數(shù)學-互動課堂復數(shù)的四則運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1。復數(shù)的加法與減法(1)復數(shù)加減法運算法則（a+bi）±（c+di）=(a±c）+（b±d）i,即兩個復數(shù)相加（減)就是實部與實部，虛部與虛部分別相加（減)。（2)復數(shù)加法的運算定律復數(shù)的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+（z2+z3).2.復數(shù)的乘法(1）復數(shù)乘法的法則復數(shù)的乘法與多項式的乘法是類似的，但必須在所得的結果中把i2換成-1，并且把實部與虛部分別合并，兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù),即(a+bi)(c+di）=ac+bci+adi+bdi2=(ac—bd）+（bc+ad)i.（2）復數(shù)乘法的運算定理復數(shù)的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律。即對任何z1、z2、z3有z1·z2=z2·z1，（z1·z2)·z3=z1·（z2·z3），z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.實數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)冪的運算律，在復數(shù)集C中仍然成立,即對z1、z2、z∈C及m、n∈N＊，有zm·zn=zm+n，(zm)n=zmn,(z1·z2)n=z1n·z2n。(3）i冪的周期性i4n+1=i,i4n+2=-1，i4n+3=-i,i4n=1,n∈N＊.3.復數(shù)的除法規(guī)定復數(shù)的除法是乘法運算的逆運算，即把滿足(c+di)（x+yi）=a+bi(c+di≠0）的復數(shù)x+yi叫做復數(shù)a+bi除以c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或.因為(x+yi)(c+di)=（cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx—dy)+(dx+cy)i=a+bi。由此可得解這個方程組，得于是有(a+bi）÷（c+di）=(c+di≠0)在進行復數(shù)除法運算時,通常先把（a+bi)÷(c+di）寫成的形式，再把分子與分母都乘以分母的共軛復數(shù)c-di，化簡后，即可得出上面的結果.4.共軛復數(shù)當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù),虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做互為共軛虛數(shù)。復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示，即如果z=a+bi，那么=a—bi.當復數(shù)z=a+bi的虛部b=0時,有z=，也就是說，任一實數(shù)的共軛復數(shù)仍是它本身;當b≠0時，a+bi與a-bi叫做共軛虛數(shù).案例計算下列各題（1);(2）；（3).探究：(1)原式=［(1+i)2］3+［（1-i)2]3·-=（2i）3·i+（—2i）3·（—i）—=8+8—16—16i=-16i.(2）=—i·（)5·[(1+i）2］2·(1+i）+(—1+i)——i=i。（3）(i)12+=（—i）12·—=+（)=?！疽?guī)律總結】復數(shù)的除法與實數(shù)的除法有所不同,實數(shù)的除法可以直接地約簡，得出結論，但復數(shù)的除法因為分母為復數(shù)一般不能直接約分化簡,復數(shù)的除法一般作法是，由于兩個共軛復數(shù)的積是一個實數(shù)，因此，兩個復數(shù)相除，可以先把它們的商寫成分式形式，然后分子分母都乘上分母的共軛復數(shù)（注意是分母的共軛復數(shù)），并把結果化簡即可。對于復數(shù)的運算，除了應用四則運算法則之外，對于一些簡單的算式要知道其結果,這樣起點就高,計算過程就可以簡化,達到快速簡捷出錯少的效果.比如下列結果，要記住：①=-i；②=i；③=—i;④a+bi=i（b-ai）；⑤=1；⑥=-1.活學活用1.計算:（6+6i)+（3-i）-（2—4i）。解析:（6+6i)+(3—i)-（2—4i)=（6+3-2）+（6—1+4)i=7+9i.2。計算：（7+5i)—3i+（-5+6i）解析：（7+5i）—3i+（—5+6i）=（7+0—5)+（5—3+6）i=2+9i。3。已知x、y∈R,且，求x、y的值.解析：可寫成，5x（1—i)+2y（1-2i)=5-15i，(5x+2y）-(5x+4y）i=5-15i。∴4.計算：解析:====i-i=0。5。計算i+2i2+3i3+…+50i50解析：設s=i+2i2+3i3+…+50i50則is=i2+2i3+3i4+…+50i51∴s—is=i+i2+i3+…+i50—50i51即（1-i)s=+50i=-1+51i∴s==—26+25i。6.已知f（z）=2z+—3i，f（+i)=6—3i，求f（—z）。分析：需先求出z，再代入函數(shù)中求值.解：∵f(z）=2z+—3i，∴f（+i)=2(+i)+-3i=2+2i+z—i—3i=2+z-2i.又知f(+i）=6—3i，∴2+z—2i=6—3i。設z=a+bi(a，b∈R)，則=a-bi，∴2（a-bi)+（a+bi)=6-i，即3a—bi=6-i，由復數(shù)相等定義解得a=2，b=1。z=2+i，故f(-z)=f（—2—i)=2（-2-i）+（—2+i)—3i=—6-4i.7。計算.解析：原式==[（1+i)2］3·（1+i)·=［（1+i)2］3·（1+i)·(—i）7·=(—8i）(1+i)·i·=4（1+i）（）=()+(）i.8.計算：(1)；（2)。分析：這是兩道含冪運算的問題，運算比較復雜,應盡量使用代數(shù)式運算技巧。解法一:原式==i6+=—1+i。解法二(技巧解法):原式=(=-1+i(2）解法一：原式=［（+i)2]2=(+i—)2=（+i)2=——i=i.解法二（技巧解法):原式=[—(）]4=（-ω2）4(令ω=）=ω8=ω2（∵ω6=1）=(∴ω2=)=.9.f(n)=in+i-n(n∈N＊)的值域中的元素個數(shù)是()A.2B。3C。4解析：根據(jù)i的周期性，當n=4k（k∈N*）時f(n)=i4k+i-4k=1+1