四川省成都市成華區(qū)某校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月測試數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．解選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案標(biāo)號。解非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在空間四邊形PABC中，（）A． B． C． D．2．已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計(jì)該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)：137960197925271815952683829436730257，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A． B． C． D．3．如圖，三個(gè)元件，，正常工作的概率分別為，，，將它們中某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，在如圖的電路中，電路正常工作的概率是（）A． B． C． D．4．四棱錐中，面ABCD，底面ABCD是矩形，則在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．5．拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為i”，其中；“點(diǎn)數(shù)不大于2”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)大于4”下列結(jié)論是判斷錯(cuò)誤的是（）A．與互斥 B．，C． D．，為對立事件6．甲、乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.7，被甲或乙解出的概率為0.94，則該題被乙獨(dú)立解出的概率為（）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.67．一組數(shù)據(jù)：53，57，45，61，79，49，x，若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3，則（）．A．58或64 B．58 C．59或64 D．598．如圖，平行六面體各棱長為1，且，動點(diǎn)P在該幾何體內(nèi)部，且滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若向量是空間的一個(gè)基底，向量，，那么可以與，構(gòu)成空間的一組基底的向量是（）A． B． C． D．10．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為4，則下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為13 B．?dāng)?shù)據(jù)的方差為12C． D．11．在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個(gè)信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙3類產(chǎn)品共600件．已知甲、乙、丙3類產(chǎn)品數(shù)量之比為1：2：3．現(xiàn)要用分層抽樣的方法從中抽取120件進(jìn)行質(zhì)量檢測，則甲類產(chǎn)品抽取的件數(shù)為______．13．在三棱錐中，，，點(diǎn)M在OA上，，N為BC中點(diǎn)，則______．14．甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，則丙最終獲勝的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）①一個(gè)袋中裝有6個(gè)形狀大小完全相同的小球，球的編號分別為1，2，3，4，5，6．若從袋中每次隨機(jī)抽取1個(gè)球，有放回地抽取2次，求取出的兩個(gè)球編號之和為6的概率；②已知，與、的夾角都是60°，并且，，．計(jì)算：與夾角的余弦值16．（本小題滿分15分）某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)絡(luò)知識問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對其成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下圖所示的頻率分布直方圖．①根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；②成績位列前10%的學(xué)生平臺會生成“防溺水達(dá)人”優(yōu)秀證書，試估計(jì)獲得“防溺水達(dá)人”的成績至少為多少分；③已知落在內(nèi)的平均成績?yōu)?7，方差是9，落在內(nèi)的平均成績是73，方差是29，求落在內(nèi)的平均成績和方差．17．（本小題滿分15分）溺水、校園欺凌等與學(xué)生安全有關(guān)的問題越來越受社會的關(guān)注和重視，為了普及安全教育，某市組織了一次有關(guān)安全知識的競賽．在某次淘汰賽中，甲、乙兩個(gè)中學(xué)代表隊(duì)（每隊(duì)3人）狹路相逢，規(guī)定每隊(duì)每人回答一個(gè)問題，答對得1分，答錯(cuò)得0分．假設(shè)甲隊(duì)每人回答正確的概率分別為，，，乙隊(duì)每人回答正確的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．①分別求乙隊(duì)總得分為3分與1分的概率；②求甲隊(duì)得分與乙隊(duì)得分為1：2的概率．18．（本小題滿分17分）如圖，在三棱柱中，底面ABC中角B為直角，，側(cè)面底面ABC．①求證：；②當(dāng)，直線與平面ABC所成角為30°時(shí)，（?。┣笞C：平面平面；（ⅱ）求二面角的正弦值.19．（本小題滿分17分）將連續(xù)正整數(shù)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)的位數(shù)．例如：當(dāng)時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，則．現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，為恰好取到0的概率．①求；②當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；③令為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，，，求當(dāng)時(shí)的最大值．參考答案：題號12345678910答案BADBDBABCDACD題號11答案ABD12．20 13． 14．15．（1）；（2）．（1）設(shè)先后兩次從袋中取出球的編號為m，n，兩次取球的結(jié)果為，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36個(gè)結(jié)果其中兩球編號和為6的結(jié)果有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5個(gè)所以取出的兩個(gè)球編號之和為6的概率為．（2）從6個(gè)球中任取3個(gè)球的不同結(jié)果有123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20個(gè).其中3個(gè)球中最大編號為4的結(jié)果有124，134，234，共3個(gè)所以取出的球最大編號為4的概率16．（1）平均數(shù)為71，眾數(shù)為75．（2）88．（3）平均數(shù)為76，方差為12．（1）一至六組的頻率分別為0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，平均數(shù)由圖可知，眾數(shù)為75以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)為71分，眾數(shù)為75分（2）前4組的頻率之和為前5組的頻率之和為，第90%分位數(shù)落在第5組，設(shè)為x，則，解得．“防溺水達(dá)人”的成績至少為88分．（3）的頻率為0.15，的頻率為0.30，所以的頻率與的頻率之比為的頻率與的頻率之比為設(shè)內(nèi)的平均成績和方差分別為，，依題意有，解得，，解得，所以內(nèi)的平均成績?yōu)?6，方差為12．17．（1），（2）【詳解】（1）記“隊(duì)總得分為3分”為事件A，“乙隊(duì)總得分為1分”為事件B．乙隊(duì)得3分，即三人都回答正確，其概率乙隊(duì)得1分，即三人中只有1人答對，其余兩人都答錯(cuò)，其概率（2）依題意可知甲隊(duì)總得分為1分，乙隊(duì)總得分為2分，記“甲隊(duì)總得分為1分”為事件C，“乙隊(duì)總得分為2分”為事件D.事件C即甲隊(duì)三人中只有1人答對，其余2人答錯(cuò)，則，事件D即乙隊(duì)三人中只有2人答對，剩余1人答錯(cuò)，則，則甲隊(duì)得分與乙隊(duì)得分為1：2的概率18．（1）證明見解析（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，平面ABC，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，由三棱柱性質(zhì)得四邊形是平行四邊形，又因?yàn)?，所以是菱形，所以，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）（?。┊?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，由?）平面，平面，所以，因?yàn)?，AB、平面ABC，所以平面ABC，因?yàn)槠矫?，所以平面平面ABC；（ⅱ）因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以直線與平面ABC所成的角為，所以，因?yàn)?，且，，，故，作交AC于D，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，平面ABC，所以平面，又平面，所以，作交于E，連接BE，因?yàn)?，BD、平面BDE，所以平面BDE，因?yàn)槠矫鍮DE，所以，所以是二面角的平面角，因?yàn)榧?，所以，因?yàn)榧矗?，所以，所以二面角的正弦值?9．（1）（2）（3）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即這個(gè)數(shù)中共有195個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為12，則恰好取到0的概率為