計(jì)算幾何基礎(chǔ)20191030

ACM程序設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)學(xué)院劉春英10/13/20241下周，調(diào)課一周…10/13/20242每周一星（4）：06057229許璟亮10/13/20243第五講計(jì)算幾何初步(ComputationalGeometryBasic)10/13/20244第一單元線段屬性10/13/2024510/13/2024610/13/2024710/13/2024810/13/2024910/13/20241010/13/20241110/13/20241210/13/202413思考：1、傳統(tǒng)的計(jì)算線段相交的方法是什么？2、傳統(tǒng)方法和本方法的區(qū)別是什么？10/13/202414特別提醒：以上介紹的線段的三個(gè)屬性，是計(jì)算幾何的基礎(chǔ)，在很多方面都有應(yīng)用，比如求凸包等等，請(qǐng)務(wù)必掌握！10/13/202415第二單元多邊形面積和重心10/13/202416基本問題（1）：給定一個(gè)簡單多邊形，求其面積。輸入：多邊形（頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列）輸出：面積S10/13/202417思考如下圖形：10/13/202418Anygoodidea?10/13/202419先討論最簡單的多邊形——三角形10/13/202420三角形的面積：在解析幾何里，△ABC的面積可以通過如下方法求得：點(diǎn)坐標(biāo)=>邊長=>海倫公式=>面積10/13/202421思考：此方法的缺點(diǎn)：計(jì)算量大精度損失更好的方法？10/13/202422計(jì)算幾何的方法：在計(jì)算幾何里，我們知道，△ABC的面積就是“向量AB”和“向量AC”兩個(gè)向量叉積的絕對(duì)值的一半。其正負(fù)表示三角形頂點(diǎn)是在右手系還是左手系。ABC成左手系，負(fù)面積ABC成右手系，正面積BCACBA10/13/202423大功告成：

Area(A,B,C)=1/2*(↑AB)×(↑AC)

=∣

∣/2特別注意：以上得到是有向面積（有正負(fù)）！Xb–XaYb–YaXc–XaYc–Ya10/13/202424凸多邊形的三角形剖分很自然地，我們會(huì)想到以P1為扇面中心，連接P1Pi就得到N-2個(gè)三角形，由于凸性，保證這些三角形全在多邊形內(nèi)，那么，這個(gè)凸多邊形的有向面積：A=sigma(Ai)(i=1…N-2)P1P2P3P4P5P6A1A2A3A410/13/202425凹多邊形的面積？P1P4P3P210/13/202426依然成立！??！多邊形面積公式：A=sigma(Ai)(i=1…N-2)結(jié)論：“有向面積”A比“面積”S其實(shí)更本質(zhì)！10/13/202427任意點(diǎn)為扇心的三角形剖分：我們能把多邊形分成N-2個(gè)三角形，為什么不能分成N個(gè)三角形呢？比如，以多邊形內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)為扇心，就可以把多邊形剖分成N個(gè)三角形。P0P1P2P6P5P4P310/13/202428前面的三角剖分顯然對(duì)于多邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)都是合適的！我們可以得到：A=sigma(Ai)（i=1…N）即：A=sigma∣

∣/2（i=1…N）Xi–X0Yi–Y0X(i+1)–X0Y(i+1)–Y010/13/202429能不能把扇心移到多邊形以外呢？P0P1P2P3P410/13/202430既然內(nèi)外都可以，為什么不設(shè)P0為坐標(biāo)原點(diǎn)呢？OP1P2P3P4現(xiàn)在的公式？10/13/202431簡化的公式：A=sigma∣

∣/2（i=1…N）XiYiX(i+1)Y(i+1)面積問題搞定！10/13/202432基本問題（2）：給定一個(gè)簡單多邊形，求其重心。輸入：多邊形（頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列）輸出：重心點(diǎn)C10/13/202433從三角形的重心談起：三角形的重心是：(x1+x2+x3)/3，(y1+y2+y3)/3可以推廣否？Sigma(xi)/N,sigma(yi)/N(i=1…N)???10/13/202434看看一個(gè)特例：.10/13/202435原因：錯(cuò)誤的推廣公式是“質(zhì)點(diǎn)系重心公式”，即如果認(rèn)為多邊形的質(zhì)量僅分布在其頂點(diǎn)上，且均勻分布，則這個(gè)公式是對(duì)的。但是，現(xiàn)在多邊形的質(zhì)量是均勻分布在其內(nèi)部區(qū)域上的，也就是說，是與面積有關(guān)的！10/13/202436Solution:剖分成N個(gè)三角形，分別求出其重心和面積，這時(shí)可以想象，原來質(zhì)量均勻分布在內(nèi)部區(qū)域上，而現(xiàn)在質(zhì)量僅僅分布在這N個(gè)重心點(diǎn)上（等假變換），這時(shí)候就可以利用剛才的質(zhì)點(diǎn)系重心公式了。不過，要稍微改一改，改成加權(quán)平均數(shù)，因?yàn)橘|(zhì)量不是均勻分布的，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)代表其所在三角形，其質(zhì)量就是該三角形的面積（有向面積?。?，——這就是權(quán)！10/13/202437公式：C=sigma(Ai*Ci)/A(i=1…N)Ci=Centroid(△OPiPi+1)=

(O+↑Pi+↑Pi+1)/3C=sigma((↑Pi+↑Pi+1)(↑Pi×↑Pi+1))/(6A)10/13/202438全部搞定！10/13/202439第三單元凸包(ConvexHull)10/13/20244010/13/20244110/13/20244210/13/20244310/13/20244410/13/20244510/13/20244610/13/20244710/13/20244810/13/20244910/13/20245010/13/20245110/13/20245210/13/20245310/13/20245410/13/20245510/13/20245610/13/20245710/13/20245810/13/20245910/13/20246010/13/20246110/13/20246210/13/20246310/13/20246410/13/20246510/13/20246610/13/202467凸包模板：//xiaoxia版#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>typedefstruct{ doublex; doubley;}POINT;POINTresult[102]; //保存凸包上的點(diǎn)POINTa[102]; intn,top;doubleDistance(POINTp1,POINTp2) //兩點(diǎn)間的距離{ returnsqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x-p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y));}doubleMultiply(POINTp1,POINTp2,POINTp3)//叉積{ return((p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x));}intCompare(constvoid*p1,constvoid*p2){ POINT*p3,*p4; doublem;p3=(POINT*)p1;p4=(POINT*)p2; m=Multiply(a[0],*p3,*p4); if(m<0)return1; elseif(m==0&&(Distance(a[0],*p3)<Distance(a[0],*p4))) return1; elsereturn-1;}voidTubao(){inti;result[0].x=a[0].x;result[0].y=a[0].y;result[1].x=a[1].x;result[1].y=a[1].y;result[2].x=a[2].x;result[2].y=a[2].y;top=2;for(i=3;i<=n;i++){while(Multiply(result[top-1],result[top],a[i])<=0) top--;result[top+1].x=a[i].x;result[top+1].y=a[i].y;top++;}}intmain(){inti,p;doublepx,py,len,temp;while(scanf("%d",&n)!=EOF,n){for(i=0;i<n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);if(n==1){printf("0.00\n");continue;}elseif(n==2){printf("%.2lf\n",Distance(a[0],a[1]));continue;}py=-1;for(i=0;i<n;i++) {if(py==-1||a[i].y<py){px=a[i].x;py=a[i].y; p=i;}elseif(a[i].y==py&&a[i].x<px){px=a[i].x;py=a[i].y; p=i;} } //swap(a[0],a[p]) temp=a[0].x; a[0].x=a[p].x; a[p].x=temp; temp=a[0].y; a[0].y=a[p].y; a[p].y=temp;qsort(&a[1],n-1,sizeof(double)*2,Compare);a[n].x=a[0].x;a[n].y=a[0].y;Tub