內(nèi)蒙古赤峰市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試題文含解析

PAGE18-內(nèi)蒙古赤峰市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末聯(lián)考試題文（含解析）本試卷共22題，共150分，共7頁，考試用時(shí)120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回，考試范圍：必修1，必修2，必修4，必修5.留意事項(xiàng)：1.答題前，考生現(xiàn)將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清晰，將條形碼精確粘貼條形碼區(qū)域內(nèi)。2.選擇題答案必需運(yùn)用2B鉛筆填涂，非選擇題答案運(yùn)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清晰。3.請(qǐng)依據(jù)題號(hào)依次在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先運(yùn)用鉛筆畫出，確定后必需用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)運(yùn)用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)交集定義計(jì)算．【詳解】由題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是單調(diào)遞減的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可先確定奇偶性，再確定單調(diào)性．【詳解】由題意A、B、C三個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，D不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，解除D，A中在上不單調(diào)，C中在是遞增，只有B中函數(shù)在上遞減．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題時(shí)可分別確定函數(shù)的這兩特性質(zhì)．3.函數(shù)在的圖像大致為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由解析式探討函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、特別函數(shù)值的正負(fù)，可選擇正確的圖象．【詳解】易知函數(shù)（）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可解除BD，時(shí)，，可解除A．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題方法是由解析式分析函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的極值、最值、特別值、函數(shù)的值的正負(fù)等等．4.已知向量，則下列結(jié)論正確的是A. B. C.與垂直 D.【答案】C【解析】【分析】可按各選擇支計(jì)算．【詳解】由題意，，A錯(cuò)；，B錯(cuò)；，∴，C正確；∵不存在實(shí)數(shù)，使得，∴不正確，D錯(cuò)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積、向量的平行，向量的模以及向量的垂直等學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題．5.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)為①若，，則②若，則③若，則④若，則A.1 B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)面面垂直的定義推斷①③錯(cuò)誤，由面面平行的性質(zhì)推斷②錯(cuò)誤，由線面垂直性質(zhì)、面面垂直的判定定理判定④正確．【詳解】如圖正方體，平面是平面，平面是平面，但兩直線與不垂直，①錯(cuò)；平面是平面，平面是平面，但兩直線與不平行，②錯(cuò)；直線是直線，直線是直線，滿意，但平面與平面不垂直，③錯(cuò)；由得，∵，過作平面與平面交于直線，則，于是，∴，④正確．∴只有一個(gè)命題正確．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系．對(duì)一個(gè)命題不正確，可只舉一例說明即可．對(duì)正確的命題一般須要證明．6.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈多少？”現(xiàn)有類似問題：一座5層塔共掛了363盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的3倍，則塔的底層共有燈A.81盞 B.112盞 C.162盞 D.243盞【答案】D【解析】【分析】從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)可構(gòu)成一個(gè)公比為3的等比數(shù)列，其和為363．由等比數(shù)列的學(xué)問可得．【詳解】從塔頂?shù)剿酌繉訜舯K數(shù)依次記為，此數(shù)列是等比數(shù)列，公比為3，5項(xiàng)的和為363，則，，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是依據(jù)實(shí)際意義構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問題．7.已知，則滿意的關(guān)系式是A.，且 B.，且C.，且 D.，且【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)推斷．【詳解】∵，∴，∵，∴，又，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，駕馭對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題關(guān)鍵．8.已知函數(shù)，則有A.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 B.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的最小正周期為 D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減【答案】B【解析】【分析】把函數(shù)化簡后再推斷．【詳解】，由正切函數(shù)的性質(zhì)知，A、C、D都錯(cuò)誤，只有B正確．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式和正切函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)的性質(zhì)問題，一般要把函數(shù)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合相應(yīng)的三角函數(shù)得出結(jié)論．9.在邊長為2的菱形中，，是的中點(diǎn)，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】選取向量為基底，用基底表示，然后計(jì)算．【詳解】由題意，，．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，平面對(duì)量的線性運(yùn)算，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示．10.在正四棱柱，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出兩異面直線所成的角，然后由余弦定理求解．【詳解】在正四棱柱中，則異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，在中，，，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是依據(jù)定義作出異面直線所成的角，然后通過解三角形求之．11.已知點(diǎn)均在球上，，若三棱錐體積的最大值為，則球的體積為A. B. C.32 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．由此可計(jì)算球半徑．【詳解】如圖，設(shè)是的外心，則三棱錐體積最大時(shí)，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴球體積為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定球心位置求出球的半徑．12.已知圓，設(shè)平面區(qū)域，若圓心,且圓與軸相切，則的最大值為（）A.5 B.29 C.37 D.49【答案】C【解析】試題分析：作出可行域如圖，圓C：（x－a）2＋（y－b）2＝1的圓心為，半徑的圓，因?yàn)閳A心C∈Ω，且圓C與x軸相切，可得，所以所以要使a2＋b2取得的最大值，只需取得最大值，由圖像可知當(dāng)圓心C位于B點(diǎn)時(shí)，取得最大值，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，即時(shí)是最大值.考點(diǎn)：線性規(guī)劃綜合問題.【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上.13.若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.【答案】；【解析】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【詳解】由題意存在，使得不等式成立，當(dāng)時(shí)，，其最小值為，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查不等式能成立問題，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．不等式能成立與不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化區(qū)分：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時(shí)要留意是求最大值還是求最小值．14.若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在的直線的方程為___________.【答案】；【解析】【分析】利用垂徑定理，即圓心與弦中點(diǎn)連線垂直于弦．【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心為，，∵是中點(diǎn)，∴，即，∴的方程為，即．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理．圓中弦問題，經(jīng)常要用垂徑定理，如弦長（其中為圓心到弦所在直線的距離）．15.已知，則___________.【答案】；【解析】【分析】把已知式平方可求得，從而得，再由平方關(guān)系可求得．【詳解】∵，∴，即，∴，即,∴.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系，考查正弦的二倍角公式，在用平方關(guān)系求值時(shí)要留意結(jié)果可能有正負(fù)，因此要推斷是否只取一個(gè)值．16.設(shè)函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.【答案】.【解析】【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值．【詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．由單調(diào)性確定最小值，三、解答題：共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。17.設(shè)等差數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出公差，由公式得通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出，計(jì)算公比，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得和．【詳解】（1）在等差數(shù)列中，，故設(shè)的公差為，則，即，所以，所以.（2）設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量法．求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差（或公比），則數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和隨之而定．18.已知函數(shù)，且.（1）求常數(shù)及的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1），（2）遞增區(qū)間為.【解析】【分析】（1）由二倍角公式降冪，再由求出，然后由兩角和的余弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性可得最大值；（2）由（1）結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)可得增區(qū)間．【詳解】（1），由得，，即.∴，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.（2）由，得，又，所以，所以遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的余弦公式，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)．三角函數(shù)問題一般都要由三角恒等變換化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)性質(zhì)求解．19.在中，角對(duì)應(yīng)的邊分別是，且.（1）求的周長；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理求得，從而得周長；（2）由余弦定理求得，由平方關(guān)系得，同理得，然后由兩角差的余弦公式得結(jié)論．【詳解】解：（1）在中，，由余弦定理，得，即，∴的周長為（2）由，得，由，得，于是.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和兩角差的余弦公式，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．20.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，問在直線上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，懇求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立，詳見解析【解析】【分析】（1）求出弦中垂線方程，由中垂線和直線相交得圓心坐標(biāo)，再求出圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，代入圓的方程，得的一元二次方程，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)為由韋達(dá)定理得，假設(shè)定點(diǎn)存在，設(shè)其為，由求得，再驗(yàn)證所作直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)也滿意題意．【詳解】（1）的中點(diǎn)為，∴的垂直平分線的斜率為，∴的垂直平分線的方程為，∴的垂直平分線與直線交點(diǎn)為圓心，則，解得，又．∴圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則過點(diǎn)的直線方程為，故由，整理得，設(shè)，設(shè)，則，，，即，當(dāng)斜率不存在時(shí)，成立，∴在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查與圓有關(guān)的定點(diǎn)問題．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可先求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后得標(biāo)準(zhǔn)方程，留意圓心肯定在弦的中垂線上．定點(diǎn)問題，通常用設(shè)而不求思想，即設(shè)直線方程與圓方程聯(lián)立消元后得一元二次方程，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由韋達(dá)定理得，然后設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)如本題，再由條件求出，若不能求出說明定點(diǎn)不存在，如能求出值，留意驗(yàn)證直線斜率不存在時(shí)，此定點(diǎn)也滿意題意．21.如圖，在三棱柱中，是邊長為4的正三角形，側(cè)面是矩形，分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若平面平面，，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，連接，由中位線定理證得，即證得平行四邊形，于有，這樣就證得線面平行；（2）由等體積法變換后可計(jì)算．【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)為，連接，是平行四邊形，平面，平面，∴平面解：（2）是線段中點(diǎn)，則【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，考查棱錐的體積．線面平行的證明關(guān)鍵是找到線線平行，而棱錐的體積經(jīng)常用等積變換，轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)與底．22.已知函數(shù).（1）推斷函數(shù)奇偶性；（2）探討函數(shù)的單調(diào)性；（3）比較與的大小.【答案】（1）是偶函數(shù)（2）