2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第10講 向量的概念和線性運(yùn)算（講義）教師版

第10講向量的概念和線性運(yùn)算

知識(shí)梳理

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量；向量的大小叫

向量平面向量是自由向量

做向量的長(zhǎng)度（或稱模）

零向量長(zhǎng)度為零的向量；其方向是任意的記作d

非零向量。的單位向量為±片

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共線

共線向量d與任一向量平行或共線

向量

兩向量只有相等或不等，不能比較大

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量

小

相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量

6的相反向量為6

2.向量的幾何運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

力卜

(1)交換律：a+b=b+a

a

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則(2)結(jié)合律：

(a+b)+c=a+(z?+c).

a

平行四邊形法則

求a與6的相反向量一b

—?—?—?-?

減法的和的運(yùn)算叫做；與了的a-b=a~\~(一b)

a

差三角形法則

⑴；

14al="||a|—?—?

（2）當(dāng)4>0時(shí)，的方

-A-?

〃)曰=久〃

求實(shí)數(shù)八與向量二的積的向與7的方向相同；當(dāng)兒(4+3+

數(shù)乘

—?

運(yùn)算<0時(shí)，，了的方向與二的a；

方向相反；當(dāng)4=0時(shí)，

4(a+b)=Xa+Ab

久a=0

3.共線向量定理

向量a（a#0）與6共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得6=4a.

例題解析

1、向量的概念

思考1向量與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？向量有哪幾種表示?

答聯(lián)系是向量與數(shù)量都是有大小的量；區(qū)別是向量有方向且不能比較大小，數(shù)量無(wú)方向且

能比較大小.向量可以用有向線段表示，也可以用字母符號(hào)表示.用表示向量的有向線段的

長(zhǎng)度表示向量麻勺大小，也就是向量誦的長(zhǎng)度（或稱模）.記作茄I有向線段痢頭表示向量

耐方向.

思考2向量與有向線段有什么區(qū)別？

答向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān).只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相

同的向量；有向線段是表示向量的工具，它有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管

大小和方向相同，也是不同的有向線段.

思考3滿足什么條件的兩個(gè)向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？

答長(zhǎng)度相等、方向相同的向量叫做相等向量.若向量a與6相等，記作a=6.單位向量不

一定是相等向量.

思考4如果非零向量宓與近是共線向量，那么點(diǎn)/、B、a〃是否一定共線？

答點(diǎn)從B、C、〃不一定共線.

思考5若向量;與了平行（或共線），則向量;與了相等嗎？反之，若向量;與石相等，則

向量蓑與了平行（或共線）嗎？向量平行具備傳遞性嗎？

答向量7與了平行（或共線），則向量;與工不一定相等；向量;與了相等，則向量;與7

平行（或共線）.

向量的平行不具備傳遞性，即若a//b,b//c,則未必有a〃c,這是因?yàn)椋?dāng)Z?=0時(shí),

二、5可以是任意向量，但若%#0,必有之〃7,工〃5n之〃5.

例1.（2021?浙江高一單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（）

A.向量A分與向量而是相等向量

B.與實(shí)數(shù)類似，對(duì)于兩個(gè)向量有￡=a>b^:〈》三種關(guān)系

C.兩個(gè)向量平行時(shí)，表示向量的有向線段所在的直線一定平行

D.若兩個(gè)向量是共線向量，則向量所在的直線可以平行，也可以重合

【答案】D

【分析】由相等向量和平行向量的定義進(jìn)行判斷

【詳解】解：對(duì)于A,向量而與向量而是相反向量，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)橄蛄渴怯蟹较蚝痛笮〉牧?，所以兩個(gè)向量不能比較大小，所以B錯(cuò)誤：

對(duì)于C,當(dāng)兩個(gè)向量平行時(shí)，表示向量的有向線段所在的直線平行或共線，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由共線向量的定義可知，當(dāng)兩個(gè)向量是共線向量時(shí)，有向量所在的直線可以平

行，也可以重合，所以D正確，

故選：D

例2.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列命題：（1）零向量沒(méi)有方向；（2）單位向量都相

等；（3）向量就是有向線段；（4）兩向量相等，若起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；（5）若四邊形

ABC。為平行四邊形，則漏=反，團(tuán)=麗.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【分析】零向量的方向是任意的可判斷（1）;單位向量方向不一定相同可判斷（2）；有向

線段只是向量的一種表示形式可判斷（3）；根據(jù)向量的二要素可判斷（4）；由相等向量的

定義可判斷（5）,進(jìn)而可得正確答案.

【詳解】對(duì)于（1）：零向量不是沒(méi)有方向，而是方向是任意的，故（1）不正確.

對(duì)于（2）：?jiǎn)挝幌蛄恐皇悄＞鶠閱挝?，而方向不相同，所以單位向量不一定都相等，故

（2）不正確.

對(duì)于（3）：有向線段只是向量的一種表示形式，向量是可以自由移動(dòng)，有向線段不可以自

由移動(dòng)，不能把兩者等同起來(lái)，故（3）不正確，

對(duì)于（4）：兩向量相等，若起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；故（4）正確；

如圖：若四邊形A5CD為平行四邊形，則=且方向相同，=但方向相

反，所以就與麗不相等，故（5）不正確；

所以正確的有一個(gè),

故選：A.

/7h

例3.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)B都是非零向量.下列四個(gè)條件中，使二=二

⑷網(wǎng)

成立的條件是（）

A.a=-bB-allb

C.a=2bD.）〃）且W=W

【答案】C

ab

【分析】根據(jù)同、同的含義，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.

ab

【詳解】國(guó)、慟分別表示與￡、區(qū)同方向的單位向量，

11a_b

對(duì)于A：當(dāng)”時(shí)，,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：當(dāng)二〃力時(shí)，若*B反向平行，則單位向量方向也相反，故B錯(cuò)誤;

a2bb

對(duì)于C：甑=場(chǎng)時(shí),『網(wǎng)=慟故c正確;

當(dāng)?！︳掴舛?1a_b

對(duì)于D：時(shí)，若“=_力滿足題意，此時(shí)口=一慟，故D錯(cuò)誤.

故選：C

例4.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于向量的結(jié)論:

（1）若I。|=出|,則￡=石或Q=一。；

（2）向量￡與坂平行，則［與坂的方向相同或相反；

（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量;

（4）若向量￡與B同向，且則￡〉坂.

其中正確的序號(hào)為（）

A.（1）（2）B.（2）（3）C.(4)D.(3)

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的定義可判斷（1）（4）錯(cuò)誤，向量26都是零向量時(shí)，山向量平行

得不出方向相同或相反，從而判斷（2）錯(cuò)誤，根據(jù)相等向量的定義可判斷（3）正確.

【詳解】⑴若|￡|斗向，由于海的方向不清楚，故不能得出￡=石或工工，故（1）

不正確.

（2）由零向量與任何向量平行，當(dāng)向量￡與加平行時(shí)，不能得出々與B的方向相同或相

反，故（2）不正確.

（3）由向量的相等的定義，起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）

正確.

（4）向量不能比較大小，故（4）不正確.

故選:D.

例5.（2021?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）下面幾個(gè)命題:

①若a=b＜則M=W；

②若|^|—0,則q=O；

rr

③若Cl—b,則a=Z?；

④若向量2萬(wàn)滿足則a=Z?.

allb

其中正確命題的是—

【答案】①

【分析】對(duì)于①，由相等向量的定義判斷即可；對(duì)于②，若W=o,則可得￡=6,而不

是向量為零；對(duì)于③，當(dāng)兩向量的模相等時(shí)，不一定有兩個(gè)向量相等；對(duì)于④，當(dāng)兩共線

向量的模相等時(shí)，則這兩向量相等或是相反向量

【詳解】解：對(duì)于①，由相等向量的定義可知，￡=石時(shí)，則有：=力，所以①正確;

對(duì)于②，當(dāng)同=0時(shí)，則有￡=6,所以②錯(cuò)誤;

對(duì)于③，當(dāng)卜卜”時(shí)，￡與刃的方向不一定相同，所以③錯(cuò)誤;

對(duì)于④,當(dāng)向量￡出滿足時(shí),有a二1或Q=—h，所以④錯(cuò)誤.

allb

故答案為：①

例6.（2021?江蘇高一課時(shí)練習(xí)）已知四邊形ABC。中，AB=-DC,且

2

國(guó)啊,則四邊形加%9的形狀是.

【答案】等腰梯形

【分析】由A月弓加，得到A3//C。且網(wǎng)=g|明，得出ABC。是梯形，再根據(jù)

|AD|=|BC|.得到四邊形ABC。是等腰梯形.

【詳解】由題意，向量通=g加，可得AB//CD且力q,

即線段AB平行于線段8,且線段AB的長(zhǎng)度是線段CO長(zhǎng)度的一半，

所以四邊形ABCD是梯形，

又因?yàn)閨而卜|百弓，所以梯形A5CD的兩個(gè)腰相等，所以四邊形ABCD是等腰梯形.

故答案為：等腰梯形.

例7.（2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）給出下列幾種說(shuō)法：①若非零向量M與5共線，則

d=B；②若向量2與5同向，且|引〉出|,則萬(wàn)＞5；③若兩向量有相同的基線，則兩向

量相等；④若1//5，b//c＞則其中錯(cuò)誤說(shuō)法的序號(hào)是

【答案】①②③④

【分析】根據(jù)向量的概念和共線的性質(zhì)依次判斷即可得到答案.

【詳解】共線向量模長(zhǎng)不一定相等，故①錯(cuò)誤；

向量不能比較大小，故②錯(cuò)誤；

向量的基線相等，但長(zhǎng)度不一定相等，故③錯(cuò)誤；

若5=6，則對(duì)任何向量N忑都有夕//5,bHc＞但口不不一定共線，故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③④.

例8.（2020?湖北武漢市?高一期中）下列命題中正確的有.（填序號(hào)）

①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；

②若同=忖，則了=5；

③若麗=反，則A,￡C,。四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形;

④在。力靦中，一定有血=反；

⑤若〃=5,b=c>則5=0；

⑥若allb>bile，則allc；

【答案】④⑤

【分析】根據(jù)向量的相等，向量共線的概念，可得答案.

【詳解】?jī)上蛄科瘘c(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起

點(diǎn)和終點(diǎn)，故①不正確；

同=忖，由于5與5方向不確定，所以5與B不一定相等，故②不正確；

AB=DC，可能有4,B,C,〃在一條直線上的情況，所以③不正確；

在口力以,中，AB=CD,AB〃C￡>,所以一定有福=反，所以④正確；⑤顯然正確；

零向量與任一向量平行，故商/區(qū)，引/5時(shí)，若加=6,則G與了不一定平行，故⑥不正

確.

故答案為：④⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查向量相等，向量共線的概念，關(guān)鍵在于從向量的方向和向量的大小兩個(gè)

方面考慮，對(duì)于向量共線，注意零向量與任何向量共線，屬于基礎(chǔ)題.

例9.判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.

①若a#6,則a一定不與6共線；

②若葩=應(yīng)；則力、B、C、〃四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；

③在平行四邊形4?口中，一定有礪=元；

④若向量a與任一向量b平行，則a=0；

⑤若a=b,b—c,則2=。；

⑥若a//b,b//c,則2〃，.

【難度】★

【答案】①不正確；②不正確；③正確：④正確；⑤正確：⑥不正確.

【解析】?jī)蓚€(gè)向量不相等，可能是長(zhǎng)度不同，方向可以相同或相反，所以a與。有共線的可

能，故①不正確.②誦=應(yīng)；/、B、C、。四點(diǎn)可能在同一條直線上，故②不正確.③在平行

四邊形46（力中，I布=|虎前與應(yīng)平行且方向相同，故誦=應(yīng)；③正確.④零向量的方

向是任意的，與任一向量平行，④正確.⑤a=6,則|a|=|引且a與6方向相同：6=c，則

b=c|且6與c方向相同，則a與c方向相同且模相等，故3=?、菡_.若6=0,由

于a的方向與c的方向都是任意的，a〃c可能不成立；6W0時(shí)，a〃c成立，故⑥不正確.

例10.如圖所示，的三邊均不相等，氏尺〃分別是4C、AB,比的中點(diǎn).

(1)寫出與旗共線的向量：

(2)寫出與標(biāo)的模大小相等的向量；

(3)寫出與礪相等的向量.

【難度】★

【解答】(1)因?yàn)閰^(qū)b分別是/C、四的中點(diǎn)，所以"z去秋又因?yàn)?。是?的中點(diǎn)，

所以與原共線的向量有：旗~BD,1)B,7)C,CD,BC,~CB.

(2)與標(biāo)模相等的向量有：~FE,筋，1)8,DC,CD.

(3)與肖相等的向量有：施與辦

例H.如圖，在平行四邊形48勿中，。是兩對(duì)角線4G加的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集S=｛4,B,C,

D,。｝,向量集合7=(麻M,NGS,且機(jī)N不重合｝,試求集合7中元素的個(gè)數(shù).

【難度】★★★

【解答】由題意知，集合7中的元素實(shí)質(zhì)上是S中任意兩點(diǎn)連成的有向線段，共有20個(gè)，

即礪，AC,A/),花；就BC,~BD,瓦;~CA,~CB,'CD,而；1)A,而,DC,7)0-,OA,~OB,OC,'OD.

由平行四邊形的性質(zhì)可知，共有8對(duì)向量相等，即痛=應(yīng)；茄=法而=宓訕=而,崩=

OC,應(yīng)=而，而=應(yīng)，灰質(zhì)1,集合中元素具有互異性，，集合7中的元素共有12個(gè).

【鞏固訓(xùn)練】

1.判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.

①若向量a與6同向，且|a|>|6|,則a)6：

②若向量Ia|=b,則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反：

③對(duì)于任意以=|引，且a與6的方向相同，則a=6；

④向量a與向量6平行，則向量a與6方向相同或相反.

【難度】★

【答案】①不正確；②不正確；③正確；④不正確.

【解析】①不正確.因?yàn)橄蛄渴遣煌跀?shù)量的一種量.它由兩個(gè)因素來(lái)確定，即大小與方向,

所以兩個(gè)向量不能比較大小，故①不正確.

②不正確.由?=b只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，并不能判斷方向.

③正確.因?yàn)?=6,且a與b同向.由兩向量相等的條件可得a=b.

④不正確.因?yàn)橄蛄縜與向量6若有一個(gè)是零向量，則其方向不確定.

2.如圖，設(shè)。是正六邊形/伙/（卯的中心，分別寫出圖中所示向量與而、仍、“湘等的向量.

ZJII

ZJI.1

【難度】★

【解答】OA=Cb=DO；辦=比=質(zhì)；充=宓=應(yīng)=而

3.以下命題：①1a與|引是否相等與a,6的方向無(wú)關(guān)；②兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定

是共線向量；③兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；④單位向量都是共線向

量.其中，正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【難度】★★

【答案】C

4.如圖，在四邊形川陽(yáng)9中，荔=比，/KM分別是力。、比1上的點(diǎn)，且用仁加

求證：DN—MB.

【難度】★★

【解答】證明：：而=應(yīng)，而=1近且加〃徽.??四邊形被力是平行四邊形，

：.'DA\=\'CB\且的〃龍.又?應(yīng)與游的方向相同，：.CB=DA.

同理可證，四邊形是平行四邊形，二方/=而：函=|防，麗=|麗，，|麗=|礪

,/DN//板?且而與礪的方向相同，二面=而.

2、向量的幾何運(yùn)算

思考6向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯(lián)系?

答向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別：①三角形法則中強(qiáng)調(diào)“首尾相連”，

平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”；②三角形法則適用于所有的兩個(gè)非零向量求和，而

平行四邊形僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和.聯(lián)系：當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角

形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的.

思考7a+引與|a|和|引之間的大小關(guān)系如何？

答當(dāng)a與b同向共線時(shí)，a+Z>與a,6同向，且|a+6=|a+b.

當(dāng)a與b反向共線時(shí)，若［a1>b,則a+b與a的方向相同，且Ia+b—\a\—\b\^若

a<\b\,則a+b與b的方向相同，且|a+b\=b-\a\.

思考8向量減法的三角形法則是什么？

答當(dāng)把兩個(gè)向量a,6的始點(diǎn)移到同一點(diǎn)時(shí)，它們的差向量a—6可以通過(guò)下面的作法得

到：

①連接兩個(gè)向量(a與b)的終點(diǎn)；②差向量a—b的方向是指向被減向量的終點(diǎn).

這種求差向量a—6的方法叫向量減法的三角形法則.概括為“移為共始點(diǎn)，連接兩終點(diǎn)，

方向指被減”.

思考9一般地，我們規(guī)定：實(shí)數(shù)幺與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記

作4a,該向量的長(zhǎng)度與方向與向量a有什么關(guān)系？

答4a仍然是一個(gè)向量.

⑴=a；⑵4>0時(shí)，4a與a方向相同；兒〈0時(shí)，4a與a方向相反；4=0

時(shí)，4a=0.方向任意.

思考10向量等式的證明依據(jù)是相等向量的定義，既要證明等式兩邊的模相等，又要證明

方向相同.你能根據(jù)這兩條證明4(〃a)=(八〃)a這條運(yùn)算律嗎？

答如果4=0或“=0或a=0,則①式顯然成立；

如果4W0,〃W0,aWO,則由向量數(shù)乘的定義有

a)|=|A〃a=|4||〃|a,

=a=|4||〃|a,

故r(〃a)|=|(*Qa.

如果人〃同號(hào)，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果兒、〃異號(hào)，則①式兩邊向量的

方向都與a反向.

因此，向量4(〃a)與(/〃)a有相等的模和相同的方向，所以4(〃/=(4〃)&

思考11如圖所示，偽，僥是兩個(gè)不共線的向量，試用e,e表示向量誦，CD,EF,Gil,/K,

a.

X

答通過(guò)觀察，可得：/42?+36，CD=—ei+4e>,EF—\e\—\ei,

67A=-2a+5e?,//G=2a—5僥，a=-2e.

思考12在等邊三角形4%中，試寫出下面向量的夾角？

a.AB.ACb.欣萬(wàn)c.成、CAd.AB,BA

答a.石與應(yīng)的夾角為60°；b.超與Ml的夾角為120°；

c.蕩與萬(wàn)的夾角為60。；d.葩與法的夾角為180。.

例1.如圖，在平行四邊形48徵中，。是/C和M的交點(diǎn).

⑴功+語(yǔ)=；⑵而+而+赤=j

（3）誦+語(yǔ)+而=；（4）定'+切+反1=.

\\

/SIG.

H時(shí)￡1

【難度】★

【答案】⑴尼（2）布（3）初（4）0

例2.在正六邊形ABCDEF中,亦+礪+4,+澇斗威+崩=.

【難度】★★

【答案】0

［解析］應(yīng)+礪+CE-\-法+EA+而=（AB+反）+（詼+C/J）+（而+應(yīng)）+（DE+麗+（旗+應(yīng)I）

+（語(yǔ)+詢=（葩+比+而+施+旗+應(yīng)I）+（應(yīng)+而+應(yīng)+赤,+或+南=0+0=0.

例3.如圖所示，在正五邊形46CZ）￡中，AB—m,BC—n,CD—p,DE—q,EA—r,求作向

量n-q—r.

----3Q

【難度】★★

【解答】延長(zhǎng)/C至！1Q.使CQ=AC,則m—p+n—q—r=Gs+n)—(p+g+_r)

^AC-C~A^AC+CQ^AQ.

例4.已知任意兩個(gè)非零向量a,b,作勿=a+b,0B=a+2b,OC=a+3b.試判斷4、B、C三

點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【難度】★★

【解答】分別作向量而、灰被過(guò)點(diǎn)從C作直線4c(如圖).

觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、6怎樣變化，點(diǎn)8始終在直線力「上，猜想/、B、C三點(diǎn)共線.

因?yàn)榱P=應(yīng)一應(yīng)=(a+26)-(a+6)=b,AC=OC-OA=(a+36)-(a+6)=26,

故有五三2次因?yàn)槎ㄝ?，且有公共點(diǎn)/，所以4、B、,三點(diǎn)共線.

例5.設(shè)e”金是兩個(gè)不共線的向量，逾=2e、+ke”應(yīng)=8+3身，CD=2e}-e>,若A,B,D

三點(diǎn)共線，求力的值.

【難度】★★

【解答】若4B,〃三點(diǎn)共線，則正與應(yīng)共線，所以可設(shè)葩=4壺

又因?yàn)锽/)=CD—CB=(2e］一包)一(ei+3a)=&-4a,

所以2ei+%a=4(ei-4e),即(44+4)e>—(4—2)e

因?yàn)閑,a是兩個(gè)不共線的向量，

A—2

若44+AWO,則&=7^8,于是8與e,是共線向量，與已知條件矛盾;

44~T~K

若4—2W0,則&=二號(hào)金，于是a與包是共線向量，與已知條件矛盾，

人一Z

[4.+女=0,

所以L故4=2,k=-8.

[4-2=0,

例6.設(shè)亦麗不平行，點(diǎn)P在A3上O存在實(shí)數(shù)％〃使得而=%況+〃而

且丸+從=1（九〃eR）

【難度】★★

【解答】如圖，設(shè)向量而=〃而，PB=AAB,

?/AP+P3=A3=2+4=1

而=樂(lè)+而=況+〃而=0A+〃（08_0A）=。_以）礪+4萬(wàn)

=AOA+^iOB【人〃的正負(fù)可以給學(xué)生講一下】

反過(guò)來(lái)的證明？

若麗=4次+〃而且?guī)?〃=1（尢〃€/?）,

即加=幾方+（1—/05^,

故而一麗=2蘇-2無(wú)，即麗=2而，所以A、B,P三點(diǎn)共線，即點(diǎn)尸在A8上

例7.如圖，已知△/比■中，。為比'的中點(diǎn)，E,尸為勿的三等分點(diǎn)，若誦=a,'AC=b,G是

△46C的重心，（1）用a、5表示森、AE.AF,AG,CG.（2）證明?不+旃+。存=0

【難度】★★

【解答】（1）^=46+^?=荔+；應(yīng)1=a+；（6-a）=；a+16：

~AE—~AB+~BE—~AB+^BC—a+(b—a)=^a+；6；

~AF=葩+訴=~AB-\-^BC=a+1(Z)—a)—\a+^;b.

(2)如圖，若G為A4BC重心，由重心的性質(zhì)可知P、M、N分別為所在邊的

中點(diǎn)，且AG:GN=2:1,即AG=2GN,由向量的平行四邊形法則可知GB+GC=2GN,

即歷+三=而，所以北+前+1=0.

例8.己知。是線段AB外一點(diǎn)，若。4=￡,OB=b.

(1)設(shè)點(diǎn)4、&是線段AB的三等分點(diǎn)，△。/見(jiàn)、△。44及的重心依次為

GPGrG3,試用向量￡、石表示西'+*+*；

(2)如果在線段AB上有若干個(gè)等分點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

【難度】★★

【解答】(1)OG}+Oa+OG^=a+b，

(2)西+聞+…+OG1=和+而

例9.如圖所示，設(shè)M,N為內(nèi)的兩點(diǎn)，且就4荔+緊，了泊翔+吳，則△制/的

面積與△/L8A；的面積之比為.

【難度】★★

【答案】2:3

【解析】如圖所示，設(shè)萬(wàn)三；通AQ=7：AC9則贏三蘇+而

"J.J

由平行四邊形法則知，「監(jiān)〃｛氏

例10.如圖所示，。為△4%的外心，〃為垂心，求證：O^OA+OB+OC.

【難度】★★★

：.CH//DA,MI//DC,故四邊形力//⑦是平行四邊形.

:前1=1立又應(yīng)一應(yīng)'一旗應(yīng)斗宓,

Bl=OA+而=OA+DC=OA+OB+OC.

例11.如圖所示，在△力比1中，點(diǎn)材為4?的中點(diǎn)，且44)愴或，與CV相交于點(diǎn)￡,設(shè)赤

=a,~AC=b,試以a,6為基底表示花

【難度】★★★

【解答】(方程思想在平面向量的線性運(yùn)算中的應(yīng)用)?.?就前/=5葩="a,

由1E,8三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)才滿足誦一乂萬(wàn)+(1—4)荔=；4b+(l—4)a

由C,"三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)〃滿足癥=〃葡什（1一"）（1-P）A.

~21

解得《；?AE=^a+三b.

□□

【鞏固訓(xùn)練】

1.設(shè)￡是平行四邊形力解外一點(diǎn)，如圖所示，化簡(jiǎn)下列各式:

⑴匠+必=⑵礪+茄+應(yīng)=；

(3)DE+CB+EC=（4）瓦1+礪+應(yīng)+癥=.

【難度】★

【答案】⑴應(yīng)（2）0⑶而（4）加

2.在邊長(zhǎng)為1的正三角形力回中，1誦一擊|的值為（）

A.1B.2C.乎D.小

DC

AB

【難度】★

【答案】D

【解析】作菱形/靦，^\\AB-BC\=\AB-M=麗=木.

3.a,6為非零向量，且|a+5|=|a|+|b|,則（）

A.a〃b,且a與b方向相同B.a,力是共線向量且方向相反

C.a=bD.a,6無(wú)論什么關(guān)系均可

【難度】★★

【答案】A

4.若0是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|礪—無(wú)卜|礪+花—2礪］,則AABC的形

狀為一

【難度】★★

【答案】直角三角形

5.）工為不共線的向量,設(shè)條件M工J.（D）；條件N：對(duì)一切xeR,不等式

a-xb>a-b恒成立.則/是N的條件.

【難度】★★

【答案】充要條件

6.設(shè)向量。=2a—36,n=A,a-2b,p=3a+2b,若用％n表示p,則p=

【難度】★★

71?

【答案】一五十五77

4o

【解析】設(shè)p=x?+以,則3a+26=x(2a—32?)+y(4a—2b)=(2x+4y)a+(—3%—2y)b,

'2x+4y=3

得=>

[-3x~2y=213

F

7.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量而、位應(yīng):其中應(yīng)與麗］夾角為120。，而與詫的夾角為30°,

且I而=|曲=1,I赤1=2#,若應(yīng)'=AOA+POB(A,〃GR),則，+〃的值為

【難度】★★

【答案】6

【解析】如圖，以的、仍所在射線為鄰邊，宓為對(duì)角線作平行四邊形切解則龍=茂葉及

在Rt△?中，應(yīng)1=24，N6W=30°,40cg90°,

,而|=4,|而|=2,故展4應(yīng)，龍=2次即八=4,〃=2,二4+〃=6.

8.已知兩個(gè)非零向量ei和會(huì)不共線，如果4?=2&+3&,6C=6a+23e：,C9=4ei—8a”求

證：/、B、〃三點(diǎn)共線.

【難度】★★

【解答】證明：：比=6?+23金，灰48—8的，

旗友,+尻(6e,+23ft)+(4el-8ft)=10el+15ft.

又?.?92a+3金，.?.林5崩，

茄、反共線，且有公共點(diǎn)反；.從B、。三點(diǎn)共線.

9.在平行四邊形4%》中，AB=a,AD=b,

(1)如圖1,如果￡,尸分別是8C,ZT的中點(diǎn)，試用a,b分別表示麗DE.

(2)如圖2,如果。是力C與必的交點(diǎn)，G是加的中點(diǎn)，試用a,b表示通.

【難度】★★

【解答】⑴赤'=赤+%=礪+;而=通-)宿=一9+6.DE^DC+CE=Ak-^Ab=a-7：b.

乙乙乙乙乙

⑵瓦H礪一茄=6—&:。是9的中點(diǎn)，G是〃。的中點(diǎn)，：.BG=3^D=^3{b~a),

AG—AB+BG=a+7(b—a)=%+%.

444

10.如圖所示，在平行四邊形/物中，點(diǎn)"是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在加上，旦BN=、BD.

0

求證：材、M，三點(diǎn)共線.

【難度】★★★

【解答】證明：設(shè)加=a,BC=b,則由向量減法的三角形法則可知：ai=B\l-~BC=^BA-BC

=:a-b.又?.?“在劭上且BD=3BN,：.麗.;而=[(反+應(yīng)(a+6),

/<5oo

GV—BA'—丘=((a+6)—b—^a—^b=^~^a—6),/.

又?.?康與扇的公共點(diǎn)為C,M、％三點(diǎn)共線.

10.(1)在AOAB中，點(diǎn)尸、Q分別在Q4、OBh,線段PQ過(guò)三角形ABO的重心G,

設(shè)d=2,OB^h,OP^ma,OQ=nb,試求'士的值.

mn

(2)在A4BC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AC上一點(diǎn)，且網(wǎng)=』，BN與CM相

AC3

交于點(diǎn)E,設(shè)通=M,AC=b,試用爪5表示Z后.

【難度】★★★

___21-

【答案】(1)3；(2)A,E=—o,H—h.

55

11.如圖所示，已知D是面積為1的4ABC的邊AB上任一點(diǎn)，E是邊AC上任一點(diǎn)，連接DE,

F是線段DE上一點(diǎn)，連接BF,設(shè)AE=A2AC(DF=%DE,且

，，，*1*__

’-2,記△BDF的面積為s=/（4，%，4）,則s的最大值是（）

1111

2-3-4-8-

3氏

B>

【難度】★★★

【答案】D

12.如圖：在△A5C中，M為BC上不同于3、C的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N滿足

AN=2NM,

^AN=xAB+yAC,則犬+9）’的最小值為

【難度】★★★

_________2___.____3__?3__?

【答案】AN=xAB-}-yAC=-AM,：.AM=-xAB+-yAC,VB,M、C三點(diǎn)共

322

33222

線，；.+jy=1,即x+y=§,x2+9y2=x1+9(--x)2-10x2-12x+4>—.

3、向量的坐標(biāo)運(yùn)算

思考14

把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量入，是兩個(gè)互

相垂直的單位向量，向量a與，的夾角是30°,且?=4,以向量八）為基底，向量a如

何表示？

答a=2y^i+2j.

思考15已知點(diǎn)4（劉，弘）,B〈X"度），那么向量前的坐標(biāo)是什么？一般地，一個(gè)任意向量

的坐標(biāo)如何計(jì)算？點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有何區(qū)別？

答功=(及一為，y2-y,).任意一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減

去始點(diǎn)坐標(biāo).

(1)向量a=(x,y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)/f(x,y)中間沒(méi)有等號(hào).

(2)平面向量的坐標(biāo)只有當(dāng)起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.

(3)在平面直角坐標(biāo)系中，符號(hào)(x,y)可表示一個(gè)點(diǎn)，也可表示一個(gè)向量，敘述中應(yīng)指明點(diǎn)

(*,y)或向量(x,y).

思考16當(dāng)*4荻，點(diǎn)。的坐標(biāo)是什么？

答：尻海+用三原+，所=而+八(旗一明=蘇十[良一乂羽

.~宓+XOP，1、，1，、(11}A，、

0P=-1+A-=]+.(汨'%)+]+H(如㈤=11+尸1+.開(kāi)尸(1+產(chǎn)，1+Ay2)

(x\+x-iy\+Ay2\./拓+八顯必+力川

=11+0，1+1/?'51+4'1+A\

例1.若麗=(2,4),XC=(1,3),則與與C共線的單位向量為.

【難度】★

【解答】I——2，——2J和I---2--，----2-J

例2.已知a=(―2,3),b=(3,1),c=(10,—4),試用a,力表示c.

【難度】★

【解答】設(shè)c=xa+yb,則(10,—4)=x(-2,3)+y(3,1)=(―2x+3p,3x+y),/.

10=-2x+3y,

-4=3x+y,

解得x=-2,y=2,c=—2a+2b.

例3.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=4a+〃b(X,〃￡R),求《的

值.

【難度】★★

【解答】以向量a和8的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則a=(—1,1),b=(6,2),c=(一

1,—3),根據(jù)。=久3+〃6=>(—1,—3)=4(-1,1)+〃(6,2)有一4+6〃=—1,幾+2

〃=—3,解之得4=—2且〃=一；,故q=4.

例4.己知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,7),(4,6),(1,一2),求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐

標(biāo).

【難度】★★

【解答】不妨設(shè)履3,7),6(4,6),(7(1,-2),第四個(gè)頂點(diǎn)為〃(x,y).則/、B、C、〃四點(diǎn)

構(gòu)成平行四邊形有以下三種情形.

⑴當(dāng)平行四邊形為4?切時(shí)，~AB=~DC,.*.(4,6)-(3,7)=(1,-2)—(*,y),

[一x=l,{x=0,

A."(0,-1).

—2—y=-1,[y=-1.

(2)當(dāng)平行四邊形為/即7時(shí)，仿(1)可得〃(2,-3).

(3)當(dāng)平行四邊形為4Z%時(shí),仿(1)可得〃(6,15).

綜上所述，第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能為(0,-1),(2,-3)或(6,15).

例5.已知OP=(cos8,sine),OQ=(l+sinai+cos8)(OW。<))，求的取值范

圍.并指出。為何值時(shí)，|可|取得最大值.

【難度】★★

【解答】|耳卜[0,#],當(dāng)"今時(shí)，?①L=#

例6.已知三點(diǎn)4(1,2),8(2,4己C(3,已共線,試求皿的值.

【難度】★★

【解答】/方=(2,4)—(1,2)=(1,2)./7=(3,?)-(l,2)=(2,m-2).

'：A,B,「三點(diǎn)共線，即向量/萬(wàn)，共線，，存在實(shí)數(shù)4使得/萬(wàn)=

2/1=1,A=-,

即(1,2)=1(2,m—2)=(24，入/〃—24).:="

4m-2久=2c

、0=6.

即勿=6時(shí)，4B,，三點(diǎn)共線.

例7.設(shè)向量。4=(1,—2),。8=(〃,—1),。。=(—"0),其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，a>0,b>0,

1?

若A氏。三點(diǎn)共線，則一+7的最小值為

ab

【難度】★★

【解答】8

例8.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),6=(—1,2),。=(4,1),請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

(1)求滿足8=泌+〃。的實(shí)數(shù)力，〃；

⑵若(a+k?)〃(28—a),求實(shí)數(shù)上

(3)若d滿足(d—c)〃(a+b),且Id—。1=十，求d.

【難度】★★

rm=-5

[―Z?+4/J=39

【答案】(1)由題意得牡2)=/(-1,2)+〃(4,1),所以。，°，得〈°.

[2m+n=28