數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂合情推理第二課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.合情推理包括歸納推理和類比推理，它是一種含有較多猜想成分的推理，因此應(yīng)注意推出的結(jié)論不一定正確.數(shù)學(xué)真理知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘和推陳出新，離不開對(duì)特殊實(shí)例的觀察、分析、歸納、抽象概括和運(yùn)用探索性推理等過程。歸納推理和類比推理常常被認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的重要方法，前者是從特殊過渡到一般的思想方法，后者是由此及彼及由彼及此的聯(lián)想方法.只要略略瀏覽中外數(shù)學(xué)史，即可發(fā)現(xiàn)許多有深遠(yuǎn)意義的極為重要的數(shù)學(xué)知識(shí)都是通過歸納與類比發(fā)掘出來的.杰出的數(shù)學(xué)家歐拉、高斯等人都是運(yùn)用歸納與類比的大師.歸納和類比離不開觀察、分析、對(duì)比、聯(lián)想.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)這方面有趣而生動(dòng)的訓(xùn)練,有助于培養(yǎng)我們的觀察能力、分析能力、聯(lián)想能力和創(chuàng)新能力.2。推理是人的一種思維形式,在數(shù)學(xué)中有著不可替代的作用，同學(xué)們要以日常生活中的許多事實(shí)為依據(jù),結(jié)合以前所學(xué)知識(shí)，認(rèn)真體會(huì)推理的內(nèi)涵，并初步運(yùn)用推理知識(shí)解釋一些現(xiàn)象。(1)歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般原理的一種推理模式.歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法.歸納推理有以下幾個(gè)特點(diǎn)：①歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍；②歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因而結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì);③歸納的前提是特殊的情況,所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)的基礎(chǔ)上的.由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般,由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的。觀察、實(shí)驗(yàn),對(duì)有限的資料作歸納整理,提出帶有規(guī)律性的說法，乃是科學(xué)研究的最基本的方法之一。(2)運(yùn)用歸納推理時(shí)的一般步驟.首先，通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律);然后,把這種相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題(猜想）；最后,對(duì)所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)。在數(shù)學(xué)上，檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)是能否進(jìn)行嚴(yán)格的證明。（3)類比推理(以下簡稱類比）是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式。（4)類比推理有以下幾個(gè)特點(diǎn)：①類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測(cè)正在研究中的事物的屬性.它以舊有認(rèn)識(shí)作基礎(chǔ)，類比出新的結(jié)果;②類比是從一種事物的特殊屬性推測(cè)另一種事物的特殊屬性；③類比的結(jié)果是猜測(cè)性的,不一定可靠，但卻具有發(fā)現(xiàn)的功能.(5）在運(yùn)用類比推理時(shí),其一般步驟為：首先，找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；然后，用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想;最后，檢驗(yàn)這個(gè)猜想。（6)注意，兩個(gè)系統(tǒng)可作類比的前提是,它們各自的部分之間在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致.因此，類比的關(guān)鍵是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性（相似性)確切地表述出來，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說清楚，這不同于比喻.（7）類比推理是各種邏輯思維方法中最富于創(chuàng)造性的一種方法.這是因?yàn)?，類比推理不像歸納推理那樣局限于同類事物,也不像演繹法那樣受到一般原理的嚴(yán)格制約.運(yùn)用類比推理,不僅可以跨越各類事物的界限，進(jìn)行不同事物的類比,而且既可以比較事物的本質(zhì)屬性,也可以比較非本質(zhì)屬性.同時(shí)，類比推理比歸納推理更富于想象，因而也就更具有創(chuàng)造性。事實(shí)上,人類在科學(xué)研究中建立的不少假說和教學(xué)中許多重要的定理、公式都是通過類比提出來的，工程技術(shù)中許多創(chuàng)造和發(fā)明也是在類比推理的啟迪下而獲得的。因此,類比推理已成為人類發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的重要工具。3。合情推理所進(jìn)行的推理過程概括為：活學(xué)巧用1。在△ABC中，射影定理可表示為a=bcosC+ccosB。其中a、b、c依次為角A、B、C的對(duì)邊。類比以上定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想.解析：如右圖，在四面體P—ABC中，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積，α、β、γ依次表示面PAB、面PBC、面PCA與底面ABC所成二面角的大小，我們猜想將射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ。（其正確性,同學(xué)們可自己證明）2。在△ABC中，余弦定理可敘述為a2=b2+c2—2bccosA,其中a、b、c依次為角A、B、C的對(duì)邊.類比以上定理，給出空間四面體性質(zhì)的猜想.解析:如例1圖示，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PCA、△ABC的面積,α、β、γ依次表示平面PAB與平面PBC、平面PBC與平面PCA、平面PCA與平面PAB所成二面角的大小，猜想余弦定理類比推理到三維空間的表現(xiàn)形式應(yīng)為S2=—2S1S2cosα-2S2S3cosβ—2S3S1cosγ.上式可敘述為四面體的一個(gè)面的面積的平方,等于其他各面面積平方的和，減去每兩個(gè)面面積與這兩個(gè)面夾角余弦乘積的兩倍。關(guān)于三維余弦定理的證明問題我們可以類比平面中的三角形射影定理證明三角形余弦定理的方法，給出較簡捷的證法。先看由三角形射影定理證明其余弦定理的方法：在△ABC中，a、b、c分別表示角A、B、C的對(duì)邊，則有a=bcosC+ccosB，①b=ccosA+acosC,②c=acosB+bcosA,③①×a—②×b—③×c可得a2-b2—c2=—2bccosA，∴a2=b2+c2-2bccosA.下面給出三維余弦定理的證明，如題1圖形，記號(hào)表示面積為S1和S2的兩個(gè)面所成的二面角大小,由題1的三維射影定理可知:S=S1cos+S2cos+S3cos，①S1=S2cos+S3cos+Scos，②S2=S3cos+Scos+S1cos，③S3=Scos+S1cos+S2cos，④①×S-②×S1-③×S2-④×S3可得S2-S12—S22-S32=-2S1S2cos-2S2S3cos—2S3S1cos=—2S1S2cosα—2S2S3cosβ—2S3S1cosγ，移項(xiàng)得欲證三維余弦定理。3.一個(gè)空間用n個(gè)平面去劃分,最多能被分成幾部分？解析：在空間只有三個(gè)平面才能交于一點(diǎn)(就是說，四個(gè)或四個(gè)以上平面不能交于一點(diǎn))以及三個(gè)或三個(gè)以上的平面產(chǎn)生的交線互不平行的時(shí)候，用n個(gè)平面去劃分空間，才能使分得的空間塊的數(shù)目最多。因此，在后面的分析中，我們假設(shè)的這些條件都是滿足的.用Vn表示由n個(gè)平面去劃分空間時(shí)所得空間塊的數(shù)目?？疾樵黾右粋€(gè)平面，可以把空間多分割出幾個(gè)空間塊，由于第n個(gè)平面與前n—1個(gè)平面相交，因此第n個(gè)平面上就有n—1條交線，這些交線滿足例3的假定條件，因此，根據(jù)例3的結(jié)論可知第n個(gè)平面被n-1條直線分成=個(gè)平面塊，而每個(gè)平面塊把它所在的那個(gè)空間塊一分為二,于是增加了個(gè)空間塊.因此得到遞推公式Vn=Vn-