北師版九年級(jí)初三數(shù)學(xué)上冊(cè)初中分類(lèi)題型30講

第一講實(shí)數(shù)

一、實(shí)數(shù)的基本概念和性質(zhì)

1、數(shù)軸：規(guī)定了、、的直線叫做數(shù)軸，和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，數(shù)軸的作用

有、、等。

2、相反數(shù)：只有不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，a的相反數(shù)是,0的相反數(shù)是,a、b互為相反數(shù)O

3、倒數(shù)：實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是,沒(méi)有倒數(shù)，a、b互為倒數(shù)。

4、絕對(duì)值：在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開(kāi)—的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

因?yàn)榻^對(duì)值表示的是距離，所以一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是數(shù)，我們學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)有三

個(gè)：、、。

5、科學(xué)記數(shù)法：把一個(gè)較大或較小的數(shù)寫(xiě)成的形式叫做科學(xué)記數(shù)法。其中a的取值范圍

是。

【名師提醒：0既不是數(shù)，也不是數(shù)，但它是自然數(shù),a+b的相反數(shù)是,a-b的相反數(shù)是,0

是唯一一個(gè)沒(méi)有倒數(shù)的數(shù)，相反數(shù)等于本身的數(shù)是,倒數(shù)等于本身的數(shù)是,絕對(duì)值等于本身的數(shù)

是]

6、若x2=a（a_0）,則x叫做a的,記做土右,其中正數(shù)a的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記做,

正數(shù)有個(gè)平方根，它們互為,0的平方根是,負(fù)數(shù)平方根。

7、若x3=a，則x叫做a的,記做蚣，正數(shù)有一個(gè)的立方根，0的立方根是,負(fù)數(shù)立

方根。

【名師提醒：平方根等于本身的數(shù)有個(gè)，算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有,立方根等于本身的數(shù)

有o]

考點(diǎn)一：無(wú)理數(shù)的識(shí)別。

例1實(shí)數(shù)n,-.0,-1中，無(wú)理數(shù)是（）

5

1

A.兀B.—C.0D.-1

5

考點(diǎn)二、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念。

1.-3的相反數(shù)是；-3的倒數(shù)是o

2.-2013的絕對(duì)值是.

3.實(shí)數(shù)-8的立方根是.

考點(diǎn)三：實(shí)數(shù)與數(shù)軸。

例5實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，貝加25|=（）

------i——1--------1------>

0a7S

A.a-2.5B.2.5-aC.a+2.5D.-a-2.5

考點(diǎn)四：科學(xué)記數(shù)法。

例6花粉的質(zhì)量很小，一粒某種植物花粉的質(zhì)量約為0.000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0.000037毫克可

用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.3.7x10-5克B.3.7x10-6克C.37x1。]克D.3.7xl（y8克

考點(diǎn)五：非負(fù)數(shù)的性質(zhì)

例7若a,b為實(shí)數(shù)，且|a+l|+JE=0,則（ab）2。格的值是（）

A.0B.1C.-1D.±1

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

已知實(shí)數(shù)x,y,m滿(mǎn)足Jx+2+|3x+y+m|=0,且y為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）

A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-6

第二講實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的大小比較.

例1如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為行和5.1,則A、B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)共有()

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

AB

,??--->

°亞51

考點(diǎn)二：估算無(wú)理數(shù)的大小

例2估計(jì)JTT的值在()之間.

A.1與2之間B.2與3之間C.3與4之間D.4與5之間

3+百的整數(shù)部分是a,3-6的小數(shù)部分是b,則a+b等于.

考點(diǎn)三：有關(guān)絕對(duì)值的運(yùn)算

例3在數(shù)軸上，點(diǎn)A(表示整數(shù)a)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B(表示整數(shù)b)在原點(diǎn)的右側(cè).若|a-b|=20I3,且AO=2BO,

則a+b的值為.

考點(diǎn)四：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算。

例4計(jì)算：2013。+(工尸2布60。-|百-2|計(jì)算：我+2cos60。-(兀-2」)。

2

第三講整式

一、整式的有關(guān)概念：

：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式

1、整式:

多項(xiàng)式:

【名師提醒：1、單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字或字母都是式。2、判斷同類(lèi)項(xiàng)要抓住兩個(gè)相同：一是相同，二是

相同，與系數(shù)的大小和字母的順序無(wú)關(guān)?！?/p>

二、整式的運(yùn)算：

1、整式的加減：①去括號(hào)法則：a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.

②添括號(hào)法則：a+b+c=a+()>a-b-c=a-()

2、整式的乘法：

①單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式：把它們的系數(shù)、相同字母分別,對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的

作為積的一個(gè)因式。

②單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積,即m(a+b+c)=o

③多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式：先用第一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積,即

(m+n)(a+b)=。

④乘法公式：I、平方差公式：(a+h)(a—b)=,

II>完全平方公式：(a±b)2=。

【名師提醒：1、在多項(xiàng)式的乘法中有三點(diǎn)注意：一是避免漏乘項(xiàng)，二是要避免符號(hào)的錯(cuò)誤，三是展開(kāi)式中有同類(lèi)

項(xiàng)的一定要O2、兩個(gè)乘法公式在代數(shù)中有著非常廣泛的應(yīng)用，要注意各自的形式特點(diǎn)，靈活進(jìn)行運(yùn)用?！?/p>

3、整式的除法：

①單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把、分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同

它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先用這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商o即（am+bm）

4-m=o

三、基的運(yùn)算性質(zhì)：

1、同底數(shù)寤的乘法：―不變相加，即：aman=（a>0,tn,〃為整數(shù)）

2、某的乘方：不變相乘，即：（〃m）n=（?>0,“八"為整數(shù)）

3、積的乘方：等于積中每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的基o

即：（ab）n=（a>0,b>0,〃為整數(shù)）。

4、同底數(shù)塞的除法:—不變相減，即：a'^an=（a>0,m、〃為整數(shù)）

【名師提醒：運(yùn)用嘉的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算一是要注意不要出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤，（卬尸=—（n為奇數(shù)），（出尸=（n為

偶數(shù)），二是應(yīng)知道所有的性質(zhì)都可以逆用，如:已知3m=4,213,則9m8"=,]

考點(diǎn)一：代數(shù)式的相關(guān)概念。

如果單項(xiàng)式-x"iy3與；ybx?是同類(lèi)項(xiàng)，

那么a、b的值分別為（)

A.a=2,b=3B.a=l,b=2C.a=1,b=3D.a=2,b=2

考點(diǎn)二：代數(shù)式求值

113

已知x--=3,則知一x?+—x的值為（)

x22

35_7

A.1B.一C.D.

222

考點(diǎn)三：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式。

下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是（）

A.m64-m3=m2B.3mn2<m2n=3m3n3

C.（m+n）2=m2+n2D.2mn+3mn=5m2n2

考點(diǎn)四：塞的運(yùn)算。

下列計(jì)算正確的是（）

A.x+x=2x2B.x3,x2=x5C.(x2)3=x5D.(2x)2=2x2

（1）已知a+b=4,a-b=3,則a?-b?=

（2）已知a、b滿(mǎn)足a+b=3,ab=2,貝ija2+b2=

考點(diǎn)五：整式的運(yùn)算

先化簡(jiǎn)，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3）,其中x=3.

第四講因式分解

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、因式分解的定義：

1、把一個(gè)式化為幾個(gè)整式的形式，叫做把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解。

（）

2、因式分解與整式乘法是運(yùn)算，即：多項(xiàng)式）整式的積

二、因式分解常用方法：

1、提公因式法：

公因式：一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)都有的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。

提公因式法分解因式可表示為：ma+mb+mc=。

【名師提醒：1、公因式的選擇可以是單項(xiàng)式，也可以是,都遵循一個(gè)原則：取系數(shù)的，相

同字母的o2、提公因式時(shí)，若有一項(xiàng)被全部提出，則括號(hào)內(nèi)該項(xiàng)為,不能漏掉。3、提公

因式過(guò)程中仍然要注意符號(hào)問(wèn)題，特別是一個(gè)多項(xiàng)式首項(xiàng)為負(fù)時(shí)，一般應(yīng)先提取負(fù)號(hào)，注意括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都

要o]

【名師提醒：1、運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解要特別掌握兩個(gè)公式的形式特點(diǎn)，

找準(zhǔn)里面的a與b。如：x2-x+丁1符合完全平方公式形式，而xJx+上1就不符合該公式的形式。】

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：因式分解的概念

例1多項(xiàng)式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n）,則m=,n=.

考點(diǎn)二：因式分解

例2分解因式：2X2-4X=.

例4因式分解：mx2-my2.

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

2.因式分解：m2-5m=.

4.分解因式：ab2-4ab+4a=.

考點(diǎn)三：因式分解的應(yīng)用

例5己知a+b=2,貝!]a2-b2+4b的值為.

第五講分式

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、分式的概念

若A,B表示兩個(gè)整式，且B中含有那么式子就叫做分式

AA

【名師提醒：①若則分式。無(wú)意義②若分式4=0,則應(yīng)且

BB

二、分式的基本性質(zhì)

分式的分子分母都乘以（或除以）同一個(gè)的整式，分式的值不變。

a.mb+m

2、分式的變號(hào)法則—上h=-b=。

a

3、約分：根據(jù)把一個(gè)分式分子和分母的約去叫做分式的約分。約分的關(guān)鍵是確

定分式的分子和分母中的，

約分的結(jié)果必須是分式或整式。

4、通分：根據(jù)把幾個(gè)異分母的分式化為分母分式的過(guò)程叫做分式的通分，通分的關(guān)鍵是

確定各分母的o

【名師提醒：①最簡(jiǎn)分式是指;②約分時(shí)確定公因式的方法：當(dāng)分子、分母是單項(xiàng)式時(shí)，公因式

應(yīng)取系數(shù)的,相同字母的，當(dāng)分母、分母是多項(xiàng)式時(shí)應(yīng)先再進(jìn)行約分；③通分

時(shí)確定最簡(jiǎn)公分母的方法，取各分母系數(shù)的相同字母，分母中有多項(xiàng)式時(shí)仍然要

先,通分中有整式的應(yīng)將整式看成是分母為的式子；④約分通分時(shí)一定注意“都”和“同時(shí)”

避免漏乘和漏除項(xiàng)】

二、分式的運(yùn)算：

1、分式的乘除

①分式的乘法：

ac

②分式的除法：---==

ac

2、分式的加減

hr

①用分母分式相加減：-±-=

aa

②異分母分式相加減：-±-==

ac

【名師提醒：①分式乘除運(yùn)算時(shí)一般都化為法來(lái)做，其實(shí)質(zhì)是的過(guò)程②異分母分式加減過(guò)

程的關(guān)鍵是1

b

3、分式的乘方：應(yīng)把分子分母各自乘方：即（一尸=

a

1、分式的混合運(yùn)算：應(yīng)先算再算最后算有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：分式有意義的條件

例1使式子1+」一有意義的x的取值范圍是.

x—1

考點(diǎn)二：分式的值為零的條件

x2—4

例2分式的值為0,則（）

x+2

A.x=-2B.x=±2C.x=2D.x=0

考點(diǎn)三：分式的運(yùn)算

|m

例3化簡(jiǎn)（1+—的結(jié)果是.

m-\m"-1

考點(diǎn)四：分式的化簡(jiǎn)與求值

r4-2,—1—4

例4先化簡(jiǎn)，再求值：（*XX,其中x是不等式3x+7>l的負(fù)整數(shù)解.

xx-2x-4x+4

考點(diǎn)五：零指數(shù)塞和負(fù)指數(shù)塞

例5下列等式成立的是（）

A.\-2\=2B.(0-1)°=0C.)-'=2D.-(-2)=-2

2

第六講二次根式

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、二次根式

式子右（）叫做二次根式

【名師提醒：①二次根式右必須注意a。這一條件，其結(jié)果也是一個(gè)非負(fù)數(shù)即：o,②二次根

式6（a>o）中，a可以表示數(shù)，也可以是一切符合條件的代數(shù)式】

二、二次根式的幾個(gè)重要性質(zhì)：

-----（a》o）①（&）2=（a>0）

_____（a<o）

②V?=___=

(3)=(a>0,b>0)(a>0,b>0)

【名師提醒：二次根式的性質(zhì)注意其逆用：如比較26和30的大小，可逆用（、份）2=a（aK））將根號(hào)外的正

數(shù)移到根號(hào)內(nèi)再比較被開(kāi)方數(shù)的大小】

三、最簡(jiǎn)二次根式：

最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿(mǎn)足條件：

1、被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是，因式是整式，

2、被開(kāi)方數(shù)不含的因數(shù)或因式。

四、二次根式的運(yùn)算：

1、二次根式的加減：先將二次根式化簡(jiǎn)，再將的二次根式進(jìn)行合并，合并的方法與合并同類(lèi)項(xiàng)

法則相同

2、二次根式的乘除：

除法法則：*=（a>0,

乘除法則：JZ.、/=(a>0,b>0)b>0)

3、二次根式的混合運(yùn)算順序：先算再算最后算o

【名師提醒：①、二次根式除法運(yùn)算過(guò)程一般情況下是用將分母中的根號(hào)化去（分母有理化）這一方法進(jìn)行：如:

；②、二次根式混合運(yùn)算過(guò)程要特別注意兩個(gè)乘法公式的運(yùn)用；③、二次根式運(yùn)算的結(jié)果一定

要化成]

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：二次根式有意義的條件

例1若式子立亙有意義，則x的取值范圍是

X

考點(diǎn)二：二次根式的混合運(yùn)算

例2計(jì)算：（2-6）2012.（2+73）20|3-2|--I-（-V2）°.

2

考點(diǎn)三：與二次根式有關(guān)的求值問(wèn)題

2_i0—2

例3化簡(jiǎn)求值：/~+=^-^a,其中a=&+1.

a-2。+1a—2

第七講一次方程（組）

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、等式的概念及性質(zhì)：

1、等式：用“=”連接表示關(guān)系的式子叫做等式

2、等式的性質(zhì)：

①、性質(zhì)1：等式兩邊都加（減）所得結(jié)果仍是等式，

即：若a=b,那么a±c=

②、性質(zhì)2：等式兩邊都乘以或除以（除數(shù)不為0）所得結(jié)果仍是等式即：若a=b,那么a

c=,若a=b（c#o）那么巴=

C

【名師提醒：①用等式性質(zhì)進(jìn)行等式變形，必須注意“都”，不能漏項(xiàng)

②等式兩邊都除以一個(gè)數(shù)或式時(shí)必須保證它的值__________】

二、方程的有關(guān)概念：

1、含有未知數(shù)的叫做方程

2、使方程左右兩邊相等的的值，叫做方程的組

3、叫做解方程

4、一個(gè)方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的,這樣的方程叫做整式方程

三、一元一次方程：

1、定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是的方程叫做一元一次方程，一元一次

方程一般可以化成的形式。

2、解一元一次方程的一般步驟：

12'3,4'5'

【名師提醒：1、一元一次方程的解法的各個(gè)步驟的依據(jù)分別是等式的性質(zhì)和合并同類(lèi)法則，要注意靈活準(zhǔn)確運(yùn)用；】

四、二元一次方程組及解法：

1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=O（a.b.c是常數(shù)，a#）,b￥O）；

2、由幾個(gè)含有相同未知數(shù)的合在一起，叫做二元一次方程組；

3、二元一次方程組中兩個(gè)方程的叫做二元一次方程組的解；

4、解二元一次方程組的基本思路是：；

5、二元一次方程組的解法：①消元法②消元法

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：二元一次方程組的解法

2（x-y）x+y=1

例1解方程組：＜34-12.

、3（x+y）—2（2x—y）=3

考點(diǎn)二：一（二）元一次方程的應(yīng)用

例2假期到了，17名女教師去外地培訓(xùn)，住宿時(shí)有2人間和3人間可供租住，每個(gè)房間都要住滿(mǎn)，她們有幾種租

住方案（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

故選：C.

例3為增強(qiáng)市民的節(jié)水意識(shí)，某市對(duì)居民用水實(shí)行“階梯收費(fèi)”：規(guī)定每戶(hù)每月不超過(guò)月用水標(biāo)準(zhǔn)部分的水價(jià)為1.5

元/噸，超過(guò)月用水標(biāo)準(zhǔn)量部分的水價(jià)為2.5元/噸.該市小明家5月份用水12噸，交水費(fèi)20元.請(qǐng)問(wèn)：該市規(guī)定的

每戶(hù)月用水標(biāo)準(zhǔn)量是多少?lài)崳?/p>

第八講一元二次方程及應(yīng)用

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、一元二次方程的定義：

1、一元二次方程：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的方程

2、一元二次方程的一般形式：其中二次項(xiàng)是一次項(xiàng)是,

是常數(shù)項(xiàng)

【名師提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特別注意強(qiáng)調(diào)a刈這一條件

2、將一元二次方程化為一般形式時(shí)要按二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)排列，并一般首項(xiàng)為正】

二、一元二次方程的常用解法：

1、直接開(kāi)平方法：如果ax2=b則X?=X尸_X2=

2、配方法：解法步驟：①、化二次項(xiàng)系數(shù)為即方程兩邊都二次項(xiàng)系數(shù)，②、移項(xiàng)：把項(xiàng)

移到方程的邊

③、配方：方程兩邊都加上把左邊配成完全平方的形式

④、解方程：若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則可用直接開(kāi)平方法解方程

3、公式法：如果方程ax2+bx+c=0（a和）滿(mǎn)足b2-4acK）,則方程的求根公式

為

4,因式分解法：一元二次方程化為一般形式后，如果左邊能分解因式，即產(chǎn)生AB=O的形式，則可將原方程化

為兩個(gè)方程，即、從而得方程的兩根

【名師提醒：一元二次方程的四種解法應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用，較常用到的是法和

法】

三、一元二次方程根的判別式

關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+c=0(ar。)根的情況由決定，我們把它叫做一元二次方程根的判別式,

一般用符號(hào)表示

①當(dāng)_____時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,

②當(dāng)時(shí)，方程看兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)跟，則---------

③當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【名師提醒：在使用根的判別式解決問(wèn)題時(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母一定要保證二次項(xiàng)系數(shù)1

四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

2

關(guān)于X的一元二次方程ax+bx+c=O(a±O)有兩個(gè)根分別為X,,X2

則X|+X2=X|X2=

五、一元二次方程的應(yīng)用：

解法步驟同一元一次方程一樣，仍按照審、設(shè)、歹U、解、驗(yàn)、答六步進(jìn)行

常見(jiàn)題型

1、增長(zhǎng)率問(wèn)題：連續(xù)兩率增長(zhǎng)或降低的百分?jǐn)?shù)a(1+x)2=b

2、利潤(rùn)問(wèn)題：總利潤(rùn)=x或總利潤(rùn)=—

3、幾何圖形的面積、體積問(wèn)題：按面積、體積的計(jì)算公式列方程

【名師提醒：因?yàn)橥ǔＧ闆r下一元二次方程有兩個(gè)根，所以解一元二次方程的應(yīng)用題一定要驗(yàn)根，檢驗(yàn)結(jié)果是否

符合實(shí)際問(wèn)題或是否滿(mǎn)足題目中隱含的條件】

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：一元二次方程的解

例1若關(guān)于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0(a#))的解是x=l,則2013-a-b的值是()

A.2018B.2008C.2014D.2012

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

1.已知x=l是一元二次方程x2+ax+b=0的一個(gè)根，則代數(shù)式a2+b2+2ab的值是—.

考點(diǎn)二：一元二次方程的解法

例2一元二次方程x(x-2)=2-x的根是()

A.-1B.2C.I和2D.-1和2

例3用配方法解方程x2-2x-2=0.

4.(2015?山西)解方程：(2x-l)2=x(3x+2)-7.

考點(diǎn)三：根的判別式的運(yùn)用

例5已知關(guān)于X的一元二次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0.

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若AABC的兩邊AB,AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.第三邊BC的長(zhǎng)為5,當(dāng)4ABC是等腰三角形時(shí)，

求k的值.

8.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值.

考點(diǎn)四：一元二次方程的應(yīng)用

例6小林準(zhǔn)備進(jìn)行如下操作實(shí)驗(yàn)；把一根長(zhǎng)為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個(gè)正方形.

(1)要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于58cm2,小林該怎么剪？

(2)小峰對(duì)小林說(shuō)：“這兩個(gè)正方形的面積之和不可能等于48cm2.”他的說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

第九講分式方程

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、分式方程的概念

分母中含有的方程叫做分式方程

【名師提醒：分母中是否含有未知數(shù)是區(qū)分分式方程和整式方程的根本依據(jù)】

二、分式方程的解法：

1、解分式方程的基本思路是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程：即

2、增根：在進(jìn)行分式方程去分母的變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使原方程分母為的根稱(chēng)為方程的增根。因

此，解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根，驗(yàn)根的方法是代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母為的根是增根應(yīng)舍去。

【名師提醒：1、分式方程解法中的驗(yàn)根是一個(gè)必備的步驟，不被省略

2、分式方程有增根與無(wú)解并非用一個(gè)概念，無(wú)解既包含產(chǎn)生增根這一情況，也包含原方程去分母后的整式方

程無(wú)解。如：士0-2=1有增根，則2=,若該方程無(wú)解，則2=

x-13

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：分式方程的解

ax4

例1若關(guān)于X的方程」L=「一+1無(wú)解,則a的值是

x-2%—2

考點(diǎn)二：解分式方程

x21

例2解方程:---------1---------=---------

x—4x+2x—2

2x+2x+2-2

1.解方程:

xx-2x2-2x

考點(diǎn)三：由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程

例3小朱要到距家1500米的學(xué)校上學(xué)，一天，小朱出發(fā)10分鐘后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距離學(xué)校60

米的地方追上了他.己知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度.若設(shè)小朱速度是x米/分，則根據(jù)題意所

列方程正確的是（)

1440144014401440

A.=10B.+10

x-100XXx+100

1440144014401440

C.+10D.=10

Xx-100x+100X

第十講一元一次不等式（組）

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、不等式的基本概念：

1、不等式：用連接起來(lái)的式子叫做不等式

2、不等式的解：使不等式成立的值，叫做不等式的解

3、不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等的解的叫做不等式的解集

【名師提醒：1、常用的不等號(hào)有________________________等

2、不等式的解與解集是不同的兩個(gè)概念，不等式的解是單獨(dú)的未知數(shù)的值，而解集是一個(gè)范圍

的未知數(shù)的值組成的集合，一般由無(wú)數(shù)個(gè)解組成

3、不等式的解集一般可以在數(shù)軸上表示出來(lái)。注意在數(shù)軸上表示為,而

在數(shù)軸上表示為】

二、不等式的基本性質(zhì)：

基本性質(zhì)1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)或同一個(gè)不等號(hào)的方向,即：

若avb,貝ija+cb+c（或a-cb-c）

基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等號(hào)的方向,即：若avb,c>0則a

ab

cbc（或一—）

cc

基本性質(zhì)3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等號(hào)的方向,即：若a<b,C<0

ab

則acbe（或一一）

cc

三、一元一次不等式組及其解法：

1、定義：把幾個(gè)含有相同未知數(shù)的合起來(lái)，就組成了一個(gè)一元一次不等式組

2、解集：幾個(gè)不等式解集的叫做由它們所組成的不等式組的解集

3、解法步驟：先求出不等式組中各個(gè)不等式的再求出他們的部

分，就得到不等式組的解集

4、一元一次不等式組解集的四種情況（a<b）

【名師提醒：1、求不等式的解集，一般要體現(xiàn)在數(shù)軸上，這樣不容易出錯(cuò)。

2、一元一次不等式組求解過(guò)程中往常出現(xiàn)求特殊解的問(wèn)題，比如：整數(shù)解、非負(fù)數(shù)解等，這

時(shí)要注意不要漏了解，特別當(dāng)出現(xiàn)“N”或“W”時(shí)要注意兩頭的數(shù)值是否在取值的范圍內(nèi)】

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：不等式的性質(zhì)

例1若a>b,則下列不等式變形錯(cuò)誤的是（）

A.a+l>b+lB.—>—C.3a-4>3b-4D.4-3a>4-3b

22

1.已知實(shí)數(shù)a、b,若a>b,則下列結(jié)論正確的是（）

ab

A.a-5<b-5B.2+a<2+bC.-<-D.3a>3b

33

考點(diǎn)二：在數(shù)軸上表示不等式（組）的解

x>]

例2把不等式組1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

2x-l<5

7^,]>

A.-10T234

.>

Cp.-101234

考點(diǎn)三：不等式（組）的解法

例3不等式2x7>3的解集是

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

例4不等式2x-4<0的解集是.

考點(diǎn)四：不等式（組）的特殊解

例5

-2x+l>0

5.求不等式組<的正整數(shù)解.

x>2x-5

考點(diǎn)五：確定不等式（組）中字母的取值范圍

x+a>0

例6若不等式組!有解,則a的取值范圍是

1—2,x>x—2.

第十一講：平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、平面直角坐標(biāo)系：

1、定義：具有的兩條的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系，兩條數(shù)軸分別稱(chēng)軸

軸或軸軸，這兩系數(shù)軸把一個(gè)坐標(biāo)平面分成的四個(gè)部分，我們稱(chēng)作是四個(gè)

2、平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征

①P（a.b）：第一象限第二象限

第三象限第四象限

X軸上Y軸上

②對(duì)稱(chēng)點(diǎn)：關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

-------------P（a,b）----------->

關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

③特殊位置點(diǎn)的特點(diǎn)：P（a.b）若在一、三象限角的平分線上，則

若在二、四象限角的平分線上，則

④到坐標(biāo)軸的距離：P（a.b）到x軸的距離到y(tǒng)軸的距離到原點(diǎn)的距離

⑤坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的平移：將點(diǎn)P（a.b）向左（或右）平移h個(gè)單位，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（或）,

向上（或下）平移k個(gè)單位，對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（或）。

3、函數(shù)：

⑴、函數(shù)的概念：一般的，在某個(gè)過(guò)程中如果有兩個(gè)變量x、y,如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都

有的值與之對(duì)應(yīng)，我們就成x是,y是x的o

⑵、自變量的取值范圍：

主要有兩種情況：①、解析式有意義的條件，常見(jiàn)分式和二次根式兩種情況

②、實(shí)際問(wèn)題有意義的條件：必須符合實(shí)際問(wèn)題的背景

【名師提醒：1、在確定自變量取值范圍時(shí)要注意分式和二次根式同時(shí)存在，應(yīng)保證兩者都有意義，即被開(kāi)方數(shù)應(yīng)

同時(shí)分母應(yīng)O

2、函數(shù)的三種表示方法應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選擇，有時(shí)需同時(shí)使用幾種方法

3、函數(shù)同象是在自變量取值范圍內(nèi)無(wú)限個(gè)點(diǎn)組成的圖形，圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是解析式方程的一個(gè)解，反之

滿(mǎn)足解析式方程的每一個(gè)解都在函數(shù)同象上】

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的特征

例1如果m是任意實(shí)數(shù)，則點(diǎn)P（m-4,m+1）一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（點(diǎn)P的縱坐標(biāo)一定大于橫坐標(biāo)，.?.點(diǎn)P一定不在第四象限）.

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

1.）點(diǎn)P（a,a-3）在第四象限，則a的取值范圍是.

第十二講一次函數(shù)

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、一次函數(shù)的定義：

一般的：如果y=（）,那么y叫x的一次函數(shù)

特別的：當(dāng)6=時(shí)，一次函數(shù)就變?yōu)楫a(chǎn)kx（厚0）,這時(shí)y叫x的

【名師提醒：正比例函數(shù)是一次函數(shù)，反之不一定成立，是有當(dāng)b=0時(shí)，它才是正比例函數(shù)】

二、一次函數(shù)的同象及性質(zhì)：

b

1、一次函數(shù)y=kx+b的同象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,b）>0）的一條,

K

正比例函數(shù)y=kx的同象是經(jīng)過(guò)點(diǎn)和的一條直線。

【名師提醒：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的同象是一條直線，所以畫(huà)一次函數(shù)的圖象只需選取個(gè)特殊的點(diǎn)，過(guò)這兩

個(gè)點(diǎn)畫(huà)一條直線即可】

2、正比例函數(shù)產(chǎn)kx（k#））,當(dāng)k>0時(shí)，其同象過(guò)、象限，此時(shí)時(shí)y隨x的增大而；當(dāng)

k<0時(shí)，其同象過(guò)、象限，時(shí)y隨x的增大而。

3、一次函數(shù)丫=1?+1）,圖象及函數(shù)性質(zhì)

①、kX）b>0過(guò)______象限

?y隨x的增大而________

②、k>0b<0過(guò)______象限

③、k<ObX）過(guò)______象限

?y隨x的增大而________

④、k<0b>0過(guò)______象限

4、若直線11：y=klx+bl與11：y=k2x+b2平行，則klk2,若kl#2,則11與12

【名師提醒：y隨x的變化情況，只取決于的符號(hào)與無(wú)關(guān)，而直線的平移，只改變的

值________的值不變】

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例1對(duì)于函數(shù)y=-3x+l,下列結(jié)論正確的是（）

A.它的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,3）B.它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限

C.當(dāng)x>l時(shí)，y<0D.y的值隨x值的增大而增大

1.（2015?徐州）下列函數(shù)中，y隨x的增大而減少的函數(shù)是（）

A.y=2x+8B.y=-2+4xC.y=-2x+8D.y=4x

考點(diǎn)二：一次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系

例2Pi（x“y。，P2（x2,y2）是正比例函數(shù)y=-‘x圖象上的兩點(diǎn)，下列判斷中，正確的是（）

2

A.yi>y2B.yi<y2

C.當(dāng)xiVxz時(shí)，y】Vy2D.當(dāng)xiVx2時(shí)，yi>y2

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

2.若實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=0,且a<b<c,則函數(shù)y=cx+a的圖象可能是（）

考點(diǎn)三：一次函數(shù)解析式的確定

例4已知一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)且kWO）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,-2）和點(diǎn)B（l,0）,則k=,b=

對(duì)應(yīng)訓(xùn)練

4.已知正比例函數(shù)丫=1?（kWO）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,-2）,則這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為（）

11

A.y=2xB.y=-2xC.y=—xD.y=--x

22

考點(diǎn)四：一次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）的關(guān)系

例5如圖，函數(shù)y=2x和y=ax+4的圖象相交于點(diǎn)A（m,3）,則不等式2xVax+4的解集為（）

33

A.x<—B.x<3C.x>—D.x>3

22

考點(diǎn)五：一次函數(shù)綜合題

例7如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A,C兩點(diǎn)，分別過(guò)A,C兩點(diǎn)作x軸，y軸的垂線相交于B點(diǎn)，且0A,

OC(OA>OC)的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-14x+48=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(1)求C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求直線MN的解析式；

(3)在直線MN上存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)P,B,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo).

考點(diǎn)六：一次函數(shù)的應(yīng)用

例8(2015?株洲)某生物小組觀察一植物生長(zhǎng)，得到植物高度y(單位：厘米)與觀察時(shí)間x(單位：天)的關(guān)系,

并畫(huà)出如圖所示的圖象(AC是線段，直線CD平行x軸).

(1)該植物從觀察時(shí)起，多少天以后停止長(zhǎng)高？

(2)求直線AC的解析式，并求該植物最高長(zhǎng)多少厘米？

第十三講反比例函數(shù)

【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】

一、反比例函數(shù)的概念：

一般地：函數(shù)y(k是常數(shù)，k/0)叫做反比例函數(shù)

【名師提醒：1、在反比例函數(shù)關(guān)系式中：k#)、x#)、#0

2、反比例函數(shù)的另一種表達(dá)式為丫=(k是常數(shù)，k#0)

3、反比例函數(shù)解析式可寫(xiě)成xy=k(k^O)它表明反比例函數(shù)中自變量x與其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y之積，總等

于]

二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

k

1、反比例函數(shù)y=-(k/0)的圖象是,它有兩個(gè)分支，關(guān)于對(duì)稱(chēng)

X

k

2、反比例函數(shù)y=-(k/0)當(dāng)k>0時(shí)它的圖象位于象限，在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而當(dāng)

k<0時(shí)，它的圖象位于象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而

k

【名師提醒：1、在反比例函數(shù)y=]中，因?yàn)?0,y制所以雙曲線與坐標(biāo)軸無(wú)限接近，但永不與x軸y軸

2、在反比例函數(shù)y隨x的變化情況中一定注明在每一個(gè)象限內(nèi)】

3、反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義:

k

雙曲線y=-（k/0）上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線

X

兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為，即如圖：SoiABOC-

SAAOB=________

【名師提醒：k的幾何意義往常與前邊提示中所談到的xy=k聯(lián)系起來(lái)理解和應(yīng)用］

三、反比例函數(shù)解析式的確定

k

因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=一（厚0）中只有一個(gè)待定系數(shù)所以求反比例函數(shù)關(guān)系式只需知道一組對(duì)應(yīng)的x、y

X

值或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)即可，步驟同一次函數(shù)解析式的求法

【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】

考點(diǎn)一：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

x

A.圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,-3）B.圖象在第二、四象限

C.x>0時(shí)，y隨x的增大而增大D.x<0時(shí)，y隨x增大而減小

（2015?河北）反比例函數(shù)y=竺的圖象如圖所示,

2.以下結(jié)論:

X

m<-1：

個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；

（-1,h）,B（2,k）在圖象上，則hVk：

（X,y）在圖象上，貝UP'（-X,-y）也在圖象上.

確的是（）

A.B.②③