湖北省宜昌市夷陵區(qū)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024年中考適應(yīng)性訓(xùn)練九年級數(shù)學(xué)試題（滿分：120分時限：120分鐘）一、選擇題（在各小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請在答題卡上指定的位置填寫符合要求的選項前面的字母，本大題共10小題，每題3分，計30分）1.以下四個數(shù)中，最小的數(shù)是（）A. B.0 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∴最小的數(shù)為，故選D．2.如圖，神奇的自然界處處蘊含著數(shù)學(xué)知識．動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的（）A.平移 B.中心對稱 C.軸對稱 D.黃金分割【答案】D【解析】【分析】本題考查了黃金分割的定義，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值時，約等于．【詳解】解：動物學(xué)家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的黃金分割，故選：D．3.已知的半徑為5，點P在內(nèi)，則的長可能是（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點在圓內(nèi)，點到圓心的距離小于圓的半徑進行判斷．【詳解】解：∵的半徑為5，點P在內(nèi)，∴．故選：D．4.中華鱘是地球上最古老的脊椎動物之一，距今約有140000000年的歷史，是國家一級保護動物和長江珍稀特有魚類保護的旗艦型物種，3月28日是中華鱘保護日，有關(guān)部門進行放流活動，實現(xiàn)魚類物種的延續(xù)并對野生資源形成持續(xù)補充．將140000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：故選B．【點睛】本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．5.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由（，），，（，），合并同類二次根式，據(jù)此進行計算即可．【詳解】解：A．，結(jié)論錯誤，不符合題意；B．，結(jié)論錯誤，不符合題意；C．，結(jié)論錯誤，不符合題意；D．，結(jié)論正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次根式運算，掌握公式是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，于D，如果和的面積比為，那么的長是（）A.8 B.12 C.16 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵和的面積比為，∴，∵，∴．故選：C．7.如圖，在中，，將繞頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至的位置，且A，C，三點在同一條直線上，則點A所經(jīng)過的最短路線的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計算，直角三角形的兩銳角互余的性質(zhì)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)，然后求出旋轉(zhuǎn)角，再根據(jù)弧長公式列式進行計算即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵繞頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至的位置，∴，∴旋轉(zhuǎn)角，又∵，∴點A所經(jīng)過的最短路線的長．故選：B．8.已知關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為和，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時，，先利用根與系數(shù)的關(guān)系分別得到和的值，整體代入即可．【詳解】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，所以故選：A．9.如圖，在中，，以點A為圓心，以的長為半徑作弧交于點D，連接，再分別以點B，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線交于點E，連接，則下列結(jié)論中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可以判斷①的正確；利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合①的結(jié)論和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可以判斷②正確；利用直有三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷③的正確；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方即可判斷④的錯誤．【詳解】解：由題意得：，為的平分線，，，，為等邊三角形，為的垂直平分線，，故A的結(jié)論正確；為等邊三角形，，，，，，，．，，，，，垂直平分線段，，故B的結(jié)論正確；中，，，，，故C的結(jié)論正確．，，，，，，，故D的結(jié)論錯誤；故選：D．【點睛】本題主要考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.已知拋物線是常數(shù)且經(jīng)過，下列四個結(jié)論：①若此拋物線頂點在第四象限，則；②若拋物線經(jīng)過，則對稱軸為直線；③若二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點，則；④若，此拋物線與x軸交于兩點，當(dāng)時，有．其中正確的結(jié)論是（）A.①② B.①②③ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，把點代入解析式得出，再根據(jù)拋物線頂點在第四象限得出；根據(jù)拋物線經(jīng)過，，得出對稱軸；根據(jù)函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點可得，再根據(jù)得出；根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即可判斷．【詳解】解：①把點代入，得，∴，∵此拋物線頂點在第四象限，∴，∴，故①正確；②∵拋物線經(jīng)過，，∴拋物線對稱軸為直線，故②正確；③當(dāng)時，∵函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點，∴，∵，∴，即，∴；故③錯誤；④∵，∴，∴二次函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，與x軸交于兩點，且，∴，故④正確；綜上，正確的結(jié)論是①②④．故選：C．二、填空題（請在答題卷上指定的位置填空．本大題共5小題，每題3分，計15分）11.計算：_____．【答案】2【解析】【分析】本題考查分式的加減，掌握同分母分式的加減法則解題即可．【詳解】解：，故答案為：2．12.有四張完全一樣正面分別寫有漢字“清”“風(fēng)”“朗”“月”的卡片，將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片正面上的漢字后放回，洗勻后再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的漢字相同的概率是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)列表法求概率即可求解．【詳解】解：列表如下，清風(fēng)朗月清清清清風(fēng)清朗清月風(fēng)風(fēng)清風(fēng)風(fēng)風(fēng)朗風(fēng)月朗朗清朗風(fēng)朗朗朗月月月清月風(fēng)月朗月月共有16中等可能結(jié)果，其中，抽取的兩張卡片上的漢字相同的情形有4種，∴抽取的兩張卡片上的漢字相同的概率是，故答案為：．【點睛】本題考查了列表法求概率，熟練掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵．13.為了給山頂供水，決定在山腳A處開始沿山坡鋪設(shè)水管．現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角為，為使出水口高度為35m，那么需要準(zhǔn)備____長的水管．（結(jié)果保留整數(shù)）（）【答案】113【解析】【分析】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，解直角三角形進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：113．14.我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，請人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？若設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則可列分式方程為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可知：x株需要6210文，株的運費一株椽的價錢，從而可以列出相應(yīng)的方程．【詳解】解：設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，由題意可得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出分式方程，正確理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，，，以為直徑的圓交的外角平分線于點E，D為的中點，則_____．【答案】6【解析】【分析】本題考查圓的直徑所對的圓周角是直角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理．延長交的延長線于點F，則可得到，進而得到是的中點，然后根據(jù)三角形的中位線定理求出長即可．【詳解】解：延長交的延長線于點F，∵是圓的直徑，∴，又∵平分，∴，∴，∴，∴是的中點，又∵D為的中點，∴，故答案為：6．三、解答題（本大題共9小題，計75分）16.計算：．【答案】3【解析】【分析】本題考查了絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，先計算絕對值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再按照有理數(shù)運算順序計算即可．【詳解】解：原式17.如圖，將矩形沿對角線折疊，與交于點E，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了矩形與折疊、等腰三角形的判定，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)得，進而可求證結(jié)論，熟練掌握矩形與折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵四邊形為矩形，，，將沿對角線折疊得到，，，∴．18.某品牌新能源純電動汽車的電池容量為80千瓦時，小王把車充滿電后駕駛汽車從家到300公里外的省城接客人，接到客人后立即返回，請回答相關(guān)問題：小王以平均每千米耗電0.2千瓦時的速度駕駛汽車到達省城，返程時由于氣溫原因，需要開空調(diào)，此時平均每千米的耗電量增加了一倍，如果小王往返保持車速不變，不充電能否到家？如果不能，至少還要充多少千瓦時的電量？【答案】不能，至少需要加電才能到家．【解析】【分析】本題主要一元一次方程的應(yīng)用，首先計算出到省城的用電量，求出剩余電量，設(shè)需要加電量為，運用兩種方式表示返回用電量，列出方程求解即可．【詳解】解：不能到家，因為到家需要電量為：，而剩下電量為：，設(shè)需要加電量為，則有，解得．答：至少需要加電才能到家．19.某市開展茶文化論壇，為了解兩種綠茶的畝產(chǎn)量，工作人員從兩種類型的綠茶產(chǎn)區(qū)中各隨機抽取畝，在完全相同條件下試驗，統(tǒng)計了茶葉的畝產(chǎn)量（單位：千克畝），并進行整理、描述和分析（畝產(chǎn)量用表示，共分為三個等級：合格，良好，優(yōu)秀），下面給出了部分信息：畝型綠茶的畝產(chǎn)量：．畝型綠茶中“良好”等級包含的所有數(shù)據(jù)為：．抽取的型綠茶畝產(chǎn)量統(tǒng)計表：型號平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差“優(yōu)秀”等級所占百分比根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）填空：_________，__________，__________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款綠茶更好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）若該市今年種植型綠茶畝，估計今年型綠茶畝產(chǎn)量在“良好”等級及以上有多少畝？【答案】（1），，；（2）款茶葉更好，理由見解析；（3）畝．【解析】【分析】()根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)概念可求出的值，由型中“良好”等級占，“優(yōu)秀”等級所占百分比為，可求出的值；()比較型、型的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)可得答案(答案不唯一)；()用乘“良好”等級及以上的百分比即可得答案；本題考查了統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，樣本估計總體，看懂統(tǒng)計圖表是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：在中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是，∴眾數(shù)，∵型中“良好”等級有個，占，“優(yōu)秀”等級所占百分比為，∴“合格”等級占，即，把型數(shù)據(jù)從小到大排列后，第個和第個數(shù)都是，∴，故答案為：，，；【小問2詳解】解：款茶葉更好，理由：兩款茶葉的平均數(shù)相同，但款茶葉的中位數(shù)和眾數(shù)都大于款茶葉的，所以款茶葉更好；【小問3詳解】解：，答：估計今年B型綠茶畝產(chǎn)量在“良好”等級及以上的有畝．20.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、交反比例函數(shù)的圖象于點，點在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)為，軸交直線于點，連接、．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）求面積的最大值．【答案】（1）；（2）面積的最大值是【解析】【分析】（1）由、的坐標(biāo)可求出一次函數(shù)的關(guān)系式，進而求出點的坐標(biāo)，代入，求得反比例函數(shù)解析式；（2）設(shè)點，點，得出關(guān)于與的關(guān)系式，進而根據(jù)三角形面積公式求解，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值．【小問1詳解】解：把、代入一次函數(shù)得：，解得：，∴一次函數(shù)的關(guān)系式為，將點代入，得，∴點，將點代入，得出∴，【小問2詳解】∵點在反比例函數(shù)的圖象上，點在一次函數(shù)的圖象上，，設(shè)點，點，∴，∴，∵，∴當(dāng)時，，所以，面積的最大值是．【點睛】本題考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，將面積用函數(shù)的數(shù)學(xué)模型表示出來，利用函數(shù)的最值求解是解決問題的基本思路．21.如圖，是的直徑，半徑，C為上任意一點，D為弦上一點，且．（1）當(dāng)，時，求．（2）求證：為等腰直角三角形．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定：（1）直接根據(jù)線段的和差關(guān)系求出的長即可；（2）根據(jù)垂徑定理證明根據(jù)證明得出,再證明即可得出結(jié)論【小問1詳解】解：∵；【小問2詳解】解：連接如圖，∵所對的圓周角是，∴，∵，∴點是弧的中點，∴又∴∴，∵是的直徑，∴，∵∴∴為等腰直角三角形．22.紙飛機是同學(xué)們很喜歡的娛樂項目，紙飛機的飛行一般會經(jīng)歷上拋、下降、滑行三個階段，其中紙飛機上拋和下降的飛行路徑可看作是一段拋物線，滑行的飛行路徑是一條線段，滑行距離受紙飛機滑行比的影響（若紙飛機在1米的高度開始滑行，滑行的水平距離為米，則滑行比為）．如圖所示，若小明玩紙飛機，其起拋點A的高度為，當(dāng)紙飛機的最大高度達到時，它的水平飛行距離為．（1）求這條拋物線的解析式；（2）小明的前方有一堵高的墻壁，小明至少距離墻壁多遠(yuǎn)，紙飛機才會順利飛過墻壁？（不考慮墻壁的厚度）（3）小明根據(jù)多次實驗得到其折疊的紙飛機的滑行比為1:2.5（受空氣阻力的影響，紙飛機開始滑行的高度不超過），紙飛機開始滑行時的高度為多少米時，才能使水平飛行距離至少為10米？【答案】（1）（2）米（3）在米時，開始滑行【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得拋物線經(jīng)過，設(shè)拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）將代入解析式求解即可；（3）設(shè)滑行高度為h米，則水平滑行的距離為米，根據(jù)題意列出方程求解即可．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得拋物線經(jīng)過，∴設(shè)拋物線的解析式為，將點代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為，【小問2詳解】∵高的墻壁，∴將代入解析式得：，解得：，，∴小明至少距離墻壁米；【小問3詳解】設(shè)滑行高度為h米，則水平滑行的距離為米，由（1）得，解得：（舍去），，為紙飛機飛行得距離，∴，解得：（舍去），，∴在米時，開始滑行．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用及一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23.已知，以三邊為斜邊向外作等腰直角三角形．（1）如圖1，當(dāng)為等邊三角形時，①填空：；②證明：．（2）如圖2，當(dāng)為直角三角形，時，證明：．【答案】（1）①；②見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識：（1）①證明是的垂直平分線，根據(jù)是等邊三角形可得，由是等腰直角三角形得，可得結(jié)論；②連接，證明，得，證出，可得結(jié)論；（2）取的中點，連接設(shè)交于點，交于點，得出垂直平分垂直平分證明四邊形是平行四邊形，得出由均為等腰直角三角形再證明可得出結(jié)論【小問1詳解】解：①∵是等邊三角形，∴又是等腰直角三角形，∴∴垂直平分，∴∵是等腰直角三角形，且∴∴故答案為：；②連接如圖，∵是等邊三角形，∴∵均為等腰直角三角形，且∴∴∴∴，∴∵∴∴∴∴∴；【小問2詳解】證明：取的中點，連接設(shè)交于點，交于點，如圖，，為的中點，∴∵∴垂直平分垂直平分∴為中點，為的中點，∵為的中點，∴分別是的中位線，∴∴四邊形是平行四邊形，∴∵均等腰直角三角形，∴∴∵∴∴，∴24.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，，，點為上一點，交于點，且，點是點關(guān)于原點的對稱點．（1）求點的坐標(biāo)；（2）求的值；（3）已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在