江蘇省如皋市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)能力測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷+答案

工作秘密★考試開(kāi)始前

高三2024-2025學(xué)年度上期開(kāi)學(xué)能力測(cè)評(píng)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題日的答案涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.回答非選擇題時(shí)，用0.5毫米黑色簽字筆將答案寫(xiě)在

答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合

題目要求

7T71

1.復(fù)數(shù)z=sin—+icos—的實(shí)部與虛部分別為（）

66

A1V3rV31?1V3.nV31.

22222222

2.若｛①瓦可和乙研都為基底，則玩不可以為（）

A.aB.cC.3+cD.a—c

3.若xeN,集合A=｛0,1,2,3｝,3=｛》,％2,3,4｝,則AcB滿(mǎn)足（）

A.OeAnBB.leAnB

C.2gAe5D.3wAc5

20242024

4.已知實(shí)數(shù)5,石,…,工2024，則使ZB一^和ZU-W最小的實(shí)數(shù)上分別為尤0，4…，尤2024的（）

i=0i=0

A.平均數(shù)；平均數(shù)B.平均數(shù)；中位數(shù)

C.中位數(shù)；平均數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差；平均數(shù)

5.在等差數(shù)列｛4｝中，若為+2。9=%=8,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.q=9B.510=45

C.Sn的最大值為45D.滿(mǎn)足S八＞0的〃的最大值為19

3Z+

6.若虛數(shù)z滿(mǎn)足2z+—eR,不等常實(shí)數(shù)叫〃滿(mǎn)足——為定值，則下列說(shuō)法一定錯(cuò)誤的是（)

Z2+〃

32

A.mn=一B.mn=一

23

7.若方程N(yùn)=ax+A的兩實(shí)數(shù)解石,尤2滿(mǎn)足歸一司=1，則3a2+8必（

A.存在最小值彳，存在最大值3

O

B.存在最小值木，不存在最大值

O

C.不存在最小值，存在最大值3

D.不存在最小值，不存在最大值

8.若數(shù)列｛%｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，4=1，數(shù)列也“｝為公差為6,首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，則數(shù)列前5

項(xiàng)和的最小值為()

187167147

A.-----B.-----C.-----D.65

444

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的或不選不得分.

]_2—3

9.隨機(jī)事件A3滿(mǎn)足P(A)=—,尸(耳)=—,尸(⑷B)=—,則下列說(shuō)法正確的是()

234

A.事件A,8互不獨(dú)立

——3

B.P(AB)=-

8

D.P(AB\A+B)P(AB)=P2(A)P2(B)

10.由不重合的兩正四面體P-ABC和Q-ABC組成六面體N分別為PC,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且

PA=CM+CN=1.下列說(shuō)法正確的是()

A.六面體。的體積為立

B.二面角P-AB-Q的正切值為—逑

7

C.MP+MQ的最小值為o+走

3

17

D.M,N到AB的距離平方和的最小值為—

28

11.已知圓M:必+J=16,圓N:（x-4）2+y?=36,圓尸與圓M,N都相切，記P點(diǎn)的軌跡為曲線

「，點(diǎn)A,3（XA<0<XB）在曲線「上.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.直線丁="與曲線「的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為2,3,4

B.存在上|<1使得直線x=/與曲線「只有2個(gè)交點(diǎn)

C.若存在3或6條直線AB滿(mǎn)足AO=kOB>則上的取值范圍為［/°H

D.若存在4條直線AB滿(mǎn)足AO=kOB>則上的取值范圍為［亍,?。菘?/p>

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知焦點(diǎn)為尸的拋物線y2=2x上48兩點(diǎn)滿(mǎn)足4/=BF+1=4,則AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

13.關(guān)于自然數(shù)x,%z的方程x（2y+7）+（x+5）z=253—10y的解的個(gè)數(shù)為.

14.已知半徑為1的球面上有不重合的四點(diǎn)A,8,C,￡）,則通.就+前1.而+而.通和

ABBC+BCCD+CDDA+DAAB的取值范圍分別為和.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明和證明過(guò)程.

15.（本小題共13分）

在四棱錐尸―A3CD中，ZACB=ZADC=90°,AD=BP,AC=2BC=2,AC，DE,PC，平面

ABC￡),E為AP中點(diǎn).

E

（1）求四棱錐P—A3CD的體積；

（2）求平面與平面PAD夾角的余弦值.

16.（本小題共15分）

在口ABC中，內(nèi)角A,B,C滿(mǎn)足cos2B+cos2C-1=cos2A+2sinBsinC.

（1）求角A的大??；

（2）若3c上有一點(diǎn)。滿(mǎn)足ABI.A。，且AB=C￡>,求'-的值.

cosB

17.（本小題共15分）

已知圓O:f+y2=4交X軸于A3兩點(diǎn)，橢圓C以AB為長(zhǎng)軸，橢圓上有一動(dòng)點(diǎn)P,且西.麗的最小

值為-1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線乙：y=《X與勾：丁=分別平分直線/與橢圓。和圓。的交線段，

①證明：存在實(shí)數(shù)2使得%=2左2恒成立，并求出實(shí)數(shù)2的值；

②求直線『4與橢圓C的交點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的最大值.

18.（本小題共17分）

已知函數(shù)/（x）=xlnx,g（x）=l--,//（%）=x2g（x）.

（1）判斷/（X）與人（X）的大小并證明；

/（X）21

（2）若不等式—<or+彳x恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

g（x）2

八"+1

（3）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足Aina,+ln（〃!）=/（〃+l）,〃eN”，證明：2>g；g因<L

z=lk=2

19.（本小題共17分）

若數(shù)列｛4｝只由。個(gè)1和6個(gè)0組成，且第一個(gè)1之前有偶數(shù)（可為零）個(gè)0,此后每?jī)蓚€(gè)相鄰的1之間

有奇數(shù)個(gè)0,則稱(chēng)數(shù)列｛4｝為（氏。）-甲型布爾數(shù)列.

⑴寫(xiě)出所有的（2,3）-中型布爾數(shù)列和所有的（2,4）-甲型布爾數(shù)列；

（2）記甲型布爾數(shù)列的總個(gè)數(shù)為N（a,。）；

①證明：N（2x,2y-l）=N（2x,2y）,其中x,yeN*且送V；

〃]m+1

②令b〃=+,其中私〃wN且相22,證明：V—<-----

torn-1

高三2024-2025學(xué)年度上期開(kāi)學(xué)能力測(cè)評(píng)

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

題號(hào)12345678

答案ACCCDBBA

二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分）

題號(hào)91011

答案ACDBCDBCD

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，第14題兩個(gè)答案分別為2分、3分）

題號(hào)121314

答案375(-16,0]

四、解答題（本題共5小題，共77分）

15.（本小題共13分，兩個(gè)問(wèn)分別為5分、8分）

（1）解：取AC中點(diǎn)連接。F,EF,

由于E為4尸中點(diǎn)，PCmABCD,

則EF//AP,EF1平面ABCD,

則ACLEF,而ACLDE,DEcEF=E,

則AC，平面DEF,AC1.DF,而AP=FC,ZADC=90°

則PB=AD=CD==V2,PC=yJPB2-BC2=1，

所以四棱錐P—ABCD的體積V=gx[gx2xl+；x?x拒]xl=g；

（2）解:由PC,平面ABCD,/ACB=90°,可得AC,BC,PC兩兩垂直，

所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA,而，而方向?yàn)閤，%z正半軸方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)平面與平面PAD的一個(gè)法向量分別為4=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

由于麗=(—2,1,0),而=(—2,0,1),而1,0),

Tp.n=0fAP.n=n

且—J，一j，得力可以為(1,2,2),拓2可以為(LT2)

AB?元］=0AD?元2=0

記平面PAB與平面PAD的夾角為。，

I3IV6

貝!!cos0=|cos=

\3X46\6

所以平面PAB與平面PAD的夾角余弦值為逅.

6

16.(本小題共15分，兩問(wèn)分別為6分、9分)

(1)解：由于cos2B+cos2C-l=cos2A+2siaBsinC,

則l-2sin2jB+l-2sin2C-l=l-2sin2A+2siaBsinC，

abc

即sin2B+sin2C=sin2A-sinBsinC根據(jù)正弦定理―——，

JsinAsinBsinC

72,2_2

得/+°2_/=_兒，根據(jù)余弦定理有cosA='一。所以A=

2bc23

(2)解：設(shè)A8=O)=LBD=—=f,/ADB=a,由于A3,A。,

cosB

…tii,由于ae[o,]

根據(jù)上文正弦定理'得sin90。=/?Z'sin30°

sinCsin(6Z-3O°

11

則由上式可得sin(a-30°)=飛-sina-—costz

22

帶入得1獷=7=獷=,即二7?+i),

化簡(jiǎn)得r+2尸—2f—4=0,

即仔―2）（/+2）=0,解得實(shí)數(shù)y蚯或一2（舍），所以'=蚯.

'/cos5

17.（本小題共15分，第一問(wèn)3分，第二問(wèn)的一二小問(wèn)分別為5分、7分）

24勿2

（1）解：顯然AB=4,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+=1,設(shè)尸（相，孔），加2=4一宕-

4

4n2

則PA?PB=w?_4+“2="n2,而一。則麗4=—i，

22

得b=6,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+乙=1；

43

（2）①解：顯然直線/與4垂直，設(shè)直線/：x=M_y,直線/與橢圓交于M（XI，%）,N（X2，V2）

由于直線4：丁=左2兀平分直線/與圓。的交線段，

則有％2=一加，＜

2nI,3

于是3（X]—=-4（x-%）————,由于機(jī)二」----1------,則勺=――m

2%一%%%4

2

3

所以存在實(shí)數(shù)％=z使得及=Ak2恒成立.

3x2+4y2=1212

②解：令＜,，得x=土,—F—,直線（與橢圓交線長(zhǎng)為4二2

y=k[X，IIJ

12

同理可得直線乙與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)。

4月+3'

則Q到直線乙的距離，

a

四邊形面積S=Ld=,當(dāng)上2=0四邊形不存在，

_____咨_________1212______迪

當(dāng)與"0時(shí)____J(9行+12)：4月+3),36四+乃+歹45+2歷7

所以四邊形面積的最大值為速，在左2=土1時(shí)取到.

7

18.(本小題共17分，三個(gè)問(wèn)分別為3分、6分、8分)

(1)/(x)=xinx,/?(x)=x2-x,有〃x)Wg(x),當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等.

證：要證xlnxWx2—x,即證lux—x+IWO，

令函數(shù)〃，(.丫)=111*-*+1,7〃'(1)=1一1,7〃(*)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

則7〃(X)27〃(1)=O,證畢.

f(x)、1hir1口i11/八

(2)解：若一則nl----<〃+——,即Inxcax————4+—

g(x)2x-12x2x2

lux>ax---—4--(x<1),令函數(shù)〃(x)=Inx-QXH■-—+rz--,由于〃(1)=0,

2x22x2

EI、,七，/八c，/'11—2〃叉？+2x—1/—2。+11

則必有〃〃(x)=——-7—〃=-------5----(1)=x---------<0，得

x2x2x22

下面驗(yàn)證工的充分性：當(dāng)工時(shí)，"(x)=lnx+，--J+|(x-l),

222x2(2。

令左(x)=lnx+l-_￡Mx)=「d+：x二1=Y11)%0,左(x)在(。，+8)上單調(diào)遞減，

2x22x2x

而左⑴=0,則當(dāng)xe(0,l)時(shí)左(x)〉0,當(dāng)xe(l,+a?)時(shí)左(x)<0,

而則當(dāng)xe(0,l)時(shí)—1)20,當(dāng)xe(L+e)時(shí)(；一。(x-l)^O,

此時(shí)Iwc<ax-°--a+—(x>1),hix>ax---a+—(x<1),所以。的范圍為1

一,+8

2x22x22

〃+1〃+1

(3)證：要證明的命題等價(jià)于Zln2g/)<1n2勺，先證明Zin2g(左)<1,再證明山2a/I,

k=2k=2

由⑵可得0>21nx>%—'(X<1),即?！祃nx〉4—令％=g(女)=1一,

xvxk

可得O〉lng⑻〉而匕，于是0<ln2g(左)<招甲0-1

〃+1111111n+\

所以Zin2g(左)<1-7+7-7+…+----------=1-------l，Z]n2g(2)<1證畢；

H223nn+1n+1比

再證明lYa/l,可以證明ln%2l,當(dāng)〃=1時(shí)，ln%=21n2>l,

當(dāng)時(shí)，]nan=/(n+1)-/(n)-Inn=(n+1)In=-(n+l)ln^—,

由⑴可得InxG—l，則111〃/一(〃+1)[—^-1]=1,1112〃/1證畢，

,+i

所以2g(QclMa”，證畢.

k=2

19.(本小題共17分，第一問(wèn)2分，第二問(wèn)的一二小問(wèn)分別為6分、