青海省海北市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

青海省海北市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中，三邊長之比為，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不存在這樣的三角形2．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)，，，則的最小值為（）A. B.C D.3．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，則事件“曲線表示圓”的概率為（）A. B.C. D.4．已知函數(shù)，要使函數(shù)有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S的值為（）A. B.0C.1 D.26．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.8．設(shè)命題，則為A. B.C. D.9．曲線的一個焦點(diǎn)F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.10．已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點(diǎn)，使，則雙曲線的焦點(diǎn)（）A.在軸上 B.在軸上C.當(dāng)時在軸上 D.當(dāng)時在軸上11．如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.8 B.9C.10 D.1112．已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于曲線，給出下列三個結(jié)論：①曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不關(guān)于軸、軸對稱；②曲線恰好經(jīng)過4個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于.其中，正確結(jié)論的序號是________.14．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，直線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.15．若平面法向量，直線的方向向量為，則與所成角的大小為___________.16．寫出一個漸近線的傾斜角為且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)F為拋物線：（）的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且在x軸上方，.（1）求拋物線的方程；（2）已知直線與曲線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B與點(diǎn)P不重合），直線PA與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)，直線PB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形CDMN的面積最小時，求直線l的方程.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為1.（1）求拋物線C的方程；（2）若不經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l過定點(diǎn).19．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個條件中任選一個，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個圓位置關(guān)系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長注：若第（1）問選擇兩個條件分別作答，按第一個作答計(jì)分21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的焦距為4，且過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，問是否存在直線l，使得F為的垂心（高的交點(diǎn)），若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由.22．（10分）已知點(diǎn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角為鈍角.【詳解】設(shè)三邊分別為，，，中的最大角為，，為鈍角，為鈍角三角形.故選：C.2、A【解析】由橢圓的定義可得；利用基本不等式，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.故選：A3、D【解析】先求出曲線表示圓參數(shù)的范圍，再由幾何概率可得答案.【詳解】由可得曲線表示圓，則解得或又所以曲線表示圓的概率為故選：D4、A【解析】要使函數(shù)有三個解，則與圖象有三個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】要使函數(shù)有三個解，則與圖象有三個交點(diǎn)，因?yàn)楫?dāng)時，，所以，可得在上遞減，在遞增，所以，有最小值，且時，，當(dāng)趨向于負(fù)無窮時，趨向于0，但始終小于0，當(dāng)時，單調(diào)遞減，由圖像可知：所以要使函數(shù)有三個零點(diǎn)，則.故選：A5、A【解析】直接求出的值即可.【詳解】解：由題得，程序框圖就是求，由于三角函數(shù)的最小正周期為，，，所以.故選：A6、D【解析】原不等式等價(jià)于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.7、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長，然后取外心，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，求出的長即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過各面外心且與此面垂直的直線上8、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題，所以命題的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項(xiàng)為C.9、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A10、B【解析】設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)的位置【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運(yùn)用，求解時要注意焦點(diǎn)落在軸或軸的特點(diǎn)，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力11、B【解析】由題意可得的邊長，進(jìn)而可得周長及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項(xiàng)和，所以，故選：B.12、A【解析】由直線斜率與方向向量的關(guān)系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③【解析】設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，判斷、、是否滿足曲線方程即可判斷①；求出曲線過的整點(diǎn)即可判斷②；由條件利用即可得，即可判斷③；即可得解.【詳解】設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)、軸、軸的對稱點(diǎn)分別為、、，因?yàn)?；；；所以點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)、點(diǎn)不在曲線上，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，但不關(guān)于軸、軸對稱，故①正確；當(dāng)時，；當(dāng)，.此外，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故曲線過整點(diǎn)，，，，，，故②錯誤；又，所以恒成立，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以曲線上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故③正確.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查了與曲線方程有關(guān)的命題真假判斷，屬于中檔題.14、【解析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關(guān)于、的齊次不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.【詳解】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，故，又因?yàn)?，且，所以，因此，所以，又因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以，故，即，則，所以，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以.故答案為：.15、##【解析】設(shè)直線與平面所成角為，則，直接利用直線與平面所成的角的向量計(jì)算公式，即可求出直線與平面所成的角【詳解】解：已知直線的方向向量為，平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，所以直線與平面所成角為.故答案為：.16、(答案不唯一)【解析】根據(jù)已知條件寫出一個符合條件的方程即可.【詳解】如，焦點(diǎn)在y軸上，令，得漸近線方程為，其中的傾斜角為.故答案為：(答案不唯一).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義求出p即可作答.(2)聯(lián)立直線l與拋物線的方程，用點(diǎn)A，B坐標(biāo)表示出點(diǎn)C，D，M，N的坐標(biāo)，列出四邊形CDMN面積的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式計(jì)算得解.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線：，由拋物線定義得，解得，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，則，即，依題意，，設(shè)，，由消去并整理得，則有，，直線PA的斜率是，方程為，令，則，令，則，即點(diǎn)C，點(diǎn)D，同理點(diǎn)M，點(diǎn)N，則，，四邊形的面積有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以當(dāng)時四邊形CDMN的面積最小值為4，直線l的方程為或.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線距離公式可得參數(shù)值得拋物線方程；（2）設(shè)直線方程為，，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入可得值，得定點(diǎn)坐標(biāo)【小問1詳解】已知雙曲線的一條漸近線方程為，即，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得（因?yàn)椋話佄锞€方程為；【小問2詳解】由題意設(shè)直線方程為，設(shè)由得，，，又，所以，所以，直線不過原點(diǎn)，，所以所以直線過定點(diǎn)19、（1）證明見解析；（2）當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）利用分組求和法，結(jié)合錯位相減法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由題知：所以又因?yàn)樗运詳?shù)列為以－1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知：，所以，，記，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；記兩式相減得：，所以，所以，當(dāng)偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，.20、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進(jìn)行比較即可；(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，先計(jì)算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長的一半之間的關(guān)系求解.【小問1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C圓心為，半徑為因?yàn)閮蓤A的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因?yàn)閮蓤A的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長為21、（1）（2）存在：【解析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的關(guān)系，計(jì)算求值，即可得答案.（2）由（1）可得B、F點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線BF的斜率，根據(jù)F為垂心，可得，可得直線l的斜率，設(shè)出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合垂心的性質(zhì)，列式求解，即可得答案.【小問1詳解】因?yàn)榻咕酁?，所以，即，又過點(diǎn)，所以，又，聯(lián)立求得，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】由（1）可得，所以，因?yàn)镕為垂心，直線BF與直線l垂直，所以，則，即直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為，，與橢圓聯(lián)立得，，所以，因?yàn)镕為垂心，所以直線BN與直線MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又時，直線l過點(diǎn)B，不符合題意，所以，所以存在直線l：，滿足題意.22、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓定義求得橢圓的即可解決；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線l分為斜率不存在和存在兩種情況，分別去求弦，再去求其取值范圍即