比值的最大值的求解的問題.

7.（2018?上海市張堰中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABC。-A8CQ的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)

E、粉別是線段48、CQ上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是上底面A5CQ內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足點(diǎn)修I」點(diǎn)，的距離

等于點(diǎn)厚|平面4BBM的距離,則當(dāng)點(diǎn)跑動(dòng)時(shí),發(fā)的最小值是.

【答案】2x/5

【分析】通過題意可知當(dāng)E,F分別是力氏CA上的中點(diǎn)，?為正方形中心時(shí)，必取最

小值，利用兩點(diǎn)間距離計(jì)算即可求出.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)A5=a,DXF=b,0<a<4,0《b44,P(x,y,4),0<%<4,0<y<4,

則F(O,ft,4),￡(4,a,O),PF=(-x,b-y,0),

???點(diǎn)隹廿的距離等于點(diǎn)段I」平面ABBM的距離，

■.y/x2+(b-y)2=(4-x)2,整理得尸點(diǎn)軌跡方程：x=2

8

所以修I平面ABBM的距離P尸=4,d=4-x=2+(b~y)2,

8

所以"標(biāo)=2,此時(shí)"與快線垂直D￡,

又|PE|=yld'+PE1<V4+16=26

二當(dāng)￡/?分別是被CQ上的中點(diǎn)，然正方形AfCQ中心時(shí)，必取最小值，

此時(shí)尸(2,2,4),E(4,2,0),尸(0,2,4).

故答案為：2石

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量求兩點(diǎn)間的距離，及結(jié)合圖形研究最值問題，屬于難

題.

8.(2022?上海?高三專題練習(xí))在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸Q,y,z)滿足：

x2+y2+z2=\6,平面a過點(diǎn)M(L2,3),且平面a的一個(gè)法向量3=(1,1,1),則點(diǎn)/在平面a上

所圍成的封閉圖形的面積等于.

【答案】4〃

【分析】由題意，點(diǎn)尸在球面上，所以點(diǎn)胞平面a上所圍成的封閉圖形即為平面a截球面

所得的截面圓，根據(jù)球的截面性質(zhì)求出截面圓的半徑,即可求解.

【詳解】解：由題意，點(diǎn)P在以(0,0,0)為球心，半徑為4的球面上，

所以點(diǎn)/在平面a上所圍成的封閉圖形即為平面a截球面所得的截面圓，

因?yàn)槠矫鎍的方程為lx(x-l)+lx(y-2)+lx(z-3)=0,即x+y+z-6=0,

所以球心(0,0,0)到平面a的距離為d=..J),，=2也,

vr+r+r

所以截面圓的半徑r="-(2可=2,截面圓的面積為S=萬尸=4萬，

所以點(diǎn)/禰平面a上所圍成的封閉圖形的面積等于4萬.

故答案為：44.

9.(2021?上海中學(xué)高二期中)已知I石是空間單位向量，=若空間向量B滿足

b-et=2,反02且對(duì)任意x、丫€/?,|5-(謁+丫￡)以5-(%)1+%4)|=1(%,％6尺),則

%+%+忖=______

【答案】3+2&

【分析】根據(jù)最值的定義，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由+1M+%￡)|=1(%,%eR)可知：

當(dāng)x=%,y=%時(shí)，15-(xq+ye2)|有最小值1,

22

\b+(xq+ye2)|=片-2xb-et-2yb-e2+x-ey+ye^+2xye2-e2

因?yàn)镴,］是空間單位向量，e,-e2=p空間向量B滿足分，勺=2,反02=g,

所以M+(XG+岫)|=b'-4x-5y+x2+y2=fx+—~+^(y-2)2-7+&2,

X+I=O2

顯然當(dāng)J2時(shí)，B+（荷+y可有最小值，最小值為1,所以1=-7+戶，

》一2=0

==

x1XQ1

解得：7=2,即當(dāng)飛=2時(shí)成立，因此%+%+忖=3+2虛，

亍=8|同=2及

故答案為：3+2及

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)最值的定義利用配方法是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

10.（2021?上海?華師大二附中高二期中）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)

棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉席?.

如圖，在陽馬P-45CD中，側(cè)棱底面ABC。，且PD=CD,過棱PC的中點(diǎn)E,作

EF工PB交PB于點(diǎn)F,連接DE,DF,BD,BE.

（I）證明：依，平面DEF.試判斷四面體是否為鱉席，若是，寫出其每個(gè)面的直角

（只需寫

出結(jié)論）；若不是，說明理由；

（II）若面尸與面A8CZ）所成二面角的大小為求貴的值.

【答案】（I）詳見解析；（II）蟲.

【分析】（解法1）（I）因?yàn)镻ZU底面ABCD,所以PC3C,

由底面A8CD為長(zhǎng)方形，有8CLCD,而POcCD=O,

所以歐JL平面盛題.而￡>Eu平面PC。，所以BC1DE.

又因?yàn)镻D=8,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DELPC.

而尸Cc8C=C,所以￡>E_L平面P8C.而PBu平面尸8C,所以P8_LDE.

又PB工EF,DECEF=E,所以尸81.平面DEF.

由DEL平面PBC,P8L平面DEF,可知四面體8￡>￡尸的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體8DEF是一個(gè)鱉膈，其四個(gè)面的直角分別為NDEB,NDEF,NEFB,ZDFB.

(II)如圖1,在面P8C內(nèi)，延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G,則OG是平面Z)E尸與平面ABC。

的交線.由(I)知，PBL平面DEF,所以PBLDG.

又因?yàn)镻￡)_L底面ABCD,所以PZUOG.而PD^PB=P,所以￡>G_L平面P8。.

故ZB￡>尸是面DEF與面43cZ)所成:面角的平面角，

設(shè)尸￡>=￡>C=1,BC=A,有80=7^，

在RtZ\PDB中，^]DFYPB,得NDPF=NFDB《

則tan|=tanZDPF=^=Vl+22=V3,解得2=0.

所以三=1=也

BCA2

故當(dāng)面OEF與面A8C3所成：面角的大小為J時(shí)，段=坐.

3BC2

(解法2)

(I)如圖2,以力為原點(diǎn)，射線分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)

系.

設(shè)尸￡>=ZX7=1,BC=A,則￡>(0,0,0),P(O,O,1),B(/M,O),C(O,1,O),方=,點(diǎn)E是PC

的中點(diǎn)，

11---11

所以旦。,5,]),。七=(0,?),

于是麗?詼=0,即PBYDE.

又已知EF_LP8,而DE[}EF=E,所以尸8JL平面。EF.

因定=(0,1,-1),DEPC=0,則￡>E_LPC,所以整J_平面；繇*

由￡>匠_1_平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面體應(yīng)把F的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體或陀F是一個(gè)鱉膈，其四個(gè)面的直角分別為NDEB,ZDEF,ZEFB,ZDFB.

圖2

(II)由燈)，平面ABC。，所以加=(0,0,1)是平面ABC。的一個(gè)法向量;

由(1)知，尸8_L平面DEF,所以界=(-4-1,1)是平面￡>EF的一個(gè)法向量.

若面OEF與面ASCO所成二面角的大小為中,

BPDP1_

則cos-二

研研?F72=2

解得2=應(yīng).所以,=；=字

故當(dāng)面與面ABCD所成二面角的大小為封，臆=亭

考點(diǎn)：四棱錐的性質(zhì)，線、面垂直的性質(zhì)與判定，二面角.

11.(2022?上海?高三專題練習(xí))如圖，在直棱柱A8C-ABG中，AA,=AB=AC=2,

ABYAC,。,瓦尸分別是4片,《'”8(?的中點(diǎn).

(1)求證：AE±DF；

(2)求AE與平面尸所成角的大小及點(diǎn)A到平面￡>E尸的距離.

【答案】⑴見解析⑵-^-714

14

【詳解】試題分析：直三棱柱底面為AABC,AB，AC,建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的

坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積為0,易證尸；再借助求平面的法向量，利用線面角公式及點(diǎn)到

平面的距離公式求出對(duì)應(yīng)的值.

試題解析：(1)以力為坐標(biāo)原點(diǎn)、9為x軸、AC為蹄力、AA為z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)

系.

I)

由題意可知A(0,0,0),r>(0,l,2),E(-2,0,l),F(T,l,0),

故荏=(-2,0,1),而=(-1,0,-2),

由^E-DF=-2x(-l)+lx(-2)=0,

可知質(zhì)_L成，即AE_LDF.

(2)設(shè)”=(x,y,1)是平面DEF的一個(gè)法向量，

又而=(-1,0,-2),喬=(1,1,-1),

n-DF=-x-2=0,x="2,

故由｛解得｛一,故”(-2,3,1).

h-EF=x+y—1=0,

\n-AE\5770

設(shè)AE與平面DE尸所成角為。，則$訪0=卜昌=_^_^=等，

\n\-\AE\V14.V514

所以AE與平面DEF所成角為arcsin—,

14

點(diǎn)A到平面DEF的距離為A￡-sin。=^-714.

14

【點(diǎn)睛】根據(jù)幾何體的特征建立適合的空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明線線垂

直，只需說明數(shù)量積為零，求點(diǎn)到平面的距離，只需求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面距離

公式計(jì)算出結(jié)果.證明線面、面面的平行或垂直問題，要把握平行與垂直的判定定理和性質(zhì)

定理，嚴(yán)格根據(jù)定理進(jìn)行邏輯推理，有關(guān)角和距離的計(jì)算大多使用空間向量，借助法向量進(jìn)

行計(jì)算.

12.（2020?上海?高三專題練習(xí)）如圖，在直四棱柱ABCO-ABCQ,中，底面是邊長(zhǎng)為1

的菱形，側(cè)棱長(zhǎng)為2.

D

(1)4。與A。能否垂直？說明理由；

(2)當(dāng)幺在［§,萬］上變化時(shí)，求異面直線AC；與所成角的取值范圍.

【答案】(1)不能.見解析；(2)arccos乎,arccos坐

610

【分析】(1)以分別為龍，九Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

B,(a,0,0),C,(0,^,0),進(jìn)而得到而；麗，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解;

b2

(2)求得■=((),約-2),即；=(〃,ao)求得cos(%G,A8)=根據(jù)/+從=1設(shè)

Jl+〃

”=cosa,b=sina,化簡(jiǎn)得到cos(近，麗)=/1----=,再由題設(shè)條件和二次函數(shù)的性

vcsca+csc~a

質(zhì)，即可求解.

【詳解】由題意，菱形A4GA中，JO,,設(shè)AcnBC=。，

以O(shè)M，OC，。。分別為x,)'，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)5(〃,0,0),G(0,瓦0),(“2+〃=I),則D\(-a,0,0),A(0,-A0),D(-a,0,2),

(1)因?yàn)辂?=(%,(),0),而=(-a,b,2),

可得瓦瓦?麗=一加2工0,所以4R與AQ不能垂直.

(2)因?yàn)樗哉?,

L.32」3a

由A(0,一42),所以福=(0,",-2)，4瓦=(a,瓦0),則近?隔=?2,

又由|延卜2病引阿=yla2+b2=1,

所以8S(房，福?"南筒=志，

因?yàn)樵O(shè)4=85。/=5由1,

因?yàn)闊o所以走wtanaWl,所以Jwawf,

3a364

22

所以cos(宿，M=hsina1

Jl+萬

因?yàn)?4esc2a<4

所以異面直線AG與所成角的取值范圍

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在線面位置關(guān)系中的應(yīng)用，以及異面直線所成角的求解，

著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.

13.(2021?上海交大附中高二開學(xué)考試)如圖，在用ASOA中，ZOSA=-,斜邊S4=4,

0

半圓H的圓心H在邊QS上，且與SA相切，現(xiàn)將用ASQ4繞SO旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，點(diǎn)

5為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，且ZAO8=90。.

(1)求球”的半徑；

(2)求點(diǎn)。到平面SA8的距離；

(3)設(shè)P是圓錐的側(cè)面與球的交線上一點(diǎn)，求尸0與平面SA3所成角正弦值的范圍.

【答案】(1)至；⑵坦；(3)，,冬：向.

3714

【分析】(1)在直角三角形中，由特殊角及邊長(zhǎng)即可得出答案；

(2)利用等體積轉(zhuǎn)化即可；

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與向量所用向量法.

【詳解】由NOSA=￡,斜邊SA=4,SO=26,。4=2

o

-rrTT

設(shè)切點(diǎn)為M,連接=又NOSA="，

2o

.-.HO=HM=-SH,HO=-SO=—,

233

所以圓錐中球的半徑就是半圓門的半徑，即為名叵.

3

(2)在三棱錐中S-OAB,設(shè)。到平面SA8的距離為d

用

在AAOB中，OA=OB=2,SMAI）=~OAOB=2

在等腰二角形SAB中，SA=SB=4,A8=2應(yīng)，取A8中點(diǎn)N,連SN,所以

所以SNJ.AB

S$AB=]sN,AB=gx2必至=2不，由（1）知SO=26，

由于=Vs..，所以/S.M=；?S.屋SO

即；24=：5。。屋50

2幣.d=4拒

,2>/21

a=----.

7

如圖建立空間直接坐標(biāo)系，則A(0,2,0),8(2,0,0),S(0,0,273),設(shè)PO在面COB上的射影

與x的正方向的夾角為。，所以「(cos&sin&G),,

SA=(0,2,-2x/3),SB=(2,0,-2^),而=(-cos9,-sin，,-G),

設(shè)平面SAB的法向量G=(x,y,z),

SA-n=0

由，一=><

SBn=0?I：'=

設(shè)PO與平面SAB所成角為a,

石sin(?+()+G

屈+百

則疝”詈W0,——r=--

\PO[\4n\2772V7

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體體積的求法、用空間向量解決線面角的問題.

14.(2018?上海交大附中高二期末)設(shè)全體空間向量組成的集合為V,反=(4，出,%)為丫中

的一個(gè)單位向量，建立一個(gè)“自變量”為向量，“應(yīng)變量”也是向量的“向量函數(shù)”

/(X):/(x)=-x+2(x-a)?(xGV).

(1)設(shè)比=(1,0,0),v=(0,0,1),若/但)=歹,求向量￡；

(2)對(duì)于V中的任意兩個(gè)向量1，y,證明：f(x)-f(y)=x-yi

(3)對(duì)于丫中的任意單位向量上求|，(元)-目的最大值.

【答案】(1)a=或"=-日,Q-等')(2)見解析；(3)最大值為2.

2x2-l=0

【詳解】分析：(1)f(u)=-u+2(u-a)a=v,設(shè)2=(x,y,z),代入運(yùn)算得：■2xy=0,從

2xz=1

而可得結(jié)果；（2）設(shè)了=（。/,c）,y=（m,n,t）,a=（a],a2,a^,則利用“向量函數(shù)"的解析

式化簡(jiǎn)/。）/（了）,從而可得結(jié)果;（3）設(shè)1與小的夾角為a,則Ba=W.|acosa=cosa,

則]/（》）-目=|2X-2（R&）a=J（2F-2cosa。）-=j4-4cos%42,即最大值為2.

詳解：（1）依題意得：f（u）=-u+2（a-d）a=v,設(shè)G=（x,y,z）,代入運(yùn)算得：

2/7=。（方而（r

《2刈=0na=—,0,—或6=,0,-

-22r2

2xz=1'）'

（2）設(shè)兄=（a,Ac）,y=（，",""）,a=（ax,a2,ai）,則

/（,>/（9）=[-工+2（萬0）萬][-9+2（升4）萬]

=%"y-4（y-a）（x-a）+4（y-a）（x-a）（a）2=x-y-4（y-a）（jf-a）+4（y-a）（x-a）=x-y

從而得證；

（3）設(shè)元與々的夾角為a,I0ijx-a=|x|-|a|cosa=cosa,

則|/（元）T=伍”2（與⑷a]=J（2以一2cosa"="-4cos2a42,故最大值為2.

點(diǎn)睛：新定義問題一般先考察對(duì)定義的理解，這時(shí)只需--驗(yàn)證定義中各個(gè)條件即可.二是

考查滿足新定義的函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的函數(shù)有某些新的性質(zhì)，

這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時(shí)需結(jié)合新函數(shù)的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).三是考

查綜合分析能力，主要將新性質(zhì)有機(jī)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)，創(chuàng)造性證明更新的性質(zhì).

15.（2021?上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，A43C是邊長(zhǎng)為4的正三角形，點(diǎn)。是

△A5C所在平面外一點(diǎn)，4￡>=3且4。_1平面48（7,E為AB的中點(diǎn).

（1）求證：CE_L平面4?￡）；

（2）求直線AO和平面CCE所成角的大?。?/p>

（3）求點(diǎn)力到平面BCD的距離.

【答案】（1）證明見解析；⑵arcsin3叵；（3）也.

137

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，證明CEL平面9；

（2）建系，利用坐標(biāo)法求解；

（3）利用（2）中的坐標(biāo)系，套用點(diǎn)到平面的距離公式求解.

【詳解】（1）證明：因?yàn)锳DL平面ABC,CEu平面ABC,所以ADLCE.

因?yàn)槭钦切?，E為A8的中點(diǎn)，所以CEJ_AB,

又AB，AO都在平面43。內(nèi)，且相交于點(diǎn)A,所以CE_L平面板）.

（2）過越E作EF//AD交BD與點(diǎn)、F,

因?yàn)槁?，平面A8C,所以EF_L平面ABC,

又CE_LAB,所以以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，￡?為*軸，EC為，軸，E尸為z軸建系如圖,

A(-2,0,0),8(2,0,0),C(0,2^,0),0(-2,0,3),E(0,0,0)

而=(0,0,3),EC=(0,2V3,0),ED=(-2,0,3)

設(shè)平面CDE的法向量為n=(x,y,z),

[n-EC=0,]2島=0,

由<一得，?

n-ED-0-2x+3z=0

解得>=0,取x=3,z=2,n=(3,0,2)

記直線和平面COE所成角為9,0<^<90°

貝第simlg2—Tin”

\AD\\n\3xV131313

(3)BC=(-2,2x/3,0),BD=(^,0,3)

設(shè)平面BCD的法向量為tn=（x,y,z）

,m-BC=0,;2x+2目…

由《一

fn-BD=0-4x+3z=0

取x=3,貝ljy=百，z=4,"2=（3,百,4）

點(diǎn)力至『平面BCD的距離為方」=^=7,

16.（2021?上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中,

底面ABC。是菱形，PAJ_平面ABC。，AB=1,PAAC^X,ZABC=9（0。＜"90。）.

(1)若6=90。，￡為打7的中點(diǎn)，求異面直線P4與8E所成角的大?。?/p>

(2)若6=90。，求二面角A—PC-B的大小；

(3)試求四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍.

【答案】(1)arccos乎；(2)arccos-^-;(3)

【分析】(1)由題意可得：PA=J=q,建立空同也用坐標(biāo)系，根據(jù)向量夾角來求異面直

AC2

線R4與BE所成角的大?。?/p>

(2)分別求出兩個(gè)平面的法向量，然后利用空間向量的有關(guān)運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)

而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角；

(3)由已知可得，平行四邊形ABCD的面積為：S=sin。，再由余弦定理可求得

AC=-s。,即可得到尸A=*而，進(jìn)而表示出棱錐的體積，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)

求出體積V的取值范圍.

【詳解】解：(1)因?yàn)橐?，平面A8O并且0=90。，

所以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以43、A。、為X、＞、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锳B=1,PAAC=\,所以PA=」-=立，

AC2

所以40,0,0)((1,1,0),尸(0,0,芋),8(1,0,0),

因?yàn)镋是尸C的中點(diǎn),所以靈,上馬，

224

所以再［=(0,0,-=),麗=(-杲當(dāng)，

2224

工

,——,\PABE\4卡

所以COS〈zPA,BE）="=r=—y=—=——

\PA\\BE\也笆5

TV8

所以異面直線24與淡:所成角的大小為arccos好.

5

(2)設(shè)平面PBC的法向量為：1=(x,y,z),

因?yàn)锽C=(0,1,0),PB=(1,0,-^-)

c_____fy=0

所以噌2”即6.

[PB^=0x-^-z=0

取平面PBC的法向量為或=(#,()」)，

因?yàn)楣胈LBE>,AC±BD,所以BOJ.平面P4C,又麗=(1,-1,0),

取平面PAC的法向量％=(1,-1,0),

所以二面角A-PC-B的平面角4=2???等M=arccos恪.

所以所求二面角4-PC-8的大小為arccos逅.

6

(3)由已知可得，平行四邊形ABCD的面積為：S=sin6,

在A"C中，由余弦定理可求得4C=j2-2cos。,

"PA~>/2-2cos0'

..yJ/一°=:叵亙=叵標(biāo)麗,

3j2-2cos。6VI-cos<96

v0°<6^,90°,「.Q,cosOcl,/.2^y<1

63

所以四棱錐P-ABC。的體積V的取值范圍是[9二)?

17.(2021?上海市西南位育中學(xué)高二期中)如圖，在四棱錐P-ABC。中，以，底面

ABCD,四邊形A8CZ)中，AB±AD,AB+AD=4,CD=42,ZCDA=45°.

（1）求證：平面平面E4。；

（2）設(shè)==若直線尸8與平面尸8所成角大小為30°,求線段4B的長(zhǎng).

4

【答案】（1）證明見解析；（2）y.

【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理得PALAD,再利用線面垂直及面面垂直的判定定

理可證得結(jié)果；

（2）以A為原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,求出平面尸8的法向量，利用空間向量求出線

面夾角，得到關(guān)于力的方程，求解即可.

【詳解】（1）證明：底面/WC￡）,4）匚平面488,,/<4_1_4）

XAB±AD,HE4AAB=A,:.ADL^^\PAB,

又45u平面PAD,所以平面PAB_L平面PAD；

（2）如圖以A為原點(diǎn)，以4B,AD,小所在直線為x,y，z軸建立空間坐標(biāo)系A(chǔ)-移z,

在底面A8CO內(nèi)，作CE//AB交AO于反WJCE1AZ）,

在直角△CDE中，DE=CE=\

設(shè)AB=AP=f,則B（f,0,0）,P（0,0j）,

由"+/W=4,則A￡>=4T,則E（0,3T,0）,C（l,3-r,0）,D（0,4-z,0）,

UUtl_____uu

所以尸O=（0,4T,T）,CZ）=（-1,1,0）,PB=（t,0,T）

___,,,,日、,r/、[n-PD=（4-t）y-tz=0

設(shè)vrt平面PC。的法向z量為〃=（x,y,z）,得｛1人，

、'[n-CD=-x+y=0

取*=乙則w=（54-f）

iruiT|

Iuir>i\n-PB\

故由直線PB與平面PCD所成角大小為30°,則有sin30。=卜0$（/”r,。8）|=島世*,

1、71\n\-\PB\

即「2t2-4t

化簡(jiǎn)得：5產(chǎn)-24f+16=0,

月J產(chǎn)+產(chǎn)+(4_4

44

解得：，=《或f=4（舍去，因?yàn)锳D=4T>0）,即=

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查面面垂直，及線面角的求法，利用空間向量求立體兒何?？疾?/p>

的夾角：

設(shè)直線/，機(jī)的方向向量分別為一出，平面戶的法向量分別為￡,入則

①兩直線/,"?所成的角為。(0<"9，cos。=備耕

②直線/與平面a所成的角為。(04，V^),sin。=品；

③二面角a-/-￡的大小為。(04”萬)，|如田=黯.

18.(2021?上海?華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí))正四面體是由四個(gè)全等

正三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長(zhǎng)都相等.它有4個(gè)面，6條棱，4個(gè)頂點(diǎn).正四面體

ABCD^,E,徵別是棱49、比中點(diǎn).求：

(1)力廠與心所成角的余弦值；

(2)遇底面8(力所成角的正弦值.

【答案】(1)(2)也.

33

【分析】(1)設(shè)麗=￡,詼=反瓦=2,2石工兩兩成60。角，利用空間向量的夾角公式結(jié)合

向量基本定理進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)利用幾何法，如圖先確定線面角為sinNECH,利用正四面體的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得

解.

【詳解】(1)不妨設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為2,

CB=a,CD=b,CA=cfa,反c兩兩成60角,

則/=恁+#=_￡+；￡,

CE=-(CA+CD)=-c+-b,

222

設(shè)AF,CE所成角為。，

1-21r-1--1--

AFCE——c——bc-^—ac+—ab-2_2

所以cos?=2244

1-]_-3

-c+-b△忑

22

(2)

連接Ob,由產(chǎn)為8C中點(diǎn)，則

所以BC_L平面"D,所以平面AFD_L平面BCD,

作AO_LOF于。，則AO_L平面3CO,

由對(duì)稱性。為△BCO的中心，

由棱長(zhǎng)為2,所以。b=6，OD=—,

3

蟲…手

作FH_LO尸于H,由E為中點(diǎn)，EH=—,

3

逅

連接C"，sinNEC”=>=也，

省3

“與底面附所成角的正弦值為".

3

19.(2021?上海市奉賢區(qū)奉城高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí))長(zhǎng)方體048c-。48'C'中,

AB=BC=a,BB'=b,瓦尸分別為棱AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF=x(OWxWa),

O-O'

第⑴問圉帚(2)問圉

(1)當(dāng)a=b時(shí)，求證：直線。'8,平面B'AC；

(2)當(dāng)a=b=2,且ABEF的面積取得是大值時(shí)，求點(diǎn)底IJ平面B'EF的距離；

(3)當(dāng)。=28=1時(shí)，求從￡點(diǎn)經(jīng)此長(zhǎng)方體表面到達(dá)O,點(diǎn)最短距離.

2

【答案】(1)證明見解析；(2)(3)當(dāng)OVx<l時(shí)，E點(diǎn)經(jīng)此長(zhǎng)方體表面到達(dá)O'點(diǎn)最

短距離為有；當(dāng)14x42時(shí)，E點(diǎn)經(jīng)此長(zhǎng)方體表面到達(dá)O'點(diǎn)最短距離為布

【分析】(1)以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，證得丁;?前=0,'o~^.B~A=0'

利用線面垂直的判定定理可證得；

(2)利用基本不等式可求得A8E尸的面積取得是大值時(shí)，E,F分別為棱AB,8c的中點(diǎn)，再利

用等體積法可求得距離.

(3)分類討論沿OV將長(zhǎng)方體展開，=(04x42)：沿。。將長(zhǎng)方體展開，

OE=6+4x+5(04x42),進(jìn)而求得距離最小值.

【詳解】(1)如圖，以。為原點(diǎn)，直線0Aoe分別為％y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),0,(0,0,fe)TB(a,a,0),B'(a,a,b),A(a,0,0),C(0,a,0)

則0，B=(a,a,—b)，/=(一%”,。)，BA=(O,-CZ,-/J)'A=B

0BAC=-a2+Q2=o，???0B1前

9?0B-BA=-a2+匕2=o，0BLBA

又3NIAC=A,所以直線OBJL平面區(qū)4C

x+a—x]a2

(2)由=3/二],知EB=ci—x,則心防=-1x[/a-x、)<-1

222JT

當(dāng)且僅當(dāng)x="x,即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)民尸分別為棱A8,8C的中點(diǎn)，

在AB'E尸中，B'E=B'F=45,=S\"產(chǎn);可一*=|

利用等體積法知匕用“=匕人“，設(shè)點(diǎn)醫(yī)I」平面B'EF的距離為人，

則卜釬/=?*叱解得一

Bp|x|./I=lxlxlxlx2,

2

所以點(diǎn)集IJ平面B'EF的距離為：

(3)沿。C將長(zhǎng)方體展開，如圖，=導(dǎo)=J？3(04X42)

沿。'0將長(zhǎng)方體展開，如圖，O'E=7(X+2)2+12=ylx2+4x+5(0<x<2)

當(dāng)04x<l時(shí)，6+4x+54jf+9，此時(shí)。或M=1+2『+F"而=后

當(dāng)14x42時(shí)，&+4X+52&+9，此時(shí)0'/=短nh，=W

綜上，當(dāng)04x<l時(shí)，從E點(diǎn)經(jīng)此長(zhǎng)方體表面到達(dá)O'點(diǎn)最短距離為石

當(dāng)1WXW2時(shí)，從E