2023-2024學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)：期末壓軸題分類2（必刷50題23種題型專項訓(xùn)練）解析版

期末壓軸專題分類02（必刷50題23種題型專項訓(xùn)練）

二次函數(shù)的圖象（共1小題）

1.如圖，正方形4BCD的邊長為4,點、P、Q分別是C。、的中點，動點￡從點A向點B運(yùn)動，到點B

時停止運(yùn)動；同時，動點尸從點尸出發(fā)，沿尸一Of。運(yùn)動，點、E、尸的運(yùn)動速度相同.設(shè)點E的運(yùn)動路

程為x,尸的面積為y,能大致刻畫y與尤的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

fP

B

【解答】解：當(dāng)尸在PD上運(yùn)動時，/XAM的面積為y=LlE\4r）=2無（0WxW2）,

2

當(dāng)廠在AD上運(yùn)動時，△AE尸的面積為（6-x）=-Xr+3x（2<x^4）,

’222

二.二次函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）

2.對于二次函數(shù)y=-/+2r.有下列四個結(jié)論：①它的對稱軸是直線尤=1；②設(shè)yi=-x/+2xi,>2=-

X22+2X2,則當(dāng)X2>X1時，有y2>yi；③它的圖象與無軸的兩個交點是（0,0）和（2,0）；④當(dāng)0<尤<2

時，y>0.其中正確的結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：y=-X2+2X=-（x-l）2+l,故①它的對稱軸是直線尤=1,正確；

②..,直線x=l兩旁部分增減性不一樣，...設(shè)yi=-xj+2xi,”=--+2x2,則當(dāng)x2>xi時，有”>yi或

y2<yi或y2=yi,錯誤；

③當(dāng)y=0,貝！1x（-尤+2）=0,解得：尤1=0,X2=2,

故它的圖象與x軸的兩個交點是（0,0）和（2,0）,正確；

@'：a=-1<0,

拋物線開口向下，

?..它的圖象與無軸的兩個交點是（0,0）和（2,0）,

...當(dāng)0<x<2時，j>0,正確.

故選：C.

3.已知函數(shù)yi=<26-2）2-16<1或*>3）及直線”=以+從若直線”與函數(shù)yi的圖象至少有三個

「3（x-2）2+4（14x43）

交點，則b的取值范圍為-3W6W-g.

3-

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：當(dāng)直線y=4x+Z;經(jīng)過點A（1,1）時，1=4+6,解得6=-3.

當(dāng)直線y=4x+6與y=-3(x-2)2+4只有一個交點時,

由4x+b=-3(x-2)2+4,可得：3X2-8x+8+b=0,

由題意A=0,

：.64-12(8+6)=0,

解得6=一>,

3

觀察圖象可知，直線”與函數(shù)”的圖象至少有三個交點，則6的取值范圍為-3W6W-&.

3

故答案為-3WbW-1.

3

三.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）

4.二次函數(shù)y=a^+bx+c（〃W0）的圖象如圖所示.下列結(jié)論：①次?c>0；②2。+/?=0；③機(jī)為任意實數(shù),

則J〃+人〉卬/+加2；④〃-b+C>0；⑤若a*2+bX=3K2+h且X1W%2,則%1+%2=2.其中正確的有（）

ClA|1MA|ClA2MA2

【答案】c

【解答】解：①拋物線開口方向向下，則a<0.

拋物線對稱軸位于〉軸右側(cè)，則°、6異號，§Pab<0.

拋物線與y軸交于正半軸，則c>0.

所以abc<Q.

故①錯誤.

②拋物線對稱軸為直線x=」_=1,

2a

'.b—-2a,即2a+b=Q,

故②正確；

③V拋物線對稱軸為直線x=1,

，函數(shù)的最大值為：y^a+b+c；

a+b+c^anr+bm+c,即a+b^atr^+bm,

故③錯誤；

④：拋物線與x軸的一個交點在（3,0）的左側(cè)，而對稱軸為直線x=l,

拋物線與x軸的另一個交點在（-1,0）的右側(cè)，

當(dāng)x=-1時，y<0,

.?a-Z?+cVO,

故④錯誤；

@V2+tai=;12+0x2，

aXY?aX2

?eeaxf"xi-axg-bx2=0f

??a(xi+x2)(xi-X2)+b(xi-%2)=0,

(xi-%2)[a(xi+%2)+Z?]=0,

而X1#X2,

??a(xi+x2)+。=0,即xi+%2=工,

a

,:b=-2a,

??X1+X22,

故⑤正確.

綜上所述，正確的有②⑤.

故選：C.

5.已知二次函數(shù)y=a/+6x+c(aW0)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①a-b+c>0；②2abe>0；?4a-2b+c

>0；@b2-4ac>0；⑤3a+c>0；?a-c>0,其中正確的結(jié)論的個數(shù)是()

【答案】C

【解答】解：當(dāng)x=-l時，y<0,貝Ua-6+c<0,所以①錯誤；

拋物線開口向上，則。>0；對稱軸在y軸右側(cè)，x=--L>0,貝iJb<0；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)在x軸

2a

下方，則eVO,于是“Ac〉O,所以②正確；

當(dāng)兀=-2,y>0,貝！J4〃-20+c〉0,所以③正確；

拋物線與尤軸有兩個交點，則戶-4改>0,所以④正確；

X--即6=-2a,TFffa-b+c<Q,貝！I3a+c<0,所以⑤錯誤；

2a

a>0,c<0,則a-c>0,所以⑥正確.

故選：C.

四.二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征(共1小題)

6.如圖，“愛心”圖案是由函數(shù)y=-f+6的部分圖象與其關(guān)于直線y=尤的對稱圖形組成.點A是直線y

=x上方“愛心”圖案上的任意一點，點8是其對稱點.若AB=4&，則點A的坐標(biāo)是(-2,2)或

(1,5)

【答案】(-2,2)或(1,5).

過點A作AOLx軸，交x軸于點E,交直線y=x于點。，連接8。,

VA>2關(guān)于直線>=無對稱，

設(shè)A(a,b),

???△A5D是等腰直角三角形，四邊形0后。尸是正方形，

:.B(Z?,a),

22

;AB=7(xB-xA)+(yB-yA)-

?，,4V2=V(b-a)2+(a-b)2,

(4^2)2—(。-〃)2+Qb-a)2,

32=2(b-a)2

（b-〃）2=16,

。-4=4或/?-a=-4（舍去），

，/?=〃+4,

又「A（mb）在＞=-f+6上，

:.b=-42+6,

即〃+4=-搞6,

整理得，/+〃-2=0,

解得，ai=-2,〃2=1,

，當(dāng)〃1=-2時，6=〃+4=-2+4=2,

點A的坐標(biāo)為（-2,2）；

當(dāng)〃2=1時，。=〃+4=1+4=5,

點A的坐標(biāo)為（1,5）.

故答案為：（-2,2）或（1,5）.

五.二次函數(shù)圖象與幾何變換（共2小題）

7.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=W-2xG20）的圖象為Ci,。關(guān)于原點對稱的圖象為。2,則直線y=

a（。為常數(shù)）與。、Q的交點共有（）

A.1個B.1個或2個

C.1個或2個或3個D,1個或2個或3個或4個

【答案】C

【解答】解：函數(shù)y=W-2x（120）的圖象為Q,。關(guān)于原點對稱的圖象為C2,C2圖象是》=-/-

2x；

。非常小時，直線y=a（°為常數(shù)）與C1沒有交點，與C2有一個交點，所以直線y=a（。為常數(shù)）與

Ci、C2有一個交點；

直線y=a經(jīng)過Ci的頂點時，與C2有一個交點，共有兩個交點；

直線y=a（a為常數(shù)）與。有兩個交點時，直線y=a（a為常數(shù)）與。、C2的交點共有3個交點.

故選：C.

8.如圖，已知點A（3,0）,B（1,0）,兩點C（-3,9）,D（2,4）在拋物線上，向左或向右平移

拋物線后，C,。的對應(yīng)點分別為C',D'.當(dāng)四邊形ABC'D'的周長最小時，拋物線的解析式為v

=（x-2.

13

【解答】解：過C、。作x軸平行線，作A關(guān)于直線>=4的對稱點4,過A作AE〃CZ),且4E=C。,

連接BE交直線y=9于C,過。作C"Q'〃C。，交直線y=4于。，如圖：

作圖可知：四邊形AEC。和四邊形CZXDC是平行四邊形，

：.A'E//CD,CD'//CD,且A'E=C￡>,CD'=CD,

：.C￡)'〃AE且C'D'=AE,

四邊形AEC。是平行四邊形，

.'.A'D'^EC,

VA關(guān)于直線y=4的對稱點A',

：.AD'=A'D',

；.EC=AD,

：.BE=BC+EC=BC+AD',即此時BC+47轉(zhuǎn)化到一條直線上，BC+AD最小，最小值為BE的長度,

而AB、C。為定值，

二此時四邊形ABC'D'的周長最小,

VA(3,0)關(guān)于直線y=4的對稱點A,

AA'(3,8),

??,四邊形AEC￡)是平行四邊形，C(-3,9),D(2,4),

：.E(-2,13),

設(shè)直線BE解析式為y=kx+b,貝J°=k+b

I13=-2k+b

3

b3

直線BE解析式為＞=-烏什堂,

33

令y=9得9=-

33

.?.cc=--11-（-3）=空，

1313

即將拋物線y=/向右移WI個單位后，四邊形ABC'D'的周長最小,

此時拋物線為y=（x-至）2,

13

故答案為：尸（X-25）2.

13

六.拋物線與X軸的交點（共1小題）

9.如圖，拋物線y=-2f+8x-6與x軸交于點A、B,把拋物線在x軸及其上方的部分記作Q,將Ci向右

平移得C2,C2與x軸交于點B,D.若直線>=尤+m與Ci、C2共有3個不同的交點，則根的取值范圍是

C.-3＜m＜-2D.-3＜機(jī)＜-生

8

【答案】D

【解答】解：令y=-2/+81-6=0,

即x2-4x+3=0,

解得％=1或3,

則點A(1,0),B(3,0),

由于將Ci向右平移2個長度單位得C2,

則C2解析式為y=-2(x-4)2+2(3WxW5),

當(dāng)y=x+m\與C2相切時，

y=x+mi=y=-2(x-4)2+2,

即2X2-15x+30+mi=0,

△=-8mi-15=0,

解得mi=-」立，

8

當(dāng)y=x+mi過點B時,

即0=3+加2,

m2=-3,

當(dāng)-3＜機(jī)＜-」立時直線、=工+m與Ci、C2共有3個不同的交點,

七.二次函數(shù)綜合題(共12小題)

10.如圖，拋物線＞=-/+尤+2與無軸交于點A和點3.

(1)已知點Q(m,7/7+1)在第一象限的拋物線上，則點1的坐標(biāo)是D(1,2)；

(2)在(1)的條件下，連接8。，P為拋物線上一點，且/。8尸=135°,則點尸的坐標(biāo)是(-4,-

18).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)..?拋物線y=-/+x+2,點O(m，加+1)在第一象限的拋物線上，

f2

?夕曰

..m+l=-mtm+2，倚m—1}，

m>0

???點。的坐標(biāo)為(1,2),

故答案為：(1,2)；

(2)過點P作PELDB交DB的延長線于點5作EF±x軸于點R作PGA.EF交EF的延長線于點G,

VZDBP=135°,

/.ZPBE=45°,

VZBEP=90°,

：.ZBPE=ZPBE=45°,

:?BE=PE,

VZBEP=90°,ZEFB=90°,

；?/PEG+NBEF=90°,ZEBF+ZBEF=90°,

???NPEG=NEBF,

又?：/PGE=NEFB=9C,PE=EB,

:.APGE”AEFB(A4S),

；,EG=BF,PG=EF,

,.?y=-/+x+2=-(x-2)(x+1),

???當(dāng)y=0時，x=2或x=-l,

工點5的坐標(biāo)為(2,0)

;點D(1,2),點B(2,0),

?*.tanZZ)BA=2,

?*.tanZ￡/?F=2,

設(shè)BF=a,則EF=2a,EG=a,PG=2a,

?,?點尸的坐標(biāo)為(2-a,-3a),

-3a=-(2-a)~+(2-a)+2

解得，(71=6,02=0(舍去)，

.,.點P的坐標(biāo)為(-4,-18),

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+bx+c與x軸交于點A和點B(1,0),與y軸交于點C(0,

-3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若點尸為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，作無軸于點。，交AC于點E,過點E作AC的垂線與

拋物線的對稱軸和y軸分別交于點尺G,設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為八

①求PE+42EG的最大值；

②連接。尸、DG,若/即G=45°,求機(jī)的值.

【答案】(1)y=/+2x-3.

(2)①PE+版EG的最大值為空；

4

oq

②加1=-1,mi=--.

5

【解答】解：(1)?拋物線y=W+bx+c經(jīng)過點8(1,0),C(0,-3),

.(l+b+c=0

,lc=-3

解得：。=2,

lc=-3

二拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2+2x-3.

(2)①當(dāng)x=0時，y=x1+2x-3=-3,

.?.點C(0,-3).

當(dāng)y=0時，/+2x-3=0,

解得：xi=-3,X2=l,

AA(-3,0),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n,

把A(-3,0),C(0,-3)代入，

得：13k+n=0,解得"k=-l,

In=_3In=-3

?,?直線AC的解析式為：y=-x-3.

9

：OA=OC=3f

：.ZOAC=ZOCA=45°.

過點E作EKJ_y軸于點K,

TEGLAC,

：.ZKEG=ZKGE=45°,

：.EG=—里—=42EK=42OD,

sin450

設(shè)P(根，m2+2m-3),則E(M,-m-3),

PE—-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m,

：?PE+y[^EG=PE+20D=-n?-3m-2m=-HI2-5m=-(m+—)2+-^-,

24

由題意有-3＜根＜0,且-3V-S〈0,-1VO,

2

當(dāng)m=-$時，PE+MEG取最大值，PE+MEG的最大值為空;

24

②作￡K，y軸于K,bMLy軸于記直線EG與工軸交于點M

?「EKJ_y軸，PD_Lx軸，NKEG=45°,

：?/DEG=NDNE=45°,

:?DE=DN.

?:/KGE=/ONG=A5°,

???OG=ON.

,：y=x1+2x-3的對稱軸為直線l=-1,

：.MF=lf

VZKGF=45°,

.??GF=——=42MF=V2.

sin450

VZFZ)G=45°,

：.ZFDN=ZDEG.

又?：NFDG=/DEG,

.?.△DGFsAEGD,

?DG=EG?

"FGDG，

???DG2=FG?EG=Mx近(-777)=-2m,

在RtZkONG中，OG=ON=|OO-￡W|=|OO-OE|=|-，w-。〃+3)|=|-2，w-3|,OD=-m,

在RtZ\O￡)G中，

DG2=0￡＞2+0G2=m2+(2m+3)2=5m2+12m+9,

/.5m2+12m+9==-2m,

解得mi=-1,m2=--.

5

12.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+bx+c(6、c為常數(shù))，經(jīng)過點(3,0)和(0,-3).

(1)求該拋物線函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)aWxW4時，函數(shù)值-4WyW5,求°的取值范圍；

(3)點尸為此函數(shù)圖象上任意一點，橫坐標(biāo)為小，過點尸作PQLy軸，交直線x=3于點Q.當(dāng)點尸和

點。不重合時，以尸。為邊，點尸為直角頂點向y軸負(fù)方向作等腰直角三角形PQW.

①當(dāng)點M到拋物線頂點縱坐標(biāo)所在直線的距離是6時，求相的值；

②當(dāng)拋物線在等腰直角三角形內(nèi)部(包括邊界)的點的縱坐標(biāo)最大值與最小值之差是1時，直接寫

出m的值.

【答案】(1)y=/-2x-3；

(2)-2Wa〈l；

(3)①加的值為上運(yùn)或空叵；

22

②m的值為0或1+W6.

【解答】解：(1)把(3,0)、(0,-3)分別代入y=/+bx+c,

得：(9+3b+c=0,

lc=-3

解得：戶=-2,

lc=-3

拋物線解析式為y=/-2x-3；

(2)-2x-3=(x-1)2-4,

???拋物線的對稱軸為直線x=l,頂點坐標(biāo)為(1,-4),最小值為-4,

?.,當(dāng)時，函數(shù)值-4Wy<5,當(dāng)x=4時，y=5,

.卜<1

.42-2a-345

J-2W〃W1；

(3)①由題意得：P(m,m2-2m-3),Q(3,m2-2m-3)?

：.PQ=\m-3\,

???△PQM是以PQ為邊，點P為直角頂點向y軸負(fù)方向所作的等腰直角三角形，

???當(dāng)根V3時，點M的縱坐標(biāo)為毋-m-6或當(dāng)”>3時，點M的縱坐標(biāo)為加2-3m，

由(2)知：拋物線頂點坐標(biāo)為(1,-4),

當(dāng)m<3時，m2-m-6=-10(無實數(shù)根)m2-m-6=2,

-,.=1-733.

2

當(dāng)m＞3時，m2-3m=-10（無實數(shù)根）或加之-31n=2,

?m=WH.

2

綜上，機(jī)的值為上運(yùn)或更叵；

22

②當(dāng)機(jī)＜3時，若拋物線的頂點（1,-4）位于等腰直角三角形內(nèi)，則點p的縱坐標(biāo)為-3即可，

即機(jī)2-2加-3=-3,解得：m=0或%=2；

當(dāng)初=2時，拋物線無一點位于等腰直角三角形內(nèi)，不合題意，

故m=0；

若拋物線的頂點（1,-4）不在等腰直角三角形內(nèi)，則這樣的根不存在；

當(dāng)相＞3時，由于位于等腰直角三角形內(nèi)的拋物線的兩個邊界點的縱坐標(biāo)差為1,則除P點外的另一邊界

點的橫坐標(biāo)為4,其對應(yīng)的縱坐標(biāo)為y=4?-2X4-3=5,

所以點P的縱坐標(biāo)為5+1=6；

?*.m2-2m-3=6,

解得：〃2=i+Vii或=1-JU（舍去）；

綜上，加的值為o或1+JI5.

13.如圖，拋物線尸癥-冰-⑵經(jīng)過點C（0,4）,與x軸交于A,2兩點，連接AC,BC,M為線段。2

上的一個動點，過點M作尸軸，交拋物線于點P,交BC于點Q.

（1）直接寫出。的值以及A,B的坐標(biāo)：-1,A（-3,0）,B（4,0）；

一「

（2）過點尸作PAaBC,垂足為點N,設(shè)M點的坐標(biāo)為M（相，0）,試求PQ+&PN的最大值；

（3）試探究點M在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的點Q,使得以A,C,。為頂點的三角形是等腰三角

形.若存在，請求出此時點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

X

【答案】(1)-1;-3,0；4,0；

3

(2)旦；

3

(3)(1,3)或(顯!.，上5匹).

22

【解答】解：(1)將C(0,4)代入y=--以-12。得4=-12a,

?*Cl-—1>

3

/.y=--xi+-x+A,

33

令y=0得0=-工/+工；+4,解得xi=4,xi=-3,

33

AA(-3,0),B(4,0),

故答案為：-工；-3,0；4,0；

3

(2)'."y=-Ax2+A,r+4.

33

.,.令x=0得y=4,

：.C(0,4),OC=4,

而B(4,0)有OB=4,

：.OB=OC,ZiBOC為等腰直角三角形，

：.ZCBO^45°,

；PM_Lx軸,

：.ZBQM=45°=ZPQC,

■:PNLBC,

APQN是等腰直角三角形，

:'PQ=?PN,

；.PQ+近PN=2PQ,

?,?PQ+&PN取最大值即是P。取最大值，

由C(0,4),B(4,0)可得2C解析式為丫=-X+4,

'：MCm,0),

.'.P(m,--nr+—m+A),Q(m,-m+4),

33

PQ—(--m2+—m+4)-(-m+4)=-A-m~+—in--A(m-2)2+A,

333333

...根=2時，P。最大值為冬，

3

PQ+近PN的最大值為2.

3

(3)VA(-3,0),C(0,4),Q(m,-m+4),

AC2222C

=V(-3-0)+(O-4)=5,AQ=y](m+3)+(-m+4-0)=42nl2-2m+25*Q=

Vm2+(-m+4-4)2=V2m2,

以A,C,。為頂點的三角形是等腰三角形，分三種情況：

①AC=AQ時，72m2-2m+25=5,解得加=。(此時。與。重合，舍去)或m=1,

：.Q(1,3),

②AC=C。時，折？=5,解得根=呼■或根=-呼"(此時M不在線段02上，舍去)，

:.Q(晅8-5-),

22

③AQ=C。時，42m2-2m+25解得加=12.5(此時M不在線段。8上，舍去)，

綜上所述，以A,C,。為頂點的三角形是等腰三角形，。(1,3)或。(且叵，竺5叵).

22

14.如圖，已知拋物線y=ax2-2ax+3與x軸交于點A(-1,0)和點8,與y軸交于點C,連接AC,過8、

C兩點作直線.

(1)求4的值.

(2)將直線8c向下平移機(jī)(m>0)個單位長度，交拋物線于8,、C兩點.在直線8,C上方的拋

物線上是否存在定點無論機(jī)取何值時，都是點。到直線8,C'的距離最大.若存在，請求出點。

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)拋物線上是否存在點P,使NP8C+/ACO=45°,若存在，請求出直線8尸的解析式；若不存在，

請說明理由.

【答案】⑴a=-1.

(2)存在，D(2,生).

24

(3)拋物線上存在點P,使/PBC+NACO=45°,直線8P的解析式為y=-L+1或y=-3x+9..

3

【解答】解：(1):拋物線尸a/-2or+3與x軸交于點A(-1,0),

>>.4+24+3=0,

?*Cl~~~1.

(2)存在定點。，無論加取何值時，都是點。到直線4C的距離最大.

?.)=-X2+2X+3,

當(dāng)x=0時，y=3,

：.C(0,3),

當(dāng)y=0時，-/+21+3=0,

解得：xi=-1,12=3,

：.B(3,0),

設(shè)直線8c的解析式為y=fcv+b,貝/3k+b=0,

lb=3

解得：(k=1

lb=3

直線BC的解析式為y=-x+3,

?.?將直線BC向下平移機(jī)(m>0)個單位長度，交拋物線于夕、C兩點，

直線2,C的解析式為y=-x+3-Mi,

設(shè)Z)(/,-d+2/+3),

過點。作?！辍▂軸，交B'C于點E,DFLB'C于點-設(shè)直線9C交y軸于點G,如圖,

:.E(/,-什3-m),

DE=~P+2/+3-(-什3-m)=-a+3/+根,

VOB=OC=3,ZBOC=90°,

：.ZBCO=ZCBO=45°,

*：BfC//BC,

：.ZB'GO=ZBCO=45°,

?.?Z)E〃y軸，

：.ZDEF=ZBrGO=45°,

VZDFE=90°,

???ADEF是等腰直角三角形，

2

DF=^2-.DE=2^(-?+3r+w)=-(r-2)+2^^_(9+加，

222224

：-返＜o(jì),

2

當(dāng)片旦時，。尸取得最大值亞(9+加，此時點。的坐標(biāo)為(旦，生).

22424

(3)存在.

當(dāng)NPBC在BC的下方時，在y軸正半軸上取點/(0,1),連接交拋物線于點P,如圖,

：.OB=OC=3,OM=OA=1,ZBOM=ZCOA=90a,

：./\BOM^/\COA(SAS),

ZMBO=ZACO,

VZCBO=45°,

：.ZCBP+ZMBO^45°,

：.ZCBP+ZACO=45°,

設(shè)直線的解析式為y=Nx+/，則13k'+b'=0

1

k

解得：，3,

b'=1

二直線的解析式為y-A.r+1,

3

1,

y==x+l

聯(lián)立，得，

O

y=-xz+2x+3

2

x

x1=323

解得：,（舍去），（

了1=011

了2萬

???尸(-fv)；

當(dāng)NPBC在BC的上方時,作點M關(guān)于直線BC的對稱點,如圖，連接W,CM',直線

CM=2,ZBCMf=ZBCM=45°,

ZMCM'=90°,

：.M'(2,3),

則直線BM'的解析式為y=-3尤+9,

y=-3x+9

聯(lián)立，得：，

9

y=-xz+2x+3

x,1=3*2=2

解得：,(舍去)，.

y^O了2=3

：.P(2,3)；

綜上所述，拋物線上存在點P,使NPBC+NACO=45°,直線BP的解析式為y=-lx+1或y=-3x+9.

3

15.如圖，拋物線>=辦2+灰+3交x軸于A(3,0),B(-1,0)兩點，交y軸于點C,動點P在拋物線的

對稱軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)以P,B,C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標(biāo)及△PBC的周長；

(3)若點。是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點，是否存在點。，使得以A,C,P,。為頂點的四邊形是

菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

【答案】⑴y=-x2+2x+3；

(2)P(1,2),3V2+VI0；

(3)<21(4，-V17)>。2(4,V17)>Qi(2,2),。4(-2,3+V14).。5(-2,3-V14)-

【解答】解：(1):拋物線y=o?+bx+3交x軸于A(3,0),B(-1,0)兩點，

.(9a+3b+3=0

*la-b+3=0'

解得：(a=T,

lb=2

該拋物線的解析式為y=-/+2x+3；

(2)在y=-/+2x+3中，令x=0,得y=3,

：.C(0,3),

的周長為：PB+PC+BC,BC是定值，

當(dāng)PB+PC最小時，APBC的周長最小.

如圖1,點A、8關(guān)于對稱軸/對稱，連接AC交/于點P,則點P為所求的點.

\'AP^BP,

△PBC周長的最小值是AC+BC,

VA(3,0),B(-1,0),C(0,3),

.,.AC=3&,BC=Vl0.

...△PBC周長的最小值是：3V2+V10.

拋物線對稱軸為直線X=-——2——=1,

2X(-1)

設(shè)直線AC的解析式為y=fcc+c,將A(3,0),C(0,3)代入，得:

f3k+c=0

Ic=3，

解得：。=-1,

1c=3

二直線AC的解析式為y=-x+3,

：.P(1,2)；

(3)存在.

設(shè)P(1,力，QCm,ri')

\'A(3,0),C(0,3),

則AC2=32+32=18,

AP2=(1-3)2+?=?+4,

PC2=12+(f-3)2=？-6f+10,

?..四邊形ACP。是菱形，

分三種情況：以AP為對角線或以AC為對角線或以CP為對角線,

①當(dāng)以AP為對角線時，則CP=CA,如圖2,

-6什10=18,

解得：/=3土舊，

：.PI(1,3-717)，Pza,3+717)，

?..四邊形ACP。是菱形，

與C?；ハ啻怪逼椒郑?尸與C。的中點重合，

當(dāng)尸1(1,3-V17)時，

?m+0—3+1n+3—0+3-VT7

2222

解得：m—4,n--VT7>

.,?Cl(4,-V17),

當(dāng)P2(1,3+V17)時，

?m+0=3+1n+3=0+3+VT7

'"~2~~2~>~2~

解得：，〃=4,n=V17>

???。2(4,舊)，

②以AC為對角線時，則PC=AP,如圖3,

:-6/+10=?+4,

解得：t=l,

.”3(1,1),

??,四邊形APC。是菱形，

；.AC與尸?；ハ啻怪逼椒?，即AC與C。中點重合，

??--m-+-1-_--3-+0，--n-+1-_--0-+3，

2222

解得：m=2,n=2,

：.Q3(2,2),

③當(dāng)以CP為對角線時，貝i]AP=AC,如圖4,

?+4=18,

解得：t=±J五，

;.尸4(1,V14),尸5(1)-V14)1

???四邊形ACQP是菱形，

；.AQ與CP互相垂直平分，即A。與CP的中點重合，

?3+m_0+1n+0_3+V14

2222

解得：m--2,n—3±V14，

二。4(-2,3+V14).。5(-2,3-A/14)，

綜上所述，符合條件的點。的坐標(biāo)為：Q(4,-/萬)，Qi(4,舊)，03(2,2),。4(-2,3+舊),

。5(-2,3-V14).

圖2

16.如圖，已知二次函數(shù)y=a/+b尤+c的圖象經(jīng)過點C(2,-3),且與x軸交于原點及點8(8,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求頂點A的坐標(biāo)及直線A3的表達(dá)式；

(3)判斷△AB。的形狀，試說明理由；

(4)若點尸為上的動點，且。。的半徑為2我，一動點E從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速

度沿線段AP勻速運(yùn)動到點P，再以每秒1個單位長度的速度沿線段依勻速運(yùn)動到點8后停止運(yùn)動，求

點E的運(yùn)動時間t的最小值.

(2)A(4,-4),y=x-8；

(3)證明見解答；

(4)572.

【解答】解：(1):二次函數(shù)y=a?+6x+cQW0)的圖象經(jīng)過C(2,-3),且與x軸交于原點及點8

(8,0),

.*.c=0,二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：y=ax1+bx(a/0),

將C(2,-3),B(8,0)代入y=/+6x得：

(4a+2b=-3

I64a+8b=0

解得：，a7,

b=-2

2；

二次函數(shù)的表達(dá)式為y^lx-2x

(2)Vy^-x2-2x=~(x-4)2-4,

拋物線的頂點A(4,-4),

設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為〉=奴+:小將A(4,-4),B(8,0)代入，得:

(4k+m=-4

I8ktm=0

解得：。=1,

lm=-8

???直線AB的函數(shù)表達(dá)式為尸尤-8；

(3)△AB。是等腰直角三角形.

方法1：如圖1,過點A作AfUOB于點尸，則尸(4,0),

ZAFO=ZAFB=90°,OF=BF=AF=4,

AAFB均為等腰直角三角形，

：.OA=AB=4-/2,ZOAF=ZBAF=45°,圖1

：.ZOAB=90°,

△ABO是等腰直角三角形.

方法2：;△ABO的三個頂點分別是。(0,0),A(4,-4),B(8,0),

22

：.OB=8,OA=7OF+FA=V(4-0)2+(-4-0)2=4^2，

=22=

AB7AF+BFV[0-(-4)]2+(8-4)2=4加，

且滿足。爐=OA2+AB2,

AABO是等腰直角三角形；

(4)如圖2,以。為圓心，2弧為半徑作圓，則點P在圓周上,依題意知:

動點E的運(yùn)動時間為t=lAP+PB,

2

在OA上取點D,使。。=&,連接PD,

則在△4P0和△尸￡)0中，

滿足：P0=A0=2,ZAOP=ZPOD,

ODOP

AAPO^APDO,

?.?AP二P0_A0_乙o,

PDODOP

從而得：PD=1AP,

2

t=IAP+PB=PD+PB,

2

...當(dāng)8、P、。三點共線時，PD+PB取得最小值，

過點。作。GLOB于點G,由于0Df內(nèi)，且△AB。為等腰直角三角形,

則有DG=1,ZDOG=45°

VDG2-K}B2=V12+(8-1)2=5?

0),點C(0,3),且OB=OC.

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸;

(2)點￡)、￡是直線尤=1上的兩個動點，且?！?1,點。在點￡的上方，求四邊形ACDE的周長的最

小值.

(3)點P為拋物線上一點，連接CP,直線CP把四邊形CB朋的面積分為3：5兩部分，求點P的坐

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：⑴；OB=OC,；.點B(3,0),

則拋物線的表達(dá)式為：y—a(x+1)(尤-3)—a(x2-2x-3)—ax2-2ax-3a,

故-3a=3,解得：a—-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-/+2x+3…①，

函數(shù)的對稱軸為：x=l；

(2)四邊形ACOE的周長=AC+Z)E+CO+AE,其中AC=/而、OE=1是常數(shù),

故CD+AE最小時，周長最小，

取點C關(guān)于直線x=l對稱點C'(2,3),則CO=C'D,

取點A'(-1,1),則A'D=AE,

故：a)+AE=A'D+DC',則當(dāng)A'、D、C三點共線時，CD+AE^A'D+DC'最小，周長也最小,

四邊形ACDE的周長的最小值=AC+r>E+Cr>+AE=JI5+l+A'D+DC'=V10+1+A'C=V10+1+

V13；

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分,

又'：S&PCB：S&PCA=LEBX(yc-yp)：—AEX(yc-yp)—BE：AE,

22

貝I]BE：AE=3：5或5：3,

則AE=$或反，

22

即：點E的坐標(biāo)為(S,0)或(工，0),

22

將點E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式：y=kx+3,

解得：k=-6或-2,

故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②

聯(lián)立①②并解得：x=4或8(不合題意值已舍去)，

故點尸的坐標(biāo)為(4,-5)或(8,-45).

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-L+2與無軸交于點A,與y軸交于點8,拋物線y=-X^+bx+c

22

經(jīng)過A,8兩點且與x軸的負(fù)半軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點。為直線AB上方拋物線上的一個動點，當(dāng)NA8O=2NBAC時，求點。的坐標(biāo);

(3)已知E,尸分別是直線AB和拋物線上的動點，當(dāng)以8,O,E,尸為頂點的四邊形是平行四邊形時,

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)在y二蔣x+2中，令y=0,得尤=4,令尤=0,得y=2

AA(4,0),B(0,2)

把A(4,0),B(0,2),代入y=_^_x2+bx+c,得

c=2

b=

1,解得＜2

-^-X16+4b+c=0

c=2

...拋物線的解析式為y=_|X2Vx+2

(2)如圖，過點8作x軸得平行線交拋物線于點E,過點。作BE的垂線，垂足為P

?.?⑶6〃了軸，???N5AC=NA5E

VZABD=2ZBAC,：.ZABD=2ZABE

即ZDBE+ZABE=2ZABE

：.ZDBE=ZABE

:?NDBE=NBAC

設(shè)。點的坐標(biāo)為（工,2vx+2），貝J【3/=羽

*.*tanZDBE=貝1，tanZBAC=旦L

BFAO

解得xi=0（舍去），％2=2

當(dāng)x=2時，-^-x+^~X+2=3

???點。的坐標(biāo)為（2,3）.

解法二：作點3關(guān)于x軸的對稱點次，則直線AB，的解析式為y=L-2,

2

由題意，直線5O〃A5',

???直線BD的解析式為y=L+2,

2

：.D(2,3).

解法三：過點A作軸交5。的延長線于點瓦過點3作3尸，AE于點?

9：BF//OA,

：.ZCAB=ZABFf

9：ZDBA=2ZCAB,

:?/FBE=/FBA,

VZE+ZEBF=90°,ZBAF+ZABF=9G°,

：.ZE=ZBAF,