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文檔簡介
2025屆廣東清遠(yuǎn)市數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.72.直線l過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),則的最小值是A.10 B.9 C.8 D.73.已知是雙曲線的兩個焦點(diǎn),過點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn),若,則的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.4.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究,第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn),使得值的計(jì)算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.5.設(shè)集合,集合,則=()A. B. C. D.R6.設(shè)集合(為實(shí)數(shù)集),,,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.年某省將實(shí)行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B. C. D.9.設(shè),是兩條不同的直線,,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則10.已知集合,集合,則()A. B. C. D.11.已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B.3 C.4 D.512.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____.14.如圖,在矩形中,為邊的中點(diǎn),,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、(在線段上).由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.15.展開式中的系數(shù)為_______________.16.某市高三理科學(xué)生有名,在一次調(diào)研測試中,數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布,已知,若按成績分層抽樣的方式取份試卷進(jìn)行分析,則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知,分別是正方形邊,的中點(diǎn),與交于點(diǎn),,都垂直于平面,且,,是線段上一動點(diǎn).(1)當(dāng)平面,求的值;(2)當(dāng)是中點(diǎn)時,求四面體的體積.18.(12分)已知.(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若,,證明:.19.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會上,張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲,每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次,每個人擊中鼓則得積分100分,沒有擊中鼓則扣積分50分,最終積分以家庭為單位計(jì)分.已知張明每次擊中鼓的概率為,王慧每次擊中鼓的概率為;每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響,假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.(1)若家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機(jī),問張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機(jī)的概率是多少?(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用(百萬元)和產(chǎn)品銷量(萬臺)的具體數(shù)據(jù):月份56789101112研發(fā)費(fèi)用(百萬元)2361021131518產(chǎn)品銷量(萬臺)1122.563.53.54.5(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求出與的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(Ⅱ)該公司制定了如下獎勵制度:以(單位:萬臺)表示日銷售,當(dāng)時,不設(shè)獎;當(dāng)時,每位員工每日獎勵200元;當(dāng)時,每位員工每日獎勵300元;當(dāng)時,每位員工每日獎勵400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售(萬臺)服從正態(tài)分布(其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一),請你估計(jì)每位員工該月(按30天計(jì)算)獲得獎勵金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù):,,,,參考公式:相關(guān)系數(shù),其回歸直線中的,若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.21.(12分)(1)已知數(shù)列滿足:,且(為非零常數(shù),),求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)已知數(shù)列滿足:(ⅰ)對任意的;(ⅱ)對任意的,,且.①若,求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證:數(shù)列是等比數(shù)列,其中.22.(10分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范圍;(2)當(dāng)時,有兩個零點(diǎn),證明:.(參考數(shù)據(jù):)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)拋物線中過焦點(diǎn)的兩段線段關(guān)系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.【詳解】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知p=2因?yàn)橹本€l過拋物線的焦點(diǎn),由過拋物線焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)可知所以因?yàn)闉榫€段長度,都大于0,由基本不等式可知,此時所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)及其簡單應(yīng)用,基本不等式的用法,屬于中檔題.3、B【解析】
首先由求得雙曲線的方程,進(jìn)而求得三角形的面積,再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì),考查三角形的內(nèi)心的概念,考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.4、B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時,滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.5、D【解析】試題分析:由題,,,選D考點(diǎn):集合的運(yùn)算6、A【解析】
根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項(xiàng)進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項(xiàng);由于,所以,排除C選項(xiàng);由于當(dāng)時,,排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.8、B【解析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式,可得甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.9、D【解析】試題分析:,,故選D.考點(diǎn):點(diǎn)線面的位置關(guān)系.10、D【解析】
可求出集合,,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】解:,;.故選.【點(diǎn)睛】考查描述法、區(qū)間的定義,對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及并集的運(yùn)算.11、D【解析】試題分析:拋物線焦點(diǎn)在軸上,開口向上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn):本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評:拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到,可以簡化運(yùn)算.12、A【解析】
根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關(guān)系分別求得的值,即可比較各選項(xiàng).【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結(jié)合四個選項(xiàng)可知,只有正確.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1.【解析】
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.14、【解析】由題意,可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成;其中,圓柱的底面半徑為1,母線長為2;體積為;兩個半球的半徑都為1,則兩個半球的體積為;則所求幾何體的體積為.考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體的組合體.15、【解析】
把按照二項(xiàng)式定理展開,可得的展開式中的系數(shù).【詳解】解:,故它的展開式中的系數(shù)為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得分以上的概率,乘以可得.【詳解】解:,所以應(yīng)從分以上的試卷中抽取份.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)【解析】
(1)利用線面垂直的性質(zhì)得出,進(jìn)而得出,利用相似三角形的性質(zhì),得出,從而得出的值;(2)利用線面垂直的判定定理得出平面,進(jìn)而得出四面體的體積,計(jì)算出,,即可得出四面體的體積.【詳解】(1)因?yàn)槠矫妫矫?,所以又因?yàn)?,都垂直于平面,所以又,分別是正方形邊,的中點(diǎn),且,所以.(2)因?yàn)?,分別是正方形邊,的中點(diǎn),所以又因?yàn)椋即怪庇谄矫?,平面,所以因?yàn)槠矫妫云矫嫠?,四面體的體積,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,以及求棱錐的體積,屬于中檔題.18、(1)(2)見證明【解析】
(1)利用零點(diǎn)分段法討論去掉絕對值求解;(2)利用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.【詳解】(1)解:當(dāng)時,不等式可化為.當(dāng)時,,,所以;當(dāng)時,,.所以不等式的解集是.(2)證明:由,,得,,,又,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對值不等式問題的求解,含有絕對值不等式的解法一般是使用零點(diǎn)分段討論法.19、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)要積分超過分,則需兩人共擊中次,或者擊中次,由此利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意,當(dāng)家庭最終積分超過200分時,這個家庭就可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機(jī),所以要想領(lǐng)取一臺全自動洗衣機(jī),則需要這個家庭夫妻倆在兩輪游戲中至少擊中三次鼓.設(shè)事件為“張明第次擊中”,事件為“王慧第次擊中”,,由事件的獨(dú)立性和互斥性可得(張明和王慧家庭至少擊中三次鼓),所以張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺全自動洗衣機(jī)的概率是.(2)的所有可能的取值為-200,-50,100,250,400.,,,,.∴的分布列為-200-50100250400∴(分)【點(diǎn)睛】本小題考查概率,分布列,數(shù)學(xué)期望等概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識;考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)據(jù)處理,應(yīng)用意識.20、(Ⅰ)(Ⅱ)7839.3元【解析】
(Ⅰ)由題意計(jì)算x、y的平均值,進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;(Ⅱ)由題意計(jì)算平均數(shù)μ,得出z~N(μ,),求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率,計(jì)算獎金總數(shù)是多少.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?,,因?yàn)?,所以,所以;(Ⅱ)因?yàn)?,所以,故即,日銷量的概率為,日銷量的概率為,日銷量的概率為,所以獎金總數(shù)大約為:(元).【點(diǎn)睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,還考查了利用正態(tài)分布計(jì)算概率,進(jìn)而估計(jì)總體情況,屬于中檔題.21、(1);(2)①;②證明見解析.【解析】
(1)由條件可得,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì),即可得到所求充要條件;②當(dāng),,,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),化簡變形,即可得到所求結(jié)論.【詳解】解:(1),,且為非零常數(shù),,,可得,可得數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,可得,前項(xiàng)和為;(2)①若,可令,,且,即,,,,對任意的,,可得,可得,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,,可得,,即,又,即有,即,數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為;②證明:對任意的,,,,,當(dāng),,,可得,即以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列;同理可得以為首項(xiàng)、為公比的
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