第03講三角形內(nèi)角和與外角和-2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)課（人教版）

第03講三角形內(nèi)角和與外角和【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解三角形的內(nèi)角和的驗(yàn)證及證明過(guò)程；2、熟練利用三角形的內(nèi)角和及直角三角形兩銳角的關(guān)系解決問(wèn)題；3、理解三角形的外角的概念．4、了解三角形外角的性質(zhì)的推理過(guò)程；5、能綜合利用三角形的內(nèi)外角和定理及外角的性質(zhì)解決問(wèn)題.【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)01三角形內(nèi)角和定理1、三角形的內(nèi)角和定理(1)內(nèi)容:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.(2)應(yīng)用格式:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.2、三角形內(nèi)角和定理的證明：（1）拼接法【注意】由三角形的內(nèi)角和為180°,可推出三角形中角的許多特定關(guān)系:(1)一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角或直角﹔(2)一個(gè)三角形中最少有一個(gè)角不小于60°;(3)等邊三角形中每個(gè)角都是60°等.知識(shí)點(diǎn)02直角三角形的性質(zhì)與判定1、直角三角形的組成2、直角三角形的性質(zhì)與判定(1)表示:直角三角形可以用符號(hào)“”表示.【注意】直角三角形可以用符號(hào)“Rt”表示,如直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC.(2)性質(zhì)與判定:文字?jǐn)⑹鰩缀握Z(yǔ)言圖形性質(zhì)直角三角形兩銳角互余在Rt△ABC中，判定有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形如果，則△ABC是直角三角形知識(shí)點(diǎn)03三角形的外角1、三角形的外角概念:三角形的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線組成的角.【注意】（1）三角形的一個(gè)外角和與它同頂點(diǎn)的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角,這是內(nèi)、外角聯(lián)系的紐帶.（2）一個(gè)三角形有6個(gè)外角,其中同一頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角互為對(duì)頂角，如圖所示.2、三角形外角的性質(zhì)（1）定義：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（2）數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：【注意】靈活應(yīng)用外角性質(zhì)變式:∠B=∠1－∠C或∠C=∠1－∠B.3、三角形外角和（1）規(guī)定:在每一個(gè)頂點(diǎn)上取一個(gè)外角,如圖所示,取∠1,∠2,∠3.（2）三角形外角和定理:三角形的外角和等于360°.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的識(shí)別例1．(1)在△ABC中,∠A=70°,∠C=45°,則∠B=；(2)已知在△ABC中,∠A=40°,∠B－∠C=40°,則∠B=；∠C=；【答案】(1)65°；(2)90°50°【解析】解:（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°,得∠B=180°－∠A－∠C=180°－70°－45°=65°.（2）由∠A=40°,得∠B＋∠C=140°，又因?yàn)椤螧－∠C=40°，可解得∠B=90°，∠C=50°；考點(diǎn)二：直角三角形的性質(zhì)與判定例2．如圖,AB,CD相交于點(diǎn)O,AC⊥CD于點(diǎn)C,若∠BOD=38°,則∠A=【答案】52°【解析】因?yàn)锳C⊥CD于點(diǎn)C,所以△AOC是直角三角形,所以∠C=90°.所以∠A=90°一∠AOC=90°—38°=52°.例4．在△ABC中,∠B=2∠A,∠C=3∠A,試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由.【解析】解:△ABC是直角三角形.理由如下:設(shè)∠A=.x，則∠B,∠C的度數(shù)分別為2x°,3x°.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,得x＋2x+3x=180,解得x=30，所以∠A＋∠B=3x°=90°，所以△ABC是直角三角形.考點(diǎn)三：三角形的外角例4．如圖,一個(gè)直角三角形紙片,剪去直角后,得到一個(gè)四邊形,求∠1＋∠2的度數(shù).【答案】270°【解析】解:由三角形外角的性質(zhì),可知∠1=90°+∠AED,∠2=90°+∠ADE，所以∠1＋∠2=90°+∠AED＋90°+∠ADE=180°+∠AED+∠ADE.因?yàn)椤螦ED+∠ADE=90°，所以∠1+∠2=180°+90°=270°.【總結(jié)】(1)求度數(shù):在外角及與其不相鄰的兩內(nèi)角中知道兩角能求第三角，也能求出與外角相鄰內(nèi)角的度數(shù);(2)證明角相等:一般是把外角作為橋梁,通過(guò)等量代換證明角相等;(3)判斷角的大小:外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角.考點(diǎn)四：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用例5．在△ABC中,∠A:∠B:∠C=2∶3∶5,求三角形各內(nèi)角的度數(shù).【分析】三角形中三個(gè)內(nèi)角的和是固定的,知道三角形中三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,便可設(shè)出參數(shù),列出方程求解.【解析】解:設(shè)三角形的三個(gè)角分別為2x°,3x°,5x°，則2x+3x+5x=180,解得x=18，所以∠A=2x°=36°,∠B=3x°=54°,∠C=5x°=90°.【總結(jié)】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理建立方程模型,可用代數(shù)知識(shí)解決幾何問(wèn)題;(2)三角形內(nèi)角和等于180°是隱含的條件,可以直接應(yīng)用.考點(diǎn)五：利用三角形外角性質(zhì)求角例6計(jì)算下列角度：(1)如圖,P為AABC中BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠A=50°,∠B=70°,則∠ACP=(2)如圖所示,已知∠ABE=142°,∠C=72°,則∠A=,∠ABC=;(3)如圖,∠3=120°,則∠1－∠2=【答案】(1)120°；(2)70°，38°；(3)60°【分析】題中涉及三角形的內(nèi)角和外角，可考慮應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)或外角性質(zhì)的變式.【解析】(1)由三角形外角的性質(zhì)，知∠ACP=∠A＋∠B=50°＋70°=120°.(2)由三角形外角的性質(zhì),知∠A=∠ABE－∠C=142°－72°=70°.因?yàn)椤螦BC與∠ABE互補(bǔ),所以∠ABC=180°－142°=38°.(3)觀察圖形,根據(jù)三角形外角的性質(zhì),知∠1是三角形的一個(gè)外角，∠1－∠2=∠4,∠4與∠3互為鄰補(bǔ)角,所以∠4=180°－∠3=180°－120°=60°,即∠1－∠2=60°.【總結(jié)】(1)內(nèi)外角結(jié)合:三角形的內(nèi)外角可相互轉(zhuǎn)化;(2)鄰補(bǔ)角結(jié)合:外角和相鄰的內(nèi)角和為180°;(3)對(duì)頂角結(jié)合:兩對(duì)頂角相等,但位置不同,可轉(zhuǎn)化外角位置.考點(diǎn)六：直角三角形的性質(zhì)與判定的運(yùn)用例7．如圖在△ABC中，∠ACB=90°,∠ACD=∠B,判斷△ADC的形狀.【分析】結(jié)合題圖可猜想△ADC是直角三角形,根據(jù)題圖中的角度關(guān)系,可考慮根據(jù)“有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形”進(jìn)行最終確定.【解析】解:因?yàn)椤螦CB=90°,所以∠A＋∠B=90°.因?yàn)椤螦CD=∠B,所以∠ACD＋∠A=90°.所以△ADC是直角三角形.考點(diǎn)七：題型四三角形內(nèi)角與外角的平分線的應(yīng)用例8．如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線與外角∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D,∠A=50°,求∠D的度數(shù).【答案】25°【分析】由角平分線就能得到角的相等或倍分關(guān)系,遇到外角及角度問(wèn)題則考慮外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角之和.如圖,應(yīng)用兩次三角形外角的性質(zhì):∠D=∠1－∠2,∠A=∠ACE－∠ABC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得結(jié)果.【解析】解:如圖,因?yàn)椤螦BC的平分線與外角∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，所以∠1=∠ACE,∠2=∠ABC.又因?yàn)椤螪=∠1—∠2,∠A=∠ACE－∠ABC，所以∠D=∠1－∠2=∠ACE－∠ABC=(∠ACE－∠ABC)=∠A=25°.【總結(jié)】考點(diǎn)八：三角形與平行線的綜合應(yīng)用例9．如圖,已知DE//BC,CD是∠ACB的平分線,∠B=70°,∠A=60°,求∠EDC的度數(shù).【分析】遇平行線則首先尋找與所求角有關(guān)的內(nèi)錯(cuò)角、同位角和同旁內(nèi)角﹐由角平分線的性質(zhì)可以得到角度相等關(guān)系,然后結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°這一隱性條件即可得到所求.【答案】25°【解析】解:在△ABC中,因?yàn)椤螧=70°,∠A=60°,所以∠ACB=180°－70°－60°=50°.又因?yàn)镃D是∠ACB的平分線，所以∠DCB=∠ACB=25°.因?yàn)镈E//BC,所以∠EDC=∠DCB=25°.考點(diǎn)九：與三角形的角有關(guān)的規(guī)律探索型問(wèn)題例10．如圖①,在△ABC中,CD,BD分別是∠ACB和∠ABC的平分線,且∠A=.(1)用含的式子表示∠CDB;(2)若把圖①中∠ACB的平分線CD改為△ABC的外角∠ACE的平分線,如圖②,怎樣用含的式子表示∠CDB?(3)若把圖①中“CD,BD分別是∠ACB和∠ABC的平分線”改成“CD,BD分別是△ABC的外角∠BCF和∠CBE的平分線”,如圖,怎樣用含的式子表示∠CDB?【分析】先利用角平分線得到兩角相等,再利用三角形外角的性質(zhì)將角度轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中,即可結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得到規(guī)律.（1）根據(jù)∠A求得∠ABC+∠ACB的值,應(yīng)用角平分線的性質(zhì)可求得∠CDB;（2）根據(jù)外角∠ACE,∠DCE的性質(zhì),結(jié)合角平分線性質(zhì)和外角性質(zhì)求得∠D;（3）根據(jù)∠A求得∠EBC+∠FCB的值,應(yīng)用角平分線性質(zhì)可求得∠D.【解析】解:（1）因?yàn)镃D,BD分別是∠ACB和∠ABC的平分線﹐所以∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,所以∠DBC+∠DCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°－∠A)=.所以∠BDC=180°—(∠DBC+∠DCB)=；（2）因?yàn)镃D,BD分別是∠ACE和∠ABC的平分線，所以∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，所以∠ACD=∠DCE—∠DBC=(∠ACE一∠ABC)==.（3）因?yàn)镃D,BD分別是△ABC的外角∠BCF和∠CBE的平分線，所以∠DBC=∠CBE，∠DCB=∠BCF，所以∠DBC＋∠DCB=(∠CBE＋∠BCF)=(180°－∠ABC＋180°－∠ACB)=180°－(∠ABC+∠ACB)=180°(180°－∠A)=90°.所以∠CDB=180°－(∠DBC+∠DCB)=.【總結(jié)】考點(diǎn)十：三角形的高線易錯(cuò)題型例11．在△ABC中,BD是AC邊上的高,∠ABD=30°,求∠BAC的度數(shù).【解析】解:分兩種情況討論:(1)如圖①,∠BAC=90°－∠ABD=60°.(2)如圖②,∠BAC=90°+∠ABD=120°.故∠BAC的度數(shù)為60°或120°.【即學(xué)即練】1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶5，則△ABC是（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)∠A=x°,則∠B=,∠C=,再結(jié)合∠A+∠B+∠C=180°，列出方程x+4x+5x=180;解方程即可求得x的值,繼而可得出∠A、∠B、∠C的度數(shù).【詳解】解：設(shè)∠A=x°,則∠B=4x°,∠C=5x°，則x+4x+5x=180，18°，,故△ABC為直角三角形.故選C.【點(diǎn)睛】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠A、∠B、∠C的大小，進(jìn)而判斷△ABC的形狀.2．如圖，將一副三角板按圖中位置擺放，則∠BAD+∠DEC=（）A．165° B．210° C．220° D．255°【答案】D【解析】【分析】由三角形的外角和定理進(jìn)行計(jì)算可得答案.【詳解】解：由題意得:∠BAD=∠BAC+∠CAD=+=，由外角性質(zhì)得:∠DEC=∠D+∠DAC=+=，∠BAD+∠DEC=+=.故答案選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角和定理.3．如圖，AB//CD，DE⊥CE，∠1=34°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．34° B．56° C．66° D．54°【答案】B【解析】【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠D=∠1=34°，∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠DCE=180°﹣90°﹣34°=56°．故選B．4．在中，若一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)角的差，則（

）A．必有一個(gè)角等于 B．必有一個(gè)角等于C．必有一個(gè)角等于 D．必有一個(gè)角等于【答案】D【解析】【分析】先設(shè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為x，y，則可得第三個(gè)角(180°－x－y)，再分三種情況討論，即可得到答案.【詳解】設(shè)三角形的一個(gè)內(nèi)角為x，另一個(gè)角為y，則第三個(gè)角為(180°－x－y)，則有三種情況：①②③綜上所述，必有一個(gè)角等于90°故選D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，分情況討論.5．如圖，三角形紙片ABC中，∠A=80o，∠B=60o，將紙片的角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)，若∠α=30o，則∠β的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠C=40°，再由根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得：∠α+∠β+（180°∠C）+∠A+∠B=360°，代入即可求得∠β的度數(shù)【詳解】∵∠A=80°，∠B=60°，∴∠C=40°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得：∠α+∠β+（180°∠C）+∠A+∠B=360°，∵∠α=30°，∴30°+∠β+180°40°+80°+60°=360°，解得∠β=50°．故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理及四邊形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟知四邊形的內(nèi)角和是360°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，∠C＝70o，沿圖中虛線截去∠C，則∠1＋∠2＝（）A．360o B．250o C．180o D．140o【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A+∠B=110°，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=70°，∴∠A+∠B=180°∠C=110°，∴∠1+∠2=360°110°=250°，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意得出∠A+∠B的度數(shù)是解題關(guān)鍵.7．如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】∵如圖可知，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，故選．點(diǎn)睛：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理即三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此題難度不大．8．如圖，已知AE是ΔABC的角平分線，AD是BC邊上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，則∠DAE的大小是（

）A．5° B．13° C．15° D．20°【答案】C【解析】【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分線，可求∠BAE=41°，再由AD是BC邊上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD∠BAE，問(wèn)題得解．【詳解】在△ABC中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,∴∠BAC=180°?∠B?∠C=82°，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°?∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD?∠BAE=15°.【點(diǎn)睛】在本題中，我們需要注意到已知條件中已經(jīng)告訴三角形的兩個(gè)角，所以利用內(nèi)角和定理可以求出第三個(gè)角，再有已知條件中提到角平分線和高線，所以我們可以利用角平分線和高線的性質(zhì)計(jì)算出相關(guān)角，從而利用角的和差求解，在做幾何證明題時(shí)需注意已知條件衍生的結(jié)論.9．如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)E，記∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，則以下結(jié)論①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及三角形角平分線的定義可得∠BOC=90°+∠1，再結(jié)合三角形外角性質(zhì)可得∠ECD=∠OBC+∠2，從而可得∠BOC=90°+∠2，據(jù)此即可進(jìn)行判斷.【詳解】∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠1=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°∠1，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°∠1）=90°∠1，∴∠BOC=180°∠OBC∠OCB=180°（90°∠1）=90°+∠1，∵∠ACD=∠ABC+∠1，CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACD=（∠ABC+∠1），∵∠ECD=∠OBC+∠2，∴∠2=∠1，即∠1=2∠2，∴∠BOC=90°+∠1=90°+∠2，∴①④正確，②③錯(cuò)誤，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形的角平分線等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及定理、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.10．如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，那么∠DAE=______度．【答案】10【解析】【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理和角平分的定義，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，角平分線平分角的度數(shù)解答即可【詳解】因?yàn)?，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，所以∠BAC=180°60°40°=80°，因?yàn)锳E平分∠BAC，所以∠BAE=∠CAE=40°，又因?yàn)樵凇鰽CD中，AD⊥BC，∠C=40°，所以∠CAD=50°，所以∠DAE=∠CAD∠CAE=50°40°=10°【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和是180度11．如圖，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC＝_____．【答案】67°．【解析】【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，則利用鄰補(bǔ)角定義計(jì)算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根據(jù)角平分線定義得到∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形內(nèi)角和計(jì)算∠AEC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，∵AE和CE分別平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案為：67°．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．在本題解題過(guò)程中，有些角單獨(dú)計(jì)算不出來(lái)，所以把兩個(gè)角的和看作一個(gè)整體計(jì)算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整體思想是解決此題的關(guān)鍵．12．如圖，______°．【答案】180【解析】【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，由此不難證明結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠C＝180°，故答案為：180．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．13．如圖，，的平分線相交于點(diǎn)，的平分線相交于點(diǎn)，，的平分線相交于點(diǎn)……以此類推，則的度數(shù)是___________（用含與的代數(shù)式表示）．【答案】【解析】【分析】由∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，而P1B、P1C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，于是有∠A＝2∠P1，同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，因此找出規(guī)律．【詳解】∵P1B、P1C分別平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD＝2∠P1CD，∠ABC＝2∠P1BC，而∠P1CD＝∠P1＋∠P1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，∴∠A＝2∠P1，∴∠P1＝∠A，同理可得∠P1＝2∠P2，即∠A＝22∠P2，∴∠A＝2n∠Pn，∴∠Pn＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線性質(zhì)，難度適中．14．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則其底角為______度．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意可知等腰三角形需要分類討論，分為銳角三角形和鈍角三角形，畫出圖形解答即可．【詳解】解：①如圖1所示，當(dāng)?shù)妊切问卿J角三角形時(shí)，根據(jù)題意，，又∵BM是AC邊上的高，∴，∴，∴②如圖2，當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時(shí)，根據(jù)題意，，∵EN是DF邊上的高∴，∴，∴故答案為或【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的分類討論問(wèn)題，涉及了三角形內(nèi)角和和外角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠畫出圖形，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求出答案．15．認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問(wèn)題.探究1：如圖l，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90+∠A,理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180∠A)=90∠A∴∠BOC=180(∠1+∠2)=180(90∠A)=90+∠A(1)探究2；如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)探究3：如圖3中,O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）(3)拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）【答案】（1）探究2結(jié)論：∠BOC=；（2）探究3：結(jié)論∠BOC=90°－；（3）拓展：結(jié)論【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2∠1，然后整理即可得解；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答；（3）同（1）的求解思路．【詳解】（1）探究2結(jié)論：∠BOC=∠A．理由如下：如圖，∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一個(gè)外角，∴∠BOC=∠2∠1=∠A+∠1∠1=∠A，即∠BOC=∠A；（2）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），在△BOC中，∠BOC=180°∠OBC∠OCB=180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC），=180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°（180°+∠A），=90°∠A；故答案為∠BOC=90°∠A．（3）∠OBC+∠OCB=（360°∠A∠D），在△BOC中，∠BOC=180°（360°∠A∠B）=（∠A+∠D）．故答案為∠BOC=（∠A+∠D）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．【課后鞏固】1．若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為2∶7∶5，那么這個(gè)三角形是()A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】A【解析】【詳解】設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為：2x，7x，5x．∵三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2：7：5，∴2x+7x+5x=180°，∴7x=90°，∴這個(gè)三角形是直角三角形．故選A．2．把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若∠1=45°，則∠2的度數(shù)為（）A．115° B．120°C．145° D．135°【答案】D【解析】【分析】由下圖三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求得∠3的度數(shù)，又由鄰補(bǔ)角定義，求得∠4的度數(shù)，然后由兩直線平行，同位角相等，即可求得∠2的度數(shù)．【詳解】在Rt△ABC中，∠A=90°，∵∠1=45°（已知），∴∠3=90°∠1=45°（三角形的內(nèi)角和定理），∴∠4=180°∠3=135°（平角定義），∵EF∥MN（已知），∴∠2=∠4=135°（兩直線平行，同位角相等）．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)．注意兩直線平行，同位角相等與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．一副三角板如圖擺放（直角頂點(diǎn)重合），邊與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題意知圖中是一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)含角的直角三角形，故，，由平行線的性質(zhì)可知，由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)．【詳解】由題意知，，∵，∴，在中，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題關(guān)鍵是要搞清楚一副三角板是指一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)含角的直角三角形．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A比∠B大30°，則∠B=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【解析】【分析】由∠C=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠A+∠B=90°，因?yàn)椤螦比∠B大30°，列方程可以求得答案，進(jìn)而求出∠B；【詳解】∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，設(shè)∠A的度數(shù)為x，根據(jù)題意得：x+x?30°=90°，解得：x=60°，則∠B的度數(shù)為30°，故選A.【點(diǎn)睛】此題考查余角和補(bǔ)角，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵在于得到∠A+∠B=90°.5．如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)可知,再利用平角的定義可求出的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù).【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∵∴∴故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.6．如圖所示，一個(gè)60o角的三角形紙片，剪去這個(gè)60°角后，得到一個(gè)四邊形，那么的度數(shù)為（）A．120O B．180O. C．240O D．3000【答案】C【解析】【詳解】如圖，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠3+∠4+60°=180°，又根據(jù)平角定義，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，∴180°－∠1+180°－∠2+60°=180°.∴∠1+∠2=240°.故選C.7．如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的結(jié)果為（

）A．90° B．360° C．180° D．無(wú)法確定【答案】C【解析】【詳解】如圖，連接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.故選C.8．如圖,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和為（

）A．180° B．360° C．270° D．540°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可知∠A＋∠C＋∠E＝180°，∠B＋∠D＋∠F＝180°，從而得出結(jié)果．【詳解】解：∵∠A＋∠C＋∠E＝180°，∠B＋∠D＋∠F＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．9．已知△ABC，(1)如圖①，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°＋∠A；(2)如圖②，若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°－∠A；(3)如圖③，若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°－∠A.上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系計(jì)算．【詳解】解：（1）∵若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB∵∠A=180°∠ABC∠ACB=180°2（∠PBC+∠PCB）∠P=180°（∠PBC+∠PCB）∴∠P=90°+∠A；故（1）的結(jié)論正確；（2）∵∠A=∠ACB∠ABC=2∠PCE2∠PBC=2（∠PCE∠PBC）∠P=∠PCE∠PBC∴2∠P=∠A故（2）的結(jié)論是錯(cuò)誤．（3）∠P=180°（∠PBC+∠PCB）=180°（∠FBC+∠ECB）=180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°（∠A+180°）=90°∠A．故（3）的結(jié)論正確．正確的為：（1）（3）．故選C【點(diǎn)睛】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到三角形的內(nèi)角和是180°這一隱含的條件．10．如圖，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，則∠CDF=_________度．【答案】74【解析】【分析】首先根據(jù)三角形角平分線的定義求出∠BCE，然后在Rt△CBD中求出∠BCD，從而得到∠DCF，最終在Rt△CDF中求解即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°40°72°=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=×68°=34°，∵CD⊥AB于D，∴∠BCD＋∠B=90°，∴∠BCD=90°∠B=90°72°=18°，∴∠DCE=∠BCE∠BCD=34°18°=16°，∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠DCF＋∠CDF=90°，∴∠CDF=90°∠DCF=90°16°=74°，故答案為：74．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中角平分線相關(guān)的角度計(jì)算，掌握三角形中角平分線的定義以及直角三角形兩銳角互余是解題關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，則∠A=_____．【答案】40°【解析】【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，則∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BOC=90°+∠A，然后把∠BOC=110°代入計(jì)算可得到∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，而∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°∴∠A=40°．故答案為40°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．12．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____．【答案】##180度【解析】【分析】利用三角形的外角的性質(zhì)將五個(gè)角轉(zhuǎn)化為三角形的三個(gè)角的和即可．【詳解】解：如圖：利用三角形的外角的性質(zhì)得：，，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角及三角形的內(nèi)角和與外角和的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠正確的將幾個(gè)角轉(zhuǎn)化為三個(gè)角，難度不大．13．如圖所示，AOB是一鋼架，且∠AOB=10°，為了使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長(zhǎng)度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管_____根．【答案】8

【解析】【詳解】試題解析：因?yàn)樘砑愉摴艿拈L(zhǎng)度都與OE相等，，所以，…….從圖中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有好幾個(gè)等腰三角形，由上可知，第一個(gè)等腰三角形的底角為10°，第二個(gè)是20°，第三個(gè)是30°，第三個(gè)是30°，第四個(gè)是40°，第五個(gè)是50°，第六個(gè)是60°，第七個(gè)是70°，第八個(gè)是80°，第九個(gè)是90°就不存在了，所以最多能添加這樣的鋼管8根.故本題的正確答案應(yīng)為8.點(diǎn)睛：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律.14．AE是△ABC的角平分線，AD是BC邊上的高，且∠B=40°，∠ACD=70°，則∠DAE的度數(shù)為_____．【答案】15°或35°【解析】【詳解】試題分析：本題需要分兩種情況進(jìn)行討論：如圖1所示：根據(jù)∠B=40°，∠C=70°可得：∠BA