第06講 有理數(shù)的乘方（解析版）七年級數(shù)學下冊

第06講平行線的性質(zhì)課程標準學習目標①平行線的性質(zhì)掌握兩直線平行，同位角相等，并能夠靈活應用。掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，并能夠靈活應用。掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，并能夠靈活應用。知識點01平行線的性質(zhì)兩直線平行，同位角相等：①性質(zhì)內(nèi)容：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成兩直線平行，同位角相等。②符號語言：若AB∥CD，則∠NEB＝∠NFD兩直線平行，內(nèi)錯角相等：①性質(zhì)內(nèi)容：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。簡單說成兩直線平行，內(nèi)錯角相等。②符號語言：若AB∥CD，則∠AEM＝∠NFD兩直線平行，同旁內(nèi)角互補：①性質(zhì)內(nèi)容：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。簡單說成兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。②符號語言：若AB∥CD，則∠BEM＋∠NFD=180°【即學即練1】1．用一副三角板拼成如圖所示的形狀，使得兩個三角形的直角邊互相平行，則∠1與∠2相等的依據(jù)是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩直線平行，內(nèi)錯角相等 C．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 D．對頂角相等【分析】由兩平行線，內(nèi)錯角相等，即可得到答案．【解答】解：∠1與∠2相等的依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故選：B．【即學即練2】2．如圖，直線l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角頂點A在直線l上，頂點C在直線l2上，已知∠1＝25°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出∠2的度數(shù)即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠ACB+∠1＝30°+25°＝55°，故選：C．【即學即練3】3．如圖，直線a，b被直線c所截，若a∥b，∠1＝48°，則∠2的度數(shù)是（）A．148° B．138° C．142° D．132°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再由鄰補角的定義即可得出結論．【解答】解：∵a∥b，∠1＝48°，∴∠3＝∠1＝48°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣48°＝132°．故選：D．題型01根據(jù)平行線的性質(zhì)計算【典例1】如圖，a∥b，∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為（）A．48° B．42° C．138° D．52°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和對頂角相等解答即可．【解答】解：∵∠1＝∠3＝42°，a∥b，∴∠2＝∠3＝42°，故選：B．【變式1】如圖，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，則∠C＝（）A．10° B．20° C．30° D．40°【分析】根據(jù)鄰補角定義得出∠DAC＝80°，根據(jù)角的和差求出∠CAE＝30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解．【解答】解：∵∠DAC+∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，∴∠DAC＝80°，∵∠DAC＝∠DAE+∠CAE，∠DAE＝50°，∴∠CAE＝30°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝30°，故選：C．【變式2】如圖，∠ECD＝50°，點M是EC上一點，過點M作AB∥CD，若MF平分∠AME，則∠AMF的度數(shù)為（）A．60° B．55° C．70° D．65°【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠EMB＝∠ECD＝50°，于是利用平角的定義可得∠AME＝130°，再根據(jù)角平分線的定義即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠ECD＝50°，∴∠AME＝180°﹣∠EMB＝180°﹣50°＝130°，∵MF平分∠AME，∴∠AMF＝65°．故選：D．【變式3】如圖，AB∥DE，BC∥EF，若∠E＝118°，則∠B的度數(shù)為（）A．62° B．72° C．102° D．118°【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求得∠1＝50°，再兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠1＝∠B．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠1+∠E＝180°，∵∠E＝118°，∴∠1＝62°，∵BC∥EF，∴∠B＝∠1＝62°．故選：A．題型02平行線與直角三角板【典例1】如圖，將直尺與含45°角的直角三角形疊放在一起，若∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】根據(jù)余角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結論．【解答】解：如圖，∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，∵直尺對邊平行，∴∠1＝∠3＝55°．故選：C．【變式1】如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝60°15′，則∠2的大小為（）A．60°15′ B．39°45′ C．29°85′ D．29°45′【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3，進而利用互余解答即可．【解答】解：如圖，由直尺兩邊平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故選：D．【變式2】如圖，直角三角板的直角頂點放在直線b上，且a∥b，∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．25°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再由兩角互余的性質(zhì)求出∠2的度數(shù)即可．【解答】解：∵a∥b，∠1＝55°，∴∠3＝∠1＝55°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故選：A．【變式3】將等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如圖所示的方式擺放，點D在BC上，若AE∥BC，則∠DAC的度數(shù)是（）A．12° B．15° C．20° D．25°【分析】根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”求出∠CAE＝30°，再根據(jù)角的和差求解即可．【解答】解：∵AE∥BC，∠C＝30°，∴∠CAE＝∠C＝30°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE＝15°，故選：B．題型03平行線與折疊【典例1】如圖，紙片的邊緣AB，CD互相平行，將紙片沿EF折疊，使得點B，D分別落在點B'，D'處．若∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEB′＝80°，從而利用平角定義求出∠BEB′＝100°，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)進行計算即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠AEB′＝80°，∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，由折疊得：∠2＝∠FEB′＝∠BEB′＝50°，故選：A．【變式1】如圖，將矩形紙片ABCD沿BD折疊，得到△BC′D，C′D與AB交于點E．若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．35° D．55°【分析】已知四邊形ABCD是矩形，則可得AB∥CD，∠C＝90°；聯(lián)系折疊的性質(zhì)易得∠BDC′、∠DC′B的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)可求出∠ABD的度數(shù)；接下來在△BC′D中利用三角形內(nèi)角和即可求出∠2．【解答】解：由題意可知：∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABD＝∠1＝35°由折疊的性質(zhì)可知：∠BDC′＝∠1＝35°，∠DC′B＝∠C＝90°．∴∠2＝180°﹣∠DC′B﹣∠ABD﹣∠BDC′＝20°．故選：A．【變式2】如圖，矩形紙片ABCD，M為AD邊的中點將紙片沿BM、CM折疊，使A點落在A1處，D點落在D1處，若∠1＝32°，則∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°【分析】利用折疊的性質(zhì)，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度數(shù)．【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．故選：B．【變式3】如圖，將一條兩邊互相平行的紙帶折疊，下列正確的是（）A．若∠1＝∠2，則∠1＝40° B．若∠1＝∠2，則∠1＝55° C．若∠1＝2∠2，則∠1＝80° D．若∠1＝3∠2，則∠1＝108°【分析】先根據(jù)已知條件畫出圖形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證出∠ABC＝∠1，再由折疊性質(zhì)證出2∠2+∠1＝180°，最后按照證出的∠1和∠2的關系式，根據(jù)各個選項的中的已知條件，求出∠1的度數(shù)，進行判斷即可．【解答】解：如圖所示：由平行線的性質(zhì)可得：∠ABC＝∠1，由折疊性質(zhì)可得：∠CBD+∠ABD＝180°，即∠2+∠2+∠ABC＝180°，∴2∠2+∠ABC＝180°，∴2∠2+∠1＝180°，A．若∠1＝，則，∠1＝36°，故此選項不符合題意；B．若∠1＝∠2，則3∠1＝180°，∠1＝60°，故此選項不符合題意；C．若∠1＝2∠2，則4∠2＝180°，∠2＝45°，∠1＝90°，故此選項不符合題意；D．若∠1＝3∠2，則5∠2＝180°，∠2＝36°，∠1＝108°，故此選項符合題意；故選：D．題型04平行線間的拐點【典例1】如圖，直線m∥n，含有45°角的三角板的直角頂點O在直線m上，點A在直線n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．15° B．25° C．35° D．45°【分析】過B作BK∥m，推出BK∥n，由平行線的性質(zhì)得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．【解答】解：過B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故選：B．【變式1】如圖，直線m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，點C在直線n上．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．50° C．45° D．40°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性質(zhì)，即可求得∠2的度數(shù)．【解答】解：延長AB交直線n于點D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故選：D．【變式2】如圖，AB∥CD，則圖中∠1、∠2、∠3關系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先過點E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，繼而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：過點E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故選：D．【變式3】如圖，AB∥CD，則∠A、∠C、∠E、∠F滿足的數(shù)量關系為（）A．∠A+∠C+∠F＝∠E B．∠A+∠C+∠E+∠F＝360° C．∠A+∠C+∠E﹣∠F＝180° D．∠A+∠C﹣∠E+∠F＝180°【分析】過E作EM∥AB，過F作FN∥AB，得到EM∥FN∥CD，因此∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，得到∠MEF＝∠EFC﹣∠C，故∠AEM＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，于是得到∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．【解答】解：過E作EM∥AB，過F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴EM∥FN∥CD，∴∠A+∠AEM＝180°，∠MEF＝∠NFE，∠NFC＝∠C，∴∠C+∠MEF＝∠NFE+∠NFC＝∠EFC，∴∠MEF＝∠EFC﹣∠C，∵∠AEM＝∠AEF﹣∠MEF＝∠AEF+∠C﹣∠EFC，∴∠A+∠AEF+∠C﹣∠EFC＝180°．故選：C．【變式4】如圖，已知AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，點G，H在兩條平行線AB，CD之間，∠AEG與∠FHG的平分線交于點M．若∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，則∠M的度數(shù)為（）A．64° B．54° C．42° D．32°【分析】過點G，M，H作AB的平行線，容易得出∠AEG+∠GHF＝104°，EM和MH是角平分線，所以∠AEM+∠MHF＝52°，進一步求∠M即可．【解答】解：如圖所示，過點G，M，H作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB，∵AB∥CD．∴AB∥GN∥MP∥KH∥CD，∵GN∥AB．∴∠AEG＝∠EGN，∵GN∥KH，∴∠NGH＝∠GHK，∵KH∥CD，∴∠HFD＝∠KHF，∵∠EGH＝84°，∠HFD＝20°，∴∠AEG+∠GHF＝104°，∵EM和MH是角平分線，∴∠AEM+∠MHF＝52°，∵∠HFD＝∠KHF＝20°，∴∠AEM+∠MHK＝32°，∵MP∥AB∥KH，∴∠EMP＝∠AEM，∠PMH＝∠MHK，∴∠EMP+∠PMH＝32°，即∠EMH＝32°．故選：D．題型05平行線的判定與性質(zhì)求值【典例1】如圖，已知∠1＝∠2，下列結論正確的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠5 D．∠D＝∠5【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得結論．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，∴∠D＝∠5．故選：D．【變式1】如圖，已知a⊥c，b⊥c，若∠1＝65°，則∠2等于（）A．65° B．90° C．25° D．70°【分析】先根據(jù)a⊥c，b⊥c，可得a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠3，再根據(jù)對頂角的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：因為a⊥c，b⊥c，所以a∥b，所以∠1＝∠3＝65°，所以∠2＝∠3＝65°．故選：A．【變式2】如圖，直線a，b與直線c，d相交，已知∠1＝∠2，∠3＝76°，則∠4＝（）°A．76 B．104 C．114 D．14【分析】由∠1＝∠2，證出a∥b，由平行線的性質(zhì)即可得出∠4＝∠3＝76°．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4＝∠3＝76°，故選：A．【變式3】如圖，若∠1＝55°，∠3+∠4＝180°，則∠2的度數(shù)為（）A．115° B．120° C．125° D．135°【分析】由∠3+∠4＝180°，得到AB∥CD，推出∠5＝∠1＝55°，即可求出∠2＝125°．【解答】解：∵∠3+∠4＝180°，∴AB∥CD，∴∠5＝∠1＝55°，∵∠5+∠2＝180°，∴∠2＝125°．故選：C．題型06平行線的判定與性質(zhì)證明【典例1】將下面的解答過程補充完整：如圖，已知DE∥BC，EF平分∠CED，∠A＝∠CFE，那么EF與AB平行嗎？為什么？解：因為DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等①），因為EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分線的定義），所以∠CFE＝∠CEF（等量代換③），因為∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代換），所以EF∥AB（同位角相等，兩直線平行⑤）．【分析】先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得到∠DEF＝∠CFE，再根據(jù)角平分線得出∠DEF＝∠CEF，進而得到∠CFE＝∠CEF，再根據(jù)∠A＝∠CFE，即可得出∠A＝∠CEF，進而根據(jù)同位角相等，兩直線平行，判定EF∥BC．【解答】解：因為DE∥BC（已知），所以∠DEF＝∠CFE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等①），因為EF平分∠CED（已知），所以∠DEF＝∠CFE②（角平分線的定義），所以∠CFE＝∠CEF（等量代換③），因為∠A＝∠CFE（已知），所以∠A＝∠CEF④（等量代換），所以EF∥AB（同位角相等，兩直線平行⑤）故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，∠CFE．等量代換，∠CEF，同位角相等，兩直線平行．【典例2】如圖，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求證：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度數(shù)．【分析】（1）求出∠ABC+∠A＝180°，根據(jù)平行線的判定推出即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DBC，根據(jù)垂直推出BD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠EFC．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°【變式1】如圖，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．試說明∠B+∠F＝180°．請完善解答過程，并在括號內(nèi)填寫相應的理論根據(jù)．解：∵∠B＝∠BGD（已知），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴AB∥EF（平行于同一直線的兩直線平行）．∴∠B+∠F＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．【分析】由平行線的判定條件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行線的性質(zhì)即可得到AB∥EF，從而可證得∠B+∠F＝180°．【解答】解：∵∠B＝∠BGD（已知），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．∴AB∥EF（平行于同一直線的兩直線平行）．∴∠B+∠F＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．故答案為：AB；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；EF；同位角相等，兩直線平行；AB；EF；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．【變式2】請把以下證明過程補充完整，并在下面的括號內(nèi)填上推理理由：已知：如圖，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求證：∠B＝∠C證明：∵∠1＝∠2，（已知）又：∵∠1＝∠3，對頂角相等∴∠2＝∠3，（等量代換）∴AE∥FD同位角相等，兩直線平行∴∠A＝∠BFD兩直線平行，同位角相等∵∠A＝∠D（已知）∴∠D＝∠BFD（等量代換）∴AB∥CD內(nèi)錯角相等，兩直線平行∴∠B＝∠C兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【分析】先根據(jù)題意得出∠2＝∠3，故可得出AE∥FD，故∠A＝∠BFD，再由∠A＝∠D可得出∠D＝∠BFD，故可得出AB∥CD，進而可得出結論．【解答】證明：∵∠1＝∠2（已知），又∵∠1＝∠3對頂角相等，∴∠2＝∠3（等量代換），∴AE∥FD（同位角相等，兩直線平行），∴∠A＝∠BFD（兩直線平行，同位角相等）．∵∠A＝∠D（已知），∴∠D＝∠BFD（等量代換），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．∴∠B＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．故答案為：對頂角相等；∠3；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；∠BFD；AB，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式3】如圖，已知AD∥FE，∠1＝∠2．（1）試說明DG∥AC；（2）若∠BAC＝70°，求∠AGD的度數(shù)．【分析】（1）只要證明∠2＝∠DAC即可．（2）利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：（1）∵AD∥EF，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠DAC，∴DG∥AC．（2）∵DG∥AC，∴∠AGD+∠BAC＝180°，∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°【變式4】已知：如圖，點D，E，F(xiàn)分別是三角形ABC的邊BC，CA，AB上的點，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求證：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定方法證明即可；（2）設∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根據(jù)平角的定義列方程可得x的值，進而得出∠B的度數(shù)．【解答】解：（1）證明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）設∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．1．如圖所示，直線a∥b，直線l與a，b相交，若∠1＝110°，∠2的度數(shù)為（）A．110° B．55° C．70° D．80°【分析】由推出平行線的性質(zhì)推出∠1+∠3＝180°，又∠1＝110°，求出∠3＝70°，由對頂角的性質(zhì)得到∠2＝∠3＝70°．【解答】解：∵a∥b，∴∠1+∠3＝180°，∵∠1＝110°，∴∠3＝70°，∴∠2＝∠3＝70°．故選：C．2．如圖，直線l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝36°，則∠1+∠2的度數(shù)是（）A．66° B．72° C．78° D．82°【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得出結論．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝＝72°，∵直線l1∥l2，∴∠1+∠ABC+∠2+∠BAC＝180°，即∠1+72°+∠2+36°＝180°，∴∠1+∠2＝72°．故選：B．3．如圖，直線l1∥l2，Rt△ABC中，∠B＝60°，直角頂點A在直線l1上，頂點C在直線l2上，已知∠1＝25°，則∠2的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出∠ACB＝30°，得到∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°．由平行線的性質(zhì)推出∠2＝∠BCD＝55°．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°，∵∠1＝25°，∴∠BCD＝∠ACB+∠1＝55°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠BCD＝55°．故選：C．4．如圖兩直線m、n與△ABC的邊相交，且m、n分別與AB、BC平行．根據(jù)圖中所示角度，可知∠B的度數(shù)為（）A．52° B．58° C．70° D．72°【分析】由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可得出∠A和∠C的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得出∠B的度數(shù)．【解答】解：因為m、n分別與AB、BC平行，所以∠C+122°＝180°，∠A+110°＝180°，所以∠C＝58°，∠A＝70°，所以∠B＝180°﹣∠C＝∠A＝52°．故選：A．5．如圖，燒杯內(nèi)液體表面AB與燒杯下底部CD平行，光線EF從液體中射向空氣時發(fā)生折射，光線變成FH，點G在射線EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，則∠GFH的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．60° D．80°【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得∠FED＝∠GFB＝60°，然后利用角的和差關系進行計算，即可解答．【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，∴∠FED＝∠GFB＝60°，∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，故選：B．6．如圖，直線AB∥CD，GE⊥EF于點E．若∠EFD＝32°，則∠BGE的度數(shù)是（）A．62° B．58° C．52° D．48°【分析】過點E作AB的平行線HI，利用平行線的性質(zhì)即可求解．【解答】解：過點E作直線HI∥AB．∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，∴CD∥HI，∴∠HEF＝∠EFD＝32°，∵GE⊥EF于點E，∴∠GEF＝90°，∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，∵AB∥HI，∴∠BGE＝∠GEH＝58°．故選：B．7．如圖，直線a∥b，直線AB⊥AC，若∠1＝50°，則∠2＝（）A．30° B．40° C．45° D．50°【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠3＝∠1，根據(jù)垂直的定義和余角的定義列式計算得到∠2．【解答】解：∵直線a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∵直線AB⊥AC，∴∠2+∠3＝90°．∴∠2＝40°．故選：B．8．如圖，已知AB∥CD，BE，DE分別平分∠ABF和∠CDF，且交于點E，則（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180° C．2∠E+∠F＝360° D．2∠E﹣∠F＝180°【分析】過點E作EM∥AB，利用平行線的性質(zhì)可證得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED與∠BFD的關系．【解答】解：過點E作EM∥AB，如圖：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分線與∠CDF的平分線相交于點E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故選：C．9．圖1是長方形紙條，∠DEF＝α，將紙條沿EF折疊成折疊成圖2，則圖中的∠GFC的度數(shù)是（）A．2α B．90°+2α C．180°﹣2α D．180°﹣3α【分析】由折疊得∠GEF＝α，由長方形知FC∥GD，AE∥BG，從而得到∠FGD，再由平行線的性質(zhì)得到∠GFC的度數(shù)．【解答】解：由折疊和∠DEF＝α，得∠GEF＝α，由長方形得，C∥GD，AE∥BG，∴∠GFC+∠FGD＝180°，∠EFB＝∠DEF＝α，∴∠FGD＝∠GEF+∠EFB＝2α，∴∠GFC＝180°﹣2α，故選：C．10．平面鏡在光學儀器中有廣泛的應用．平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖①．一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則∠1＝∠2．如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD與AB平行，當∠ABM＝30°時，∠DCN的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】由題意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，根據(jù)平角的定義可求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠BCD的度數(shù)，從而求出∠DCN的度數(shù)．【解答】解：由題意得∠ABM＝∠CBO，∠BCO＝∠DCN，∵∠ABM＝30°，∴∠CBO＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠CBO＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝60°，∵∠BCD+∠BCO+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝60°，故選：C．11．為增強學生體質(zhì)，望一觀音湖學校將“跳繩”引入陽光體育一小時活動．圖1是一位同學跳繩時的一個瞬間．數(shù)學老師把它抽象成圖2的數(shù)學問題：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，則∠AEC＝35°．【分析】過E作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，進而可求解．【解答】解：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，故答案為：35°．12．如圖，把△ABC沿線段DE折疊，使點A落在點F處，BC∥DE，若∠A+∠B＝100°，則∠FEC＝20°．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，即可得到結論．【解答】解：由題意可得，∠AED＝∠DEF，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∠DEF＝∠EFC，∴∠C＝∠EFC，∵∠A+∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣100°＝80°，∴∠EFC＝80°，∵∠C+∠EFC+∠FEC＝180°，∴∠FEC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，故答案為：20°．13．如圖是兩把完全相同的長方形直尺，一把直尺壓住射線OB，且與射線OA交于點C，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，連接OP，已知∠POB＝40°，則∠ACP的度數(shù)是80°．【分析】根據(jù)兩把完全相同的長方形直尺，可知OP平分∠AOB，又∠POB＝40°，進而可得∠AOB的度數(shù)．再由長方形直尺可得CP∥OB，利用平行線的性質(zhì)可求解．【解答】解：由題意，得OP平分∠AOB，∴∠AOB＝2∠POB＝2×40°＝80°，由長方形直尺可知：CP∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝80°，故答案為：80°．14．如圖，∠1＝37°，∠2＝37°，∠D＝54°，那么∠BAE＝54°．【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵∠1＝37°，∠2＝37°，∴∠1＝∠2，∴AE∥CD，∴∠BAE＝∠D＝54°，故答案為：54．15．一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺ADE固定不動，將含30°的三角尺ABC繞頂點A順時針轉(zhuǎn)動至圖2位置的過程中，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則∠CAE其余符合條件的度數(shù)為60°或105°或135°．【例如：圖3，當∠CAE＝15°時，BC∥DE】．【分析】分四種情況進行討論，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)進行計算即可得到∠CAE的度數(shù)，再找到關于A點中心對稱的情況即可求解．【解答】解：如圖3，當BC∥DE時，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如圖，當AE∥BC時，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；如圖，當DE∥AB（或AD∥BC）時，∠CAE＝45°+60°＝105°；當DE∥AC時，如圖①，∠CAE＝45°+90°＝135°．綜上所述，旋轉(zhuǎn)后兩塊三角板至少有一組邊平行，則∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合條件的度數(shù)為60°或105°或135°，故答案為：60°或105°或135°．16．一副三角尺按如圖所示的方式擺放，∠B＝∠EDF＝90°，點E在AC上，點D在BC的延長線上，EF∥BC，∠A＝30°，∠F＝45°，求出∠CED的度數(shù)．【分析】由直角三角形的性質(zhì)求出∴∠ECB＝60°，∠FED＝45°，由平行線的性質(zhì)推出∠FEC＝∠ECB＝60°，即可求出∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝15°．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ECB＝90°﹣∠A＝60°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB＝60°，∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，∴∠FED＝90°﹣∠F＝45°，∴∠CED＝∠FEC﹣∠FED＝60°﹣45°＝15°．17．如圖，AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝∠E，求∠C的度數(shù)．【分析】根據(jù)AB∥CD，則∠A＝∠1＝40°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結論．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠1＝40°，∵∠C+∠E＝∠1，∠C＝∠E，∴2∠C＝40°，∴∠C＝20°．18．如圖，點M在CD上，已知∠BAM+∠AMD＝180°，AE平分∠BAM，MF平分∠AMC，請說明AE∥MF的理由．解：因為∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定義），所以∠BAM＝∠AMC（等量代換）．因為AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分線的定義）．因為MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥MF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【分析】根據(jù)角平分線的定義，平行線的判定定理完成填空即可求解．【解答】解：因為∠BAM+∠AMD＝180°（已知），∠AMC+∠AMD＝180°（平角的定義），所以∠BAM＝∠AMC（等量代換）．因為AE平分∠BAM，所以∠BAM（角平分線的定義）．因為MF平分∠AMC，所以∠AMC，得∠1＝∠2（等量代換），所以AE∥MF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）故答案為：已知；平角的定義；等量代換；∠BAM；角平分線的定義；∠AMC；∠1＝∠2；等量代換；AE∥MF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．19．