陜西省咸陽實驗中學2024-2025學年高二上學期第二次階段性測試數(shù)學試卷（教師版）

2024~2025學年度咸陽實驗中學高二上學期第二次階段性測試數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得答案.【詳解】由題意隨機變量X服從正態(tài)分布，即正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱,因為，故，故選：B2.已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出點的坐標，利用空間向量的模長公式可求得的值.【詳解】因為點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則，則，因此，.故選：B3.已知，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用兩個向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積公式即求得的值．【詳解】向量若，則，．故選：C．4.已知平面平面，．下列結(jié)論中正確的是（）A.若直線平面，則 B.若平面平面，則C.若直線直線，則 D.若平面直線，則【答案】D【解析】【分析】A，利用線面平行的判定定理；B，面面垂直沒有傳遞性；C，利用面面垂直的性質(zhì)定理；D，利用面面垂直的判定定理；【詳解】A，若，，則或，故A錯誤；B，若，，則或與相交，故B錯誤；C，若，，，必須，利用面面垂直的性質(zhì)定理可知，故C錯誤；D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正確；故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查空間直線，平面直線的位置關(guān)系的判斷，熟練掌握平行和垂直位置關(guān)系的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5.直線與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率判斷直線的傾斜角進而判斷各個選項；【詳解】易知直線的斜率為，直線的斜率為，于是兩直線的傾斜角同為銳角或者同為鈍角，且斜率的絕對值一個大于1，一個小于1，檢驗4個選項，知只有B選項滿足題意．故選：B.6.如圖，已知二面角的大小為，，，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得到，利用結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解．【詳解】因為二面角大小為，，，，，，所以與的夾角為，又因為，所以，所以，即．故選：A．7.數(shù)學活動小組由12名同學組成，現(xiàn)將12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數(shù)為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題,且每組只研究一個課題只需每個課題依次選三個人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，故不同的分配方案為：，故選A.8.如圖，三棱柱滿足棱長都相等且平面，D是棱的中點，E是棱上的動點．設(shè)，隨著x增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角是（）A.先增大再減小 B.減小 C.增大 D.先減小再增大【答案】D【解析】【分析】以中點為坐標原點，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標系.設(shè)所有棱長均為2，則，通過空間向量來求二面角的，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.即可得出結(jié)果.【詳解】以中點為坐標原點，分別為軸，并垂直向上作軸建立空間直角坐標系.設(shè)所有棱長均為2，則，,，，設(shè)平面BDE法向量,則，令有，故.又平面ABC的法向量，故平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角的余弦值，又，故在上單增，上單減，即隨著x增大先變大后變小，所以隨著x增大先變小后變大.故選：D.【點睛】本題考查了用空間向量求二面角的余弦值，考查了解決問題能力和計算能力，屬于中檔題目.二、多選選擇題：本題共3.小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知正方體的棱長為1，下列四個結(jié)論中正確的是（）A.平面B.直線與直線為異面直線C.直線與直線所成的角為D.平面【答案】AD【解析】【分析】利用線面平行的判定即可判斷A；根據(jù)即可判斷BC，建立合適的空間直角坐標系，證明，最后結(jié)合線面垂直的判定即可.【詳解】對A，連接，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故A正確；對BC，由A知，則兩直線共面，則直線與直線不是異面直線，且直線與直線所成的角不是故BC錯誤；對D，以為坐標原點，建立如圖所示直角坐標系，則，則，則，則，又因為平面，所以平面.故選：AD.10.以下四個命題敘述正確的是（）A.直線在軸上的截距是1B.直線和的交點為，且在直線上，則的值是C.設(shè)點是直線上的動點，為原點，則的最小值是2D.直線，若，則或2【答案】BC【解析】【分析】求出直線的橫截距判斷A；解方程組求出判斷B；求出點到直線的距離判斷C；驗證判斷D.【詳解】對于A，直線在軸上的截距是，A錯誤；對于B，由解得，即，則，解得，B正確；對于C，依題意，，C正確；對于D，當時，直線重合，D錯誤.故選：BC11.如果函數(shù)對定義域內(nèi)的任意實數(shù)，都有，則稱函數(shù)為“F函數(shù)”．下列函數(shù)不是“F函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】令，則，可得函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，稱函數(shù)為“F函數(shù)”，逐項驗證可得答案．【詳解】令，則，即函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，稱函數(shù)為“F函數(shù)”．對于A，，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，不符合在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)不是“F函數(shù)”．故A正確；對于B，，，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，不符合在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)不是“F函數(shù)”．故B正確；對于C，，，，所以單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)是“F函數(shù)”．故C錯誤；對于D，，，，當時，，單調(diào)遞減，不符合在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，則函數(shù)不是“F函數(shù)”．故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)可得函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，稱函數(shù)為“F函數(shù)”．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.演講比賽結(jié)束后，4名選手與1名指導教師站成一排合影留念要求指導教師不能站在兩端，那么有______種不同的站法用數(shù)字作答)【答案】72【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進行分析：，指導教師不能站在兩端，易得指導教師有3種站法，，其4名選手全排列，安排在其他4個位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：，指導教師不能站在兩端，則指導教師有3個位置可選，有3種站法；，其4名選手全排列，安排在其他4個位置，有種情況，則有種不同的站法；故答案為72．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球表面積等于______.【答案】【解析】【分析】先用補形法求出外接球的半徑R，再利用表面積公式即可得答案.【詳解】如圖：將三棱錐補成長方體，則三棱錐外接球和長方體的外接球是一致的.設(shè)長方體外接球半徑為，則：，所以，所以外接球的表面積為，故答案為：.14.過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別是，則點到直線距離的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】由得出點在以為直徑的圓上，通過兩圓方程相減得到直線的方程，從而可得直線所過的定點，進而可得出答案.【詳解】如圖，設(shè)點，因為，故點在以為直徑圓上，因為圓心，半徑為，故圓的方程為：，又圓，將兩式左右分別相減，整理得直線的方程為：，所以直線經(jīng)過定點，所以到直線距離的最大值即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由得出點在以為直徑的圓上是解決本題的關(guān)鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知平面內(nèi)兩點，．（1）求過點且與直線垂直的直線的方程．（2）若是以為頂點的等腰直角三角形，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用斜率公式求出直線的斜率，再根據(jù)直線的斜率與直線垂直的直線的斜率乘積為和點斜式求解即可；（2）求出線段垂直平分線的方程為，故點在直線上，設(shè)點為，根據(jù)等腰直角三角形兩直角邊垂直，所在直線斜率存在，斜率之積為建立等式求解即可．【小問1詳解】由題意得，則直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線的方程為：，即．【小問2詳解】的中點坐標為，由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，即．因為是以為頂點的等腰直角三角形，所以點在直線上，故設(shè)點為，由可得：，解得或，所以點坐標為或，則直線的方程為或．16.如圖所示，平行六面體中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）借助空間向量的線性運算與模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得；（2）結(jié)合題意，借助空間向量的線性運算與夾角公式計算即可得.【小問1詳解】，則，所以.【小問2詳解】由空間向量的運算法則，可得，因為且，所以，，則.17.在正四棱柱中，為中點，直線與平面交于點．（1）證明：為的中點；（2）若直線與平面所成的角為，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷，得出，得出為中位線，從而得證；（2）建立如圖所示空間直角坐標系，分別求出直線AC的方向向量，以及平面的法向量，然后用線面角公式可求得的長.【小問1詳解】如圖，連接，在正四棱柱中，由與平行且相等，得是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，是中點，所以是的中點；【小問2詳解】以為軸建立空間直角坐標系，如圖，設(shè)（），則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量是，則，取，得，因為直線與平面所成的角為，所以，解得（負值舍去），所以的長為．18.已知橢圓的離心率為，上頂點為．（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，，結(jié)合，即可求得橢圓E的方程；（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程．由韋達定理及弦長公式，即可求得k的值．【小問1詳解】由離心率，則，又上頂點，知，又，可知，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線l：，設(shè)，，則，整理得：，，即，∴，，∴，即，解得：或（舍去）∴19.如圖1，在中，，，分別為邊，的中點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2，連接，.（1）求證：平面；（2）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上一動點滿足，判斷是否存在，使二面角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由中位線和垂直關(guān)系得到，，從而得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，求出線面角的正弦值；（3）求出兩平面的法向量，根據(jù)二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【小問1詳解】因為，分別為，的中點，所以.因為，所以，所以.又，，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，，，所以，，兩兩垂直.以