江蘇省某中學2023-2024學年高一年級下冊期末考試數(shù)學試題（含答案解析）

江蘇省武進高級中學2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知復數(shù)z滿足（2-i）z=5（i是虛數(shù)單位），Z的共輾復數(shù)為7,則ZN=（）

2.已知圓柱的底面半徑為2cm,體積為1271cm3,則該圓柱的表面積為（）

A.12兀cmB.16兀cmC.1871cmD.20兀cm

3.已知。力表示兩條不同的直線，見萬，7表示三個不同的平面，下列推理正確的是（）

A.aCB=a,buana〃b

B.acf3=a,aJlb=>/）〃/且”/￡

C.al/B,acy=a,0cy=b=allb

D.a11I/優(yōu)。ua,bua=a110

sin（28-兀）

已知點。（2,1）在角。的終邊上，則

1+sinfT-必

C.-2

5.已知事件45互斥，它們都不發(fā)生的概率為:，且尸（Z）=2P（5）,則尸（N）=（）

14-52

A.—B.-C.-D.一

3993

6.已知向量口不忑滿足同=W=1,同=6,且@+3+1=0,貝Ucos,-乙/靖=（）

133G37313

A.—B.—C.--D.——

14141414

7.已知某班級參與定點投籃比賽的學生共有20名，進球數(shù)的平均值和方差分別是4和3.6,

其中男生進球數(shù)的平均值和方差分別是5和1.8,女生進球數(shù)的平均值為3,則女生進球數(shù)

的方差為（）

A.3.2B.3.4C.3.6D.3.8

8.已知0<a<〃<W，cos2a+cos2/?+2=4cos（a+/?）+cos（a—〃），則（）

試卷第1頁，共4頁

兀7t

A.a+/3=-B.a+B=一

63

二、多選題

9.已知復數(shù)4/2,下列結論正確的是（）

A.㈤+HI=k+Z21

B.|馬4|=閡心|

C.若忖=5,則|二-2|的最小值為4

D.在復平面內(nèi)，z”Z2所對應的向量分別為應1,因，其中O為坐標原點，若西，區(qū)，

則卜+z2gzi-4|

10.在VN8C中，角48,C所對的邊分別為4c,下列說法正確的有（）

A.a=bcosC+ccosB

B.若/</+。2,貝IJV/5C為銳角三角形

C.若sin/l>sinS,則/

D.若cosZ>siM,貝IJV45。為鈍角三角形

11.已知四面體45C。的各個面都是全等的三角形，^AC=BC=3,AB=2,則下列選項正

確的是（）

A.直線力民S所成角為90。

3

B.二面角的余弦值為:

4

C.四面體/BCD的體積為竺4

3

D.四面體外接球的直徑為而

三、填空題

12.為估計某草場內(nèi)兔子的數(shù)量，使用以下方法：先隨機從草場中捕捉兔子100只，在每只

兔子的尾巴上作上記號后放回草場.再隨機從草場中捕捉60只，若尾巴上有記號的兔子共有

10只，估計此草場內(nèi)約有兔子只.

試卷第2頁，共4頁

13.已知函數(shù)/（無）=+sinare）COS5一>0)在[o,可有且僅有三個零點，則實

數(shù)。的取值范圍是

14.已知圓臺上下底面半徑分別為1,道，圓臺的母線與底面所成的角為45。，且該圓臺上下

底面圓周都在某球面上，則該球的體積為

四、解答題

15.某高中隨機調(diào)查〃名高一學生，并對這〃名學生的作業(yè)進行評分(滿分：100分)，根據(jù)

得分將他們的成績分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六組，制成如圖所

示的頻率分布直方圖，其中成績在[80,90)的學生人數(shù)為25人.

(1)求的值；

(2)估計這“名學生成績的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點值代替)和中位數(shù)(精確到

小數(shù)點后兩位).

16.在V48c中，角/,B,C所對的邊分別為。,6,c,而=(sin4sinS-sinC),為=(。+46-。)，且

m//n.

⑴求角C的值；

(2)若VN8C為銳角三角形，且c=l,求。+6的取值范圍.

3

17.甲和乙進行多輪答題比賽，每輪由甲和乙各回答一個問題，已知甲每輪答對的概率為了，

4

2

乙每輪答對的概率為§.在每輪比賽中，甲和乙答對與否互不影響，各輪結果也互不影響.

(1)求兩人在兩輪比賽中都答對的概率；

(2)求兩人在兩輪比賽中至少答對3道題的概率；

(3)求兩人在三輪比賽中，甲和乙各自答對題目的個數(shù)相等且至少為2的概率.

18.如圖，在四棱錐P-/BCD中，底面48co是邊長為2的菱形，N84D=60°QP4D是正

三角形，E為線段AD的中點.

試卷第3頁，共4頁

p

1:F

B

(1)若尸8中點為G,求證：EG〃平面PCD；

(2)若平面PAD1平面ABCD，點F為平面尸8上的動點,

①當點尸恰為PC中點時，求異面直線PD與BF所成角的余弦值;

②若點H是平面尸防內(nèi)的動點，求。"+EH的最小值.

19.已知42是單位圓上相異的兩個定點(。為圓心)，點C是單位圓上的動點且

0C=cosaOA+sinaOS卜e朗;直線/C交直線02于點M.

⑴求為.礪的值；

⑵設的=畫商=2就，

①用a來表示/與4；

②求乎”的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDCACABBBDACD

題號11

答案ABD

1.B

【分析】由復數(shù)的除法、乘法運算，結合共輾復數(shù)的概念即可求解.

/、55(2+i)".

【詳解】由(2-i)z=5,可得z=^y=(2T)(2+i)所以^=2-i

所以zN=5.

故選：B

2.D

【分析】根據(jù)圓柱的表面積和體積公式即可求解.

【詳解】設圓柱的高為力，

因為圓柱的底面半徑為2cm,體積為127rcm3,則圓柱的底面周長為2“=Mem,

V=sh=>4nh=12Knh=3cm,所以圓柱的表面積為4兀X3+2X4TI=12K+8K=207rcm2，

故選：D

3.C

【分析】對于A,B,在滿足條件時，可得到多種情況，故排除，對于D,可通過舉反例作圖

進行排除，對于C可利用線面平行的性質(zhì)推出結果.

【詳解】對于A,由an〃=a/utz可得6//a或。與。相交，故A錯誤；

對于B,由&C夕=a,a〃b可得6ua或bu/或6〃a,且6///，故B錯誤；

對于C,由cc/=a可得au/,因。///，且￡口，=6,由線面平行的性質(zhì)即得a//6,故

對于D,如圖。小尸=機，在平面a內(nèi)作a//加,6〃加,因a夕,6a夕,加u夕，故得?！ㄏ?

但a//〃不成立，故D錯誤.

故選：C.

4.A

答案第1頁，共13頁

【分析】利用誘導公式和二倍角公式化簡，再由三角函數(shù)的定義即可求得.

【詳解】由點尸(2,1)在角8的終邊上可得，tan*；,

sin(20-7i)-sin26-2sin0cos0sin。.1

--------------=---------=------------=-----=-tan0=——

貝"1?(711+cos262co^0cos。2

1+sm---zB

(2)

故選：A.

5.C

【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件的概率關系即可計算求解.

【詳解】由事件43互斥，且48都不發(fā)生為:1，則尸(NUB)=尸(4)+尸(8)=l-1w=2w，

§33

??4

又尸(/)=2尸(8),所以2P⑻+尸(8)=§,解得尸(8)=3，尸(，)=§,

所以p(4)=l-2(/)=§.

故選：C.

6.A

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出鼠6、那己、鼠?，即可求出(，田卡-己)、B-可、BT，

再根據(jù)夾角公式計算可得.

【詳解】由題意得5+力=-g，則0+斤=｝有12+2)石+/=(百)2,解得

又由段=R,則(3+亨=必有12+2存"(后=12,解得鼠己=一?

一3

同理可得人七二-巳，

2

12

所以(3_?＞伍_己)=々石_展？_鼠己+己2=一,

故選：A

7.B

【分析】設男生人數(shù)為加＞0,女生人數(shù)為〃＞0,根據(jù)平均數(shù)可得加=〃，再結合方差公式

運算求解.

答案第2頁，共13頁

【詳解】設男生人數(shù)為機>0,女生人數(shù)為">0,

且進球數(shù)的平均值和方差分別是（=4和$2=4,其中男生進球數(shù)的平均值和方差分別是

鼻=5和s；=1.8,女生進球數(shù)的平均值和方差分別是兀=3和學,

由平均數(shù)可得x=--—（mxx+nxA,即4=—!—（5加+3”），解得加=",

m+n''m+n

由方差可得S?=

即3.6=J[1.8+（5_4）〔+；[s；+（3_4）]，解得s；=3.4.

故選：B.

8.B

【分析】利用兩角和差的余弦公式化簡已知等式，可得[2cos（a+夕）7][cos（a-￡）-2]=0,

求出cos（a+夕）=；，即可求得答案.

【詳解】由題意知0<a<力<m，cos2a+cos2，+2=4cos（a+，）+cos（a—，）,

故cos[（6Z+夕）+（a—/?）]+cos[（a+/?）-（a-夕）]+2=4cos（a+/?）+cos（a-/7）

即2cos（a+0）cos（a-尸）+2=4cos（a+夕）+cos（a-尸）,

即[2cos（a+4）-l][cos（o—/?）-2]=0,

故2cos（。+/）一1=0或cos（a—/?）—2=0（舍去），

]兀

即cos（a+/?）=—,而0<a<夕<5，故0<a+夕<兀，

故a+夕=|>

故選：B

9.BD

【分析】A,C通過舉例進行判斷，B由復數(shù)模及復數(shù)的乘法進行判斷，D由向量加法和減法

的幾何意義進行判斷.

【詳解】對于A,設4=1/2=-!,則㈤+兇=2,B+Z2|=O,因此選項A錯誤；

對于B,設馬=c+di/2=m+加,〃￡R）,

貝UH?z2|=+di）?（加+叫卜卜加-而）+[cn+加川

=?。╟m-dnj+（十〃+d加J=J（8+儲）（病+"），

答案第3頁，共13頁

又團憶|=](02+/)(冽2+叫,則匕1?卜團憶|,因此選項B正確;

對于C,設z=5,則Z-2=3,止匕時|z-2|=3,因此選項C錯誤;

對于D,若鬲，區(qū)，則復平面內(nèi)以有向線段西和區(qū)為鄰邊的平行四邊形是矩形,

根據(jù)矩形的對角線相等和復數(shù)加法、減法的幾何意義可知，選項D正確.

故選：BD.

10.ACD

【分析】作圖分析，結合解直角三角形判斷A；利用余弦定理判斷B；利用正弦定理判斷C；

利用誘導公式以及余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D。

【詳解】對于A,在V/BC中，作3c于D,

則=+,即a=ccos5+6cosC,a=bcosC+ccosB,A正確;

對于B,由。2</+。2得cos/=U1>o,

2bc

結合/€(0,兀)，可知/為銳角，但不能確定2,C角的大小，

故不能確定V/3C為銳角三角形，B錯誤;

對于C,若sirt4>sinS,由正弦定理可得。>b,則N>8,C正確；

對于D,若cos/>sin8,由于sinB>0,;.cos/>0,則/為銳角；

若2為銳角，則cosN>cos(]-8j,可得/<]一2,則/+臺<；,二c>；,

故VA8C為鈍角三角形；

若8為鈍角，則cos/>cos[8-V],可得工，則8>/+工，適合題意,

此時VN2C為鈍角三角形；

綜合以上可知V4BC為鈍角三角形，D正確，

故選：ACD

11.ABD

【分析】對于A：由線面垂直即可判斷；對于B：由線面垂直結合余弦定理即可求解；對于

C：由同角的三角函數(shù)，棱錐的體積公式，三角形的面積公式即可求解；對于D：補入長方

答案第4頁，共13頁

體中，求出長方體外接球半徑即可求解.

【詳解】對于A：取N8的中點E,連接C￡,DE,由題意四面體/BCD的各個面都是全等

的三角形，

可得CE/4B,DE1AB,又CEppE=E,CE,DEu平面CDE,

所以A8_L平面CDE,因為COu平面CDE,

所以所以CD所成角為90。，故A正確;

對于B：取A8的中點E,連接CE,DE,則DE1AB,

所以/CDE為二面角C-48-。的平面角，

在ACDE中，CE=DE=2V2>CD=2,

由余弦定理可得cosNCED==V故B正確；

2CA-DE2x272x2A/24

對于C:由B可得sinNCED==.,

由=*8+=鞏3=2x2宓2匹sinNCED'g，故C不正確;

對于D：將四面體放入長方體中，如圖可得長方體與四棱錐共球，所以外接球半徑一樣,

設外接球半徑為"所以"一坨，故D正確.

故選：ABD.

12.600

【分析】利用簡單隨機抽樣，結合樣本估計總體可解.

【詳解】假設草場約有〃只兔子，貝iJE=矢，貝i]〃=600.

n60

故答案為：600.

答案第5頁，共13頁

【分析】由降幕公式及輔助角公式可得函數(shù)的解析式/(x)=sin12o尤+三由xe[0,7t],得

71717r7T

2cox+yGp2^jr+—,由零點的個數(shù)，可得3兀W2G兀+1<4兀，可求。的取值范圍.

【詳解】/(、)=(百coS5+sins:)cos@:-^^=?cos%Y+singcos?:一^―

V3\1.661.兀)

=——(1+coscox)+—sin20cox-----=-cos2ox+-sin2ox=sin\La)x+—,

2v72222C3J

.「八q._7T7t_7T

由G＞0,X￡［0,兀］時，1CDX+—G—,7l+—,

/(x)在［0,n］有且僅有三個零點，則有3兀V2o兀+］＜4兀，解得gvov%

-411、

所以實數(shù)。的取值范圍是-

故答案為：3'6)

32TI

14.——

3

【分析】根據(jù)圓臺上下底面半徑以及夾角之間的關系，找到球心位置求出球的半徑尺=2,

即可求得該球的體積.

【詳解】如下圖所示：圓臺。。1,BC為母線,于點A,

則圓臺上下底面半徑分別為QC=1,05=73,

圓臺的母線與底面所成的角為45°,即NABC=45°,可得OQ=/8=。4=百一1＜。3,

設該球的球心為。'，不妨取。。'=》，球的半徑為五,

由勾股定理可得(OQ+X)2+12=X2+V32=7?\解得x=1;

43?

因此尺=2,則該球的體積為憶=彳兀叱=

33

故答案為：于32兀

15.⑴4=0.015,n=100

答案第6頁，共13頁

(2)平均數(shù)為72,中位數(shù)73.33

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求解即可；

(2)利用平均數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】(1)由題意可得，〃s=ioo,

0.025x10

10x(0.005+a+0.02+0.03+0.025+0.00^=1,

解得a=0.015.

(2)平均數(shù)為(45x0.005+55x0.015+65x0.02+75x0.03+85x0.025+95x0.005)x10=72.

因為(0.005+0.015+0.02)x10=0.4,(0.005+0.015+0.02+0.03)x10=0.7,

所以中位數(shù)在(70,80)之間，設中位數(shù)為x,

則(0.005+0.015+0.02)x10+(%-70)x0.03=0.5,

解得x。73.33.

兀

16.(l)C=y;

⑵(百，2]

【分析】⑴由題意知成〃萬，則$1必(。-6)+卜1118-5出。乂6+。)=0,根據(jù)正弦定理邊角互

化，可求出邊的關系，再根據(jù)余弦定理可求解；

(2)根據(jù)銳角三角形可求出各個角的范圍，再根據(jù)正弦定理可求得6的表達式，再根據(jù)三

角函數(shù)積化和差，由角的取值范圍可求得.

【詳解】(1)因為所=(sin4sinS-sinC),力=(c+6,6-a),且應〃為，

所以sinA(a-6)+(sinS-sinC)(6+c)=0

利用正弦定理化簡得：a(a-b)+(b-c)(b+c)=0^a2+b2-c2=ab,

由余弦定理可得cosC=,

lab2

又因為Ce(O,兀)，所以C=g；

答案第7頁，共13頁

(2)由(1)得/+8=手27r，即8=寧27r一N,

又因為三角形N8C為銳角三角形,

八2兀,兀

0<-----A<—

3971,71

所以,解之得:

八/兀62

0<A<—

2

a_b_c_1_2

因為。=1,由正弦定理得：sirUsinBsinC6,

所以。=-^=rsiiL4,bsin^,

匚匚2K2.2.2.2.「兀i1兀、

vf\vLa+b=—f=siii4d——T=SIY\B=—^sirwH——j=sinA￡2smz+—

V36出613廠I6,

r71,71bl、I兀/兀271

m因A為工<4<Z，所以；<4+7<-

62363

所以6<2加卜+￡卜2,貝h+b的取值范圍為(由目

17.⑴；

(2)1

⑶!1?

【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算即可；

(2)兩人分別答兩次，總共四次中至少答對3道題，分五種情況計算可得答案；

(3)分甲和乙均答對兩個題目、均答對三個題目兩種情況計算即可.

【詳解】(1)依題意，設事件"甲兩輪都答對問題"，N="乙兩輪都答對問題”,

1Qo774

所以尸(M)=—x—=一，尸(N)=—x—=—.

V74416'，339

因為事件相互獨立，

a41

所以兩人在兩輪比賽中都答對的概率為p(M?v)=p(M)尸(N)=^X§=7

(2)設事工="甲第一輪答對"，8="乙第一輪答對”，

C="甲第二輪答對"，。="乙第二輪答對”，

E="兩人在兩輪比賽中至少答對3道題”，

則E=ABCDuABCDuABCDuABCDuABCD，

由事件的獨立性與互斥性，

答案第8頁，共13頁

可得P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=?(4)尸(8)尸(。)尸(。)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(班P(C)P(D)+P(A)P(B)P

（C）P（D）+P（A）P（B）P（C）P①）.

323212323132321232312

=—X—X—X—+—X—X—X—HX—X—X—+—X—X—X—+—X—X——X—二—

434343434343434343433

2

故兩人在兩輪比賽中至少答對3道題的概率為1.

（3）設事件4,4分別表示甲三輪答對2個，3個題目，

當,凡分別表示乙三輪答對2個，3個題目，

則尸⑷=3!2號尸（4）=：；=>

尸㈤）=3x洛x*"）=0=M

設事件Q=“兩人在三輪比賽中，

甲和乙各自答對題目的個數(shù)相等且至少為2”，

則。=4層u4與，且4,4血，層分別相互獨立，

27427S

所以p（o）=尸（應與）+尸（4名）=尸（a）p㈤）+P（4）尸（員）=/X§+RX為

5

-16,

所以兩人在三輪比賽中，甲和乙各自答對題目的個數(shù)相等且至少為2的概率為盤.

16

18.（1）證明見解析

（2）?—；

205

【分析】（1）根據(jù)中位線可得線線平行，即可證明四邊形EG0O為平行四邊形，可得EG//。。,

即可由線面平行的判定求證，

（2）①作輔助線，根據(jù)平移法找到異面直線尸。與3尸所成角，解三角形即可求得其余弦值；

②根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)說明當酒'LPC時，NF最短,此時，點石在棱BP上，然后通過解

三角形求得相關線段長.

【詳解】（1）取PC中點。，連接。。，

答案第9頁，共13頁

?.?后為線段/。的中點，,6?！?<7,6。=：3。,

VDE//BC,DE=-BC,:.DE//GQ,DE=GQ-

2~~

四邊形EG0D為平行四邊形，二EG〃。。，

???EG<z平面PCD,。。u平面PCD

EG//平面PCD.

(2)①取CD的中點M,連接

?.?尸為尸C中點，MF//PD,MF=-PD=1,

2

ZBFM就是異面直線BF和PD所成的角或所成角的補角.

,-,平面PAD1平面ABCD,

平面PADC平面ABCD=AD,PE±AD,ADu平面ABCD,

PE1平面ABCD,BEu平面ABCD,PE1BE

■：菱形ABCD的邊長為2,/BAD=60°,

:.^PAD與AABD^BCD是全等的正三角形,

分別為CD、/。的中點，

PE=BE=BM=5

在Rt△尸BE中，陽=yjPE2+BE2=V6>

在RtAPBC中，PC7PB°+BC?=回，

PC_屈

1+--3

+BF°-BM?2Vio

在ABMF中,cosZBMF-

2MF-BF、?Vio

2xlx-----

2

答案第10頁，共13頁

②T4D_LPE,AD±BE,PEnBE=E.PE,BEu平面PBE,

「.40_1平面尸跖，

又???E為線段40的中點，

:.DH=AH,

:.DH+FH=AH+FH,

.??要使。H+FH最小只需AF最短即可，即為A點到面PCZ)的距離力.

在中，PC=A,PD=PC=2,

PCFC

在RbTVFC中，cosZFCN=——二——

NC4

/.—x^3x—x2x2

3223

DH+FH的最小值為之叵

19.(1)0

⑵①

1-COS6Z

【分析】（1）對反=cosa次+sina歷兩邊平方化簡可求出而?礪的值；

（2）①結合已知條件利用向量的加減法法則將兩用方表示，再結合兩=/瓦，列

方程組可用。來表示I與2;②率皿二三.-，將/與人代入化簡，得sin-cosa,

1

、&BMA力sina+cosa—l

m2—1

令sina+cosa=加，則S^OM=2，求出加的范圍，從而可求出答案.

S^BMA加一1

答案第11頁，共13頁

【詳解】（1）因為0。=85°。4+5111戊05,

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