專題02二次根式(精講精練)(原卷版+解析)

第02講二次根式了解二次根式的概念，借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式了解二次根式乘除運算法則，會進行簡單的運算了解最簡二次根式的概念了解二次根式的加減運算法則，會進行有關(guān)的簡單運算★簡單；★★易錯；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

TOC\o"1-1"\h\u考點1：二次根式有意義的條件 3考點2：最簡二次根式 9考點3：二次根式的性質(zhì) 15考點4：二次根式的運算 22課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 31分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 32

考點1：二次根式有意義的條件（1）二次根式的概念：形如eq\r(a)(a≥0)的式子.（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.｛二次根式的概念★｝下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．｛二次根式有意義的條件★｝在函數(shù)中，自變量的取值范圍是A． B．且 C．且 D．且｛二次根式有意義的條件★★｝若實數(shù)，滿足，則的值是A．1 B． C．4 D．6｛二次根式有意義的條件★★｝已知，則的值為A．6 B． C．4 D．｛二次根式有意義的條件★★｝使等式成立的條件時．｛二次根式的概念★｝在式子，，，，和中，是二次根式的有A．3個 B．4個 C．5個 D．6個｛二次根式有意義的條件★｝如果是二次根式，那么應(yīng)滿足的條件是A． B． C． D．｛二次根式有意義的條件★｝若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是A．B．C． D．｛二次根式有意義的條件★★｝成立的條件是A． B． C． D．｛二次根式有意義的條件★★｝已知實數(shù)滿足，那么的值是．（2021?內(nèi)江）函數(shù)中，自變量的取值范圍是A． B．且 C． D．且（2021?日照）若分式有意義，則實數(shù)的取值范圍為．（2021?營口）若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是．考點2：最簡二次根式最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式｛最簡二次根式★｝（2021?桂林）下列根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．｛最簡二次根式★｝化簡成最簡二次根式：；．｛最簡二次根式★★｝二次根式、均為正數(shù)）化成最簡二次根式，結(jié)果為．｛最簡二次根式★★｝將式子化為最簡二次根式．｛最簡二次根式★｝下列根式中，不是最簡二次根式的是A． B． C． D．｛最簡二次根式★｝若二次根式是最簡二次根式，則可取的最小整數(shù)是．｛最簡二次根式★★｝化簡：化成最簡二次根式為．（2021?益陽）將化為最簡二次根式，其結(jié)果是A． B． C． D．（2020?濟寧）下列各式是最簡二次根式的是A． B． C． D．（2020?西寧）下列二次根式中，最簡二次根式的是A． B． C． D．考點3：二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負性：①被開方數(shù)是非負數(shù)，即a≥0；②二次根式的值是非負數(shù)，即≥0.注意：初中階段學(xué)過的非負數(shù)有：絕對值、偶冪、算式平方根、二次根式.(2)兩個重要性質(zhì)：①(eq\r(a))2＝a(a≥0)；②eq\r(a2)＝|a|＝；(3)積的算術(shù)平方根：＝·(a≥0，b≥0)；(4)商的算術(shù)平方根：(a≥0，b＞0)．｛最簡二次根式★★｝已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖，則化簡的結(jié)果是A． B． C．1 D．｛最簡二次根式★★｝三邊分別為、、，為斜邊，則代數(shù)式的化簡結(jié)果為．｛最簡二次根式★★｝（2020秋?雁江區(qū)期末）已知，化簡．｛二次根式的性質(zhì)★★｝化簡的結(jié)果為A． B． C． D．｛二次根式的性質(zhì)★★★｝（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)，其中為正整數(shù)，，則．｛二次根式的性質(zhì)★｝若，則的取值范圍是A． B． C． D．｛二次根式的性質(zhì)★｝當(dāng)時，化簡結(jié)果是A． B．3 C． D．5｛二次根式的性質(zhì)★★｝如圖，字母的取值如圖所示，化簡：．｛二次根式的性質(zhì)★★★｝（2018?涼山州）當(dāng)時，則．（2021?婁底）2、5、是某三角形三邊的長，則等于A． B． C．10 D．4（2021?荊門）下列運算正確的是A．B．C． D．（2020?呼倫貝爾）已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是A． B． C．1 D．考點4：二次根式的運算二次根式的加減法：先將各根式化為最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式．二次根式的乘除法：（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；（2）除法：=(a≥0，b＞0)．二次根式的混合運算：運算順序與實數(shù)的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．｛二次根式的乘除★｝．｛二次根式的乘除★｝計算的結(jié)果正確的是A．1 B．2.5 C．5 D．6｛同類二次根式★｝最簡二次根式與是同類二次根式，則的值是．｛同類二次根式★｝若二次根式與是同類二次根式，則．｛二次根式的加減★｝若最簡二次根式與可以合并，則的值為A．2019 B． C．2023 D．｛二次根式的加減★｝計算：．｛二次根式的加減★｝計算：．｛分母有理化★｝（德州·中考真題）化簡的結(jié)果是．｛分母有理化★｝化簡結(jié)果正確的是A． B． C． D．｛二次根式的應(yīng)用★｝古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，那么三角形的面積為．如圖，在中，，，所對的邊分別記為，，，若，，，則的面積為A．14 B．20 C． D．｛二次根式的乘除★｝（聊城·中考真題）計算：．｛二次根式的乘除★｝（2021?銅仁市）計算．｛二次根式的乘除★｝（2019?菏澤）已知，那么的值是．｛同類二次根式★｝（2021秋?寶山區(qū)月考）已知最簡二次根式和是同類二次根式，則．｛同類二次根式★｝（2021春?饒平縣校級月考）如果最簡二次根式和是同類二次根式，則．｛二次根式的加減★｝（2021秋?洛寧縣月考）如圖，從一個大正方形中可以裁去面積為和的兩個小正方形，則陰影部分的周長為．｛分母有理化★｝（2021秋?普陀區(qū)校級月考）分母有理化：．｛二次根式應(yīng)用★★｝我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為，，，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值為．｛二次根式應(yīng)用★★｝（2016?廈門）公元3世紀，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先將看出：由近似公式得到；再將看成，由近似值公式得到；依此算法，所得的近似值會越來越精確．當(dāng)取得近似值時，近似公式中的是，是．（2021?綿陽）計算的結(jié)果是A．6 B． C． D．（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是A．與 B．與 C．與 D．與（2021?重慶）計算的結(jié)果是A．7 B． C． D．（2021?包頭）若，則代數(shù)式的值為A．7 B．4 C．3 D．（2019?宜昌）古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，那么三角形的面積為．如圖，在中，，，所對的邊分別記為，，，若，，，則的面積為A． B． C．18 D．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則的化簡結(jié)果是A．1 B．2 C． D．2．射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式進行計算，其中為子彈的加速度，為槍筒的長．如果，，那么子彈射出槍口時的速度（用科學(xué)記數(shù)法表示）為A． B． C． D．3．下列運算正確的是A． B． C． D．4．若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．5．下列二次根式中，最簡二次根式是A． B． C． D．6．若二次根式有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．7．二次根式中的取值范圍是A． B． C． D．8．若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．9．實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是A． B． C． D．10．二次根式有意義，則滿足的條件是A． B． C． D．11．當(dāng)時，化簡結(jié)果是A． B．3 C． D．512．若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是A．4 B．5 C．6 D．713．已知，則化簡后為A． B． C． D．14．若，則的取值范圍是A． B． C． D．15．如圖，從一個大正方形中裁去面積為和的兩個小正方形，則余下部分的面積為A．78 B． C． D．16．如圖，在長方形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為．A． B． C． D．17．使二次根式有意義的的取值范圍是A． B． C． D．18．計算：．19．已知，．則（1）．（2）．20．已知2、5、是某三角形三邊的長，則．21．若分式有意義，則的取值范圍是．22．在中，的取值范圍為．23．要使式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．24．計算的結(jié)果是．25．在式子中，的取值范圍是．26．已知，是實數(shù)，且滿足，則的值是．1．下列運算正確的是A． B． C． D．2．如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么的值是A．1 B．2 C．3 D．43．把化成最簡二次根式，正確的是A． B． C． D．4．要使有意義，則的取值范圍為A． B． C． D．5．已知，則的化簡結(jié)果是A． B． C． D．6．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．且 D．且7．下列運算正確的是A． B． C． D．8．已知非零實數(shù)，滿足，則．9．計算的結(jié)果是．10．已知，，則代數(shù)式的值為．11．若，化簡．12．設(shè)，，則．1．若，，則的值為A． B． C． D．2．射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式進行計算，其中為子彈的加速度，為槍筒的長．如果，，那么子彈射出槍口時的速度（用科學(xué)記數(shù)法表示）為A． B． C． D．3．下列二次根式中，與是同類二次根式的是A． B． C． D．4．已知，則A．3 B． C． D．5．使函數(shù)有意義的所有整數(shù)的和是A． B． C．0 D．16．把化成最簡二次根式，正確的是A． B． C． D．7．設(shè)，，則與的關(guān)系為A． B． C． D．8．已知，則的值為A．6 B． C．4 D．9．化簡．10．若，，則．11．已知，則．第02講二次根式了解二次根式的概念，借助現(xiàn)實情境了解代數(shù)式了解二次根式乘除運算法則，會進行簡單的運算了解最簡二次根式的概念了解二次根式的加減運算法則，會進行有關(guān)的簡單運算★簡單；★★易錯；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

TOC\o"1-1"\h\u考點1：二次根式有意義的條件 3考點2：最簡二次根式 9考點3：二次根式的性質(zhì) 15考點4：二次根式的運算 22課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 31分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 32

考點1：二次根式有意義的條件（1）二次根式的概念：形如eq\r(a)(a≥0)的式子.（2）二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.｛二次根式的概念★｝下列各式中，一定是二次根式的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根，二次根式以及二次根式的定義逐項進行判斷即可．【解答】解：．因為沒有平方根，因此選項不符合題意；表示的立方根，因此選項不符合題意；．因為，因此選項符合題意；．當(dāng)時，負數(shù)沒有平方根，因此選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查二次根式的定義，理解二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵．｛二次根式有意義的條件★｝在函數(shù)中，自變量的取值范圍是A． B．且 C．且 D．且【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：且，解得：且，故選：．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．｛二次根式有意義的條件★★｝若實數(shù)，滿足，則的值是A．1 B． C．4 D．6【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，求出，代入關(guān)系式中求出，從而得到的值．【解答】解：，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．｛二次根式有意義的條件★★｝已知，則的值為A．6 B． C．4 D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出的值，進而得出的值，再代入所求式子計算即可．【解答】解：，而，，，解得，，解得，．故選：．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．｛二次根式有意義的條件★★｝使等式成立的條件時﹣3≤x＜2．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件解決此題．【解答】解：由題意得：x+3≥0且2﹣x＞0．∴x≥﹣3且x＜2．∴﹣3≤x＜2．故答案為：﹣3≤x＜2．【點評】本題主要考查二次根式有意義條件、分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件、分式有意義的條件是解決本題的關(guān)鍵．｛二次根式的概念★｝在式子，，，，和中，是二次根式的有A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式進行分析即可．【解答】解：式子，，，是二次根式，共4個，故選：．【點評】此題主要考查了二次根式定義，關(guān)鍵是注意被開方數(shù)為非負數(shù)．｛二次根式有意義的條件★｝如果是二次根式，那么應(yīng)滿足的條件是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可知，解出的范圍即可．【解答】解：由題意可知：，．故選：．【點評】本題考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．｛二次根式有意義的條件★｝若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，根據(jù)分式有意義的條件可得，再解即可．【解答】解：由題意得：，解得：，在數(shù)軸上表示為：，故選：．【點評】此題主要考查了二次根式有意義和分式的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．分式分母不為零．｛二次根式有意義的條件★★｝成立的條件是A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式有意義的條件、二次根式的乘法運算法則得出關(guān)于的不等式組，進而得出答案．【解答】解：由題意可得：，解得：．故選：．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件、二次根式的乘法運算，正確掌握二次根式乘法運算法則是解題關(guān)鍵．｛二次根式有意義的條件★★｝已知實數(shù)滿足，那么的值是2022．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出，根據(jù)絕對值的性質(zhì)把原式變形，代入計算即可．【解答】解：由題意得：，解得：，則，整理得：，，，原式，故答案為：2022．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件、絕對值的性質(zhì)，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．（2021?內(nèi)江）函數(shù)中，自變量的取值范圍是A． B．且 C． D．且【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0計算即可．【解答】解：由題意得：，，解得：且，故選：．【點評】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．（2021?日照）若分式有意義，則實數(shù)的取值范圍為．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得出且，再得出答案即可．【解答】解：要使分式有意義，必須且，解得：且，故答案為：且．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，能根據(jù)題意得出且是解此題的關(guān)鍵．（2021?營口）若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解不等式即可．【解答】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．考點2：最簡二次根式最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式｛最簡二次根式★｝（2021?桂林）下列根式中，是最簡二次根式的是A． B． C． D．【分析】直接根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母，分母中不含根號；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．【解答】解：，不是最簡二次根式；，不是最簡二次根式；，不是最簡二次根式；，是最簡二次根式．故選：．【點評】此題考查的是最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．｛最簡二次根式★｝化簡成最簡二次根式：；．【分析】直接根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．進行計算即可．【解答】解：（1）原式，故答案為：；（2）原式．故答案為：．【點評】此題考查的是二次根式，掌握其性質(zhì)概念是解決此題關(guān)鍵．｛最簡二次根式★★｝二次根式、均為正數(shù)）化成最簡二次根式，結(jié)果為．【分析】根據(jù)計算即可．【解答】解：，，，故答案為：．【點評】本題考查的是二次根式的化簡，掌握最簡二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．｛最簡二次根式★★｝將式子化為最簡二次根式．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：由題意可知：，，原式故答案為：【點評】本題考查最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．｛最簡二次根式★｝下列根式中，不是最簡二次根式的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式逐一判斷即可．【解答】解：、是最簡二次根式，故本選項不符合題意；、是最簡二次根式，故本選項不符合題意；、不是最簡二次根式，故本選項符合題意；、是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：．【點評】本題主要考查最簡二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．｛最簡二次根式★｝若二次根式是最簡二次根式，則可取的最小整數(shù)是．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義解答即可．【解答】解：二次根式是最簡二次根式，，，，取整數(shù)值，當(dāng)時，二次根式為，不是最簡二次根式，不合題意；當(dāng)時，二次根式為，是最簡二次根式，符合題意；若二次根式是最簡二次根式，則可取的最小整數(shù)是．故答案為：．【點評】本題主要考查了最簡二次根式的定義，熟記定義是解答此題的關(guān)鍵．｛最簡二次根式★★｝化簡：化成最簡二次根式為．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由題意，，故答案為：．【點評】本題考查最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．（2021?益陽）將化為最簡二次根式，其結(jié)果是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【解答】解：，故選：．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義和二次根式的性質(zhì)，注意：滿足以下兩個條件：①被開方數(shù)中的因式是整式，因數(shù)是整數(shù)，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因式或因數(shù)，像這樣的二次根式叫最簡二次根式．（2020?濟寧）下列各式是最簡二次根式的是A． B． C． D．【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．【解答】解：、是最簡二次根式，符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意．故選：．【點評】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．（2020?西寧）下列二次根式中，最簡二次根式的是A． B． C． D．【分析】最簡二次根式滿足：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【解答】解：、中被開方數(shù)是分數(shù)，故不是最簡二次根式；、中被開方數(shù)是分數(shù)，故不是最簡二次根式；、中被開方數(shù)不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故是最簡二次根式；、中含能開得盡方的因數(shù)，故不是最簡二次根式；故選：．【點評】本題主要考查了最簡二次根式的定義，判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查被開方數(shù)不含分母，也不含能開的盡方的因數(shù)或因式，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．考點3：二次根式的性質(zhì)（1）雙重非負性：①被開方數(shù)是非負數(shù)，即a≥0；②二次根式的值是非負數(shù)，即≥0.注意：初中階段學(xué)過的非負數(shù)有：絕對值、偶冪、算式平方根、二次根式.(2)兩個重要性質(zhì)：①(eq\r(a))2＝a(a≥0)；②eq\r(a2)＝|a|＝；(3)積的算術(shù)平方根：＝·(a≥0，b≥0)；(4)商的算術(shù)平方根：(a≥0，b＞0)．｛最簡二次根式★★｝已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖，則化簡的結(jié)果是A． B． C．1 D．【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置，判斷出和的符號，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)進行化簡．【解答】解：由圖知：，，，原式．故選：．【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出，是解題關(guān)鍵．｛最簡二次根式★★｝三邊分別為、、，為斜邊，則代數(shù)式的化簡結(jié)果為．【分析】將代數(shù)式化簡為，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【解答】解：三邊分別為、、，為斜邊，，．故答案為：．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，根據(jù)勾股定理和二次根式的性質(zhì)進行化簡是解題關(guān)鍵．｛最簡二次根式★★｝（2020秋?雁江區(qū)期末）已知，化簡．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：，，，原式，，故答案為：．【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．｛二次根式的性質(zhì)★★｝化簡的結(jié)果為A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進行化簡即可．【解答】解：當(dāng)，時，原式．當(dāng)，時，原式．故選：．【點評】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．｛二次根式的性質(zhì)★★★｝（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)，其中為正整數(shù)，，則．【分析】先把化簡求出的值，再根據(jù)為正整數(shù)，在0，1之間求出符合條件的的值，求出對應(yīng)的的值，代入原式進行計算即可．【解答】解：．．為正整數(shù)，，，，．故答案為：．【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值及估算無理數(shù)的大小，根據(jù)題意求出符合條件的、的值是解答此題的關(guān)鍵．｛二次根式的性質(zhì)★｝若，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】結(jié)合完全平方公式對被開方式子進行變形，然后利用二次根式的性質(zhì)進行化簡，從而結(jié)合絕對值的意義作出分析判斷．【解答】解：，，，故選：．【點評】本題考查完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，理解，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．｛二次根式的性質(zhì)★｝當(dāng)時，化簡結(jié)果是A． B．3 C． D．5【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【解答】解：當(dāng)時，，，，故選：．【點評】本題考查二次根式的化簡，理解最簡二次根式的意義和二次根式的化簡方法是正確解答的前提．｛二次根式的性質(zhì)★★｝如圖，字母的取值如圖所示，化簡：．【分析】先利用數(shù)軸表示數(shù)的方法得到，再利用二次根式的性質(zhì)得原式，然后去絕對值后合并即可．【解答】解：由數(shù)軸得，所以原式．故答案為4．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決此類的關(guān)鍵．也考查了數(shù)軸．｛二次根式的性質(zhì)★★★｝（2018?涼山州）當(dāng)時，則．【分析】根據(jù)題意得到，，根據(jù)完全平方公式把被開方數(shù)變形，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可．【解答】解：，，，原式，故答案為：．【點評】本題考查的是二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2021?婁底）2、5、是某三角形三邊的長，則等于A． B． C．10 D．4【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．【解答】解：、5、是某三角形三邊的長，，故，．故選：．【點評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．（2021?荊門）下列運算正確的是A．B．C． D．【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方，二次根式化簡及整式乘法分別計算求解．【解答】解：．，錯誤，不滿足題意．，錯誤，不滿足題意．．，錯誤，不滿足題意．．，正確，滿足題意．故選：．【點評】本題考查冪的乘方與積的乘方、二次根式的化簡、整式的運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握各種運算的方法．（2020?呼倫貝爾）已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是A． B． C．1 D．【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置，判斷出和的符號，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)進行化簡．【解答】解：由圖知：，，，原式．故選：．【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出，是解題關(guān)鍵．考點4：二次根式的運算二次根式的加減法：先將各根式化為最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式．二次根式的乘除法：（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；（2）除法：=(a≥0，b＞0)．二次根式的混合運算：運算順序與實數(shù)的運算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的（或先去括號）．｛二次根式的乘除★｝．【分析】原式利用二次根式的乘除法則計算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式．故答案為：【點評】此題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵．｛二次根式的乘除★｝計算的結(jié)果正確的是A．1 B．2.5 C．5 D．6【分析】先化簡原式，再運算即可求解．【解答】解：，故選：．【點評】本題考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．｛同類二次根式★｝最簡二次根式與是同類二次根式，則的值是4．【分析】根據(jù)同類二次根式：二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同列方程，解出即可．【解答】最簡二次根式與是同類二次根式，，解得；故答案為：4．【點評】本題考查同類二次根式、最簡二次根式，掌握同類二次根式的定義，根據(jù)定義列方程是解題關(guān)鍵．｛同類二次根式★｝若二次根式與是同類二次根式，則2或3．【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出，再求出方程的解即可．【解答】解：二次根式與是同類二次根式，，解得：或3，經(jīng)檢驗或3都符合題意，故答案為：2或3．【點評】本題考查了解一元二次方程，二次根式的性質(zhì)與化簡和同類二次根式的定義，能熟記同類二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．｛二次根式的加減★｝若最簡二次根式與可以合并，則的值為A．2019 B． C．2023 D．【分析】根據(jù)同類二次根式的意義得出，進而求出的值即可．【解答】解：最簡二次根式與可以合并，即最簡二次根式與是同類二次根式，，，故選：．【點評】本題考查同類二次根式、最簡二次根式，理解同類二次根式的意義是解決問題的關(guān)鍵．｛二次根式的加減★｝計算：．【分析】根據(jù)二次根式的加減運算法則即可求出答案．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】本題考查二次根式的加減運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的加減運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．｛二次根式的加減★｝計算：．【分析】先化簡二次根式，然后合并同類二次根式．【解答】解：原式，故答案為：．【點評】本題考查二次根式的加減法，理解二次根式的性質(zhì)正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．｛分母有理化★｝（德州·中考真題）化簡的結(jié)果是．【分析】先把分子分母都乘以，然后約分即可．【解答】解：原式．故答案為．【點評】本題考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根號化去．｛分母有理化★｝化簡結(jié)果正確的是A． B． C． D．【分析】原式分子分母乘以有理化因式，計算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式．故選：．【點評】此題考查了分母有理化，找出原式的有理化因式是解本題的關(guān)鍵．｛二次根式的應(yīng)用★｝古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，那么三角形的面積為．如圖，在中，，，所對的邊分別記為，，，若，，，則的面積為A．14 B．20 C． D．【分析】利用閱讀材料，先計算出的值，然后根據(jù)海倫公式計算的面積；【解答】解：，，．，的面積；故選：．【點評】考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是代入后正確的運算．｛二次根式的乘除★｝（聊城·中考真題）計算：12．【分析】直接利用二次根式乘除運算法則化簡求出答案．【解答】解：．故答案為：12．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．｛二次根式的乘除★｝（2021?銅仁市）計算3．【分析】先把二次根式化為最簡二次根式，然后利用平方差公式計算．【解答】解：原式．故答案為3．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解決問題的關(guān)鍵．｛二次根式的乘除★｝（2019?菏澤）已知，那么的值是4．【分析】根據(jù)二次根式的運算以及完全平方公式即可求出答案．【解答】解：，，，，故答案為：4【點評】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．｛同類二次根式★｝（2021秋?寶山區(qū)月考）已知最簡二次根式和是同類二次根式，則．【分析】根據(jù)同類二次根式的概念列方程組求解．【解答】解：由題意可得，解得：，，故答案為：．【點評】本題考查同類二次根式的概念，解二元一次方程組，理解同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式是解題關(guān)鍵．｛同類二次根式★｝（2021春?饒平縣校級月考）如果最簡二次根式和是同類二次根式，則0．【分析】根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，根指數(shù)為2，列出方程求解．【解答】解：最簡二次根式和是同類二次根式，且，解得，，．故答案為：0．【點評】此題主要考查了同類二次根式的定義．解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義，即：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．｛二次根式的加減★｝（2021秋?洛寧縣月考）如圖，從一個大正方形中可以裁去面積為和的兩個小正方形，則陰影部分的周長為．【分析】根據(jù)已知部分面積求得相應(yīng)正方形的邊長，從而得到陰影部分的周長．【解答】解：從一個大正方形中裁去面積為和的兩個小正方形，則兩個小正方形的邊長分別是，．陰影部分的周長為．故答案為：．【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．｛分母有理化★｝（2021秋?普陀區(qū)校級月考）分母有理化：．【分析】根據(jù)平方差公式進行二次根式的分母有理化計算．【解答】解：原式，故答案為：．【點評】本題考查二次根式分母有理化計算，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．｛二次根式應(yīng)用★★｝我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為，，，記，則其面積．這個公式也被稱為海倫秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值為．【分析】把，代入得到，然后求出的取值范圍，再代入公式得到的表達式，利用配方法求最值即可．【解答】解：，，，，，不妨設(shè)，則，解得：，，，，，，，當(dāng)時，有最大值，最大值為，故答案為：．【點評】本題考查了配方法的應(yīng)用，配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．｛二次根式應(yīng)用★★｝（2016?廈門）公元3世紀，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公式得到的近似值．他的算法是：先將看出：由近似公式得到；再將看成，由近似值公式得到；依此算法，所得的近似值會越來越精確．當(dāng)取得近似值時，近似公式中的是，是．【分析】利用得到的值，利用題中再套用近似公式，因為，從而得到答案．【解答】解：看作，由近似值公式得到，所以時，；故答案為，．【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用：利用類比的方法解決問題．（2021?綿陽）計算的結(jié)果是A．6 B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可．【解答】解：，故選：．【點評】本題考查的是二次根式的乘法運算，掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是A．與 B．與 C．與 D．與【分析】一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．先將各選項進行化簡，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同進行判斷即可．【解答】解：、和不是同類二次根式，本選項不合題意；、與不是同類二次根式，本選項不合題意；、與不是同類二次根式，本選項不合題意；、，是同類二次根式，本選項符合題意．故選：．【點評】本題考查了同類二次根式，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的化簡及同類二次根式的概念．（2021?重慶）計算的結(jié)果是A．7 B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則和減法法則運算．【解答】解：原式．故選：．【點評】本題考查了二次根式的混合運算：在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．（2021?包頭）若，則代數(shù)式的值為A．7 B．4 C．3 D．【分析】利用條件得到，兩邊平方得，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：，，，即，，．故選：．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值：完全平方公式的靈活運用是解決問題的關(guān)鍵．利用整體代入的方法可簡化計算．（2019?宜昌）古希臘幾何學(xué)家海倫和我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別是，，，記，那么三角形的面積為．如圖，在中，，，所對的邊分別記為，，，若，，，則的面積為A． B． C．18 D．【分析】利用閱讀材料，先計算出的值，然后根據(jù)海倫公式計算的面積；【解答】解：，，．，的面積；故選：．【點評】考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是代入后正確的運算，難度不大．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則的化簡結(jié)果是A．1 B．2 C． D．【分析】根據(jù)數(shù)軸得：，得到，，根據(jù)和絕對值的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得：，，，原式．故選：．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，實數(shù)與數(shù)軸，掌握是解題的關(guān)鍵．2．射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式進行計算，其中為子彈的加速度，為槍筒的長．如果，，那么子彈射出槍口時的速度（用科學(xué)記數(shù)法表示）為A． B． C． D．【分析】把，代入公式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：，故選：．【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡以及科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．3．下列運算正確的是A． B． C． D．【分析】利用二次根式的加法的法則，整式的除法的法則，單項式乘單項式的法則，冪的乘方的法則對各項進行運算即可．【解答】解：、與不屬于同類二次根式，不能運算，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意；、，故符合題意；故選：．【點評】本題主要考查二次根式的加法，冪的乘方，整式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．4．若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)即可得出答案．【解答】解：，，故選：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．下列二次根式中，最簡二次根式是A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母，判定即可．【解答】解：、，所以不是最簡二次根式，故不符合題意；、是最簡二次根式，故符合題意；、，所以不是最簡二次根式，故不符合題意；、，所以不是最簡二次根式，故不符合題意；故選：．【點評】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．6．若二次根式有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)即可得出答案．【解答】解：，，故選：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．二次根式中的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由題意得：，解得：，故選：．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．若二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)進行計算即可．【解答】解：由題意得：，，故選：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．9．實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是A． B． C． D．【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可．【解答】解：由題意得：，，故選：．【點評】本題考查二次根式的乘除法，二次根式的性質(zhì)與化簡，實數(shù)與數(shù)軸，準確熟練地化簡各式是解題的關(guān)鍵．10．二次根式有意義，則滿足的條件是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得，．故選：．【點評】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．當(dāng)二次根式在分母上時還要考慮分母不等于零，此時被開方數(shù)大于0．11．當(dāng)時，化簡結(jié)果是A． B．3 C． D．5【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．【解答】解：當(dāng)時，，，，故選：．【點評】本題考查二次根式的化簡，理解最簡二次根式的意義和二次根式的化簡方法是正確解答的前提．12．若是整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是A．4 B．5 C．6 D．7【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的性質(zhì)得出的最小值．【解答】解：是整數(shù)，正整數(shù)的最小值是：7．故選：．【點評】此題主要考查了二次根式的定義，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．13．已知，則化簡后為A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：，，，原式，，故選：．【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．14．若，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的非負性，即可得到的取值范圍．【解答】解：，，故選：．【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，利用二次根式的非負性是解決問題的關(guān)鍵．15．如圖，從一個大正方形中裁去面積為和的兩個小正方形，則余下部分的面積為A．78 B． C． D．【分析】根據(jù)題意求出陰影部分的面積進而得出答案．【解答】解：從一個大正方形中裁去面積為和的兩個小正方形，大正方形的邊長是，留下部分（即陰影部分）的面積是．故選：．【點評】此題主要考查了二次根式的應(yīng)用，正確求出陰影部分面積是解題關(guān)鍵．16．如圖，在長方形中無重疊放入面積分別為和的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為．A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長，從而求出、，再根據(jù)空白部分的面積等于長方形的面積減去兩個正方形的面積列式計算即可得解．【解答】解：兩張正方形紙片的面積分別為和，它們的邊長分別為，，，，空白部分的面積，，．故選：．【點評】本題考查了二次根式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的定義，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的面積求出兩個正方形的邊長．17．使二次根式有意義的的取值范圍是A． B． C． D．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．【解答】解：由題意得，，解得．故選：．【點評】本題考查的知識點為：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．18．計算：．【分析】先算除法，去絕對值，再合并即可．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式運算的相關(guān)法則．19．已知，．則（1）14．（2）．【分析】（1）先分母有理化求出，再去吃和的值，根據(jù)完全平方公式進行變形，最后代入求出答案即可；（2）把，代入，即可求出答案．【解答】解：（1），，，，，故答案為：14；（2）由（1）知：，，所以，故答案為：11．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，分母有理化和完全平方公式等知識點，能求出和的值是解此題的關(guān)鍵，注意：．20．已知2、5、是某三角形三邊的長，則4．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系即可求出答案．【解答】解：由三角形的三邊關(guān)系可知：，，，原式，故答案為：4．【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確得出的范圍以及運用二次根式的性質(zhì)進行化簡，本題屬于基礎(chǔ)題型．21．若分式有意義，則的取值范圍是且．【分析】根據(jù)分式和二次根式有意義的條件即可得出答案．【解答】解：，，且．故答案為：且．【點評】本題考查了分式和二次根式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是分母不等于0，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．22．在中，的取值范圍為．【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0，二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，故，解不等式即可求得的范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：．故答案為：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件．要使得本題式子有意義，必須滿足分母不等于0．23．要使式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是且．【分析】根據(jù)分式有意義可得，根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再解即可．【解答】解：由題意得：，且，解得：且，故答案為：且．【點評】此題主要考查了分式有意義和二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零，二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．24．計算的結(jié)果是1．【分析】按從左往右依次計算，也可以把除法化為乘法計算．【解答】解：原式．故答案為：1．【點評】本題考查了二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除法法則和運算順序是解決本題的關(guān)鍵．25．在式子中，的取值范圍是．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得，，解得，，故答案為：．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵．26．已知，是實數(shù)，且滿足，則的值是．【分析】根據(jù)負數(shù)沒有平方根求出的值，進而求出的值，代入計算即可求出值．【解答】解：，，，，，則原式，故答案為：【點評】此題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．1．下列運算正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的除法判斷選項；根據(jù)分式的基本性質(zhì)判斷選項；根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪判斷選項；根據(jù)完全平方公式判斷選項．【解答】解：選項，原式，故該選項不符合題意；選項，為最簡分式，不能約分，故該選項不符合題意；選項，，故該選項符合題意；選項，原式，故該選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了二次根式的乘除法，分式的基本性質(zhì)，負整數(shù)指數(shù)冪，完全平方公式，掌握是解題的關(guān)鍵．2．如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么的值是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)同類項二次根式的定義可得，然后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：，解得：，故選：．【點評】本題考查了最簡二次根式，同類項二次根式，熟練掌握同類項二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．3．把化成最簡二次根式，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：得，，故選：．【點評】本題考查了最簡二次根式．掌握二次根式的性質(zhì)與化簡，能夠正確利用二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．要使有意義，則的取值范圍為A． B． C． D．【分析】二次根式中被開方數(shù)的取值范圍：二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)，此外還需考慮分母不為零．【解答】解：要使有意義，則，的取值范圍為．故選：．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負數(shù)．如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零．5．已知，則的化簡結(jié)果是A． B． C． D．【分析】先判斷字母的范圍，再化簡．【解答】解：由題意得：，，，．原式．故選：．【點評】本題考查二次根式的化簡，保證每個二次根式有意義是求解本題的關(guān)鍵．6．若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．且 D．且【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)，根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于0即可得出答案．【解答】解：，，且．故選：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負數(shù)，分式有意義的條件：分母不等于0是解題的關(guān)鍵．7．下列運算正確的是A． B． C． D．【分析】分別根據(jù)二次根式的性質(zhì)，