高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練：三個二次問題（二次函數(shù)、不等式、方程）

高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練—三個二次問題（二次

函數(shù)、不等式、方程）

1.解關(guān)于x的不等式：（1）/一（〃+l）x+〃VO,（2）2x2+mx+2>0.

2.設(shè)集合A={x|/+33三2-2x—1)},B={x|f一(2%—1)攵+F20},且A[B,試求左的取值

范圍.

3.不等式（川一2加一3）——（徵一3）x—1V0的解集為R,求實數(shù)機的取值范圍.

4.已知二次函數(shù)y=f+px+q,當yVO時，有解關(guān)于x的不等式qf+px

+1>O.

5.若不等式,/+qx+°〉o的解集為{X[2<X<4},求實數(shù)p與g的值.

P

6.設(shè)〃x)=/+"+4"0),若|/(0)M1,⑴卜1,/(—1)|41,試證明：對于

任意—IWXWI,<|/(x)|<|.

7.(經(jīng)典題型，非常值得訓(xùn)練)設(shè)二次函數(shù)/(%)=依2+班+&〃>0),方程/(%)—%=。

的兩個根%i，%2滿足0<匹<%2<，.當］￡(0,%)時，證明％v/(x)v%i.

8.已知關(guān)于x的二次方程x^+lmx+lm+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求機的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求機的范圍.

9.已知二次函數(shù)/OOuaf+fcv+c和一次函數(shù)g(x)=~bx,其中〃、Z?、c滿足a>b>c,a+b+c=O,(a,b,c

￡R)

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A、B；

(2)求線段A3在x軸上的射影A/i的長的取值范圍.

10.已知實數(shù)/滿足關(guān)系式log”——=loga(〃>0且

aa

⑴令t二4六求y力(%)的表達式；

(2)若x￡(0,2］時，)有最小值8,求〃和x的值.

11.如果二次函數(shù)y=mx1+(m—3)x^l的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m

的取值范圍.

12.二次函數(shù)中實數(shù)p、q、廠滿足一乙+"+-=0淇中”>0,求證：

m+2m+1m

m

(1M)<0；

m+1

(2)方程/(x)=0在(0,1)內(nèi)恒有解.

13.一個小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價P(元/件)之間的關(guān)系為尸=160—2x,生

產(chǎn)x件的成本R=500+30x元.

(1)該廠的月產(chǎn)量多大時，月獲得的利潤不少于1300元？

(2)當月產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？

14.已知a、b、c是實數(shù)，函數(shù)f(x)uax'+bx+c,g(x)=ax+b,當一

lWxWl時，|f(x)|Wl.⑴證明：|c|Wl；

⑵證明：當一IWxWl時，|g(x)|W2；

15.設(shè)二次函數(shù)/(X)=a/+0x+da〉0),方程/(x)-x=0的兩個根毛,巧滿足

0<Xj<x2<—.且函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=/對稱，證明：x0.

16.已知二次函數(shù)/(x)=a/+bx+l(。/eR,a>0),設(shè)方程/(x)=x的兩個實數(shù)根

為xx和x2.

(1)如果不<2</<4,設(shè)函數(shù)/(%)的對稱軸為x=%,求證：x0>-1；

⑵如果㈤<2,昆一再|(zhì)=2，求b的取值范圍.

17.設(shè)/(x)=3分之+2for+c.若Q+人+0=0,/(0)>0,求證:

丁「a

(I)〃>0且一2V—V—1；

b

(II)方程/(%)=()在(0,1)內(nèi)有兩個實根.

18.已知二次函數(shù)丁=a-+&x+c(a工0)的圖象如圖所示:

(1)試判斷abc及b2-4ac的符號;

(2)若|OA|=QB],試證明ac+i>+l=Ov

19.那為何值時，關(guān)于x的方程8x2+=0的兩根：

(1)為正數(shù)根；(2)為異號根且負根絕對值大于正根；(3)都大于1；(4)一根大

于2,一根小于2；(5)兩根在0,2之間。

20.證明關(guān)于x的不等式(呆-2)，+2丘+化-1<0與叱-五)x+丘+1>0,當

此為任意實數(shù)時，至少有一個桓成立。

21.已知關(guān)于x的方程--2爾+4/-6=0兩根為必/,試求

(所1)"-1)2的極值。

22.若不等式如+2Q<o對一切*恒成立,求實數(shù)m的范圍.

mx-mx—1

23.設(shè)不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<B}(0<a<B),求不等式cx2+bx+a<0的

解集.

答案：

1.解：⑴原不等式可化為：(X—Q)(x—1)<0,若a>1時，解為IVXVQ,若。>1時,

解為a<x<1,若a=l時,解為。

(2)△二機2—16.

①當m2-16>。即根<-4或加>4時，△>0.

-m-4m2-16-m+4m2-16

方程2/+如+2=0有二實數(shù)根：玉"，

原不等式的解集為L|x<一〃7療16或無>一m+3”-16

44

m

①當加二±4時，△=(),兩根為七=%——

若根=4,則其根為一1,原不等式的解集為卜|xeR,且x關(guān)-1}.

若加=-4,則其根為1,.?.原不等式的解集為{x|xeR,且xwl}.

②當一4(加<4時，方程無實數(shù)根.原不等式的解集為R.

2.解：A={x|[x-(3^-l)][x-(^+l)]>0},比較北一1?+1的大小，

因為(3無_1)_(無+1)=2/-1),

(1)當上>1時，3k~l>k+l,A={無仇\3左一1或x4k+1}.

(2)當k=l時，xeR.

(3)當人<1時，3A—1<左+1,A={x|x2左+1則V3左+1}.

B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式A=4/—4(r+左)=—4左，

(1)當上。時，A<0,xe7?.

(2)當人>0時，△<(),x&R.

(3)當k<0時，A〉。,x〈左一V—kE^jX2k+J-k.

故：當上上0時，由B=R,顯然有A。瓦

3k_i<k—~\1-k

當k<0時，為使需要<——nkN—l,于是kN—l時，40左

k+l>k+yl-k

綜上所述，k的取值范圍是：左二0或一1K左<0.

3..解：（1）當用2一2加一3=0,即根=3或m=-1時,

①若m=3,原不等式解集為R

②若m=—1,原不等式化為4x—1<0

.?.原不等式解集為｛尤I無<工=,不合題設(shè)條件.

4

（2）若浮一2H1-3W0,依題意有

m2—2m—3<0-1<m<3

BP1

A=(m—3)2+4(m2—2m—3)<0—<m<3

[5

1

——<m<3

5

綜上，當一時，不等式（蘇一2機一3）/—（?i—3）x—1<0的解集為R.

；，工2=；是方程x2+px+q=0的根,

4..解：由已知得沏

11

.?一p=-1+1q=-—x-

2323

1_1

"q~~6,，不等式qf+px+lX)

即—L+L+AO

66

.,.x2-6<0,-2<x<3.

即不等式G^+px+l>。的解集為｛xI—2<x<3].

5..解：由不等式工—+/+〃>o的解集為｛%12<x<4｝,得

P

2和4是方程+/+〃=o的兩個實數(shù)根，且工<0.（如圖）

解得P=-2-\/2,q=*V2.

6.解：:/(-1)=a-b+c,/(1)=a+b+c,/(0)=c,

?1?a=1(/(1)+/(-1)-2/(0))力=1(/(1)-/(-l)),c=/(O),

???/W=j+/(o)(i-x?)..??當—1K0時,

/(小|〃1)|?安+I〃T|?曰+|"0)|?”燈

<2!、(2、

X+XX-X2

+—^―+(Z11—冗)、

2J\27

-x2-x+1=-(%+—)2+—<—.

244

22

當0W尤WT時，/(耳K丁+1/(-1J-號+1/(0).|1-^2|

22/2、/2、

X+%X-xL2|%%—X+X2\

<++H=-+—+Z(11)

22\27</7

T+X+j-W/.

244

7.證明：由題意可知/(x)-x=^(x-xx)(x-x2)-

0<X<Xl<X2<—,〃(九一玉X九一九2)>0，

q

當%￡(0,匹)時，/(X)>X.

又/(%)_X]=a(X_X1)(X_12)+X_再=(%_/)(〃X_ax2+1)，

x-x1<0,-ax2+1>1-ax2>0,/(x)<xx,

綜上可知，所給問題獲證.

8.解：⑴條件說明拋物線1%)1+2加什2m+1與x軸的交點分別在區(qū)間(一1,0)和(1,2)內(nèi),

畫出示意圖，得

1

m<——

/(0)=2m+l<0,2

meR,

/(-1)=2>0,

<n<1

/(I)=4m+2<0,m<——,

/(2)=6m+5>0%

m>——

I6

51

——<m<——

62

/(0)>0,

(2)據(jù)拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，列不等式組，/I：。'

0<-m<1

1

m>——

2

1

m>一5，(這里0<—m<l是因為對稱軸x=-m應(yīng)在區(qū)間(0,1)內(nèi)通過)

m>1+血或m<1-V2,

-1<m<0.

9.(1)證明：由aX消去y得〃

y=-bx

3

22c22

d=4/?—4QC=4(—C)—4QC=4(Q2+GC+C2)=413+_)+—c]

*.*a+b+c=0,a>b>c,a>0,c<0

3

.,--c2>0,.\4>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點.

4

_27?c

(2)解：設(shè)方程OX2+Z?X+C=0的兩根為XI和X2,貝IX\+X2=——,X1X2=—.

aa

|A1B1|2=(X1—X2)2=(%l+X2)2—4處也

22

2b24c4b-4ac4(-tz-c)-4ac

~-2—2

aaaa

C2CC1、23

=44r[z(-)+-+1]=4[(-+-)2+-]

aaa24

*.*?>Z?>c,4z+Z?+c=0,6z>0,c<0

「1

a>—a—c>c,解得一金(一2,——)

a2

/(￡)=4[(￡)2+￡+i]的對稱軸方程是￡=一」.

aaaa2

u1

為減函數(shù)

a2

AIA1B1I2W(3,12),故|A向斤(V3,2V3).

10..解：(1)由loga-^=logf4得log/—3=logL310g刈

aa

由/=〃知x=log”,代入上式得x—3="g"'

XX

log^=x2—3x+3,即y=ax-3-￥+3(xWO).

33

(2)令u=x1~3x+3=(x--)2+-(xWO),則y=au

①若0V〃VI,要使廣〃"有最小值8,

33一

則"=(x——P+—在(0,2]上應(yīng)有最大值，但〃在(0,2]上不存在最大值.

24

33

②若要使產(chǎn)。"有最小值8,則〃=(x——>+―,x￡(0,2]應(yīng)有最小值

24

33-

??當X=—時，Uin=~。4

2m4

-、3

由“4=8得〃=16..??所求。=16尸一.

2

11.解：vy(o)=i>o

(1)當mVO時，二次函數(shù)圖象與X軸有兩個交點且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.

A>0

(2)當心0時，則,3-相解得OVmWl

^-^>0

、m

綜上所述，機的取值范圍是{m且加W0}.

、-r口口~m、ATI2/m、

12.證明：(I)小(--)=p[p(-------)+q(------)+r]

m+lm+1m+1

pmqr、pmp

=pm[r----------+----+一]=pm[r---------------------]

(m+1)m+1m(m+1)m+2

=2〃H〃S+2)-(，”+%

(m+l)2(m+2)

=pm2---------J--------，由于是二次函數(shù)，故.wo,又m>0,所以，pf(-m-)<o.

(m+1)(m+2)m+1

(2)由題意，得10)=哂l)=p+q+r

vyi

①當p<0時，由(1)知八----)<0

m+1

TT1

若廠>0,則大0)>0,又?----)<0,所以於)二0在(0,-------)內(nèi)有解；

m+1m+1

若rW04(J/(l)=p+q+r=p+On+D=(———-----—)+r=——-------—>0,

m+2mm+2m

又八一?一)<0,所以八x)=0在(二一,1)內(nèi)有解.

m+1m+1

②當pVO時同理可證.

13..解：(1)設(shè)該廠的月獲利為％依題意得

y=(160—2x)x—(500+30無)=-2爐+130%—500

由yN1300知一2爐+130;(—50021300

.,.^-65^+900^0).,.(尤一20)(無一45)忘0,解得20WxW45

，當月產(chǎn)量在20~45件之間時，月獲利不少于1300元.

(2)由(1)知y=—2f+130x—500=—2(x—^)2+1612.5

：尤為正整數(shù)，；.x=32或33時，y取得最大值為1612元,

當月產(chǎn)量為32件或33件時，可獲得最大利潤1612元.

14.解⑴|c|=|f(0)]Wl(因為0￡[—1,1]).

rf(0)=c,f(l)=a+b+c

(2)因為由＜

f(-l)=a-b+c

解得｛:

|b=-[f(1)-f(-1)],c=f(0)

所處x)=+f(-l)]-f(0：)L:

X*1,X-1

=—f(l)+—f(-l)-xf(0),

所以當一lWxWl時，

V+1X—1

Ig(x)I=H-f(D+—f(-i)-rf(o)

<|瑁IRl)I+要1f<-1)I+IxIIRO)|

15.解：由題意—x—ax2+(b—1)%+c.

它的對稱軸方程為九=互二1

-2a

由方程/(x)—X=0的兩個根毛,%2滿足o<X]<<)，可得

cb-11口b-1b-1

(J<X]<----<%2<-9且-------—%2---------，

—2QQ—2。—2。

.b-1b-11b-1

?.------X]=------<---------，

—2?！?au—2。

卜

即一—<七，而X=—g

a°la

故/<三.

16.解：設(shè)g（X）=/（九）一犬=。九2+（。-1）%+1,則g（%）=0的二根為七和

g(2)<。

(1)由〃>0及九1<2<%2<4,可得

S(4)>0’

4〃+2Z?—1<0

即\

16tz+4Z?-3>0

b3

3+3--------<0,

2a4a

即

-4-2--+—<0,

2a4〃

b

兩式相加得——<1,所以，/>—1;

2a

(2)由($―9產(chǎn)=(B)2-土可得2a+l=J(6_l)2+L

aa

又七九2=l>0，所以同號.

a

0<<2<x2x2<-2<<Q

.?.周<2,I%-再|(zhì)=2等價于<__________4_____________

2a+1=7(^-l)2+1-[2a+1=^(Z?-1)2+1

g⑵〉0g(-2)>0

即〈g(0)〉0或vg(0)>0

2a+1=也-1)2+12a+l=J3_l)2+1

17

解之得b<一或b>—.

44

17.證明：（錯誤!未找到引用源。）因為/（0）>0,/⑴>0,

所以。>0,3a+2Z?+c>0.

由條件a+8+c=0,消去人，得

a>c>0；

由條件a+b+c=O,消去。，得

a+b<0,2a+b>0.

故

a

（錯誤！未找到引用源。）拋物線/（%）=3af+2"+c的頂點坐標為

b3ac-b2

（一亮’3a，

b11b2

在—2〈一<—1的兩邊乘以——，得一<——<-.

a333a3

又因為/（0）>0"⑴>0,

72,2

，”力、a+c-ac

而/(----)二-------------<0,

3a3〃

bb

所以方程/（X）=0在區(qū)間（0,-土）與（-土』）內(nèi)分別有一實根。

3a3a

故方程/（x）=0在（0,1）內(nèi)有兩個實根.

18.解析：解本題主要是應(yīng)用拋物線的幾何特性（張口方向，對稱軸，截距，與x軸交點

個數(shù)）及函數(shù)零點（方程）的有關(guān)知識，即

（1）由拋物線張口方向、對稱軸位置、截距及與x軸交點個數(shù)，立即可得：a>0,

2

b<0rc<0rb-4ac>0

-b-Vi2-Aacs/1?])

ax2+8x+c=0Q『=--------------=|Q4|=|以

⑵由方程JO5|=-c,\OA\=\OB\結(jié)論

19.解析：關(guān)于方程根的討論，結(jié)合二次函數(shù)圖象與x軸的交點位置的充要條件即可

求：即設(shè)方程兩根為X1，X2則

rA>0

?再+芯2>0=749或冽225

1）［網(wǎng),通>°

rA>0

<X1+X2<0=$>?M<1

⑵l*〈0；

「△20

<五+X?>2=冽225

（3）S-1）（叼-2）>0.

rA>0

=>w>27

（x「2）（x「2）<0

4）

'△20

Xj+%>0