2024-2025學年湖南省長沙市高三年級上冊9月大聯(lián)考數學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年湖南省長沙市高三上學期9月大聯(lián)考數學檢測試卷

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.

一、單選題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.設集合/={1,3},『={x,-3x+m=0},若4cB={1},則集合3=()

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

2.若復數z滿足「=—1—i,貝”=()

1+1

A.2+2iB.—2—2iC.—2iD.2i

3.等差數列{%}(〃￡N*)中，出=1。嗎一4=2%,則%=()

A.40B.30C.20D.10

311

4.已知sin(a+〃)=一二,--+----=2,則sinasin/?=()

5tanatanp

3113

A.-----B.-C.—D.—

105510

5.如圖所示，六氟化硫分子結構是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八

面體，也可將其六個頂點看作正方體各個面的中心點.若正八面體的表面積為12百，則正八

面體外接球的體積為（）

C.12KD.36兀

6.已知函數/（x）=cosx+e*，且。=/（2）、b=c=〃ln2）,貝！|八b、c的大小關系（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

7.當xe[0,2兀]時，曲線>=cosx與歹=2cos（3x-外交點的個數為（）

A.3B.4C.5D.6

i2025

8.已知的定義域為RJ(x+y)+〃x7)=3〃x)〃y),且〃1)=(,則￡〃左)=()

34=1

1212

A.——B.——C.-D.-

3333

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，至少有兩項

是符合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分)

9.某校高三年級選考地理科的學生有100名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分數轉換為等級分，

已知等級分X的分數轉換區(qū)間為［30,100］,若等級分X?N(80,25),則()

參考數據:尸(〃-b<X4〃+b)=0.6827；尸(〃-2b<X4〃+2<)=0.9545；

尸(〃-3cr<XW〃+3b)=0.9973

A.這次考試等級分的標準差為5

B.這次考試等級分超過80分的約有45人

C.這次考試等級分在［70,80］內的人數約為48人

D.尸(65<X<75)=0.1573

10.中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中

國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正

是漢族古老文明中的一個側面，也是數學奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還

原成最單純的二維線條.其中的結對應著數學曲線中的雙紐線.曲線C:(x2+V)2=9(x2-y2)是

雙紐線，則下列結論正確的是()

A.曲線c的圖象關于y=x對稱

B.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

C.曲線C經過7個整點(橫、縱坐標均為整數的點)

D.若直線了=近與曲線C只有一個交點，則實數人的取值范圍為(-8,-1］口［1,+功

11.已知函數/(x)=x2-21nx,則下列選項中正確的是()

A.函數/(無)的極小值點為x=l

C.若函數g(x)=/(即T有4個零點，則fe(l,+oo)

D.若/（占）=/（3）（七片馬），則王+馬<2

三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）

12.已知向量a,3滿足同=2,1（3,0）,則向量Z在向量B方向上的投影向量的坐標為

貝1|一牛.

22

13.已知雙曲線E:、-A=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為耳冷離心率為2,過點片的直

ab

線/交區(qū)的左支于45兩點.|。同二|。周（。為坐標原點），記點。到直線/的距離為d,則

d__

a

14.十四屆全國人大一次會議于2023年3月5日在北京召開.會議期間，會議籌備組將包含

甲、乙在內的5名工作人員分配到3個會議廳負責進場引導工作，每個會議廳至少1人.每人

只負責一個會議廳，則甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有種.（用

數字作答）

四、解答題（本大題共5個小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

15.（本小題滿分13分）

記V48C的內角4B,C的對邊分別為。，瓦c,已知（百6-，siiU=+c）（siii3-sinC）.

⑴求角C；

（2）若V/8C外接圓的半徑為2,求V/5C面積的最大值.

16.（本小題滿分15分）

如圖，四邊形48C。與四邊形4DE尸均為等腰梯形，BCIIAD,EF//AD,AD=4,AB=42>

BC=EF=2,AF=y[\A>q_L平面48CD,W為40上一點，且何/_1_40,連接50、BE、

BM

（1）證明：8C_L平面BBW；

（2）求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值.

17.(本小題滿分15分)

222

如圖在平面直角坐標系X0中，已知橢圓G：]+「=1,橢圓。2：3+'=1,直線/與橢圓C]

只有一個公共點，且與橢圓C?交于48兩點.

(1)當直線/傾斜角為135。時，求直線/的方程;

(2)求證：V/O8的面積為定值.

18.(本小題滿分17分)

已知函數/'(x)=(x-l)e*-f.

(1)求函數的單調區(qū)間；

⑵求的零點個數.

(3)g(x)=/(x)-刃在區(qū)間-1,|上有兩個零點，求加的范圍?

19.(本小題滿分17分)

對于V〃eN*,若數列｛七｝滿足x向-％>1,則稱這個數列為“K數列”.

⑴已知數列1,2m,4+1是“K數列”,求實數力的取值范圍.

(2)是否存在首項為-2的等差數列｛。,｝為“K數列”，且其前〃項和S“使得5“<3〃2-"恒成立?

若存在，求出數列｛0,｝的通項公式；若不存在，請說明理由.

(3)已知各項均為正整數的等比數列｛%｝是“K數列”，數列不是“K數列”，若6"=耳，

[2J〃+1

試判斷數列仍?｝是否為“K數列”，并說明理由.

答案:

題號12345678910

答案BCBABDDBACDBD

題號11

答案AC

1.B

【分析】將尤=1代入方程求出加，再求集合B即可.

【詳解】由=可知3+m=0=＞加=2,

當加=2時，x2-3x+2=0,解得：x=l或％=2,即5={1,2}.

故選：B

2.C

【分析】根據復數乘除法運算直接計算即可.

7

【詳解】因為所以z=-(l+i)2=-2i.

故選：C.

3.B

【分析】根據已知條件，結合等差數列的性質，即可求解.

【詳解】設等差數列也,}(〃eN)的公差為的

%一。4=2q，貝［j3d=2%,

2

々2=10,貝U%+d=%+§%=10,角犁得q=6,d=4,

%=4+6d=6+24=30.

故選：B.

4.A

【分析】切化弦，通分即可求解.

【詳解】因為sin(a+/?)=-,因為

11cosctfcos0cosasin0+cos0sinasin(，+a)..八3

----+-----=-----+———=-------------------=——-------=2,所以sinasm/?=.

tanatan,sinasin/3sinasin夕--------sinasin夕----------------------10

故選：A.

5.B

【分析】根據正八面體的結構特征結合條件可得外接球的半徑，進而由球的體積公式即得體積.

【詳解】如圖正八面體，連接/C和交于點O,

F

因為E/=EC,ED=EB,

所以EO_L/C,EO±BD,又/C和AD為平面/BCD內相交直線，

所以平面/BCD,所以。為正八面體的中心，

設正八面體的外接球的半徑為火，因為正八面體的表面積為8x^45=12百，所以正八面

4

體的棱長為指，

所以EB=EC=BC=?OB=0C=V3,F0=VFF2-OB2=V3.

貝R=V3,V==|Trx3V3=4V3TT.

故選：B.

6.D

【分析】首先判斷函數在(0,+/)上的單調性，再比較大小.

【詳解】/，(x)=-sinx+e\當x>0時，/'(x)>0,

所以/(x)在(0,+回單調遞增，

因為2>ln2>ln孤=；,所以［g)</(ln2)</(2),即6<c<a.

故選：D

7.D

【分析】分別畫出kcosx與y=2cos(3xj］在［0,2可上的函數圖象，根據圖象判斷即可.

【詳解】kcosx與y=2cos(3xq］在［0,2可上的函數圖象如圖所示，

由圖象可知，兩個函數圖象交點的個數為6個.

故選：D.

8.B

【分析】根據題意，利用賦值法，求得了(x+6)=/(x),得到/'(x)的一個周期是6,再根據

函數的周期性和奇偶性，求得〃1),〃2),〃3),/(4),〃5),46)的值，進而得到答案.

【詳解】由題意知，函數/(x)的定義域為+A+且"1)=；,

令x=l,y=O,得/■(1+0)+/(1-0)=3/⑴”0),所以〃0)=；；

令尤=0,得/(0+田+〃0-力=3〃0)/(力,所以/(r)=/(#,所以/(無)是偶函數，

令y=l,得/(x+l)+/(x—l)=3/(x)/(l)=/(x)①,所以/(x+2)+/(x)=/(x+l)②,

由①②知/(x+2)+/■(尤一1)=0,所以〃x+3)+/(x)=0J(x+3)=-/(x),

所以/(x+6)=-〃x+3)=/(x),所以/(x)的一個周期是6,

由②得/■(2)+/(0)=/(1),所以〃2)=-丁同理〃3)+/(1)=/(2),所以〃3)=-；，

又由周期性和偶函數可得：

119

/(4)=/(-2)=/(2)=--,/(5)=/(-1)=/(1)=-,/(6)=/(0)=-,

所以/⑴+/⑵+/(3)+…+/(6)=0,

所以￡f(k)=3372+/(1)+/(2)+/(3)=

k=l上=13

故選：B.

9.ACD

【分析】根據X?N(80,25)的含義易判斷A,B兩項，對于C,D,先把范圍轉換成用〃，。表示，

利用3。概率值求出相應范圍的概率值，再進行估算即可.

【詳解】對于A,因X?N(80,25),則6=岳=5,故A正確；

對于B,因〃=80,即這次考試等級分超過80分的學生約占一半，故B錯誤;

故這次考試等級分在［70,80］內的人數約為0.48x100=48人，故C正確;

對于D,因P(65<X<75)=P(〃-

=-[P(iu-3o-<X<//+3o-)-P(^-cr<X<//+cr)]=-(0.9973-0.6827)=0.1573,

故D正確.

故選：ACD.

10.BD

【分析】對于A項，運用若點(X/)關于y=x對稱的點3,X)滿足方程，則曲線的圖象關于y=x

對稱，檢驗即可；對于B項，根據已知條件可得Y+r49即可；對于C項，計算邊界點來界

定整數點個數；對于D項，聯(lián)立直線方程與雙紐線方程，將問題轉化為方程只有一解即可.

【詳解】對于A項，把(y,x)代入(/+/)2=9(--得(爐+/)2=9(>2_犬)，

顯然點3,x)不滿足雙紐線方程，

所以曲線C的圖象不關于>=x對稱，故A項錯誤；

對于B項，由于+/了=9(/一必)可得犬+十=9!-1)=鄉(xiāng)—v9,

人"Iy人I"y

所以曲線C上任意一點到坐標原點O的距離〃=后了了43,即都不超過3,故B項正確：

對于C項，令y=0解得》=0或》=±3,即曲線經過(0,0),(3,0),(-3,0),

由題意可知，-3WxW3,

-11+V153

令*=±1,得產

-17+V^

令*=±2,得1</=

2

因此曲線C只能經過3個整點(0,0),(3,0),(-3,0),故C項錯誤；

2

對于D項，直線了=近與曲線*2+/)2=9(x-/)一定有公共點(0,0),

若直線了=丘與曲線C只有一個交點，

所以J('+/)=9(/-廣)，整理得/(1+*)2=9/(1一七2),只有一個解了=0,

即l-Vwo,解得左e(-8,-1]。[1,+oo),故D項正確.

故選：BD.

11.AC

【分析】求導，利用導數判斷〃x)的單調性和最值，可得/(x)的圖象，進而可以判斷A；對

于B：根據/(x)的單調性分析判斷；對于C：根據偶函數性質分析可知：原題意等價于當x>0

時，，有2個交點，結合“X)的圖象分析求解；對于D：構建

g(x)=/(2-x)-/(x)Jxe(O,l),結合導數可得"2-x)</(x),xe(O,l),結合極值點偏移分

析證明.

【詳解】由題意可知：的定義域為(0,+司，且小『—『KT),

XX

令/(x)>0,解得x>l；令/。)<0,解得0<x<l；

可知/(X)在(0,1)內單調遞減，在(1,+8)內單調遞增，

則)(x)2/⑴=1,且當x趨近于0或+8時，/(x)趨近于+以

可得函數/(X)的圖象，如圖所示：

對于選項A：可知函數/(x)的極小值點為x=l,故A正確；

對于選項B：因為1<孤<；,且/(尤)在(1,+e)內單調遞增,

對于選項C：令g(x)=/(|x|)-f=0,可得/(國)=/,

可知函數g(x)=/(|x|)-f有4個零點，即了=/(附與夕=，有4個交點,

且了=/(|尤|)的定義域為(-°°,0)U(0,+oo),J=L/(|-^|)=/(H)>

可知y=/(W)為偶函數，且當x>0時，y=/(|尤|)=/(尤)

原題意等價于當x>0時，y=/(x)與y=f有2個交點，

由題意可知：Z>2,故C正確；

對于選項D：設g(x)=/(2-x)-/(x)=21nx-21n(2-x)+4-4x,xe(0,1),

則g，(x)=2+J-4=￡Ry>0,

x2—xx^2—x)

可知v=g(x)在(o,l)內單調遞增，則g(x)<g⑴=0,

即〃2-x)</(x),xe(O,l),

若/(%)=/(%)(尤1NX?),不妨設0<X]<1<三，

則〃2-%)<〃%)=〃々),

且2f>1,々>1,且/(x)在(1,+“)內單調遞增,

則2-再<%,所以西+%>2,故D錯誤；

故選：AC.

方法點睛：利用導數證明不等式的基本步驟

（1）作差或變形；

（2）構造新的函數力⑺；

（3）利用導數研究乂力的單調性或最值；

（4）根據單調性及最值，得到所證不等式.

特別地：當作差或變形構造的新函數不能利用導數求解時，一般轉化為分別求左、右兩端兩個

函數的最值問題.

12.V10

【分析】由已知分別求出cos<￡》>和W，再根據平面向量數量積的運算律求解即可.

【詳解】由'=（3,0）得，W=3,

因為向量￡在向量B方向上的投影向量的坐標為

所以忖<0S<>刊==/，即COS<>=；,

所以'-閘=|a|+|/5|-2卜|忖-cos<>=4+9-2x2x3x；=10,

所以|“_可=EL

故而.

13.

2

【分析】根據給定條件，作出圖形，結合三角形中位線性質可得2名，8百，再利用雙曲線定

義及勾股定理求解即得.

【詳解】令雙曲線￡的半焦距為c,由離心率為2,得c=2a,

取片3的中點。，連接OD,由|0同=|。用，得。”空,則

連接月8,由。為耳匕的中點，得BFJ/OD'BFgd,BF2LBFX,\FxB\=1d-la,

因止匕巴「+|3片「=|用月『，即Rd)?+(2d-2.)2=(4.)2,整理得(《>一色一之=0,

aa2

而e>o,所以四=1±YI.

Qa2

故匕女

2

【分析】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數組合可以是LL3和1,2,2,先求出5名工作

人員分配到3個會議廳的情況數，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數，相減得到答案.

【詳解】將5名工作人員分配到3個會議廳，人數組合可以是1,1,3和1,2,2,

C'r'C3

人數組合是1,1,3時，共有T2xA；=60種情況，

其中甲、乙兩人分配到同一個會議廳的情況為=18種,

A2

從而甲、乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有60-18=42種;

人數組合是1,2,2時，共有隼fxA；=90種情況,

A2

其中甲、乙兩人分配到同一個會議廳的情況為C；C；xA；=18種，

從而甲、乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有90-18=72種，

所以甲、乙兩人不分配到同一個會議廳的不同安排方法共有42+72=114種.

故答案為.114

71

15.(1)C=-

O

(2)2+百

【分析】(1)運用正弦定理實現(xiàn)邊角轉化，結合余弦定理進行求解即可；

(2)根據正弦定理，結合外接圓的半徑可以求出c=2,根據三角形面積公式、利用重要不等

式進行求解即可.

【詳解】⑴由已知及正弦定理可得(用-+=僅+。)優(yōu)-c),

整理得/+人2一,2=屈6,

...cosC='+"-2="

2ab2

?1?Ce（O,7i）,.-.C=^

(2)外接圓的半徑為2,

~~~77=4，得c=2,:.a°+b°=4+y/^ab,

sinC

又a。+b2>2ab,:.ab<4（2+6）,

當且僅當a=b=#+后時，等號成立，

.■.5=-aZ>sinC<-x4（2+V3）x-=2+V3,

22、‘2

即V4BC面積的最大值為2+G.

16.(1)證明見詳解

⑵甯

【分析】（1）根據線面垂直的性質，結合線面垂直的判定定理、平行線的性質進行證明即可;

（2）作ENLAD,垂足為N,根據平行四邊形和矩形的判定定理，結合（1）的結論，利用

勾股定理，因此可以以BC,B尸所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標

系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】（1）因為用，平面/BCD,又/Ou平面/BCO,

所以EB_L4D.又FA/_L4D,^.FB^FM,

所以平面3EW.因為3C7//D,所以8c_1平面跳亞.

（2）作EN工AD,垂定為N.則FM〃EN.又EF〃AD,

所以四邊形月⑷出是平行四邊形，又ENLAD,

所以四邊形FMVE是矩形，又四邊形NDE77為等腰梯形，且XD=4,EF=2,

所以4W=1.

由（1）知4D_L平面所以BML4D.又=6，

所以5版=1.在RtZUFA/中，F(xiàn)M=>JAF2-AM2=V10.

在Rt△月或中，F(xiàn)B=4FM1-BM-=3.

由上可知，能以8M,BC,8尸所在的直線分別為X軸、y軸、Z軸建立如圖所示空間直角坐

則4-1,-1,0),5(0,0,0),尸(0,0,3),￡)(-1,3,0),￡(0,2,3),所以，25=(1,1,0),旃=(0,0,3),

55=(-1,3,0),前=(0,2,3),設平面尸的法向量為所=(再,如4),

m-AB=0fx+y.=0,

由一，得:可取應=(1,-1,0).

m^BF=0匕=0,

設平面的法向量為元=（%2，%/2）,

X

n-BD=OzB[~2+3%=°，

由，侍上2j—,可取元=(9,3,2).

n-BE=Q

濟?元—9—3_3而

因此，cos<m,

\m\-\n\V1+1-J81+9+447

依題意可知，平面45廠與平面。5E的夾角的余弦值為工巨.

47

17.（l）x+y+6=0或x+y-VJ=0

（2）證明見解析

【分析】（1）根據直線傾斜角得到直線的斜率，進而設直線方程，根據直線與曲線有一個交

點聯(lián)立方程組解得答案；

（2）設直線/為歹=丘+6,直線/與橢圓G只有一個公共點聯(lián)立方程組消元得2/一/+1=0,

-4kb

X1+X2=2FZT

直線與橢圓G交于48兩點，連立方程組結合韋達定理得,結合三角形面積

2b-4A

公式得答案；

丫2

【詳解】（1）因為直線/傾斜角為135。，直線/為"f+"因為橢圓G：5+/=I,

y=-x+b

直線/與橢圓C]只有一個公共點，聯(lián)立方程一,得39—2勿+/-2=0,

——+y=1

[2，

.?4=4/-12伍2-2）=0,力=±若,所以直線/為x+y+百=0或尤+y-a=0

y=kx+b

（2）因為直線/與橢圓q只有一個公共點，設直線/為＞=h+人由公,得

——+V=1

12，

2222

（2A：+1）x+4kbx+2b-2=0,A=16cV-4伴+1）笆_2）=o；.-b+1=0,

y=kx+b

又因為直線與橢圓Q交于45兩點f,得（2/+1）/+4物+2〃-4=0

[42

-4kb

國+%="71

所以：：：，因為直線/與歹軸交于點（0,6），所以岡再-X21

2P—42

所以%。B=加血司FT=2”仁事-4-券：

孚質不小殍聲m

18.(1)/(汾的單調減區(qū)間為：為-2)；單調增區(qū)間為：(F,0),(ln2,+o>)

(2)1個

【分析】(1)對函數求導，利用導數正負與原函數的關系求解即可；

(2)結合(1)間的單調性，求出函數“X)的值域，結合零點存在定理即可求解.

(3)將零點問題轉化為函數交點問題，求出〃x)在區(qū)間-1,；上的值域即可求解.

【詳解】(1)由題可得：f\x)=xex-2x=x(ex-2),

令廣a)=0,解得：x=0或x=ln2,

令/'(無)<0,解得：0<x<In2；

令/''(x)>0,解得：x<0或尤>ln2；

所以〃x)的單調減區(qū)間為：(0,ln2)；單調增區(qū)間為：(Y?,0),(ln2,+s)

(2)因為/(x)的單調減區(qū)間為：(0Jn2)；單調增區(qū)間為：(TO,0),(ln2,+oo),

由于〃0)=-1<0,則/(x)在(-*0)上無零點；

由于/(In2)=2(ln2-l)-(ln2)2<0,則/(x)在(O,ln2)上無零點；

由于/(2)=e2-4>0,則由x)在(In2,2)上存在唯一零點；

綜上，函數/(x)在R上存在唯一零點.

(3)若g(x)=/(x)-機在區(qū)間-1,|上有兩個零點，則函數y=/(x)與>=加在區(qū)間-1,1上

有兩個交點；

由(1)知，“X)在(-1,0)上單調遞增，(0,g)上單調遞減；

/(0)=-1<0,=/(-I),

所以函數了=/(x)與>=加在區(qū)間-I,：上有兩個交點，則-漁一!<機<T,

12」24

即g(x)=/(x)-加在區(qū)間上有兩個零點，則加的范圍為-豐-：，一“

19.(1)(2,+oo)

(2)不存在，理由見解析

(3)答案見解析

【分析】(1)根據題意得到2加-1>1,且(〃/+1)-2機>1,,再解不等式組即可；

(2)首先假設存在等差數列｛即｝符合要求，從而得到("-l)d<〃+2成立，再分類討論”=1和

〃>1的情況，即可得到答案.

(3)首先設數列｛%｝的公比為則根據題意得到

a?+i-a?=a“q-a“=a?(^-1)>1>0,從而得到;。2-；%為最小項，同理得到^出