新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：三角函數(shù)與解三角形（2022-2023年高考試題）（原卷版+解析）

第3講三角函數(shù)與解三角形

選擇題

1.（2023?乙卷）已知函數(shù)/（x）=sin（ox+夕）在區(qū)間（工，二）單調(diào)遞增，直線(xiàn)x=工和x=2為函數(shù)y=/（x）

6363

的圖像的兩條對(duì)稱(chēng)軸，則/（-二）=（）

2.（2023?甲卷）"sin2a+sin2/=1”是“sine+cos/?=0"的（）

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

3.（2023?上海）已知々￡尺，^y=smx^.［a,2a］的最小值為力,在［2a,3a］的最小值為0,則下列情

況不可能的是（）

A.力〉0,%>。B.L<0,0v。C.5fl>0,^<0D-5fl<0,ta>0

=1±且，貝I]sin2=(

4.(2023?新高考II)已知2為銳角，COS6Z)

42

A3fB-1+君C3-75c-1+下

,884,4

5.(2023?新高考I)已知sin(a-￡)，cos6rsiny0=—,則cos(2cr+20=()

36

BD

A.Z-1C.---4

99

6.（2023?乙卷）在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若acosB—bcosA=c,且。=生，

5

則NB=()

A九3%D

A.——c.---f

1010

7.(2022?北京)已知函數(shù)/(x)=cos2X-sin2彳，則（）

A./（尤）在（_工，一工）上單調(diào)遞減

26

B.7（x）在（-?，忘）上單調(diào)遞增

C./（x）在（0,（）上單調(diào)遞減

D.y（x）在卷）上單調(diào)遞增

8.（2022?甲卷）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”.如

圖，是以O(shè)為圓心，Q4為半徑的圓弧，C是他的中點(diǎn)，。在上，CD_LAB.“會(huì)圓術(shù)”給出

CD2

的弧長(zhǎng)的近似值S的計(jì)算公式：s=AB+——.當(dāng)。4=2,ZAOB=60。時(shí)，s=（）

OA

O

人11-373口11-4^L9-3^C9-473

2222

9.(2022?新高考I)記函數(shù)/(x)=sin(①x+￡)+優(yōu)①>0)的最小正周期為T(mén).若且y=/(x)的

圖像關(guān)于點(diǎn)今，2)中心對(duì)稱(chēng)，則句)=()

35

A.1B.-C.-D.3

22

10.(2022?甲卷)將函數(shù)/(x)=sin(5+()(g>0)的圖像向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線(xiàn)C,若。關(guān)于y

軸對(duì)稱(chēng)，則0的最小值是()

A.-B.-C.-D.-

6432

11.(2022?新高考H)若sin(a+/?)+cos(a+/?)=2j5cos(2+&)sin/7,則()

4

A.tan(cr-/3)=\B.tan(a+4)=1C.tan(a-￡)=-lD.tan(^z+/7)=-1

12.（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)/（x）=sin（0x+?）在區(qū)間（。㈤恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（

)

二.多選題

_O77"

13.（2022?新高考II）已知函數(shù)/（x）=sin（2x+°）（0<e<萬(wàn)）的圖像關(guān)于點(diǎn)（手，0）中心對(duì)稱(chēng)，則（）

A.y（x）在區(qū)間（0,三）單調(diào)遞減

B.7（元）在區(qū)間（-套，詈）有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線(xiàn)x=必是曲線(xiàn)丫=/（%）的對(duì)稱(chēng)軸

6

D.直線(xiàn)y=*-x是曲線(xiàn)y=〃x）的切線(xiàn)

三.填空題

-JT1

14.（2023?乙卷）若。￡（0,—）,tan6=—,則sin?！猚os8=.

22

15.（2023?新高考H）已知函數(shù)/（x）=sin（s+0）,如圖，A,5是直線(xiàn)y=g與曲線(xiàn)y=/（4）的兩個(gè)交點(diǎn),

若||二2，則于（兀）=.

16.（2023?新高考I）已知函數(shù)/（%）=cos5-1儂＞0）在區(qū)間[0,2?]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則g的取值范

,,,,_

圍是.XG[0,2/r],函數(shù)的周期為——（①＞0）,cos〃四一1=0,可得cos&x=l,

co

17.（2023?甲卷）在AABC中，AB=2,NBAC=60。,BC=&,D為BC上一點(diǎn),4）為N54C的平分線(xiàn)，

貝！IAD=.

18.（2023?上海）已知AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊a=4,b=5,c=6,貝ijsin4=.

19.（2022?上海）函數(shù)/（x）=cos?x-sin?尤+1的周期為.

20.（2022?浙江）若3sintz-sin/=M,a+B=-,則sinc=竺。

2-10

21.（2022?北京）若函數(shù)/（x）=Asinx-括cosx的一個(gè)零點(diǎn)為工，則A=1

3

22.（2022?乙卷）記函數(shù)7?（MC3+⑼…，。＜…的最小正周期為T(mén).若”=*匹為?。?/p>

的零點(diǎn)，則。的最小值為.

四.解答題

23.（2023?乙卷）在AABC中，己知NBAC=120。，AB=2,AC=1.

（1）求sinZABC；

（2）若。為上一點(diǎn).且N54D=90。，求AADC的面積.

42_2

24.(2023?甲卷)記AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,已知---------=2.

cosA

(1)求)c；

/八tzcosB—Z?cosAba,…工n

(2)若-----------------=1,求AABC面積.

tzcosB+Z?cosAc

25.(2023?天津)在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=屈，b=2,ZA=120°.

(I)求sinB的值；

(II)求c的值；

(III)求sin(B-C)的值.

26.(2023?新高考H)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知AABC面積為百，D為BC

的中點(diǎn)，且AD=1.

TT

(1)若NADC=—,求tan5；

3

(2)若從+。2=8,求/?,c.

27.(2023?新高考I)已知在A4BC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

28.(2022?天津)在AABC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=&,b=2c,cosA=--.

4

(1)求c的值;

(2)求sin3的值;

(3)求sin(2A-B)的值.

29.(2022?浙江)在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=J5c,cosC--.

5

(I)求sinA的值；

(II)若b=ll,求AASC的面積.

30.(2022?北京)在AABC中，sin2C=A/3sinC.

(I)求NC；

(II)若6=6,且AABC的面積為6石，求AABC的周長(zhǎng).

31.(2022?乙卷)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,己知sinCsin(A-3)=sinBsin(C-A).

(1)若A=23,求C；

(2)證明：2a2=12+c21

32.(2022?新高考I)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知儂4=sm23

1+sinA1+cos2B

(1)若C=生,求3；

3

(2)求之￡的最小值.

33.(2022?新高考II)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長(zhǎng)的三

個(gè)正三角形的面積依次為邑，S3.已知E-$2+$3=等，sinB=1.

(1)求AABC的面積；

(2)若sinAsinC=,求6.

3

34.(2022?乙卷)記AA5c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

22

(1)證明:2az=b+c.

25

(2)若a=5,cosA=—，求AABC的周長(zhǎng).

31

第3講三角函數(shù)與解三角形（2022-2023年高考真題）

選擇題

1.（2023?乙卷）已知函數(shù)/（x）=sin（5+°）在區(qū)間（工，冽）單調(diào)遞增，直線(xiàn)％=工和彳=二

6363

5TT

為函數(shù)y=/（x）的圖像的兩條對(duì)稱(chēng)軸，貝I」/（-二）=（）

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可知工=二-生=工

2362

T=1，取6y>0,/.0)=—=2,

T

又根據(jù)“五點(diǎn)法”可得2x二+e=—e+2/br,keZ,

62

.cp—-------F2kji9左￡Z,

/./(x)=sin(2x-------F2左萬(wàn))=sin(2x------),

66

故選：D.

2.（2023?甲卷）“sin2c+sin2/7=l”是“sin<z+cosp=0”的（）

A.充分條件但不是必要條件

B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件

D.既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【解析】sin2a+sin2J3=l,可知sin/?=±cos<z,可得sine士cos/?=0,

所以“sin2a+sii?夕=1”是“sina+cos/?=0"的必要不充分條件,

故選：B.

3.（2023?上海）已知aeR,記丫=$111》在［a,2a］的最小值為、，在［2a,30的最小值

為6,則下列情況不可能的是（）

A.s。>0,>0B.5。<0,。<°C.$。>0，D.%<0,>0

【答案】D

【解析】由給定區(qū)間可知，a>0.

區(qū)間［〃,20與區(qū)間［2〃,3a］相鄰，且區(qū)間長(zhǎng)度相同.

取a.,則[a,2a]=[-,y],區(qū)間[2a,30=專(zhuān)申,可知s0>0,ta>0,故A可能;

取。=紅，則—],區(qū)間51

[a,2<z]=[—,[2a,3a]=[—,可知%>0,%<0,故

1212664

C可能;

取〃=衛(wèi)，貝打〃，［上，—］,區(qū)間［。，［必，—］,

20=230=可知力<0,%<0,故

66332

5可能.

結(jié)合選項(xiàng)可得，不可能的是L<0,>0.

故選：D.

4.(2023?新高考H)已知a為銳角，cosa=1十1,則Jsin4=(

)

42

A.U-1+A/53f

.----------cD,

8844

【答案】D

【解析】COSC=H3

4

貝Ucosa=1-Isin2—，

2

3一nrt.213_0_(府+122百

故2s沅2—=1-cosa=--------，即sin一

24281616

。為銳角,

.a_

sin——>0,

2

.a一1+布

sin—=

24

故選：D.

已知sin(a-0=Lcoscrsiny0=—,則cos(2a+2/7)=()

5.(2023?新高考I)

36

A.2D.-2

B.-c

99-49

【答案】B

【解析】因?yàn)閟in(a-7?)=sinacos/?-sin/?cosa=L,cos?sin/?=—，

36

所以sinacos/?=’，

2

112

所以sin(cr+4)=sinacos/?+sin/?cosa=—+—=—

2639

4i

則cos(2cr+2/?)=1—2sin2(cr+/?)=l-2x—.

故選：B.

6.(2023?乙卷)在AABC中，內(nèi)角A,B。的對(duì)邊分別是a,b,c,若acos5—5cosA=c,

且C=(,則ZB=()

A.—B.-C.—D.—

105105

【答案】C

【解析】由acosB—>cosA=c得sinAcosB—sin5cosA=sinC,

得sin(A—B)=sinC=sin(A+B),

BPsinAcosB—sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA,

即2sin5cosA=0,得sin5cosA=0,

在AABC中，sinbwO,

TT

二.cosA=0,即人=一，

2

則3=萬(wàn)一A-C=%一三一三=四.

2510

故選：C.

7.(2022?北京)已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2x,則()

A.7(無(wú))在(一會(huì)，一g上單調(diào)遞減

B./⑺在瑪，自上單調(diào)遞增

C./⑺在嗚)上單調(diào)遞減

D./(尤)在弓，卷)上單調(diào)遞增

【答案】C

【解析】/(%)=cos2x-sin2x=cos2x,周期丁="，

，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為K，^+M(^eZ),單調(diào)遞增區(qū)間為耳+左左，萬(wàn)+左萬(wàn)］伏eZ),

對(duì)于A,y(x)在(《，-令上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于3,y(x)在吁，0)上單調(diào)遞增，在(0噌)上單調(diào)遞減，故3錯(cuò)誤，

對(duì)于C,/(尤)在(0,會(huì)上單調(diào)遞減，故C正確，

對(duì)于O,7(x)在吁，學(xué)上單調(diào)遞減，在(9，&上單調(diào)遞增，故。錯(cuò)誤，

故選：C.

8.(2022?甲卷)沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)

度的''會(huì)圓術(shù)”.如圖，AB是以。為圓心，為半徑的圓弧，C是鈣的中點(diǎn)，。在

CD2

上，CDJ_AB.“會(huì)圓術(shù)”給出A3的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=A8+’.當(dāng)。4=2,

OA

NAOB=60。時(shí)，s=（）

AH-3A/3DH-4A/309-373「9-4月

2222

【答案】B

【解析】OA=OB=2,ZAOB=60°,:.AB=2,

C是AB的中點(diǎn)，。在AB上，CD±AB,

延長(zhǎng)DC可得O在。C上，CD=OD-OC=2-43,

小…空=2+^^=2+*=U^.

OA222

故選：B.

9.（2022?新高考I）記函數(shù)/（X）=sin（s+￡）+〃（切＞0）的最小正周期為T(mén).若＜n,

且y=/（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（當(dāng)，2）中心對(duì)稱(chēng)，則/吟）=（）

A.1D.3

【答案】A

【解析】函數(shù)/(%)=sin(s+e)+"3＞0)的最小正周期為T(mén),

4

則丁二二，由主＜丁＜九,得二＜二＜九，.?.2vgv3,

CD33CD

4TT

.y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(手，2)中心對(duì)稱(chēng)，「2=2,

且sin(—①+工)=0,貝!J—刃+工=左左，keZ.

2424

215

：.co=—*一一),keZ,取左=4,可得G=—.

342

/.f(x)=sin(—x+—)+2,貝！J/(—)=sin(—x—+—)+2=—1+2=1.

242224

故選：A.

10.(2022?甲卷)將函數(shù)/(x)=sin(5+g)(＜y＞0)的圖像向左平移!■個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲

線(xiàn)C,若C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則。的最小值是()

A.-B.-C.-D.-

6432

【答案】C

【解析】將函數(shù)/(尤)=sin(ax+2(。＞0)的圖像向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線(xiàn)C,

則C對(duì)應(yīng)函數(shù)為y=sin(o尤++3)，

C的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，，絲+生=左乃+工，k^Z,

232

即0=2%+!，kwZ,

3

則令左=0,可得。的最小值是1，

3

故選：C.

11.(2022?新高考H)若sin((z+￡)+cos(a+￡)=2應(yīng)cos(a+?)sin尸，貝U()

A.tan(a—4)=1B.tan(cr+/7)=1C.tan(a-￡)=-lD.tan(cr+/?)=-1

【答案】C

【解析】解法一：因?yàn)閟in(a+/7)+cos(a+/?)=2后cos(a+￡)sin/7,

所以J5sin(a+4+?)=2行cos(c+?)sin/,

yrrr

即sin(6r+Z?H——)=2cos(aH——)sinB,

44

所以sin(a+?)cos/?+sin/?cos(a+?)=2cos(a+￡)sin0,

rrjr

所以sin(a+—)cos/?-sin/?cos(c+—)=0,

jr

所以sin(a+--/?)=0,

jr

所以1+—/=左萬(wàn)，keZ,

所以a—/?二左左一?，

所以tan(a—6)二一1.

解法二：由題意可得，sinacos/?+cos6Zsin/?+cosacosj3-smasinf3=2(cosa-sina)sin/?,

即sinacos/?—cosorsin/?+cosacos+sincrsin=0，

所以sin(a-分)+cos(a-4)=0,

故tan(a-0=-l.

故選：C.

12.(2022?甲卷)設(shè)函數(shù)/(x)=sin(0x+g)在區(qū)間(0,萬(wàn))恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。

的取值范圍是()

【答案】C

【解析】當(dāng)GV0時(shí)，不能滿(mǎn)足在區(qū)間(0,1)極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，所以G>0；

函數(shù)/(x)=sin(?x+g)在區(qū)間(0,%)恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，

a)x-\-G)7tH---)，

3

57171_

----VCD7CH—,,37r，

23

求得

63

故選：C.

二.多選題

13.(2022?新高考H)已知函數(shù)/OsinQx+oXOv?！慈f(wàn))的圖像關(guān)于點(diǎn)喋，0)中心對(duì)

稱(chēng)，貝1()

A./(元)在區(qū)間(0,著)單調(diào)遞減

B./(x)在區(qū)間(-'，皆)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線(xiàn)尤=必是曲線(xiàn)y=/(x)的對(duì)稱(chēng)軸

6

D.直線(xiàn)y=等一無(wú)是曲線(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn)

【答案】AD

077"

【解析】因?yàn)?(x)=sin(2x+0)(0<0(萬(wàn))的圖象關(guān)于點(diǎn)(y-,0)對(duì)稱(chēng),

所以2x+(p=k兀,左￡Z,

所以9二左萬(wàn)一,，

因?yàn)镺<0V7T,

所以夕=夸

故/(%)=sin(2x+—),

A冗_(dá)2乃37c冗57r

令一<2x+——<——,解得-—<X<—,

2321212

故了(%)在(0,三)單調(diào)遞減，A正確；

/nILr、827r5冗、

XW(-----，------)，2%H-----￡(—，)，

1212322

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，故函數(shù)/(X)在區(qū)間(-展，詈)只有一個(gè)極值點(diǎn)，故3錯(cuò)誤;

令2尤+竺=上萬(wàn)+三，k^Z,得無(wú)=絲一二，kwz,C顯然錯(cuò)誤；

32212

27r

f(x)=sin(2x+-),

_27r

求導(dǎo)可得，/'(%)=2cos(2x+《-),

1TT

令/'(%)=—1，即cos(2x+—),解得尤=上萬(wàn)或%=耳+k兀*eZ)，

故函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)(0,半處的切線(xiàn)斜率為左=八=。=2cosy=T,

故切線(xiàn)方程為y-弓=-5-0),即>=一了+弓，故。正確.

直線(xiàn)y=等一X顯然與y=sin(2x+g)相切，故直線(xiàn)y=^-x顯然是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，故。正

確.

故選：AD.

三.填空題

**■TT1

14.(2023?乙卷)若。￡(0,—),tan6=—,則sin8-cose=.

22

【答案】一6.

5

【解析】6?(0,右)，tane=L=),

22元

.?.令x=2,y=l,設(shè)6終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)尸(2,1),

則r=|OP|=&+F=#,

貝!Jsin3-cos0=——=--7==--.

V575V55

故答案為：-好.

5

15.(2023?新高考H)已知函數(shù)/(x)=sin(s;+0),如圖，A,5是直線(xiàn)y與曲線(xiàn)y=f(x)

的兩個(gè)交點(diǎn)，若|AB|=三，則/(?)=__________.

6

11jr

由題意：設(shè)A&,-),B(X2,-),則％2-芯二%，

由y=Asin(〃zx+9)的圖象可知：

/、571*3cTC27z"tai-t.、2^^

①X?+夕一(69%+(ft)—------=,即—玉)=，

6633

「.0=4,

▼工/2萬(wàn)、./8?、八87r.j

j(3)=sin(——F(p)—09—(p—Kir9keZ,

即0=一1+左左，keZ,

觀察圖象，可知當(dāng)左=2時(shí)，0=—二滿(mǎn)足條件，

3

，/、.2萬(wàn)、百

...f（7i）=sin（Z4/1?—--）=一--.

故答案為：-走.

2

16.（2023?新高考I）已知函數(shù)/⑴=coss-13>0）在區(qū)間［0,2刈有且僅有3個(gè)零點(diǎn),

_OTT

則g的取值范圍是.XG［0,2加，函數(shù)的周期為——（G>0）,cos〃zx-l=0,

CD

可得cos〃zx=l,

函數(shù)/（x）=cos①X-13>0）在區(qū)間［0,271］有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

—rzpi-27^__27^

可得2——?2萬(wàn)<3——，

CDCD

所以2,0<3.

故答案為：［2,3）.

17.（2023?甲卷）在AABC中，AB=2,NBAC=60。,BC=&,。為3C上一點(diǎn)，AD為44c

的平分線(xiàn)，則AD=.

【答案】2.

【解析】如圖，?在AABC中，AB=2,ZBAC=60°,BC^^6,

BCAB

由正弦定理可得

sinABACsinZACB

9B

=也—個(gè),又ZBAC=60。，

ZACB=45°,ZABC=180°-45°—60。=75°,

又"）為NB4c的平分線(xiàn)，且NS4C=60。，

;.ZB4D=30。，又ZABC=75。，.-.ZADB=75°,

.".AD—AB—2.

故答案為：2.

18.（2023?上海）已知AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊a=4,b=5,c=6,則

sinA=.

【答案呼

【解析JQ=4,b=5,c=6,

1人…T甲，曰."2+c2—25+36—163

由余弦定理得，cosA=---------------=----------------=-

2bc2x5x64

又一AG（0,71），

..sinA>0,

sinA=Jl-cos2A=

故答案為：?

19.（2022?上海）函數(shù)/（尤）=cos2元-sir?%+1的周期為

【答案】n

［解析］/(x)=cos2x-sin2x+1

=cos2x-sin2x+cos2x+sin2x

=2COS2X

=cos2尤+1,

2?

——-71.

2

故答案為:71.

20.(2022?浙江)若3sina—sin/?=JT3,a+/3=~,貝Usinc二竺°

2—10

【答案】嚕；I

【解析】3sina—sinQ=Jii,a+0=g

/.3sindr-cosa=,

coso=3sina-JT5,

sin2a+cos2a=l,

sin2a+(3sin6r-V10)2=1,

解得sina=^0,Cos^=sin?=^

1010

on4

cos2/?=2cos2/?—1=2x-------1=—

1005

故答案為：嚕,I

21.(2022?北京)若函數(shù)/(x)=Asinx-若cos%的一個(gè)零點(diǎn)為工，則人=

3

【答案】1；-y/2.

【解析】函數(shù)/(x)=Asinx-百cosx的一個(gè)零點(diǎn)為工，「.—x—=0，

322

.".A=l

/(—)=2sin(---)=2sin(--)=-2sin—=-后，

1212344

故答案為：1；-叵.

22.(2022?乙卷)記函數(shù)f(x)=cos(s+。)(①>0，的最小正周期為T(mén).若

于(T)=當(dāng),x=^■為/(x)的零點(diǎn)，則。的最小值為.

【答案】3.

__l0-rr

【解析】函數(shù)/(X)=cos(s+9)(①>0,0<°〈萬(wàn))的最小正周期為7=——，

jr

所以f(x)=COS(GXH——).

因?yàn)椋?//(%)的零點(diǎn)，所以cos管+.=0,

故也^+—=+—,keZ,所以〃>=9左+3,keZ,

962

因?yàn)?>0,則。的最小值為3.

故答案為：3.

四.解答題

23.(2023?乙卷)在AABC中，已知N3AC=120。，AB=2,AC=1.

(1)求sinNABC;

(2)若。為3c上一點(diǎn).且440=90。，求AADC的面積.

【解析】(1)在AABC中，由余弦定理可知3c2=22+F—2X1*2XCOS120O=7,

BC=y/i,由余弦定理可得cosZABC=」+尸=—,

2x77x214

25721

又ZABCe(0,7i),sinZABC=-jl-cos2ZABC=

28-14

c

B

(2)由(1)知：cosZABC=^~

sinZABC=—

1414

/.tanZABC=—,-AD=—,:.AD=^-,

5255

.?.AAZX7的面積為、AZ)xACxsinNZMC」x拽xlxLg

225210

序2_2

24.（2023?甲卷）記AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知---------=2.

cosA

(1)求be；

(2)若竺2上誓4一2=1,求AABC面積.

?cosB+/7cosAc

【解析】(1)因?yàn)椤?-"=2"cosA=2bc=2,

cosAcosA

所以歷=1；

,八acosB-bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

?cosB+Z?cosAcsinAcosB+sinBcosAsinC

*2sin(A-B)sin3sin(A-B)-sinB.

所以----------；——=------；---------=1，

sin(A+B)sinCsinC

所以sin(A—B)—sinB=sinC=sin(A+B),

所以sinAcos5—sin5cosA-sinB=sinAcosB+sinBcosA,

即cosA=--，

2

由A為三角形內(nèi)角得4=也

3

AABC面積S=—Z?csinA=—xlx—

2224

25.（2023?天津）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.己知a=回，b=2,

ZA=120°.

（I）求sinB的值；

（II）求c的值；

（III）求sin（B-C）的值.

【解析】（I）a=屈，b=2,ZA=120°,

9近

mi|.DOsinA*2713

。國(guó)13

(II)0=5/39,b=2,ZA=120°,

貝iW+02一次-COSA=4+C2+2C=39,化簡(jiǎn)整理可得，(c+7)(c-5)=0,解得c=5(負(fù)

值舍去)；

(III)cosB=V1-sin2B=,

13

c=5,。=屈，ZA=120°,

73

l.csinAsX25713

貝mIi]sinCr=--------=—=一=----,

aV3926

故cosC=Jl-2c-3^^,

26

所以sin("C戶(hù)sin癡sC—inCcos八巫x返-也x迥一

1326261326

26.(2023?新高考H)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知A4BC面

積為名，。為3C的中點(diǎn)，且">=1.

…TT

(1)若ZADC=—,求tanB；

3

(2)若匕2+02=8,求b,C.

【分析】

(1)根據(jù)已知條件，推得鼠4c。=等，過(guò)A作AEL3C，垂足為E,依次求出AE,BE,

即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，求得AD=：(AB+AC),兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合三角形的面積公式，

即可求解.

【詳解】

(1))。為3c中點(diǎn)，S^c=V3,

AADE中，DE=L,AE=走，SMCD=--CD=—,解得CD=2,

22AA05222

:.BD=2,BE=~,

2

,,「AE2

故tanB=----=—

BE5

2

(2)AD=；(A8+AC),

AD=—(c2+/?2+2/?ccosA),

AZ)=1,b2+c2=89

貝>Jl=；(8+26ccosA),

.bccosA=—2@9

=G即*A=2石②，

由①②解得tanA=-百，

,2〃

A——,

3

.,.be=4>XZ?2+c2=8,

:.b=c=2.

27.(2023?新高考I)已知在AABC中，A+5=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

【解析】(1)?A+B=3C,A+B+C=7i,

/.4C=兀，

-4

2sin(A-C)=sinB,

/.2sin(A—C)=sin[7r—(A+C)]=sin(A+Q,

/.2sinAcosC—2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cosAsinC,

■?TsinA=3xfcosA,

/.sinA=3cosA,BPcosA=—sinA,

3

又，sinI2*4A+cos2A=1,/.sin2A+—sin2A=l,

9

解得sin2A=2,

10

又一Ae(0,7i),/.sinA>0,

.,sinA=^:

10

/八，八f“3屈1.A/10

(2)由(1)可知sinA=-------，cosAA=—smAA=------，

10310

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=x叵+叵上空,

1021025

AB

sinCsin8sinAsin￡

4

:.AC=50inB=5五金叵=2屈,5C=5后xsinA=50x^^=3君，

510

設(shè)AB邊上的高為/z,

則=—xACxBCxsinC,

22

/.-h=-x2y/l0x3y/5x—,

222

解得h=6,

即AB邊上的高為6.

28.(2022?天津)在AABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c.已知a=a,b=2c,

1

cosAA=——.

4

(1)求c的值；

(2)求sin5的值；

(3)求sin(2A-5)的值.

【解析】解(1)因?yàn)椤?#，b=2c,cosA=-—,

4

I人」以…―.Z?2+C2—4c2+C2—61

由余弦定理可rZ得F1cosA=---------------=--------5——二-一，

2bc4c24

解得：c=l；

(2)cosA=--,AG(0,TF),所以sinA=Jl-cos2A=@Z,

44

由b=2c,可得sinB=2sinC,

由正弦定理可得」一=—J,即