2025屆上海市長寧區(qū)數(shù)學高二上期末復(fù)習檢測模擬試題含解析

2025屆上海市長寧區(qū)數(shù)學高二上期末復(fù)習檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過點且垂直于直線的直線方程是（）A. B.C. D.2．如圖，、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的點，是線段上靠近的三等分點，為正三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．若等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列的公比為（）A. B.C. D.4．經(jīng)過直線與直線的交點，且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.6．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.7．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，8．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（）A.1 B.2C.3 D.49．“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知拋物線的焦點為，為坐標原點，點在拋物線上，且，點是拋物線的準線上的一動點，則的最小值為（）.A. B.C. D.11．設(shè)雙曲線的實軸長為8，一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.12．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點P，則點P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：y2＝2px過點P(1，1):①點P到拋物線焦點的距離為②過點P作過拋物線焦點的直線交拋物線于點Q，則△OPQ的面積為③過點P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0④過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點，則直線MN的斜率為定值其中正確的是________.14．某古典概型的樣本空間，事件，則___________.15．命題“若實數(shù)a，b滿足，則且”是_______命題(填“真”或“假”).16．數(shù)列滿足，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某校高二年級共有男生490人和女生510人，現(xiàn)采用分層隨機抽樣的方法從該校高二年級中抽取100名學生，測得他們的身高數(shù)據(jù)（1）男生和女生應(yīng)各抽取多少人？（2）若樣本中男生和女生的平均身高分別為173.6、162.2厘米，請估計該校高二年級學生的平均身高18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，且，，.（1）求證：平面PAC；（2）已知點M是線段PD上的一點，且，當三棱錐的體積為1時，求實數(shù)的值.19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）（Ⅰ）寫出橢圓C的普通方程和直線l的傾斜角；（Ⅱ）若點P（1，2），設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值20．（12分）已知橢圓的離心率為，點是橢圓E上一點.（1）求E的方程；（2）設(shè)過點的動直線與橢圓E相交于兩點，O為坐標原點，求面積的取值范圍.21．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和22．（10分）已知是奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)所求直線垂直于直線，設(shè)其方程為，然后將點代入求解.【詳解】因為所求直線垂直于直線，所以設(shè)其方程為，又因為直線過點，所以，解得所以直線方程為：，故選：A.2、D【解析】根據(jù)橢圓定義及正三角形的性質(zhì)可得到\，再在中運用余弦定理得到、的關(guān)系，進而求得橢圓的離心率【詳解】由橢圓的定義知，，則，因為正三角形，所以，在中，由余弦定理得，則，，故選：D【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運算求解能力，屬于中等題.3、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，所以，解得，故選：D4、B【解析】求出兩直線的交點坐標，可設(shè)所求直線的方程為，將交點坐標代入求得，即可的解.【詳解】解：由，解得，即兩直線的交點坐標為，設(shè)所求直線的方程為，則有，解得，所以所求直線方程為，即.故選：B.5、A【解析】根據(jù)橢圓的標準方程求出，利用雙曲線，結(jié)合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標準方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出，，是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】函數(shù)有兩個零點等價于方程有兩個根，等價于與圖象有兩個交點，通過導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個零點，方程有兩個根，，分離參數(shù)得，與圖象有兩個交點，令，，令，解得當時，，在單調(diào)遞增，當時，，在單調(diào)遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫出函數(shù)的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.7、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B8、D【解析】利用等差數(shù)列下標和的性質(zhì)求值即可.【詳解】由等差數(shù)列下標和性質(zhì)知：.故選：D9、C【解析】根據(jù)兩直線平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【詳解】由于，所以，當時，兩直線重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C10、A【解析】求出點坐標，做出關(guān)于準線的對稱點，利用連點之間相對最短得出為的最小值【詳解】解：拋物線的準線方程為，，到準線的距離為2，故點縱坐標為1，把代入拋物線方程可得不妨設(shè)在第一象限，則，點關(guān)于準線的對稱點為，連接，則，于是故的最小值為故選：A【點睛】本題考查了拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題11、D【解析】雙曲線的實軸長為，漸近線方程為，代入解析式即可得到結(jié)果.【詳解】雙曲線的實軸長為8，即，，漸近線方程為，進而得到雙曲線方程為.故選：D.12、D【解析】根據(jù)題意知,所以,故點P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關(guān)于CD對稱，所以，故，可知點P的軌跡是橢圓.【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③④【解析】由拋物線過點可得拋物線的方程，求出焦點的坐標及準線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①；求出直線的方程與拋物線聯(lián)立切線的坐標，進而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進而可得在處的切線方程，從而判斷③；設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出的坐標，同理求出的坐標，進而求出直線的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線過點，所以，所以，所以拋物線的方程為：；可得拋物線的焦點的坐標為：，，準線方程為：，對于①，由拋物線的性質(zhì)可得到焦點的距離為，故①錯誤；對于②，可得直線的斜率，所以直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，解得，所以，故②正確；對于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對于④，設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線中可得，即，，直線的方程為：，代入拋物線的方程，可得，代入直線的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.14、##0.5【解析】根據(jù)定義直接計算得到答案.【詳解】.故答案為：.15、假【解析】列舉特殊值，判斷真假命題.【詳解】當時，，所以，命題“若實數(shù)a，b滿足，則且”是假命題.故答案為：假16、【解析】對遞推關(guān)系多遞推一次，再相減，可得，再驗證是否滿足；【詳解】∵①時，②①-②得，時，滿足上式，.故答案為：.【點睛】數(shù)列中碰到遞推關(guān)系問題，經(jīng)常利用多遞推一次再相減的思想方法求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）應(yīng)抽取男生49人，女生51人；（2）.【解析】（1）利用分層抽樣計算男生和女生應(yīng)抽取的人數(shù)；（2）利用平均數(shù)的計算公式計算求解.【小問1詳解】解：應(yīng)抽取男生人，女生應(yīng)抽取100-49=51人.【小問2詳解】解：估計該校高二年級學生的平均身高為.18、（1）證明見解析（2）3【解析】（1）證明出，且，從而證明出線面垂直；（2）先用椎體體積公式求出，利用體積之比得到線段之比，從而得到的值.【小問1詳解】證明：∵平面ABCD，且平面ABCD，∴.又因為，且，∴四邊形ABCD為直角梯形.又因為，，易得，，∴，∴.又因為AC，PA是平面PAC的兩條相交直線，∴平面PAC.【小問2詳解】由（1）知且，∴.又∵平面ABCD，.又∵，∴，∴點M到平面ABC的距離為，∴，∴.19、(I)見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用平方法消去θ得到橢圓C的普通方程為，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義求出直線的斜率，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）把直線的方程，代入中，利用直線參數(shù)方程的幾何意義求出直線的斜率結(jié)合韋達定理可得結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）消去θ得到橢圓C的普通方程為∵直線的斜率為，∴直線l的傾斜角為（Ⅱ）把直線的方程，代入中，得即，∴t1·t2＝4，即｜PA｜·｜PB｜＝420、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求解；(2)根據(jù)題意，直線l斜率存在，設(shè)其方程為，代入橢圓方程消去y得到關(guān)于x的二次方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，求出PQ長度，求出原點到l的距離，根據(jù)三角形面積公式表示出△OPQ的面積，利用基本不等式求解其范圍即可.【小問1詳解】由題設(shè)知，解得.∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當軸時不合題意，故可設(shè)，則，得.由題意知，即，得.從而.又點O到直線的距離，∴，令，則，，，所求面積的取值范圍為.21、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項公式即可得答