工程力學- 材料力學之應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論

材料力學劉鴻文主編(第5版)高等教育出版社目錄1第七章作業(yè)17.1、7.2(a,c)、7.3(a,c,d)、7.4(b,c)7.8、7.102

基本變形的研究步驟應(yīng)力內(nèi)力強度、剛度效核截面尺寸設(shè)計許可載荷確定外力變形工程實際問題解決超靜定強度條件剛度條件3基本變形框架圖

變形軸向拉（壓）剪切*扭轉(zhuǎn)平面彎曲受力特點

作用在橫截面內(nèi)力垂直軸線且與都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)

內(nèi)力（截面法求）軸力，拉為“+”剪力，作用在剪切面內(nèi)扭矩T，正負由右手螺旋法則定M下層纖維受拉為“+”應(yīng)力公式（從變形、物理、靜力三方面考慮定）

方向同

（計算剪應(yīng)力）,方向同F(xiàn)S

沿切向與T轉(zhuǎn)向一致

（矩形類截面）,方向同

FS4變形軸向拉（壓）剪切*扭轉(zhuǎn)平面彎曲強度條件變形特點軸向伸（縮）沿剪切面相互錯動橫截面相對有一個轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角，縱向線也有轉(zhuǎn)角（剪切角）

橫截面沿豎向位移（撓度w）；橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過一個角度（轉(zhuǎn)角）

變形公式,

拉為“+”積分求解，用梁支承處的變形條件定積分常數(shù)，若M(x)分段還需分界點處的連續(xù)條件。

剛度條件變形小于允許值變形小于允許值5第七章應(yīng)力應(yīng)變分析強度理論MechanicsofMaterialsChapter7AnalysisofStressandStrainFailureCriteria材料力學6第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強度理論Chapter7AnalysisofStressandStrainStrengthTheories

§7-1

應(yīng)力狀態(tài)概述

(Conceptsofstress-state)

§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法

(Analysisofplanestress-state)§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法(Analysisofplanestress-state)

§7-4三向應(yīng)力狀態(tài)分析

(Analysisofthree-dimensionalstress-state)7§7-6

廣義虎克定律(GeneralizedHook’slaw)§7-7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的變形比能

(Strain-energydensityingeneralstress-state)§7-8

強度理論(Failurecriteria)§7-5

平面應(yīng)變狀態(tài)分析

(Analysisofplanestrain-state)§7-9

莫爾強度理論

(Mohr’sfailurecriterion)8

§7-1

應(yīng)力狀態(tài)概述

(Introductionofstress-state)一、應(yīng)力狀態(tài)的概念

(Conceptsofstresses-state)請看下面幾段動畫1、低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗(Atensiletestoflow-carbonsteelandcastiron)2、低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實驗(Atorsionaltestoflow-carbonsteelandcastiron)9

低碳鋼(low-carbonsteel)?塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？

鑄鐵(cast-iron)

低碳鋼和鑄鐵的拉伸10?為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時沿45o螺旋面斷開？

低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)

低碳鋼(low-carbonsteel)

鑄鐵(cast-iron)11(1)

拉中有剪，剪中有拉;(2)不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力;

(3)同一面上不同點的應(yīng)力各不相同;(4)同一點不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同3、重要結(jié)論（Importantconclusions)哪一點？

哪個方向面？應(yīng)力哪一個面上？

哪一點？4、一點的應(yīng)力狀態(tài)（stateofstressesofagivenpoint)

過一點不同方向面上應(yīng)力的情況，稱之為這一點的應(yīng)力狀態(tài)（stateofstressesofagivenpoint)，亦指該點的應(yīng)力全貌.12二、應(yīng)力狀態(tài)的研究方法(Themethodforinvestigatingthestateofstress)

1、單元體（Elementbody）

任意一對平行平面上的應(yīng)力相等2、單元體特征(Elementcharacteristic)3、主單元體(Principalbody)

各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體單元體的尺寸無限小，每個面上應(yīng)力均勻分布

3

1

2

2

3

1

x

y

xy

yx134、主平面(Principalplane)

切應(yīng)力為零的截面5、主應(yīng)力(Principalstress)

主面上的正應(yīng)力

說明:一點處必定存在這樣的一個單元體,

三個相互垂直的面均為主平面,三個互相垂直的主應(yīng)力分別記為

1,

2,

3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列,即

1

2

314

三、應(yīng)力狀態(tài)的分類(Theclassificationofstresses-state)1、空間應(yīng)力狀態(tài)(triaxialstress-stateorthree-dimensionalstress-state)

三個主應(yīng)力

1、

2、

3

均不等于零2、平面應(yīng)力狀態(tài)(biaxialstress-stateorplanestress-state)

三個主應(yīng)力

1、

2、

3中有兩個不等于零3、單向應(yīng)力狀態(tài)(uniaxialstress-stateor

simplestress-state

)

三個主應(yīng)力

1、

2、

3中只有一個不等于零

3

1

2

2

3

1

2

2

1

1

1

115例題

1畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面16S平面254321543211

x1

x1

x2

x2

2

23

3

3FM17alSF

例題

2畫出如圖所示梁危險截面危險點的應(yīng)力狀態(tài)單元體

xzy4321zy4321FSMZT1812yxzzy4321FSMZTxzy43213M19例題3分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時的應(yīng)力狀態(tài)pDyz

薄壁圓筒的橫截面面積mmnpD

′nn(1)沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為F20直徑平面(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對象p

"yOFNFNd

21例4:圓球形薄壁容器，壁厚為t，內(nèi)徑為D，承受內(nèi)壓p作用。22平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示.單元體上有

x,xy

和

y,yx§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法(Analysisofplanestress-state)x

xyz

y

xy

yx

x

y

xy

yx23一、斜截面上的應(yīng)力(Stressesonanobliquesection)1、截面法(Sectionmethod)

假想地沿斜截面ef將單元體截開,留下左邊部分的單體元eaf作為研究對象xya

x

x

yx

xyef

nefa

x

xy

yx

y

α

ααnα24xya

x

x

yx

xyef

n(1)由x軸轉(zhuǎn)到外法線n，逆時針轉(zhuǎn)向時則

為正(2)正應(yīng)力仍規(guī)定拉應(yīng)力

為正(3)切應(yīng)力對單元體內(nèi)任一點取矩，順時針轉(zhuǎn)

為正2、符號的確定(Signconvention)efa

x

xy

yx

y

α

ααnα25

設(shè)斜截面的面積為dA,ae的面積為dAcos,af

的面積為dAsin

efa

x

xy

yx

y

α

ααnαefaαdAdAsin

dAcos

3、任意斜截面上的應(yīng)力(Thestressactingonanyinclinedplane)

對研究對象列n和t方向的平衡方程得26化簡以上兩個平衡方程最后得不難看出即兩相互垂直面上的正應(yīng)力之和保持一個常數(shù)27efa

x

xy

yx

y

α

ααnα二、最大正應(yīng)力及方位(Maximumnormalstressandit’sdirection)

1、最大正應(yīng)力的方位(Thedirectionofmaximumnormalstress

)令

0和

0+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在的平面.282、最大正應(yīng)力(Maximumnormalstress

)將

0和

0+90°代入公式得到

max和

min(主應(yīng)力）下面還必須進一步判斷

0是

x與哪一個主應(yīng)力間的夾角29(1)當

x>y時，

0

是

x與

max之間的夾角

(2)當

x<y

時，

0

是

x與

min之間的夾角(3)當

x=y

時

，

0

=45°，主應(yīng)力的方向可由單元體上切應(yīng)力情況直觀判斷出來則確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則如下若約定|

0|<45°即

0

取值在±45°范圍內(nèi)30二、最大切應(yīng)力及方位(Maximumshearingstressandit’sdirection)

1、最大切應(yīng)力的方位(Thedirectionofmaximumshearingstress

)令

1和

1+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大切應(yīng)力所在的平面，另一個是最小切應(yīng)力所在的平面.312、最大切應(yīng)力(Maximumshearingstress

)將

1和

1+90°代入公式得到

max和

min比較和可見32例題4簡支梁如圖所示.已知mm

截面上A點的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

=-70MPa，

=50MPa.確定A點的主應(yīng)力及主平面的方位.A

mmal

A

解：把從A點處截取的單元體放大如圖33因為

x

<y，所以0=27.5°與

min對應(yīng)xA

A

0

1

3

1

334

x

y

xy例題5

圖示單元體，已知

x

=-40MPa，

y

=60MPa，

xy=-50MPa.試求ef

截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位.n30°ef(1)求

ef截面上的應(yīng)力35(2)求主應(yīng)力和主單元體的方位

x

=-40MPa

y

=60MPa

x

=-50MPa

=-30°因為

x

<y，所以0=-22.5°與

min對應(yīng)36

x

y

xy22.5°

1

337解（1）求主平面方位因為

x

=

y

，且

x>0例題6求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位.

xy所以

0=-45°與

max對應(yīng)45°（2）求主應(yīng)力

1=

，

2=0，

3=-

1

338第七章作業(yè)2：7.13、7.17、7.18397.19、7.21、7.28§7-3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法

(Analysisofplanestress-statewithgraphicalmeans)一、莫爾圓(Mohr’scircle)將斜截面應(yīng)力計算公式改寫為2222+40

因為

x，y，xy皆為已知量，所以上式是一個以

，

為變量的圓周方程。當斜截面隨方位角變化時,其上的應(yīng)力

，

在-直角坐標系內(nèi)的軌跡是一個圓.1、圓心的坐標(Coordinateofcirclecenter)2、圓的半徑（Radiusofcircle)此圓習慣上稱為應(yīng)力圓(planestresscircle),或稱為莫爾圓(Mohr’scircle)41(1)建

-坐標系,選定比例尺o

二、應(yīng)力圓作法（Themethodfordrawingastresscircle)1、步驟（Steps)xy

x

x

yx

xy

y

y42D

xyo

(2)量取OA=xAD

=xy得D

點xy

x

x

yx

xy

xAOB=y(3)量取BD′=yx得

D′

點

yB

yxD′(4)連接DD′兩點的直線與

軸相交于C

點(5)以C為圓心,CD

為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓C43(1)該圓的圓心C點到坐標原點的距離為(2)該圓半徑為D

xyo

xA

yB

yxD′C2、證明(Prove)44三、應(yīng)力圓的應(yīng)用（Applicationofstress-circle)1、求單元體上任一截面上的應(yīng)力(Determinethestressesonanyinclinedplanebyusingstress-circle)

從應(yīng)力圓的半徑CD按方位角

的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2

得到半徑CE.圓周上E

點的坐標就依次為斜截面上的正應(yīng)力

和切應(yīng)力

。D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

xya

x

x

yx

xyef

n45證明：D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0E2

F46點面之間的對應(yīng)關(guān)系：單元體某一面上的應(yīng)力，必對應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點的坐標。說明AB

夾角關(guān)系：圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。2

OCBA472、求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置

(Determineprinciplestressandthedirectionofprincipleplanebyusingstresscircle)(1)主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和B1兩點為與主平面對應(yīng)的點，其橫坐標為主應(yīng)力

1，

2

1

2D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

B1A1482

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1（2）主平面方位由CD順時針轉(zhuǎn)2

0到CA1所以單元體上從

x

軸順時針轉(zhuǎn)

0（負值）即到

1對應(yīng)的主平面的外法線

0確定后，

1對應(yīng)的主平面方位即確定493、求最大切應(yīng)力(Determinemaximumshearing

stressbyusingstresscircle)G1和G

兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應(yīng)力2

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1G1G2因為最大最小切應(yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑50

o例題7從水壩體內(nèi)某點處取出的單元體如圖所示,

x

=-1MPa,

y

=-0.4MPa,

xy=-0.2MPa,

yx

=0.2MPa,(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在

=30°和

=-40°兩斜面上的應(yīng)力。

x

y

xy解:(1)畫應(yīng)力圓量取OA=

x=-1,AD

=

XY=-0.2,定出D點;ACBOB

=

y=-0.4和，BD′

=

yx=0.2,定出D′點.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。51將半徑CD

逆時針轉(zhuǎn)動2

=60°到半徑CE,E

點的坐標就代表

=30°斜截面上的應(yīng)力。(2)確定

=30°斜截面上的應(yīng)力E60°(3)確定

=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑

CD順時針轉(zhuǎn)2

=80°到半徑CF,F

點的坐標就代表

=-40°斜截面上的應(yīng)力。F80°AD′C

BoD

30°

40°

40°

30°

30°=-0.36MPa

30°=-0.68MPa

40°=0.26MPa

-40°=-0.95MPa52

例題8兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試繪出截面c上a,b

兩點處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點處的主應(yīng)力。12015152709zab250KN1.6m2mABC53+200kN50kN+80kN.m解:(1)首先計算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖Mmax=MC=80kN?mFSmax=FC左

=200kN250KN1.6m2mABC5412015152709zab(2)橫截面C上a點的應(yīng)力為a點的單元體如圖所示a

x

x

xy

yx55由

x，

xy

定出D

點由

y，

yx

定出D′

點以DD′為直徑作應(yīng)力圓O

C(3)做應(yīng)力圓

x=122.5MPa，

xy

=64.6MPa

y=0，

yx

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A1

1

3A2A1，A2兩點的橫坐標分別代表a

點的兩個主應(yīng)力

1和

3A1點對應(yīng)于單元體上

1

所在的主平面56

a

x

x

xy

yx

0

1

312015152709zab(4)橫截面C上b點的應(yīng)力b點的單元體如圖所示b

x

x57

b點的三個主應(yīng)力為

1所在的主平面就是x

平面,

即梁的橫截面Cb

x

x(136.5,0)D(0,0)D′

158

已知受力物體內(nèi)某一點處三個主應(yīng)力

1、

2、

3利用應(yīng)力圓確定該點的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。一、空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力(themaximumnormalstressandshearstressinthree-dimensionalstress-state)§7-4

三向應(yīng)力狀態(tài)分析(analysisofthree-dimensionalstress-state)

3

1

2

2

3

1

1

3

首先研究與其中一個主平面

(例如主應(yīng)力

3所在的平面)垂直的斜截面上的應(yīng)力

1

2

2

用截面法，沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對象

2

1主應(yīng)力

3

所在的兩平面上是一對自相平衡的力，因而該斜面上的應(yīng)力

,

與

3無關(guān),只由主應(yīng)力

1,

2

決定與

3垂直的斜截面上的應(yīng)力可由

1,

2作出的應(yīng)力圓上的點來表示

1

2

3

3

2

1

該應(yīng)力圓上的點對應(yīng)于與

3所在主平面垂直的所有斜截面上的應(yīng)力

A

1

O

2B

與主應(yīng)力

2所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力

,

可用由

1,

3作出的應(yīng)力圓上的點來表示C

3

與主應(yīng)力

１所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力

,

可用由

2,

3作出的應(yīng)力圓上的點來表示

該截面上應(yīng)力和對應(yīng)的D點必位于上述三個應(yīng)力圓所圍成

的陰影內(nèi)abc截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面abc

1

2

1

2

3

A

1

O

2BC

3結(jié)論

三個應(yīng)力圓圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力

該點處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點的橫坐標

1

A

1

O

2BC

3

最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓的半徑

最大切應(yīng)力所在的截面與

2所在的主平面垂直，并與

1和

3所在的主平面成450角。例題9

單元體的應(yīng)力如圖所示

,作應(yīng)力圓,并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位.解:

該單元體有一個已知主應(yīng)力

因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力z無關(guān),依據(jù)x

截面和y截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓.

求另外兩個主應(yīng)力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa由

x，

xy

定出D

點由

y，

yx

定出D′

點以DD′為直徑作應(yīng)力圓A1，A2兩點的橫坐標分別代表另外兩個主應(yīng)力

1和

3A1A2D′

O

DC

1

3

1=46MPa

3=-26MPa該單元體的三個主應(yīng)力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個應(yīng)力圓§

7-5

平面應(yīng)變狀態(tài)分析(Analysisofplanestrain-state)

平面應(yīng)力狀態(tài)下，已知一點的應(yīng)變分量

x

、

y

、γxy

，欲求

方向上的線應(yīng)變

α和切應(yīng)變

,可根據(jù)彈性小變形的幾何條件，分別找出微單元體（長方形）由于已知應(yīng)變分量

x

、

y

、γxy在此方向上引起的線應(yīng)變及切應(yīng)