專題09二次函數(shù)圖像與性質（講義）中考數(shù)學一輪復習

專題09二次函數(shù)圖像與性質1．通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的一般表達式，并體會二次函數(shù)的意義；2．會用描點法畫出二次函數(shù)的圖像，能利用函數(shù)的圖像認識二次函數(shù)的性質；3．會確定二次函數(shù)圖像的頂點、開口方向和對稱軸，并掌握圖像的變化情況；4．能根據(jù)已知條件利用二次函數(shù)表達式的三種形式（一般式、頂點式、交點式）通過待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式?？键c1：二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

要點詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a的絕對值越大，拋物線的開口越小.考點2：二次函數(shù)的圖象與性質1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向對稱軸頂點坐標當時

開口向上

當時

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點.

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側.

(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.

當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：

①，拋物線經過原點；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負半軸.

以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

(可以看成的圖象平移后所對應的函數(shù).)

(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關系：).注：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據(jù)實際靈活選擇和運用．【題型1：二次函數(shù)的定義】【典例1】（2013·江蘇宿遷·校聯(lián)考二模）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（

）①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】利用二次函數(shù)定義，①不是二次函數(shù).②是二次函數(shù).③y=（x＋3）2－2x2=.是二次函數(shù).④不是二次函數(shù).選B.1．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與x軸的一個交點為，則代數(shù)式的值為．【答案】2019【分析】先將點（m，0）代入函數(shù)解析式，然后求代數(shù)式的值即可得出結果．【詳解】解：將（m，0）代入函數(shù)解析式得，m2m1=0，∴m2m=1，∴3m2+3m+2022=3（m2m）+2022=3+2022=2019．故答案為：2019．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征及求代數(shù)式的值，解題的關鍵是將點（m，0）代入函數(shù)解析式得到有關m的代數(shù)式的值．2．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·?？寄M預測）若是二次函數(shù)，則；拋物線的頂點坐標是．【答案】【分析】①，二次函數(shù)滿足二次項系數(shù)不能為0，即，且根據(jù)此條件求出m即可．②，根據(jù)頂點式解析式直接寫出頂點坐標即可．【詳解】①，由題意知，且，解得m=2；②，根據(jù)頂點式公式解析式知道頂點坐標為（2，3）；故答案為：①②【點睛】此題考查二次函數(shù)的定義及二次函數(shù)頂點式求頂點坐標．3．（2019·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的圖像是一條拋物線，則m=.【答案】m=3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．【詳解】依題意得：m1=2，解得m=3．故答案是：3．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．4．（2022·江蘇淮安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，點從點開始沿邊向點以的速度移動；點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果點、同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（），那么：(1)設的面積為y，求y關于t的函數(shù)關系式；(2)當?shù)拿娣e為時，沿直線翻折后得到，試判斷點是否落在直線上，并說明理由．【答案】(1)(2)點不落在直線上，見解析【分析】（1）根據(jù)、的速度，用時間表示出和的長，即可通過三角形的面積公式即可作答；（2）先根據(jù)（1）的函數(shù)式求出當?shù)拿娣e為時的值，即可得出和的長，然后求出點的坐標和直線的解析式，將點坐標代入直線的解析式中即可判斷出是否在上．【詳解】（1）解：，由題意，得．．；（2）解：點不落在直線上，理由如下：，當?shù)拿娣e為時，，解得，，即是等腰直角三角形．把沿直線翻折后，四邊形是正方形．點的坐標為．，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當時，，點不落在直線上．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質、圖形的翻折變換、坐標與圖形性質等知識點．解題的關鍵是求出關于的函數(shù)關系式．【題型2：二次函數(shù)的圖像】【典例2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的最大值為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式確定二次函數(shù)的最大值．【詳解】解：∵二次函數(shù)的表達式為，∴當時，二次函數(shù)取得最大值，為．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）關于二次函數(shù)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點坐標是C．該函數(shù)有最大值，最大值是2 D．當時，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】通過分析二次函數(shù)頂點式判斷函數(shù)圖象開口方向、頂點坐標、最值以及增減性即可求解．【詳解】解：中，A．的系數(shù)為1，，函數(shù)圖象開口向上，A錯誤；B．函數(shù)圖象的頂點坐標是，B錯誤；C．函數(shù)圖象開口向上，有最小值為2，C錯誤；D．函數(shù)圖象的對稱軸為，時隨的增大而減小；時，隨的增大而增大，D正確．故選：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的基本知識和性質，熟練掌握二次函數(shù)圖象是解題的關鍵．2．（2012·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，在同一直角坐標系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)各個選項中的圖象，可以判斷出一次函數(shù)和二次函數(shù)中a、c的正負情況，即可判斷哪個選項是正確的．【詳解】解：A．一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項A不符合題意；B．一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項B符合題意；C．一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項C不符合題意；D．一次函數(shù)中，，二次函數(shù)中，，故選項D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質，利用數(shù)形結合的思想解答．3．（2010·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)，y與x的部分對應值如表：x…013…y…131…則下列判斷中正確的是（

）A．拋物線開口向上B．拋物線與y軸交于負半軸C．當時，D．方程的正根在3與4之間【答案】D【分析】根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以得到該函數(shù)的對稱軸、開口方向，從而可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：由圖表可得，該函數(shù)的對稱軸是直線，有最大值，拋物線開口向下，故選項A錯誤，不合題意；當時，，拋物線與軸的交點為，故選項B錯誤，不合題意；和時的函數(shù)值相等，則時，，故選項C錯誤，不合題意；方程的正根在3與4之間，故選項D正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點、二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質解答．4．（2012·江蘇徐州·中考真題）二次函數(shù)的圖象經過點（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸；（3）在所給坐標系中畫出二次函數(shù)的圖象．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)點在曲線上，點的坐標滿足方程的關系，將（4，3），（3，0）代入得關于b、c的方程組，解之即得．（2）求出二次函數(shù)的頂點式（或用公式法）即可求得該二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸．（3）描點作圖．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經過點（4，3），（3，0），∴，解得．（2）∵該二次函數(shù)為．∴該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（2，－1），對稱軸為x=1．（3）列表如下：x···01234···y···30103···描點作圖如下：【題型3：二次函數(shù)的性質】【典例3】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）已知拋物線，，為該拋物線上的兩點，若，則的取值范圍（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】先把化成，把，兩點的坐標代入，根據(jù)，即可求出的取值范圍．【詳解】∵，當點，在拋物線上，∴，，∵，∴，解得：．故答案為：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，解題的關鍵是掌握函數(shù)的圖象和性質．1．（2019·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與過點且平行于x軸的直線相交于點、，與軸交于點C，若為直角，則【答案】/【分析】直線與軸交于點，如圖，則，利用二次函數(shù)的性質得到，再證明為等腰直角三角形得到，所以，然后把點坐標代入即可得到的值．【詳解】解：設直線與軸交于點，如圖，則，，，過點且平行于軸，為等腰三角形，∵軸，∴，，為等腰直角三角形，，，把代入，得，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質和等腰直角三角形的性質．2．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且滿足：．當時，該函數(shù)的最大值與滿足的關系式是．【答案】【分析】首先確定該函數(shù)的對稱軸為直線為，結合可得，故當時，該函數(shù)的最大值為其頂點的縱坐標，即可獲得答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，∴該函數(shù)的對稱軸為直線，∵，∴，∴當時，該函數(shù)的最大值是時．故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質，根據(jù)確定二次函數(shù)對稱軸的位置是解題的關鍵．3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，已知拋物線．(1)該拋物線經過一個定點：______(寫出坐標)；(2)點是拋物線上一點，當點P在拋物線上運動時，n存在最小值N．①若，求k的值；②若，結合該拋物線，直接寫出N的取值范圍．【答案】(1)(2)①2；②【分析】（1）將變形成，再令可求出的值，從而推出定點坐標；（2）①將配成頂點式，從而求出N與k的關系式，令n=3，求解關于k的方程即可；②將看成自變量的取值范圍，利用N與k的關系式求N的范圍即可．【詳解】（1）解：令，則∴定點的坐標是故答案為：；（2）①∵當點P在拋物線上運動時，n存在最小值N，∴令，則解得：即k的值為2；②，，對稱軸為直線，(i)當時，N隨著x的增大而增大，令，則，令，則∴(ii)當時，N隨著x的增大而減小，令，則，令，則∴綜上所述：N的取值范圍為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，定點的求法，將二次函數(shù)解析式由一般式化為頂點式等知識，掌握二次函數(shù)的圖象與性質和最值的求法是解題的關鍵．4．（2023·江蘇泰州·?？级＃┮阎魏瘮?shù)．(1)若該函數(shù)圖象經過點，求的值；(2)當時，隨的增大而減小，①求的取值范圍；②證明：．【答案】(1)；(2)①；②見解析．【分析】（1）將點代入即可求得的值；（2）①先根據(jù)解析式確定拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)“當時，隨的增大而減小”列不等式并結合即可解答；②由“當時，隨的增大而減小”可知當時，有最大值，然后再說明最大值小于等于零即可證明結論．【詳解】（1）解：二次函數(shù)過點，，解得：；（2）①解：，函數(shù)圖象拋物線開口向上，對稱軸為，當時，隨的增大而減小，，解得：，，的取值范圍；②證明：在時，隨的增大而減小，當時，有最大值，即，，，，，，即．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質、配方法、二次函數(shù)的性質等知識點，掌握二次函數(shù)的性質是解答本題的關鍵．1．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可求解，熟記：“形如（，其中、為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù)”是解題的關鍵．【詳解】解：A、當時，原函數(shù)化為：，則不是二次函數(shù)，故不符合題意；B、，是一次函數(shù)，故不符合題意；C、是二次函數(shù)，故符合題意；D、，，分式形式，故不是二次函數(shù)，故不符合題意；故選C．2．拋物線的頂點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查根據(jù)拋物線的頂點式確定頂點坐標，對于二次函數(shù)，其頂點坐標為，熟記相關結論即可．【詳解】解：由題意得：該拋物線的頂點坐標為：，故選：D3．把拋物線向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，所得拋物線是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，根據(jù)“左加右減，上加下減”進行作答即可．【詳解】解：∵把拋物線向下平移2個單位長度，∴∵再向右平移1個單位長度，∴故選：D4．已知點，，三點都在拋物線的圖象上，則、、的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，比較拋物線上兩點縱坐標的大小，關鍵是確定對稱軸，開口方向，兩點與對稱軸的遠近．先根據(jù)二次函數(shù)的性質得到拋物線的對稱軸為y軸，然后比較三個點離y軸的遠近得到、、的大小關系．【詳解】解：∵二次函數(shù)的解析式為，∴拋物線的對稱軸為y軸，，，，∴點C離y軸最遠，點B離y軸最近，∵拋物線開口向上，．故選：B．5．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，對稱軸為直線，結合圖象分析如下結論：①；②；③當時，y隨x的增大而增大；④點、是函數(shù)圖象上兩點，若且，則．其中正確的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖像的性質，函數(shù)圖像與參數(shù)的關系，由拋物線開口方向可判斷a的符號，由拋物線對稱軸位置判定b的符號，由拋物線與y軸交點可判斷c的符號，從而判斷①，根據(jù)當時，，判斷②，根據(jù)圖象判定③，根據(jù)點D、E的位置和到對稱軸的距離判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴，∵拋物線對稱軸為直線，與x軸交于點，∴與x軸另一個交點B坐標為，，∴，故①正確；當時，，∴，故②錯誤；由圖象可得當時，y隨x增大而增小，故③錯誤．∵若且，∴，∴，當時，，當時，∵，∴，即點E到對稱軸的距離小于點D到對稱軸的距離，∴，故④正確．綜上所述：正確的說法有2個，故選：B．6．用配方法把二次函數(shù)寫成的形式為．【答案】【分析】本題考查了將二次函數(shù)表達式化為頂點式，先將二次項系數(shù)提取因式，再根據(jù)完全平方公式進行配方，即可解答．【詳解】解：，故答案為：．7．已知，當時，函數(shù)值y隨x的增大而．【答案】減小【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質，熟知開口向上的二次函數(shù)，在對稱軸左側函數(shù)值y隨x的增大而減小，在對稱軸右側，函數(shù)值y隨x的增大而增大是解題的關鍵．【詳解】解：∵拋物線解析式為，，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∴當時，函數(shù)值y隨x的增大而減小，故答案為：減?。?．已知二次函數(shù)的部分對應值列表如表：x…035…y…7﹣87…則拋物線的對稱軸為．【答案】【分析】由表格可得拋物線經過即可得到拋物線的對稱軸，此題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)圖象的對稱性是解題的關鍵．【詳解】解：由表格可得拋物線經過，∴拋物線對稱軸為直線，故答案為：．9．下面表格是二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的部分對應值，由此可以判斷方程的一個解的范圍是．01217【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程與二次函數(shù)之間的關系，根據(jù)表格可知二次函數(shù)與x軸一個交點在直線和直線之間，則方程的一個解的范圍是．【詳解】解：由表格可知，當時，，當，，∴二次函數(shù)與x軸一個交點在直線和直線之間，∴方程的一個解的范圍是，故答案為：．10．坐標平面上有兩個二次函數(shù)的圖象，其頂點，均在軸上，且有一條水平線與兩圖象相交于，，，四點，各點位置如圖所示，若，，，則的長度為．

【答案】【分析】由，，的長度及拋物線的對稱性可得點與點，點與點的橫坐標之差，再利用即可求解；【詳解】解：，，∴,∴，，，，∴，∴故答案為：【點睛】本題考查二次函數(shù)的對稱性，利用橫坐標的差表示特殊線段長度，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解．11．若函數(shù)是二次函數(shù)．(1)求k的值．(2)當時，求y的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關于k所滿足的式子，求解即可；（2）在（1）的基礎上，先求出二次函數(shù)解析式，然后代入求解即可．【詳解】（1）解：依題意有，解得：，∴k的值為3；（2）把代入函數(shù)解析式中得：，當時，，∴y的值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，以及求二次函數(shù)的函數(shù)值，理解并掌握二次函數(shù)的基本定義是解題關鍵．12．二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)值y的對應值如表，根據(jù)下表回答問題．x…0…y…04…(1)求出該二次函數(shù)的表達式；(2)寫出向下平移2個單位后，圖象所對應的二次函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)圖象的平移，注意計算的準確性．（1）將和代入，即可求解；（2）上下平移改變因變量的值：上加下減．【詳解】（1）解：將和代入得：，解得：，∴該二次函數(shù)的表達式為：（2）解：向下平移2個單位后，二次函數(shù)得表達式為：，即：13．在平面直角坐標系中，拋物線的表達式為．(1)當時，求y的值．(2)將拋物線向左平移2個單位后，恰經過點，求b的值．【答案】(1)0(2)0【分析】（1）把代入，即可求得；（2）根據(jù)題意原拋物線經過，代入解析式解方程即可求得．【詳解】（1）解：當時，；即y的值為0；（2）∵將拋物線向左平移2個單位后，恰經過點∴原拋物線經過，把代入解析式可得：，∴．【點睛】此題考查了二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．14．已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點（A在B左側），與y軸交于C點．

(1)分別寫出A、B、C三點坐標：A______，B______，C______；(2)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)圖像示意圖；(3)任寫出兩條該函數(shù)圖像具備的特征：①______；②______．【答案】(1)，，(2)見解析(3)①開口向上；②當時，y隨x的增大而增大（答案不唯一）【分析】（1）令，即可得到A、B的坐標，令，即可得到C的坐標；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像特點描點連線即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)圖像特點即可解答．【詳解】（1）（1）令，得，又∵A在B左側，∴，，令，得，故答案為：，，．（2）

描點連線得圖像如圖所示；（3）根據(jù)二次函數(shù)圖像特點，該函數(shù)圖像開口向上，當時，y隨x的增大而增大，故答案為：①開口向上；②當時，y隨x的增大而增大．【點睛】本題考查了畫二次函數(shù)的圖像及判斷函數(shù)圖像具備的特征，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)及其函數(shù)圖像．15．已知二次函數(shù)部分自變量與函數(shù)值的對應值如下表所示：…………(1)求二次函數(shù)解析式；(2)在平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)的圖象；(3)當時，的取值范圍是____________．【答案】(1)(2)畫圖見詳解(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)解析式，用描點法即可求解；（3）根據(jù)自變量的取值范圍，結合圖示，即可確定函數(shù)值的取值范圍．【詳解】（1）解：當時，；當時，；當時，，∴，解方程得，∴二次函數(shù)解析式為．（2）解：二次函數(shù)解析式為，圖像如圖所示，函數(shù)與軸的交點是，，與軸的交點是，對稱軸為，符合題意．（3）解：當時，根據(jù)（2）中圖示可知，當時，；當當時，；當時，．∴當時，．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖形，根據(jù)函數(shù)自變量求函數(shù)取值范圍，掌握待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像的性質是解題的關鍵．1．拋物線的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)，二次函數(shù)的性質等知識；根據(jù)圖象的開口、對稱軸及圖象與坐標軸的交點即可確定答案．【詳解】解：由圖象知，拋物線開口向下，則，由拋物線對稱軸在y軸左邊，得，則，∴，故A錯誤；∵拋物線對稱軸為直線，∴即，當時，函數(shù)取得最大值，且最大值為正，∴，，故C正確，B錯誤；由圖象知，拋物線與x軸有兩個不同的交點，則有兩個不相等實數(shù)根，所以，即，故D錯誤；故選：C．2．二次函數(shù)圖象是拋物線，．白變量x與函數(shù)y的部分對應值如下表：x…012…y…4004…下列說法不正確的是（

）A．拋物線與y軸的交點坐標為 B．拋物線的對稱軸是C．函數(shù)y的最小值為 D．當時，y隨x的增大而增大【答案】C【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，配方后結合二次函數(shù)的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，本題得以解決．【詳解】解：把代入得，，解得，，∴，∴拋物線頂點坐標為，對稱軸為直線，故選項B說法正確，不符合題意；當時，，拋物線與y軸的交點坐標為，故選項A說法正確，不符合題意；∵，拋物線開口向上，函數(shù)y有最小值為，故選項C說法不正確，符合題意；∵對稱軸為直線，圖象開口向上，∴當時，y隨x的增大而增大，故選項D說法正確，不符合題意；故選：C．3．對于拋物線，下列結論：①拋物線開口向下；②拋物線經過點③拋物線的頂點為；④當時，隨的增大而減?。渲姓_的結論有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質，主要利用了拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，以及二次函數(shù)的增減性．根據(jù)二次函數(shù)的性質對各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：拋物線中，∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為，∴時，隨的增大而減小，將代入可得，即拋物線經過點，故③錯誤，①②④正確．故選：B．4．二次函數(shù)其對稱軸為直線，若，為拋物線上三點，則、、的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，先根據(jù)對稱軸為判斷拋物線的開口方向，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解即可，解決問題的關鍵在于掌握二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）的性質：當時，開口向上，在對稱軸的左側隨的增大而減小，在對稱軸的右側隨的增大而增大；點到對稱軸的距離越大，函數(shù)值越大；當時，開口向下，在對稱軸的左側隨的增大而增大，在對稱軸的右側隨的增大而減??；點到對稱軸的距離越大，函數(shù)值越小．【詳解】解：∵對稱軸為，∴，∴，∴拋物線開口向上，則當時，隨增大而增大，∵關于的對稱點為，又∵，∴，∵當時，隨增大而增大，∴，故選：A．5．二次函數(shù)的圖像如圖所示，對稱軸是直線．下列結論：①；②；③；④（為實數(shù)）．其中結論正確的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質、二次函數(shù)圖像與其系數(shù)間的關系等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質是解題的關鍵．根據(jù)該二次函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸以及與軸交點位置分析的符號，即可判斷結論①；由函數(shù)圖像可知，當時，，即可判斷結論②；由函數(shù)圖像可知，當時，，即可判斷結論③結合當時，該二次函數(shù)取最小值，易知（為實數(shù)），即可判斷結論④．【詳解】解：根據(jù)題意，該函數(shù)圖像開口向上，∴，∵對稱軸是直線，∴，∴，∵該函數(shù)圖像與軸交于負半軸，∴當時，可有，∴，故結論①不正確；由函數(shù)圖像可知，當時，，∴，故結論②正確；由圖像可知，當時，，∴，故結論③正確；∵當時，該二次函數(shù)取最小值，∴（為實數(shù)），即（為實數(shù)）．綜上所述，結論正確的有②③④，合計3個．故選：C．6．已知拋物線經過點，，，，則．【答案】【分析】此題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質，首先要理解題意，，兩點縱坐標相同，對稱軸是兩點橫坐標的平均數(shù)，再利用對稱軸，根據(jù)對稱性求解是解決問題的關鍵．【詳解】解：∵拋物線經過點，，，，∴由，得拋物線的對稱軸為直線，∵，關于對稱軸對稱，∴，∴，故答案為：．7．如圖是二次函數(shù)的部分圖像，由圖像可知方程的一個解是，那么它的另一個解是．【答案】【分析】本題考查利用二次函數(shù)的圖像與性質解方程，涉及二次函數(shù)圖像與性質、圖像法解一元二次方程等知識，由圖知拋物線與軸的一個交點為，求出對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性即可得到另一個交點，從而得到答案．【詳解】解：由二次函數(shù)的部分圖像可知其對稱軸為，且方程的一個解是，即拋物線與軸的一個交點為，由二次函數(shù)對稱性知二次函數(shù)圖像與軸的另一個交點為，即方程的另一個解是，故答案為：．8．二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列說法：；；；；當時，．其中正確的序號是．

【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關系，根據(jù)圖象的開口可確定，再結合對稱軸，可確定，根據(jù)圖象與軸的交點位置，可確定，根據(jù)圖象與軸的交點個數(shù)可確定，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關性質、以及二次函數(shù)的圖象的特點．【詳解】解：∵圖象開口向下，∴，∵，∴，∴，，∵拋物線交軸正半軸，∴，∴，故正確；∵當時，，∴，故正確；∵圖象和軸交于兩點，∴，故正確；由圖象可知，當時，，故正確；所以正確的序號是，故答案為：．9．已知點，，，在二次函數(shù)的圖象上，且C為拋物線的頂點．（1）若，則的值是．（2）若，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質，由拋物線頂點為最低點可得拋物線開口向上，由拋物線解析式可得拋物線對稱軸，求出點A，B關于對稱軸對稱時m的值，結合拋物線開口方向求解．解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關系．【詳解】解：（1）拋物線對稱軸為直線，，，，，故答案為：；（2）點為拋物線頂點，，拋物線開口向上，頂點為最低點，，拋物線對稱軸為直線，當點，關于拋物線對稱軸對稱時，，解得，，，故答案為：．10．已知：如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于點，與軸正半軸交于點，點在以點為圓心，個單位長度為半徑的圓上，點是的中點，連接，則的最小值為．【答案】【分析】先求得的坐標，勾股定理求得的長，設拋物線與軸負半軸的交點為，連接交于點，當與點重合時，取得最小值，則取得最小值，即可求解．【詳解】解：如圖所示，拋物線與軸負半軸的交點為，連接交于點，由當時，，解得：，當時，，∴，∴，∴，∵是的中點，是的中點，∴，∴當與點重合時，取得最小值，則取得最小值，∴∴，故答案為：．【點睛】本題考查了的拋物線與坐標軸的交點，勾股定理，中位線的性質，一點到圓的距離最值問題，得出當與點重合時，取得最小值，則取得最小值是解題的關鍵．11．已知二次函數(shù)拋物線經過，．(1)求拋物線的表達式，并畫出這個函數(shù)的圖像；(2)根據(jù)圖像，直接寫出：①當函數(shù)值時，自變量的取值范圍；②當時，函數(shù)值的取值范圍．【答案】(1)，見解析(2)①②【分析】(1)把坐標代入解析式轉化方程組計算即可．(2)①計算拋物線與軸的交點坐標，根據(jù)題意計算即可．②利用數(shù)形結合思想計算即可．熟練掌握拋物線的性質，待定系數(shù)法是解題的關鍵．【詳解】（1）∵二次函數(shù)拋物線經過，．∴解得，故拋物線的解析式為．畫圖像如下：．（2）①根據(jù)題意，得，解得，當函數(shù)值時，自變量的取值范圍是．②∵，∴對稱軸為直線，∴在自變量范圍內，∴函數(shù)值的最大值為；∵拋物線開口向下，∴距離對稱軸越近，函數(shù)值越大，∵，∴，函數(shù)值最小，，故函數(shù)值的取值范圍是．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，函數(shù)的增減性，熟練掌握性質是解題的關鍵．12．已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標為，與軸的交點坐標為，求該二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握求二次函數(shù)解析式的方法是解題關鍵．設該二次函數(shù)的解析式為，然后把點代入，求解即可獲得答案．【詳解】解：由題意可知，二次函數(shù)圖像的頂點坐標為，設該二次函數(shù)的解析式為，把點代入，可得，解得，故該二次函數(shù)的解析式為，即．13．已知拋物線的頂點，且過，與x軸交于B，C兩點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求的面積．【答案】(1)(2)8【分析】（1）根據(jù)頂點坐標，設拋物線解析式為，把代入解得：，即可得出拋物線函數(shù)表達式；（2）先求出點B和按C的坐標，再根據(jù)三角形面積公式，即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點，∴設拋物線解析式為，把代入得：，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：把代入得：，解得：，∴，∴，∴．14．我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫作“華為”函數(shù)．如圖，小麗同學畫出了“華為”函數(shù)的圖像，根據(jù)該圖像解答下列問題：(1)求該函數(shù)圖像與軸和軸的交點坐標．(2)當函數(shù)值隨值的增大而減小時，求自變量的取值范圍．【答案】(1)與x軸交點坐標，，與y軸交點坐標(2)或【分析】（1）分別令和，然后求解，即可獲得答案；（2）首先確定該函數(shù)圖像的對稱軸，然后結合圖像，即可獲得答案．【詳解】（1）解：令，即，可得，∴，解得，，∴函數(shù)圖像與軸的交點坐標為和，令，則，∴函數(shù)圖像與軸的交點坐標為；（2）該圖像具有對稱性，對稱軸是直線，函數(shù)圖像與軸的交點坐標為和，觀察圖像可知，當或時，函數(shù)值隨值的增大而減?。军c睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與軸交點、二次函數(shù)圖像與軸交點、解一元二方程、二次函數(shù)圖像與性質等知識，解題關鍵是運用數(shù)形結合的思想分析問題．15．【概念理解】對于給定的兩個函數(shù)，任取自變量的一個值，當時，它們對應的函數(shù)值互為相反數(shù)；當時，它們對應的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關函數(shù)．例如：一次函數(shù)是，它的相關函數(shù)為．【嘗試解決】已知二次函數(shù)，請回答下列問題：（1）這個二次函數(shù)的相關函數(shù)為；（2）當在這個二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖像上時，求的值；【靈活應用】（3）當時，求這個二次函數(shù)的相關函數(shù)的最小值是_________；（4）當直線與該二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖像只有二個交點時，的取值范圍是_______．（直接寫出答案）【答案】（1），；（2）的值為，或；（3）；（4）【分析】本題考查二次函數(shù)圖像與性質，涉及新定義函數(shù)、已知函數(shù)值求自變量、函數(shù)作圖、函數(shù)圖像平移、函數(shù)最值及函數(shù)圖像的交點等知識，讀懂題意，理解相關函數(shù)定義并利用數(shù)形結合求解是解決問題的關鍵．（1）根據(jù)相關函數(shù)定義直接求解即可；（2）由（1）中所求函數(shù)表達式，令求解即可；（3）作出相關函數(shù)圖像，數(shù)形結合即可得到最值；（4）作出相關函數(shù)圖像，再由函數(shù)圖像平移，數(shù)形結合即可得到范圍．【詳解】（1）已知二次函數(shù)，由相關函數(shù)定義可知，當時，它們對應的函數(shù)值互為相反數(shù)，可得；當時，它們對應的函數(shù)值相等，可得，，故答案為：；；（2）由（1）知的相關函數(shù)為，當在這個二次函數(shù)的相關函數(shù)的圖像上時，分兩種情況：當在時，，解得或，由得；當在時，，解得或，由得或；綜上所述，的值為，或；【靈活應用】（3）在平面直角坐標系中作出圖像，如圖所示：

當時，求這個二次函數(shù)的相關函數(shù)的最小值是當時，，故答案為：；（4）直線與平行，由（3）中圖像，在同一個坐標系中作出，如圖所示：

當直線過點時，與相關函數(shù)有兩個交點，此時，往上平移有且只有一個交點；當直線過點時，與相關函數(shù)有兩個交點，此時，網上平移有且只有兩個交點；綜上所述，，故答案為：．1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）若實數(shù)，，滿足，，則代數(shù)式的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立方程組，解得，設，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得：設∴∵∴有最大值，最大值為故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，解二元一次方程組，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．2．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移“左加右減，上加下減”可進行求解．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數(shù)表達式為；故選B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移是解題的關鍵．3．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結論：①函數(shù)圖像一定經過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經過第三象限；③當時，y隨x的增大而減??；④當時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質進行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經過第一、二象限，又∵，∵，∴，當時，拋物線與x軸無交點，二次函數(shù)圖象只經過第一、二象限，當時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數(shù)圖象經過第一、二、四象限，故①錯誤；②正確；∵拋物線對稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當時，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號之間的關系是解題的關鍵．4．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，若線段在邊上運動，且，則的最小值是（

）

A． B． C． D．10【答案】B【分析】過點C作，過點B作，需使最小，顯然要使得和越小越好，則點F在線段的之間，設，則，求得關于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】解：過點C作，

∵，，∴，過點B作，∵，∴四邊形是矩形，∴，需使最小，顯然要使得和越小越好，∴顯然點F在線段的之間，設，則，∴，∴當時取得最小值為．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)應用，矩形的判定和性質，解直角三角形，利用二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．5．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，垂足分別為E，F(xiàn)，且，．動點P，Q均以的速度同時從點A出發(fā)，其中點P沿折線運動到點B停止，點Q沿運動到點B停止，設運動時間為，的面積為，則y與t對應關系的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分四段考慮，①點P在AD上運動，②點P在DC上運動，且點Q還未到端點B，③點P在DC上運動，且點Q到達端點B，④點P在BC上運動，分別求出y與t的函數(shù)表達式，繼而可得出函數(shù)圖象．【詳解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，在Rt△CFB中，BC=(cm)，AB=AE+EF+FB=15(cm)，①點P在AD上運動，AP=t，AQ=t，即0，如圖，過點P作PG⊥AB于點G，，則PG=(0)，此時y=AQPG=(0)，圖象是一段經過原點且開口向上的拋物線；②點P在DC上運動，且點Q還未到端點B，即13，此時y=AQDE=(13)，圖象是一段線段；③點P在DC上運動，且點Q到達端點B，即15，此時y=ABDE=(15)，圖象是一段平行于x軸的水平線段；④點P在BC上運動，PB=31t，即18，如圖，過點P作PH⊥AB于點H，，則PH=，此時y=ABPH=(18)，圖象是一段線段；綜上，只有D選項符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解答本題的關鍵是分段討論y與t的函數(shù)關系式，6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的圖像與x軸有一個交點在y軸右側，則n的值可以是（填一個值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求解．【詳解】解：設二次函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標為、，即二元一次方程的根為、，由根與系數(shù)的關系得：，，一次函數(shù)的圖象與軸有一個交點在軸右側，，為異號，，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，根與系數(shù)之間的關系，關鍵是根與系數(shù)之間的關系的應用．7．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（、為常數(shù)，）的最大值為2，寫出一組符合條件的和的值：．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)最值公式得到，即可得到，據(jù)此寫出一組符合條件的a和c的值即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)的最大值為2，∴，∴，故時，，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟知二次函數(shù)的最值公式是解題的關鍵．8．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)物理學規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間的函數(shù)關系是，當飛行時間t為s時，小球達到最高點．【答案】2【分析】將函數(shù)關系式轉化為頂點式即可求解．【詳解】根據(jù)題意，有，當時，有最大值．故答案為：2．【點睛】本題考查二次函數(shù)解析式的相互轉化及應用，解決本題的關鍵是熟練二次函數(shù)解析式的特點及應用．9．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的圖像與x軸交于點、，與軸交于點，過點的直線將分成兩部分，這兩部分是三角形或梯形，且面積相等，則的值為．【答案】或或【分析】先求得，，，直線解析式為，直線的解析式為，1）、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線，則①如圖1，直線過中點，②如圖2，直線過中點，直線解析式為，中點坐標為，待入直線求得；③如圖3，直線過中點，中點坐標為，直線與軸平行，必不成立；2）當分成三角形和梯形時，過點的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因為平分面積，所以相似比為．④如圖4，直線，根據(jù)相似三角形的性質，即可求解；⑤如圖5，直線，⑥如圖6，直線，同理可得，進而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：由，令，解得：，令，解得：，∴，，，設直線解析式為，∴解得：∴直線解析式為，當時，，則直線與y軸交于，∵，∴，∴點必在內部．1）、當分成兩個三角形時，直線必過三角形一個頂點，平分面積，必為中線設直線的解析式為∴解得：則直線的解析式為①如圖1，直線過中點，，中點坐標為，代入直線求得，不成立；

②如圖2，直線過中點，直線解析式為，中點坐標為，待入直線求得；③如圖3，直線過中點，中點坐標為，直線與軸平行，必不成立；2）、當分成三角形和梯形時，過點的直線必與一邊平行，所以必有型相似，因為平分面積，所以相似比為．④如圖4，直線，∴∴，∴，解得；

⑤如圖5，直線，，則∴，又，∴，∵，∴不成立；⑥如圖6，直線，同理可得，∴，，，∴，解得；綜上所述，或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，解直角三角形，相似三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識，并分類討論是解題的關鍵．10．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點C為y軸正半軸上的一個動點，過點C的直線與二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，且，P為的中點，設點P的坐標為，寫出y關于x的函數(shù)表達式為：．【答案】【分析】過點A作AN⊥y軸，過點B作BM垂直y軸，則BM∥AN，，設A(a，a2)，則B(3a，9a2)，求出C(0，3a2)，從而得P(，)，進而即可得到答案．【詳解】解：過點A作AN⊥y軸，過點B作BM垂直y軸，則BM∥AN，∴，∵，∴，設A(a，a2)，則B(3a，9a2)，設直線AB的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴直線AB的解析式為：y=2ax+3a2，∴C(0，3a2)，∵P為的中點，∴P(，)，∴，即：，故答案是：．【點睛】本特納主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，相似三角形的判定和性質，掌握函數(shù)圖像上點的坐標特征，是解題的關鍵．11．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）．(1)該函數(shù)圖像與軸交于兩點，若點坐標為，①則的值是_________，點的坐標是_________；②當時，借助圖像，求自變量的取值范圍；(2)對于一切實數(shù)，若函數(shù)值總成立，求的取值范圍（用含的式子表示）；(3)當時（其中為實數(shù)，），自變量的取值范圍是，求和的值以及的取值范圍．【答案】(1)①②或(2)(3)【分析】（1）①待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令，求出點的坐標即可；②畫出函數(shù)圖像，圖像法求出的取值范圍即可；（2）求出二次函數(shù)的最小值，即可得解；（3）根據(jù)當時（其中為實數(shù)，），自變量的取值范圍是，得到和關于對稱軸對稱，進而求出的值，得到為的函數(shù)值，求出，推出直線過拋物線頂點或在拋物線的下方，即可得出結論．【詳解】（1）解：①∵函數(shù)圖像與軸交于兩點，點坐標為，∴，∴，∴，∴當時，，∴，∴點的坐標是；故答案為：；②，列表如下：1345005畫出函數(shù)圖像如下：

由圖可知：當時，或；（2）∵，∴當時，有最小值為；∵對于一切實數(shù)，若函數(shù)值總成立，∴；（3）∵，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，又當時（其中為實數(shù)，），自變量的取值范圍是，∴直線與拋物線的兩個交點為，直線在拋物線的下方，∴關于對稱軸對稱，∴，∴，∴，∴，當時，有最小值，∴．

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質，利用數(shù)形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．本題的綜合性較強，屬于中考壓軸題．12．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）過點D作DM⊥OA于點M，設，由，解得，進而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質即可得解；（3）先設出平移后頂點為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，進而得，再根據(jù)勾股定理構造方程即可得解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過點D作DM⊥OA于點M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設，∵D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當m=時，，∴，∵，∴設將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過點作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對稱軸x=的左側，y隨x的增大而減小，此時原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設平移后的拋物線為，則頂點為，∵頂點為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，∴，∵點Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點Q在頂點P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當p=3時，，當p=時，，∴點P坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質是解題的關鍵．13．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內角是的兩倍，求點的橫坐標．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過點作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進而可得，求得直線的解析式為，設，則，進而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點，使得，得出，然后根據(jù)，設，．進而分兩種情況討論，ⅰ當時，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當時，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經過點和點∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過點作軸平行線分別交、于、．∵，當時，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設，，，當時，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點，使得，∴，設，則，則，解得，∴，即．如圖3構造，且軸，相似比為，又∵，設，則．分類討論：ⅰ當時，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標為．ⅱ當時，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線