浙江省寧波市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)分班考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

浙江省寧波市奉化中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期分班考試數(shù)

乙、上、口

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

一尤2—2ax—a,x<0

1.已知函數(shù)〃x）=工，八八在R上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

[e"+ln（x+l）,尤20

A.（-8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D,[0,+8）

2.“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數(shù)〃同=爐+6+6,若不等式/（無(wú)心2在無(wú)目1,5]上恒成立，則滿足要求的有序

數(shù)對(duì)（“M有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

4.已知。>0,6>0,且。+6=1,則下列不等式中恒成立的是（）

A.a2+b2<-B.2->!

22

C.log,a+log,b>-2D.4a+4b>41

5.已知集合4={(%,刈X2+、2<鼻,"2},B={(x,y^x\<2,\y\<2,x,yeZ}f定義集合

4e>3={（%+%2，乂+%）1（%，必）￡4（%2，%）￡3},則A十3中元素的個(gè)數(shù)為

A.77B.49C.45D.30

二、多選題

6.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名

flx為于甲卷^

的函數(shù)/（無(wú)）=；?工工中拈成為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于“X）,下列說(shuō)法正確的是（）

0,尤為無(wú)理數(shù)

A.VxeR,/(/(x))=l

B.函數(shù)/'(x)是偶函數(shù)

C.任意一個(gè)非零有理數(shù)T,/(x+T)=/(x)對(duì)任意xeR恒成立

D.存在三個(gè)點(diǎn)4(%"(尤1)),3>2"(工2))，。(了3，/(工3))，使得ZMBC為等邊三角形

7.已知函數(shù)〃無(wú))的定義域?yàn)镽,且了《卜°，若〃x+y)+〃x)/(y)=4孫，則(

)

C.函數(shù)/卜-:是偶函數(shù)D.函數(shù)/卜+；)是減函數(shù)

三、填空題

8.lx1+xy+y2=\,貝!+孫+2y?的最小值為.

9.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)

格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促

銷：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李

明會(huì)得到支付款的80%.

①當(dāng)下10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大

值為.

四、解答題

x—4

10.已知集合4={%|---->0},集合5=-24無(wú)￡2。+1}.

x+3

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求A和隔A)u5；

(2)若xeA是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

試卷第2頁(yè)，共2頁(yè)

參考答案:

題號(hào)1234567

答案BBBBCABCDABD

1.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因?yàn)榱刷嗽赗上單調(diào)遞增，且xNO時(shí)，〃x)=e'+ln(x+l)單調(diào)遞增，

------------>0

則需滿足2x(-1)解得一lVa40,

-a<e°+In1

即a的范圍是[TO].

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)必要不充分條件的定義即可求解.

【詳解】四邊形是平行四邊形不能推出四邊形是菱形，但是四邊形是菱形能推出四邊形是平

行四邊形，所以“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是菱形”的必要不充分條件.

故選：B.

3.B

-2<l+a+Z?<2,(l)

【分析】由題意有-2W9+3a+6W2,(2),通過(guò)分析得到a=-6,匕=7是滿足題意的唯一

-2<25+5a+&<2,(3)

解，注意檢驗(yàn).

【詳解】由題意若不等式(x)|V2在xe[1,5]上恒成立，

-2</(1)<2-2<l+a+b<2,(l)

則必須滿足-2V"3)42,即(-2V9+3a+bV2,⑵，

-2445)42-2425+5a+642,(3)

-2<-1-6Z-/?<2,(1)

rHJ')，兩式相力口得-448+2aW4n—2,(4),

[-2<9+3a+b<2,(2)

-2<-9-3a-Z?<2,(2)

再由，，兩式相力口得Y416+2a44=—104a4—6,(5),

-2<25+5a+/?<2,(3)

答案第1頁(yè)，共6頁(yè)

-2<-5+Z?<2,（l）

結(jié)合（4）,（5）兩式可知a=-6,代入不等式組得<-2V-9+b?2,（2）,

-24-5+642,（3）

解得6=7,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=-6,6=7時(shí)，/（x）=x2-6x+7=（x-3）2-2,

有"（x）L="1）="5）=2,"（ML"⑶=-2,滿足|?。﹟42在xe[1,5]上恒成立，

綜上所述：滿足要求的有序數(shù)對(duì)（。，切為：（-6,7）,共一個(gè).

故選：B.

-2</（1）<2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是首先得到-2V/（3）V2,進(jìn)一步由不等式的性質(zhì)通過(guò)

-24〃5）W2

分析即可求解.

4.B

【解析】直接利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】解：①已知a>0,b>0,且。+6=1,所以（°+4,,24+2加，則片+尻.；，故人錯(cuò)

誤.

②利用分析法：要證只需證明。一>>一1即可，即a>b-l,由于a>0,b>0,且

a+b=l,所以：a>0,Z?-l<0,故與正確.

2

③log2。+log2匕=log2ab?log2（-^y^）=-2,故。錯(cuò)誤.

④由于〃〉0,b>0,且a+Z?=l,

利用分析法：要證近成立，只需對(duì)關(guān)系式進(jìn)行平方，整理得〃+A+2j蕨,2,即

2疝,,1,故界，=等，當(dāng)且僅當(dāng)。=6=；時(shí)，等號(hào)成立.故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，

則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這

答案第2頁(yè)，共6頁(yè)

個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

5.C

【詳解】因?yàn)榧螦={（.r,y）l-v2+y2?l,x,yeZ},所以集合4中有5個(gè)元素（即5個(gè)點(diǎn)），

即圖中圓中的整點(diǎn)，集合A{（.v.r）l|.v|<2.|y|^2,.v,r<Z）中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)）：

即圖中正方形中的整點(diǎn)，集合/I98={（8+X2,乂+刈）|（8,乂）W4（X2,必）￡8}

的元素可看作正方形，寓曼褲;F%中的整點(diǎn)（除去四個(gè)頂點(diǎn)），即77-4=45個(gè).

6.ABCD

【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)：/（x）e{O,l},故〃=判斷=為偶函數(shù);

判斷了（x+7）=/（》）；取/當(dāng),01,8（0,1）,。［一當(dāng),。］為等邊三角形，得到答案.

\7IJJ

【詳解】VxG/?,/（x）e{O,l}.-./（/（x））=l,A正確；

為有理數(shù)/l,x為有理數(shù)一

"）-［o,T為無(wú)理數(shù)-］o,x為無(wú)理數(shù)一小）‘偶函數(shù)‘正確’

［1,尤+T為有理數(shù)1,尤為有理數(shù)

/（無(wú)+T）［。，尤+T為無(wú)理數(shù)C正確;

0,尤為無(wú)理數(shù)

易知4$018（0,1）,《與o］三點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，O正確;

故選：ABCD

答案第3頁(yè)，共6頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用能力.

7.ABD

【分析】對(duì)抽象函數(shù)采用賦值法，令苫=；、＞=0,結(jié)合題意可得〃0）=T,對(duì)A：令x=；、

y=0,代入計(jì)算即可得；對(duì)B、C、D：令、=-；，可得/卜-3］=-2苫，即可得函數(shù)/1x

及函數(shù)+g

函數(shù)的性質(zhì)，代入x=l,即可得了1

【詳解】令x=：、＞=。，則有了心

又/#0,故1+/(。)=0,即/(0)=-1,

令、1

x=gy=一-

-2

由〃0）=-1,可得了0,

又故/［一；］=。，故A正確；

令丁=一：，貝U有/1_）+/（司/］一切=4”（一切，

即/卜-J=-2x,故函數(shù)是奇函數(shù)，

有/［x+l-gj=-2（x+l）=-2x-2,gp/L+1j=-2x-2,

即函數(shù)是減函數(shù)，

令x=l，有/，］=-2xl=-2,

故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問(wèn)題，借助賦值法,得到/（0）=-1,

再重新賦值，得到再得到了［-J=-2x.

。-472+9

O.------------

7

2cos0cos3

【解析】根據(jù)條件等式可設(shè)》=飛=，丫=sin6-丁，代入所求式子，利用二倍角公式和

輔助角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出最值.

【詳解】2/+盯+丁=1,則生+工+孫+/=1,即（叵］+［-+y］=1,

答案第4頁(yè)，共6頁(yè)

%-2cos。.八cos。

=cos。,一+y=sin6,x=,y=sl

2^^/FW

2cos。

」.x2+xy+2y2=

4cos202sincos0八.2八

-------------------------------T=----+2sin/9

7幣

4f1+cos2%sin20

n-2-J~^7F+l-cos26

_159

sin26——cos28+—

一7777

二4fsin（28+（）+[,其中。是輔助角，且tane=（^,

當(dāng)sin（26+0）=-l時(shí)，原式取得最小值為-40+9.

-4加+9

故答案為:

7

2cos0cos0

【點(diǎn)睛】本題考查條件等式求最值，解題的關(guān)鍵是設(shè)了=^^，丫=sin。-一七-，利用三角

恒等變換化簡(jiǎn)可求出.

9.130.15.

【分析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的

問(wèn)題可得x的最大值.

【詳解】⑴x=10,顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.

（2）設(shè)顧客一次購(gòu)買(mǎi)水果的促銷前總價(jià)為'元，

y<120元時(shí)，李明得到的金額為yx80%,符合要求.

”120元時(shí)，有（y-x）x80%2yx70%恒成立，即8（y-x）Z7y,xU，即彳4點(diǎn)]=15元.

827min

所以X的最大值為15.

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)、數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,

以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

10.（1）A={x|x<-3或x>4},（^A）^B={x|-3<x<7}；（2）a<-2或a>6.

【解析】（1）當(dāng)。=3時(shí)，得出集合B,解分式不等式即可得集合A,再根據(jù)補(bǔ)集和并集的

運(yùn)算，從而可求出@