2025屆安徽省六安市卓越縣中聯(lián)盟數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆安徽省六安市卓越縣中聯(lián)盟數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．2．已知,則()A． B． C． D．3．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．4．下列判斷錯(cuò)誤的是()A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D．是的充分不必要條件5．設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A． B．4 C． D．8．已知函數(shù)，，若對(duì)，且，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，令．有以下6個(gè)論斷：①是奇函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù)，．那么正確論斷的編號(hào)是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤10．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的總有恒成立，記的最小值為，則最大值為（）A．1 B． C． D．11．某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、），根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是（）A．年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B．這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C．三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩D．口罩的產(chǎn)量逐年增加12．如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點(diǎn)，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張，要支付貳佰壹拾玖（219）元的貨款，則有________種不同的支付方式.14．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，過(guò)作軸的垂線與相交于兩點(diǎn)，與軸相交于.若，則雙曲線的離心率為_(kāi)________.15．設(shè)為銳角，若，則的值為_(kāi)___________．16．已知邊長(zhǎng)為的菱形中，，現(xiàn)沿對(duì)角線折起，使得二面角為，此時(shí)點(diǎn)，，，在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．（1）若，求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線為，的中點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求證：直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．18．（12分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點(diǎn)，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）設(shè)H在AC上，，若，求PH與平面PBC所成角的正弦值.20．（12分）已知不等式對(duì)于任意的恒成立.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實(shí)數(shù)a，b，c滿足.求證.21．（12分）已知橢圓，左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使成立，說(shuō)明理由.22．（10分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意，，且，都有.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，且等差數(shù)列的公差為，存在正整數(shù)，使得，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.2、B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．3、A【解析】

若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．4、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷，進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，有，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，已知直線平面，直線平面，則當(dāng)時(shí)一定有，充分性成立，而當(dāng)時(shí)，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故充分性不成立；若，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確，符合題意.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對(duì)取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【詳解】對(duì)命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識(shí)記真值表，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環(huán)，輸出結(jié)果為，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題目.8、D【解析】

先求出的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個(gè)根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，且當(dāng)趨近于零時(shí)，趨近于正無(wú)窮；對(duì)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；根據(jù)題意，對(duì)，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問(wèn)題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問(wèn)題，屬綜合困難題.9、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，例如：，則，，此時(shí)，故⑥錯(cuò)誤；故③④正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

對(duì)任意的總有恒成立，因?yàn)?，?duì)恒成立，可得，令，可得，結(jié)合已知，即可求得答案.【詳解】對(duì)任意的總有恒成立，對(duì)恒成立，令，可得令，得當(dāng)，當(dāng)，，故令，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法，考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.11、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知，所以，從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無(wú)法比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由堆積圖可知，從年至年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩，C選項(xiàng)正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

按照個(gè)位上的9元的支付情況分類，三個(gè)數(shù)位上的錢數(shù)分步計(jì)算，相加即可．【詳解】9元的支付有兩種情況，或者，①當(dāng)9元采用方式支付時(shí)，200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時(shí)共有種支付方式；②當(dāng)9元采用方式支付時(shí)：200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時(shí)共有種支付方式；所以總的支付方式共有種．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．做題時(shí)注意分類做到不重不漏，分步做到步驟完整．14、【解析】

由已知可得，結(jié)合雙曲線的定義可知，結(jié)合，從而可求出離心率.【詳解】解：,，又，則.，，，即解得，即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了雙曲線的性質(zhì).本題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系，分析出.關(guān)于圓錐曲線的問(wèn)題，一般如果能結(jié)合幾何性質(zhì)，可大大減少計(jì)算量.15、【解析】

∵為銳角，，∴，∴，，故.16、【解析】

分別取，的中點(diǎn)，，連接，由圖形的對(duì)稱性可知球心必在的延長(zhǎng)線上，設(shè)球心為，半徑為，，由勾股定理可得、，再根據(jù)球的面積公式計(jì)算可得；【詳解】如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則易得，，，，由圖形的對(duì)稱性可知球心必在的延長(zhǎng)線上，設(shè)球心為，半徑為，，可得，解得，.故該球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的計(jì)算，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）直接求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線方程，得其與軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，則，求出直線和的方程，從而求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，證明此交點(diǎn)在橢圓上，即此點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程．代入驗(yàn)證即可．注意分和說(shuō)明．【詳解】解：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合，（1）由題知，，則．因?yàn)?，所以，則直線的方程為，聯(lián)立，可得故．則，直線的方程為．令，得，故直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）證明：因?yàn)?，，所以．設(shè)點(diǎn)，則．設(shè)當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)直線與軸垂直，其直線方程為，直線的方程為，即．在方程中，令，得，得交點(diǎn)為，顯然在橢圓上．同理當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)也在橢圓上．當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，即．直線的方程為，聯(lián)立方程，消去得，化簡(jiǎn)并解得．將代入中，化簡(jiǎn)得．所以兩直線的交點(diǎn)為．因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，則，所以點(diǎn)在橢圓上．綜上所述，直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上．【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓相交問(wèn)題，解題方法是解析幾何的基本方程，求出直線方程，解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入曲線方程驗(yàn)證點(diǎn)在曲線．本題考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力．18、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)，分別是，的中點(diǎn)，即可證明，從而可證平面；（2）先根據(jù)為正三角形，且D是的中點(diǎn)，證出，再根據(jù)平面平面，得到平面，從而得到，結(jié)合，即可得證．【詳解】（1）∵，分別是，的中點(diǎn)∴∵平面，平面∴平面.（2）∵為正三角形，且D是的中點(diǎn)∴∵平面平面，且平面平面，平面∴平面∵平面∴∵且∴∵，平面，且∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)等，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，中檔題．19、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）記，連結(jié)，推導(dǎo)出，平面，由此能證明平面平面；（2）推導(dǎo)出，平面，連結(jié)，由題意得為的重心，，從而平面平面，進(jìn)而是與平面所成角，由此能求出與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：記，連結(jié)，中，，，，，，平面，平面，平面平面．（2）中，，，，，，，，，，平面，∴，連結(jié)，由題意得為的重心，，，，平面平面平面，∴在平面的射影落在上，是與平面所成角，中，，，，．與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知是偶函數(shù)，且時(shí)為增函數(shù)，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）法一：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），由題意得，則，解得，故的取值范圍是；法二：因?yàn)閷?duì)于任意恒有成