2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)（2024

年7月）

一.選擇題（共10小題）

421

1.已知。=23,b=45,c=253,則()

A.b<~a<-cB.a<b<cC.b〈c〈aD.c<a〈b

2.設(shè)a=logo.20.3,Z?=log20.3,則()

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

3.若a>b>0,0<c<l,貝ij()

A.log￡zC<logZ>CB.logca<logcb

C.ac<bcD.ca>cb

4.設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2%=3y=5z,則（)

A.2x<3y<5zB.5zV2xV3yC.3y<5z<2xD.3yV2xV5z

1

5.設(shè)”=log32,b=ln2,c=5-2,貝Ij()

A.a<~b<-cB.b〈c<aC.c〈a<bD.c〈b〈a

6.已知/(x5)=lgx,則/(2)=()

1

A.Ig2B./g32c.ig^D.-Ig2

a2

Ja-V^2

1573

A.a2B.a6C.a6D.a2

8.設(shè)Hog34=2,則4一"=()

1111

A.—B.-C.一D.-

16986

q

9.已知函數(shù)/(%)=%-4+二釘，xG(0,4),當(dāng)x=a時，f(x)取得最小值b，則函數(shù)g（x）=眇+”的

圖象為（）

A.B.

1

10.若在（/I,1）,a=lnx,b=（-）lnx,c=elnx,則（）

2

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b'>cD.b>a>c

二.填空題(共5小題)

—x+6,%V2

-(。>0且。/1)的值域是［4,+8),則實數(shù)〃的取值范圍是_

{3+logax,x>2

12.若a=log43,貝!J2"+2'a=.

13.已知a>b>\,若logab+logz?Q=I，ab=ba,則a=,b=.

14.已知函數(shù)火龍)=爐。>°)是(-8,+8)上的增函數(shù)，那么實數(shù)。的取值范圍是

15.已知ae{-2,-1,I，1,2,3},若哥函數(shù)無)=槨為奇函數(shù)，且在(0,+°0)上遞減，則

a=.

三.解答題(共5小題)

16.已知定義域為R的函數(shù)/(久)=蕓苧是奇函數(shù).

(1)求a值；

(2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；

(3)若對任意的f6R,不等式/(於-2力+f(2?-A;)<0恒成立，求實數(shù)上的取值范圍；

(4)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)尸(%)=/(4工-6)-2.1)有零點，求實數(shù)6的取值范圍.

17.已知函數(shù)/(x)=(3a/-4x+3,

(1)若。=7,求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(無)有最大值3,求。的值.

(3)若無)的值域是(0,+8),求°的取值范圍.

18.己知函數(shù)/(x)=1。曳舞的圖象關(guān)于原點對稱，其中a為常數(shù).

(1)求4的值；

(2)當(dāng)尤(1,+°°)時，f(x)+/ogi(x-1)V機恒成立，求實數(shù)機的取值范圍;

2

(3)若關(guān)于尤的方程/(x)=logi(x+k)在［2,3］上有解，求左的取值范圍.

2

19.己知函數(shù)/(x)=loga(1-x)+loga5+3)(0<a<l).

(1)求函數(shù)/(x)的定義域；

(2)求函數(shù)/(無)的零點；

(3)若函數(shù)無)的最小值為-4,求。的值.

20.已知函數(shù)/(x)=(a2-3a+3)/是指數(shù)函數(shù).

(1)求/(尤)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(x)=/(x)-f(-x)的奇偶性，并證明；

(3)解不等式logo(1-X)>10ga(X+2).

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)(2024

年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

421

1.已知〃=23,b=45,c=253,貝I]()

A.B.C.b<c<aD.c<a<b

【考點】募函數(shù)的單調(diào)性與最值.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】A

42212

【分析】。=23=4與，b=45,。=253=53,結(jié)合募函數(shù)的單調(diào)性，可比較a,b,c,進而得到答案.

42

【解答】解：：。=23=43,

2244

b=45=(22)5=25<23<a,

1224

c=253=53>43=23=a,

綜上可得：b〈a〈c,

故選：A.

【點評】本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，塞函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難

度中檔.

2.設(shè)〃=logo.20.3,Z?=log20.3,則()

A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析.

【答案】B

【分析】法二、利用作商法，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)分析得答案.

法一、直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可得答案.

a+b1111

【解答】解：法一、=logo.32+logo.30.2

abbalog20.3log020.3

=logo.3(2X0.2)=logo.30.4G(0,1),

且。=logo.20.3E(0,1),Z?=log20.3V0,

：.ab<0,可得a+6c0,結(jié)合0V黨VI,

可得ab<a+b<0.

故選：B.

法二、?.?a=logo.20.3=^1,6=log20.3=

國0.3_匈0.3_匈0.3（仞5Tg2）_〃0.3城

a—lg2IgS—lg21gs~lg21gs'

-1n

_lgO3Zg0.3=-0.3也號

'—lg2IgS—Ig21gs'

lg0.3

,?*19>igq，---------<0,

lg21gs

ab<a+b<.0.

故選：B.

【點評】本題考查了對數(shù)值大小的比較，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是中檔題.

3.若a>b>0,0<c<L則（）

A.10gaC<10gfeCB.10gc6!<10gc/？

C.ac<bcD.c0><?

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，塞函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合換底公式，逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答

案.

【解答】解：：a>6>0,0<c<l,

.'.logca<logcZ?,故B正確；

.?.當(dāng)。>6>1時，

0>logaC>logbC,故A錯誤；

ac>bc,故C錯誤；

ca<?,故。錯誤；

故選：B.

【點評】本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，塞函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔.

4.設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2*=3，=52,則（）

A.2%V3y〈5zB.5zV2xV3yC.3y<5z<2xD.3yV2xV5z

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

【分析】尤、y、z為正數(shù)，令2*=3〉=52=左>1.lgk>0.可得x=罌，y=黑，z=第.可得3y=曖1

igzigsigs'lg

2x=瞥，5z=4g.法一根據(jù)遮=遮>需=&，V2=1V32>1V25=Vs.即可得出大小關(guān)系.

W1g相

法二:x、y、z為正數(shù),令2f=50>1.3>0.可得了=饋,產(chǎn)翳,z=患1=|x聯(lián)="

>1,可得2x>3?同理可得5z>2x.

法三：令2x=3y=5z=Z>l,則2r=鵲，3y=鬻，5z=^（歷左>0）,令于Qx）=,，利用導(dǎo)數(shù)可

得了（x）在（e,+8）上單調(diào)性，由此能推導(dǎo)出3y<2x<5z.

【解答】解法一：無、y、z為正數(shù),

令#=3丫=52=左>1.lgk>0.

同X—幽V—妙Z—處

刻工_匈2,>一a3'Z一75,

,?3A碎'2xy5zy

VV3=V9>V8=V2,V2=1V32>1V25=V5.

：.^V3>ZgV2>^V5>0.

3y<2x<5z.

解法二：尤、y、z為正數(shù),

令2*=3y=52=上>1.lgk>0.

milx—跡v—處z—處

Pix~lg2'y~lg3,Z~lg5-

2x2lg3lg9『

/.—=-x---=---->1,可得2x>3y,

3y3lg2lg8，

5z5lg2lg25

—=-X——=-->1.可得5z>2x.

2x2lg5lg52

綜上可得：5z>2x>3y.

解法三：^2x=y=5z=k>i,

則2k鬻，3尸鬻，5A鬻（心0）,

令/(x)=—,則/(x)=上磬

X%乙

f（x）在（e,+8）上單調(diào)遞減,

,V(3)>/(4)>/(5),

ln3ln2Zn5

—>—>—>0,

325

325

0<E3〈砸V后

3lnk2lnkSink

<-----<--(-歷-左->0),

ln3ln2InS

3y<2x<5z.

故選：D.

【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、換底公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于

中檔題.

5.設(shè)a=log32,b—ln2,c-5-2,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想.

【答案】C

【分析】根據(jù)。的真數(shù)與b的真數(shù)相等可取倒數(shù)，使底數(shù)相同，找中間量1與之比較大小，便值。、氏

c的大小關(guān)系.

【解答】解：.=1咱2=卷，b=ln2=嬴,

而log23>log2^>L所以a<b,

c=52=—,而而>2=log24>log239

所以CVQ,綜上cV“V。，

故選：C.

【點評】本小題以指數(shù)、對數(shù)為載體，主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、實數(shù)大小的比較、換底公

式、不等式中的倒數(shù)法則的應(yīng)用.

6.已知/(x5)=lgx,則/(2)=()

11

A.IglB.Ig32C.lgD.—lg2

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想.

【答案】D

【分析】令小=2,得x=25,從而即可求得了(2)的值.

【解答】解：令無5=2,

得無=25,

'//(x5)—Igx,

11

."(2)=lg2S=^lg2.

故選：D.

【點評】本題主要考查函數(shù)值的求法，以及對數(shù)的運算，關(guān)鍵是從令2=2,求得x的值，從而即可求

得了(2)的值.

7.設(shè)a>0,將:表示成分數(shù)指數(shù)哥，其結(jié)果是(

A.a2B.afiC.afiD.a2

【考點】有理數(shù)指數(shù)幕及根式.

【專題】計算題.

【答案】C

【分析】由根式與分數(shù)指數(shù)累的互化規(guī)則所給的根式化簡即可將其表示成分數(shù)指數(shù)塞，求得其結(jié)果選出

正確選項.

【解答】解:

故選：C.

【點評】本題考查根式與分數(shù)指數(shù)塞的互化及其化簡運算，解題的關(guān)鍵是掌握并能熟練運用根式與分數(shù)

指數(shù)越互化的規(guī)則.

8.設(shè)alog34=2,貝!j4一"=()

1111

A.—B.-C.-D.-

16986

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】計算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】直接根據(jù)對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)即可求出.

【解答】解:因為alog34=2,則log34"=2,貝!J4"=32=9

則4-。=%=熱

故選：B.

【點評】本題考查了對數(shù)和指數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.己知函數(shù)無)=尤-4+捺^,xe(0,4),當(dāng)x=a時，f(x)取得最小值6,則函數(shù)g(x)=臚+目的

圖象為()

【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】A

【分析】先根據(jù)基本不等式求出。，6的值，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的圖象的平移可求

【解答】解：(0,4),

99

f(x)=x~4H—-j-y=x+lH——522/■,(%+1)—5—1,

Jx+1x+1\x+l1'J

當(dāng)且僅當(dāng)％=2時取等號，此時函數(shù)有最小值1

??〃=2,Z?=l,

2X+1,x>-1

此時g（尤）=2tv+1|=

、8產(chǎn)，x<—1’

%>0

此函數(shù)可以看成函數(shù)y=的圖象向左平移1個單位

令，%<0

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象及選項可知A正確

故選：A.

【點評】本題主要考查了基本不等式在求解函數(shù)的最值中的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象及函數(shù)的平移的應(yīng)用

是解答本題的關(guān)鍵

1

10.若％W(el1),a=lnx,b=(一)lnx,c=elnx,則()

2

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.b>a>c

【考點】有理數(shù)指數(shù)幕及根式；對數(shù)值大小的比較.

【專題】計算題.

【答案】B

【分析】依題意，由對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得a<0,b>\,-<C<1,從而可得答案.

e

【解答】解：〈xE(el1),a—lnx

：.aE(-1,0),即aVO；

又>=&尸為減函數(shù)，

：.b=(》一>&產(chǎn)=(1)°=1,HPb>h

又c=e仇x=xW(e1,1),

:.b>c>a.

故選：B.

【點評】本題考查有理數(shù)指數(shù)累的化簡求值，考查對數(shù)值大小的比較，掌握對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

是關(guān)鍵，屬于中檔題.

二.填空題(共5小題)

11.若函數(shù)/(x)=1"+6,久"2(々>0且。#i)的值域是［%+8),則實數(shù)。的取值范圍是

13+logax,x>2

ZL.

【考點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值.

【專題】分類討論；分類法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】當(dāng)尤W2時，檢驗滿足了(尤)24.當(dāng)尤>2時，分類討論。的范圍，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得

。的范圍，綜合可得結(jié)論.

【解答】解：由于函數(shù)/G)=1—"+6,x-2Q>o且的值域是［4,+-),

13+logax,x>2

故當(dāng)工42時，滿足/(%)=6-x24.

①若a>l,f(x)=3+logor在它的定義域上單調(diào)遞增，

當(dāng)x>2時，由/(無)=3+log”24,.?.logcNl,：Aoga2^1,：.l<a^2.

②若0<a<l,/(x)=3+logd在它的定義域上單調(diào)遞減，

f(x)=3+logd<3+loga2<3,不滿足>=)的值域是[4,+8).

綜上可得，l<aW2,

故答案為：(1,2],

【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，屬于中檔題.

4V3

12.右。=log43,則2"+2a——^―.

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接把。代入2a+2工，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)得答案.

【解答】解：：a=10g43,可知4。=3,

即2。=V3,

所以2。+2一。=遍+吃=隼.

V3J

故答案為：誓.

【點評】本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計算題.

13.己知。>6>1,若logab+logw?=搟，ab—ba,則a=4,b=2.

【考點】對數(shù)的運算性質(zhì).

【專題】計算題；整體思想；換元法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)r=logw并由條件求出t的范圍，代入log^+logM=?化簡后求出t的值，得至U。與6的關(guān)

系式代入小=〃化簡后列出方程，求出。、6的值.

【解答】解：設(shè)f=logwz,由。>6>1知41,

代入log/+logbQ=2得t+1=2，

即2P-5什2=0,解得t=2或(舍去)，

所以logz?a=2,即a=b2,

因為力=〃，所以戶6=〃，則〃=2匕=。2,

解得6=2,〃=4,

故答案為：4；2.

【點評】本題考查對數(shù)的運算性質(zhì)，以及換元法在解方程中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知函數(shù)/（X）=『0>°）是（一8,+8）上的增函數(shù)，那么實數(shù)。的取值范圍是（1,

{ax+3a—8（%<0）

3L.

【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由題意可得”>1且/23a-8,由此求得實數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：：函數(shù)/（久）=["（”>°）是（-8,+8）上的增函數(shù)，且/23a-8,

（ax+3cz-8（x<0）

解得l<aW3,故實數(shù)。的取值范圍是（1,3],

故答案為（1,3].

【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，得到且/23a-8,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔

題.

15.已知嗚-2,-1,1,2,3},若累函數(shù)無）=檔為奇函數(shù)，且在（0,+8）上遞減，則

a=-1.

【考點】求解暴函數(shù)的奇偶性.

【專題】計算題；方程思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由累函數(shù)/（%）=行為奇函數(shù)，且在（0,+8）上遞減，得到。是奇數(shù)，且。<0,由此能求

出a的值.

【解答】解：；ae{-2,-1,I，1,2,3},

哥函數(shù)y（x）=/為奇函數(shù)，且在（0,+8）上遞減，

是奇數(shù)，且。<0,

??〃=-1.

故答案為：-1.

【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查塞函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程

思想，是基礎(chǔ)題.

三.解答題(共5小題)

16.已知定義域為R的函數(shù)/(*)=羌/是奇函數(shù).

(1)求a值；

(2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性；

(3)若對任意的怎R,不等式/(?-2力+于(2?-k)<0恒成立，求實數(shù)上的取值范圍；

(4)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)尸(尤)=f(4,-b)+f(-2x+1)有零點，求實數(shù)6的取值范圍.

【考點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值；奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】綜合題.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)當(dāng)x=0時的函數(shù)值為0,列出方程求出。的值；

(2)先判斷出單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義法進行證明，即取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)

論；

(3)利用函數(shù)的奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)值比較大小，再由函數(shù)的單調(diào)性比較自變量的大小，列出

不等式由二次函數(shù)恒成立進行求解；

(4)根據(jù)函數(shù)解析式和函數(shù)零點的定義列出方程，再利用整體思想求出。的范圍.

【解答】解：(1)由題設(shè)，需/(0)=匚盧=0,

1—2X

??/(%)=]+2久，

經(jīng)驗證，/(x)為奇函數(shù)，：.a=l.

(2)減函數(shù)

證明：任取XI,X2GR,Xl<X2f/\x=X2-XI>0,

2寰1_2口_2(2叼-2,2)

xXX>

)-1+2合i+2l(1+21)(1+22)

：犬1<尤2；?0<2支1<2尢2；

.?.2%-2犯<0,(1+2%)(1+2型)>0

(X2)-/(XI)<0

...該函數(shù)在定義域R上是減函數(shù).

(3)由/-20+f(2?-k)<0得f(t2-2t)<-f(2尸-k),

'：f(x)是奇函數(shù)，</(4-2產(chǎn))，

由(2)知，f(x)是減函數(shù)

，原問題轉(zhuǎn)化為?-2t>k-2?,即3?-2f-k>0對任意總R恒成立，

1

A=4+12左<0,得kV—弓即為所求.

(4)原函數(shù)零點的問題等價于方程f(4V-b)+f(-2戶1)=0

由(3)知，4x-b^2x+1,即方程b="-2>1有解

.?.4￡-2戶1=(2*)2-2X2』(2、-1)2-12-1,.?.當(dāng)g[-1,+8)時函數(shù)存在零點.

【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，利用奇函數(shù)的定義域內(nèi)有0時有/(0)=0進行求

值，函數(shù)單調(diào)性的證明必須按照定義法進行證明，即取值-作差-變形-判斷符號-下結(jié)論，利用二次

函數(shù)的性質(zhì)，以及整體思想求出恒成立問題.

17.己知函數(shù)/(X)=(}a/-4x+3,

(1)若。=7,求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(無)有最大值3,求。的值.

(3)若/(無)的值域是(0,+8),求°的取值范圍.

【考點】指數(shù)函數(shù)綜合題.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)當(dāng)a=-1時，/(x)=(3-/-鈕+3,令ga)=-/-4X+3,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，

二次函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得了(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)令h(x)=ar2-4x+3,y=h<x),由于/(光)有最大值3,所以h(x)應(yīng)有最小值-1,進而可得

a的值.

(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使的值域為(0,+8).應(yīng)使%(x)_以+3的值域為R,

進而可得〃的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)。=-1時，/(x)=(1)-%2-4x+3,

令g(x)=-x2-4x+3,

由于g(%)在(-8,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,+8)上單調(diào)遞減，

而尸(-)彳在R上單調(diào)遞減，

3

所以了(%)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,+8)上單調(diào)遞增，

即函數(shù)/(%)的遞增區(qū)間是(-2,+8),遞減區(qū)間是(-8,-2).

1

(2)令h(x)=aj?-4x+3,y=(-)h(x\由于/(x)有最大值3,

所以人(X)應(yīng)有最小值-1,

「12。-16

因止l匕t=-],

4a

解得a=\.

即當(dāng)/(x)有最大值3時，。的值等于1.

(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,

要使y=/z(%)的值域為(0,+8).

應(yīng)使h(x)=aj?-4無+3的值域為R,

因此只能有。=0.

因為若。/0,則/?(%)為二次函數(shù)，其值域不可能為R.

故a的取值范圍是{0}.

【點評】本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象

和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔.

18.已知函數(shù)/(x)=/o以曾的圖象關(guān)于原點對稱，其中。為常數(shù).

(1)求“的值；

(2)當(dāng)尤6(1,+8)時，f(x)+logi(x-1)＜加恒成立，求實數(shù)機的取值范圍；

2

(3)若關(guān)于x的方程/(x)=logi(x+k)在［2,3］上有解，求左的取值范圍.

2

【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象.

【專題】綜合題；規(guī)律型；轉(zhuǎn)化思想；綜合法.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)函數(shù)/(x)獸的圖象關(guān)于原點對稱，可得/(x)tf(-x)=0,整理得2。奧用+

I。奧與第=。恒成立，即可得出答案

(2)xG(1,+°°)時，/(x)+，ogi(x-1)V機恒成立，求出xG(1,+°°)時，f(x)+，ogi(x-1)

22

的最大值，即可解出機的取值范圍

(3)由于/(x)=Zogi巖在［2,3］上是增函數(shù)，g(x)=logi(x+左)在［2,3］上是減函數(shù)，可得出，

2X-12

兩函數(shù)圖象在所給區(qū)間上有交點，由此可通過比較兩函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值的大小得出

荒屋需，解之即可得出答案.

另解：運用對數(shù)相等的條件，以及參數(shù)分離法和函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍.

臂的圖象關(guān)于原點對稱,

【解答】解：(1)函數(shù)/(尤)=logi

2

,>1+ax

-V(X)+/(7)=0,即歷奧舞+=。n，

1-ax1+ax1-ax1+ax

??log1(-------x---------)=0,/.--------x---------=1恒成立,

2x-1-X-1x-1-x-1

22

即1--7,即(a-I)/=0恒成立，所以a-1=0,解得〃=±1,

又。=1時，/(x)=log工芻詈無意義，故a=-l；

1丫

(2)xE(1,+8)時，f(x)+logi(x-1)Vm恒成乂，即(x-1)<m,

22X-12

logi(x+1)V機在(1,+8)恒成立,

2

由于y=/ogi(X+1)是減函數(shù)，故當(dāng)％=1,函數(shù)取到最大值-1,

2

：.m^-1,即實數(shù)機的取值范圍是［-1,+8)；

(3)/(%)=/ogi善在［2,3］上是增函數(shù)，g(x)=logiG+左)在［2,3］上是減函數(shù),

2x~l2

三嗎加可保證關(guān)于尤的方程/⑴在［］上有解,下解此不等式組.

???只需要=logi(x+Z)2,3

j⑼三9⑼2

“ogi3<logi(2+fc)

代入函數(shù)解析式得22解得-IWkW1,

log12>10gl(3+k)'

22

即當(dāng)-kW1時關(guān)于x的方程/(%)=logiG+8在［2,3］上有解.

2

另解1：f(x)=logi(x+左)即為/ogi空=Zogi(x+k),即x+Z=

22X-i2x~l

2x+l—%2

即有仁?在［2,3］上有解,

x—1

設(shè)/?(x)(24W3),h(x)=占一(X-1)在⑵3］遞減,

可得力(x)G［-1,1］,所以％的范圍為［-1,1］.

另解2：f(x)=logi(x+左)即為/ogi"=logi(x+k),即x+Z二

22X~l2

即有/=禺一》=1+三一招

9

而y=l+旨-X在［2，3］遞減，可得-iWyWl,

所以上的范圍為［-1,1］.

【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題的解法及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，屬于有一定難度的題，本題考查

了數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化化歸的思想，屬于靈活運用知識的好題

19.已知函數(shù)/(無)=loga(1-X)+10g?(尤+3)(O<6Z<1).

(1)求函數(shù)/(無)的定義域；

(2)求函數(shù)/(無)的零點；

(3)若函數(shù)/(x)的最小值為-4,求。的值.

【考點】對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【專題】綜合題；配方法.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，列出不等式組并求出解集，函數(shù)的定義域用集合或區(qū)間表示出來；

(2)利用對數(shù)的運算性質(zhì)對解析式進行化簡，再由/(%)=0,即-/-Zx+Sul,求此方程的根并驗

證是否在函數(shù)的定義域內(nèi)；

(3)把函數(shù)解析式化簡后，利用配方求真數(shù)在定義域內(nèi)的范圍，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)遞減，求

出函數(shù)的最小值log?4,得log?4=-4利用對數(shù)的定義求出a的值.

fl—V>0

【解答】解：(I)要使函數(shù)有意義：則有,解之得：-3VXV1,

lx+3>0

則函數(shù)的定義域為：(-3,1)

(2)函數(shù)可化為/(x)=loga(1-x)(x+3)=\oga(-/-2x+3)

由/(x)=0,得-/一2%+3=1,

即/+2%-2=0,x=-1±V3

v-i±V3e(-3,1),???函數(shù)/(%)的零點是一1土百

(3)函數(shù)可化為：

f(x)=log〃(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=log?[-(x+1)2+4]

V-3<x<l,A0<-(x+1)2+4W4,

2

VO<?<1,loga[-(x+1)+4]^logfl4,

即f(x)根而=log〃4,由log〃4=-4,得〃4=4,

.?.a=4」=孝

【點評】本題是關(guān)于對數(shù)函數(shù)的綜合題，考查了對數(shù)的真數(shù)大于零、函數(shù)零點的定義和對數(shù)型的復(fù)合函

數(shù)求最值，注意應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)求解.

20.已知函數(shù)/(無)=(/-3a+3)0r是指數(shù)函數(shù).

(1)求/(無)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(x)=/(x)-/(-x)的奇偶性，并證明；

(3)解不等式10ga(1-X)>loga(X+2).

【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象；函數(shù)的奇偶性.

【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)利用指數(shù)函數(shù)的定義，求出。，即可求了(X)的表達式；

(2)F(X)=2'-2),即可判斷P(x)=/(x)-于「X)的奇偶性；

(3)不等式：log2(1-X)>log2(x+2),即1-x>x+2>0,即可解不等式：loga(1-X)>logfl(無+2)

【解答】解：(1)/-3a+3=l,可得。=2或。=1(舍去)，

(x)=2*；

(2)-F(%)=2、-2巴(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱，

又尸(-x)=-F(x),：.F(無)是奇函數(shù)；

(3)不等式log2(1-X)>log2(x+2),

1

即1-尤>x+2>0,-2<x<-1,

1

解集為{x|-2<xV—*}.

【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)，考查函數(shù)的奇偶性，考查不等式的解法，屬于中檔題.

考點卡片

1.函數(shù)的奇偶性

【知識點的認識】

①如果函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個X,都有/(-X)=7(X),那么函

數(shù)了(%)就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于(0,0)對稱.②如果函數(shù)無)的定義域關(guān)于原點對稱，且

定義域內(nèi)任意一個無，都有/(-x)=/(尤)，那么函數(shù)/(x)就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱.

【解題方法點撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用/(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用/(x)=-/(-%)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用/(x)=/(-x)這個去求解；

④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反.

例題：函數(shù)y=4x|+px,xeR是()

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶D.與p有關(guān)

解：由題設(shè)知/(%)的定義域為R,關(guān)于原點對稱.

因為/(-無)=-x|-x|-px=-x\x\-px=-f(x),

所以f(x)是奇函數(shù).

故選8.

【命題方向】

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確

率.

2.奇偶性與單調(diào)性的綜合

【知識點的認識】

對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關(guān)鍵還是

要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時能融會貫通，靈活運用.在重復(fù)一下它們的性質(zhì)①奇函數(shù)/

(無)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x,都有/(-x)=-/(%),其圖象特點是關(guān)于(0,0)

對稱.②偶函數(shù)/(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x,都有/(-無)=/(%),其圖象特

點是關(guān)于y軸對稱.

【解題方法點撥】

參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點，有:

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用/(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用無)=-/(-X)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用/(x)=/(-%)這個去求解；

④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反

例題：如果/(%)=署為奇函數(shù)，那么a=—.

解:由題意可知，/(無)的定義域為R,

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，/(x)=云5=一今。=1

【命題方向】

奇偶性與單調(diào)性的綜合.

不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多總結(jié)，一定要重視

這一個知識點.

3.嘉函數(shù)的單調(diào)性與最值

【知識點的認識】

一、暴函數(shù)定義：

一般地，函數(shù)y=/(fl￡R)叫做事函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

(1)指數(shù)是常數(shù)；

(2)底數(shù)是自變量；

(3)函數(shù)式前的系數(shù)都是1；

(4)形式都是＞=/，其中。是常數(shù).

二、哥函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比

式子名稱

aXy

指數(shù)函數(shù)：y底數(shù)指數(shù)幕值

=(f

塞函數(shù)：y=指數(shù)底數(shù)幕值

三、五個常用事函數(shù)的圖象和性質(zhì)

、naI

(1)y=x；(2)y=x；(3)xy=F(4)y=x2；(5)y=x

3

y=x1y=”

y=%2

定義域RRR[0,+8){小W0}

值域R[0,+8)R[0,+8)卬中｝

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

單調(diào)性增xe[0,+8)時，增增xe(o,+8)

增時,減

xe(-8,o]xG(-0°,0)

時，減時，減

公共點(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)

四、幕函數(shù)的性質(zhì)

（1）所有的哥函數(shù)在（0,+8）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點（1,1）.

（2）如果a>0,則塞函數(shù)的圖象過點（0,0）,（1,1）,并在［0,+8）上為增函數(shù).

（3）如果a<0,則幕函數(shù)的圖象過點（1,1）,并在（0,+8）上為減函數(shù).

（4）當(dāng)。為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)。為偶數(shù)時，塞函數(shù)為偶函數(shù).

4.求解暴函數(shù)的奇偶性

求解幕函數(shù)的奇偶性

5.有理數(shù)指數(shù)騫及根式

【知識點的認識】

根式與分數(shù)指數(shù)幕

規(guī)定：an=(〃>0,m,〃EN*,n>l)

_坦11*

N=

CL=n/——(。>0，m,nGN，)

anJa

0的正分數(shù)指數(shù)塞等于0,0的負分數(shù)指數(shù)塞沒有意義

有理數(shù)指數(shù)塞

(1)新的有關(guān)概念：

m,__.

①正分數(shù)指數(shù)累：an=(a>0,m,nGN,且九>1)；

7711-1

②負分數(shù)指數(shù)累：cTk=f=再^：(a>0,〃力“eN*,且〃>1)；

③0的正分數(shù)指數(shù)累等于0,0的負分數(shù)指數(shù)嘉無意義.

(2)有理數(shù)指數(shù)塞的性質(zhì)：

?a'as=ari~s(a>0,r,s€Q)；

②(ar)s—ars(a>0,r,seQ)；

③(ab)(a>0,b>0,rGQ).

【解題方法點撥】

例1：下列計算正確的是()

n/~尸.I------------(ax)2

A>(-1)0=-1B、VaVa=aC、V(-3)4=3D、=\;“4{{x}A{2

-2}}$(a>0)

分析：直接由有理指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡求值，然后逐一核對四個選項得答案.

解：：(-1)0=1,

AA不正確；

,:$\sqrt{d\sqrt{a}]—\sqrt{a?[a]^{\frac{l}{2}}]—\sqrt{{a}^{\frac{3}{2}}}={a}A[\f