高考數(shù)學一輪復(fù)習：利用導(dǎo)數(shù)研究能成立（有解）問題專項練習（學生版+解析）

第06講利用導(dǎo)數(shù)研究能成立(有解)問題

核心考點精講精練)

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值

3a2/(x)有解oa>/(x)min,a</(x)有解oa</(x)max,

【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點內(nèi)容，也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等多個數(shù)學學科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習

知識點1能成立(有解)問題常見類型|------一、

利用導(dǎo)數(shù)研究能成立(有解)問題核心考點

知識點2能成立(有解)問題的解決策略考點1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)能成立(有解)問題

知識講解

1.能成立(有解)問題常見類型

假設(shè)X為自變量，其范圍設(shè)為。，/(%)為函數(shù)；。為參數(shù)，g(a)為其表達式,

(1)若/(x)的值域為［利域］

①則只需要g(a)〈/(x)1mx=M

3.xeZ),g(a)</(x),則只需要g(a)</(x)1mx=M

②則只需要g(a)2/(0mto=m

3xeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)>/(x)111ta=m

⑵若/(x)的值域為(北域)

①3xeD,g(a)</(x),則只需要g(a)<M(注意與⑴中對應(yīng)情況進行對比)

3xeD,g(a)</(x),則只需要g(a)<M

②3xeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)>加(注意與⑴中對應(yīng)情況進行對比)

3xeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)>/n

2.能成立(有解)問題的解決策略

①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；

②部分分離，化為切線；

③完全分離，函數(shù)最值；

④換元分離，簡化運算；

在求解過程中，力求“腦中有'形'，心中有‘數(shù)'”.依托端點效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等

式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜

合性，屬于能力題，在提升學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱

點.

考點一、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)能成立(有解)問題

☆典例引領(lǐng)

1.(全國?高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=aln龍+寧V-6x(axl),曲線y=〃x)在點(1,/⑴)處的切線斜率為0

求b;若存在使得/(%)<號，求a的取值范圍.

2.(.天津?高考真題)已知。>0,函數(shù)/(x)=lnx-加，x>0.(〃x)的圖象連續(xù)不斷)

⑴求“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當a=g時，證明：存在/e(2,+oo),使“為)=(||；

(3)若存在屬于區(qū)間［1,3］的名￡,且〃一々21,使〃a)="0,證明：1113產(chǎn)工。4瞥.

3.(2021.天津?統(tǒng)考高考真題)已知°>0,函數(shù)/(x)=ax-x/.

(D求曲線y=/(x)在點(0J(。))處的切線方程：

(II)證明/a)存在唯一的極值點

(III)若存在。，使得/(x)Va+8對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

即時檢測

1.（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知函數(shù)〃"=0"-111廠

⑴當。=0時，求曲線y=/（尤）在（1,/。））處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；

⑵若存在Xoe[e,+co）,使/（毛）＜。成立，求a的取值范圍.

be

2.（2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)=（尤-Inx）-一（e為自然對數(shù)的底數(shù)），a,bwR.

x

⑴當b=0時，討論“X）在（0,+8）上的單調(diào)性；

（2）當6=1時，若存在xe[l,e],使/'（x）＞0,求a的取值范圍.

3.（2023?四川宜賓?宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？寄M預(yù)測）已知〃”=（》-4-1卜,-3底+小_1.（。€4

⑴討論〃x）的單調(diào)性；

（2）若a=-1,且存在xe（0,+°°）,使得了（無）4111刀+；彳2+（￡＞+1）X，求6的取值范圍.

InX

4.（2023?海南?？?海南華僑中學?？家荒＃┮阎瘮?shù)〃x）=--+1.

X—1

⑴討論函數(shù)”X）的單調(diào)性；

（2）已知彳＞0,若存在x?l,+w）,不等式，拿,）、Nin無成立,求實數(shù)2的最大值.

（悶+11

【基礎(chǔ)過關(guān)】

1.（2023?安徽安慶?安慶市第二中學校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=3x-工+bln無.

X

（1）當b=T時，求函數(shù)外”的極小值；

（2）若*e[l,e]上，使得4元-2-/（x）〈-上心成立，求b的取值范圍.

XX

2.（2023?四川成都?四川省成都市玉林中學?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)〃x）=-加+lnMaeR）.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在xe（Ly）J（x）＞-a,求。的取值范圍.

3.（2023?河南洛陽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃制=加-云2-9x-1在產(chǎn)-1處取得極值4.

⑴求a,b的值；

⑵若存在xe[2,4],使32-萬上/⑺成立，求實數(shù)幾的取值范圍.

4.(2023?廣西南寧?武鳴縣武鳴中學?？既?已知函數(shù)/(x)=d-alnx(aeR).

⑴若曲線在(1J⑴)處的切線與直線y=-x+5垂直，求實數(shù)。的值.

(2)3x0e[l,e],使得小上史上40成立，求實數(shù)。的取值范圍.

%

5.(2023青海西寧?統(tǒng)考二模)設(shè)函數(shù)/(尤)=無-工-。111匕

X

(1)若函數(shù)/(尤)在其定義域上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)當aW2時，設(shè)函數(shù)g(x)=x-lnx-L若在[l,e]上存在花,巧使/(占)〉g(Z)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【能力提升】

1.(2023?安徽滁州??？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=g--m+2)元+2alnx(aeR).

(1)若。>2,討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-(a+2)x,若至少存在一個x°e[e,4],使得/■(x°)>g(x())成立，求實數(shù)。的取值范圍.

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'5)=(%-4)爐-爐+6彳，g(x)=lnx-(a+l)x,a>-l.

⑴求的極值；

(2)若存在%e[1,3],對任意的％e[e2,e3]，使得不等式g(%)>〃%)成立,求實數(shù)。的取值范圍.(e3?20.09)

3.(2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=ex.

(1)當a=l時，求曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程；

⑵求了(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑶若存在%稔5-1,1],使得〃求〃的取值范圍.

4.(2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃元)=海-"(a").

(1)若“=0,求函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若存在%Hed],使/(xjw；成立，求實數(shù)。的取值范圍.

5.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=e，(f-2依一2a).

⑴若曲線y=〃x)在點(0,/⑼)處的切線與直線/：尤-4y+l=0垂直，求a；

⑵若對Vae[-|,￡|,存在彳目-2,3],使得〃力<6(2-2。)有解，求方的取值范圍.

【真題感知】

1.(湖北?高考真題)設(shè)x=3是函數(shù)/(尤)=(/+G+6)e3T(xeR)的一個極值點.

(1)求a與6的關(guān)系式(用。表示6),并求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)a>0,g(x)=+?卜.若存在e[0,4]使得信)-g值)|<1成立，求”的取值范圍.

2.(廣東?高考真題)已知函數(shù)〃犬)=33+彳2+依+](“€氏).

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當“<0時，試討論是否存在使得/(%)=/出.

1nX

3.(遼寧?高考真題)設(shè)函數(shù)/(%)=；——lnx+ln(x+l).

1+x

(1)求了(X)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)是否存在實數(shù)a,使得關(guān)于龍的不等式〃尤)2a的解集為(0,+00)?若存在，求。的取值范圍；若

不存在，試說明理由.

4.(江蘇.高考真題)已知函數(shù)/(x)=e'+eT,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)證明：/(幻是R上的偶函數(shù)；

(2)若關(guān)于x的不等式句'(x)4"工+根-1在(0,+<?)上恒成立，求實數(shù)機的取值范圍；

(3)已知正數(shù)。滿足：存在x°e(l,+8),使得/(%)<。(-君+3%)成立，試比較/T與a"的大小，并證明

你的結(jié)論.

第06講利用導(dǎo)數(shù)研究能成立(有解)問題

核心考點精講精練)

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為12分

【備考策略】1能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性

2能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值

3a2/(x)有解oa>/(x)min,a</(x)有解oa</(x)max,

【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點內(nèi)容，也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中

求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應(yīng)用能力,

有一定的難度，一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等多個數(shù)學學科的核心素養(yǎng)

都有較深入的考查，需綜合復(fù)習

知識點1能成立(有解)問題常見類型|------一、

利用導(dǎo)數(shù)研究能成立(有解)問題核心考點

知識點2能成立(有解)問題的解決策略考點1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)能成立(有解)問題

知識講解

3.能成立(有解)問題常見類型

假設(shè)X為自變量，其范圍設(shè)為。，/(%)為函數(shù)；。為參數(shù)，g(a)為其表達式,

(1)若/(x)的值域為［利域］

①則只需要g(a)〈/(x)1mx=M

3.xeZ),g(a)</(x),則只需要g(a)</(x)1mx=M

②則只需要g(a)2/(0mto=m

3xeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)>/(x)111ta=m

⑵若/(x)的值域為(北域)

①3xeD,g(a)</(x),則只需要g(a)<M(注意與⑴中對應(yīng)情況進行對比)

3xeD,g(a)</(x),則只需要g(a)<M

②3xeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)>加(注意與⑴中對應(yīng)情況進行對比)

3xeD,g(a)>/(x),則只需要g(a)>/n

4.能成立(有解)問題的解決策略

①構(gòu)造函數(shù)，分類討論；

②部分分離，化為切線；

③完全分離，函數(shù)最值；

④換元分離，簡化運算；

在求解過程中，力求“腦中有'形'，心中有‘數(shù)'”.依托端點效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合，尋找臨界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解問題設(shè)計獨特，試題形式多樣、變化眾多，涉及到函數(shù)、不等

式、方程、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、換元等思想方法，有一定的綜

合性，屬于能力題，在提升學生思維的靈活性、創(chuàng)造性等數(shù)學素養(yǎng)起到了積極的作用，成為高考的一個熱

點.

考點一、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)能成立(有解)問題

☆典例引領(lǐng)

1.(全國?高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=aln龍+寧￡-法(力1),曲線y=〃x)在點(1,/⑴)處的切線斜率為0

求b;若存在使得/(%)<號，求a的取值范圍.

【答案】(1)b=l;(2)(-V2-l.>/2-l)u(l,+oo).

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)曲線在某點處的切線與此點的橫坐標的導(dǎo)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，可先對函數(shù)進行求

導(dǎo)可得：f(x)=-+(l-a)-b,利用上述關(guān)系不難求得(⑴=0,即可得6=1;(2)由第⑴小題中所求

XX

b,則函數(shù)/(無)完全確定下來，則它的導(dǎo)數(shù)可求出并化簡得：廣(x)=@+(l)尤-1=匕@(尤-二)1)根

xx1-a

據(jù)題意可得要對二與1的大小關(guān)系進行分類討論，則可分以下三類：(i)若aw1,則=41,故當

1-a21-a

xe(l,+s)時，fV)>0,在(1,+s)單調(diào)遞增，所以，存在x°Nl,使得/(尤0)〈二的充要條件為

a-1

f(1)<~,即-7)1<7，所以-母—l<a<—L(ii)若彳貝ij>1,故當x￡(1,-)時，

a-\2a-121-a1-a

f'（x）＜。；當Xe（―,+8）時，/'（X）＞0,/（X）在（1,二）單調(diào)遞減，在（二,+8）單調(diào)遞增.所以，存在升21,

1—a1-a1—a

使得了（X。）〈三的充要條件為了（F）〈二，無解則不合題意.（出）若。＞1，則

a—11-aa-1

/⑴==一1=”＜綜上，a的取值范圍是（一戊-1,魚-1）口（1,+00）.

22a-1

試題解析：(1)f\x)=-+(i-d)x-b,

X

由題設(shè)知/⑴=0,解得6=1.

(2)/(九)的定義域為(0,+8),由(1)知，f(x)=alnx+^-^x2-x,

/'(%)=—+(1—ci)x—1=----(%—-——)(%—1)

xx1-a

(i)若則二41,故當％w(i,+8)時，r(x)＞o,/⑺在(1,口)單調(diào)遞增,

21-a

所以，存在X°N1,使得〃/)＜號的充要條件為“!)＜，、，即=一1＜」\,

a—1a-12a—1

所以＜&-1.

(ii)若貝故當xe(l,二)時，r(x)＜0;

21-a1-a

當xe（，一,+s）時，/V）＞0,/（x）在單調(diào)遞減，在（二,也）單調(diào)遞增.

1—a1-a1-a

所以，存在%21,使得〃X。）〈號的充要條件為了（JL）〈號，

a—11-aa-1

.a、,aa1aa?…丁人口工一

而—）=?ln--+---+--＞―所以不合題忌.

1-a1-a2（1-a）a—\a-1

（iii）若。＞1,則/⑴==-l=^i＜」.

22a-1

綜上，a的取值范圍是（_0-l,0_l）51,+oo）.

考點：1.曲線的切線方程2導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的運用;3.分類討論的應(yīng)用

2.（?天津?高考真題）已知a＞0,函數(shù)〃x）=l加，x＞0.（f（x）的圖象連續(xù)不斷）

⑴求“X）的單調(diào)區(qū)間；

⑵當°="時，證明：存在%?2,+8）,使=

（3）若存在屬于區(qū)間［1,3］的a］,且6-aZl,使=證明：嗤牛0吏.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是［。，至］,單調(diào)遞減區(qū)間是（投，+?＞］;（2）見解析；（3）見解析.

7

【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得解;

(2)令g(x)="x)-d|J,先得g⑵>0,再分析單調(diào)性即可得證；

(3)結(jié)合(1)分析函數(shù)的單調(diào)性可得｛力工，，解不等式組即可得證.

/(刁—J\P)—/(刀

【詳角軍】(1)f'^x)=--2ax=--2"'，尤￡(0,+8).

令ra)=o,解得x=叵.

當尤變化時，/'(X)J(x)的變化情況如下表:

【。,笠陽1

X--------,+00

12aJ

2a

((x)+0—

“X)遞增極大值遞減

所以，/(力的單調(diào)遞增區(qū)間是[。,方丁)單調(diào)遞減區(qū)間是

(2)證明：當4△時,f(x)=lwc--x2,

88

由(1)知/■(%)在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

令g(x)=〃x)T(|]

由于“力在(。，2)內(nèi)單調(diào)遞增，故〃2AdlJ,即g(2)>0

取x=ge>2,貝!]g(x)=413)<0.

所以存在為e(2,x),使g(%)=0,

即存在/e(2,+co),使/伉)=/1|).

(說明：V的取法不唯一，只要滿足x'>2,且g(x')<0即可.)

(3)證明：由/(%)=/(⑶及(1)的結(jié)論知。<叵<〃，

2a

從而/(%)在網(wǎng)上的最小值為了(。)，

又由萬一aNl,cr,/?e[l,3],^ll<a<2</3<3

/(2)>/(?)>/(1)ln2-4?>-?

故‘"2""⑶>/(3)''ln2-4?>ln3-9a

,.nln3一In2In2

從而——-——<a<--.

53

【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，著重考查了學生的轉(zhuǎn)化與劃歸的能力,

屬于難題.

3.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)已知。>0,函數(shù)=

(I)求曲線y=/(x)在點(0"(0))處的切線方程：

(II)證明Ax)存在唯一的極值點

(III)若存在。，使得/(x)〈a+8對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

【答案】(I)y=(a-l)尤,(a>0)；(II)證明見解析；(III)［一4+⑹

【分析】(D求出/(X)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出/1。)，即可求出切線方程；

(II)令/(￡)=0,可得°=(尤+1)/,則可化為證明>與y=g(x)僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出g(元)的

變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；

(HI)令/7(X)=(X2-X-1)/,(X>-1),題目等價于存在尤e(-l,+/),使得版x)4入即利用導(dǎo)

數(shù)即可求出可力的最小值.

【詳解】(D/(洋=。-(彳+1)/,則在(0)=。-1,

又/(0)=0,則切線方程為y=(。-1)尤,(。>0)；

(II)ff(x)=a-(x+I)ex=0,貝!Ja=(x+l)e",

令g(x)=(x+l)e、，則g<x)=(%+2)/,

當xw(y,-2)時，，(x)v0,g(x)單調(diào)遞減；當%￡(-2,+8)時，,(x)>0,g(%)單調(diào)遞增，

當X--8時，g(x)<0,g(-l)=0,當Xf+00時，g(x)>0,畫出g(x)大致圖像如下：

所以當。>0時，>與y=g(x)僅有一個交點，令g(m)=。，則m>一1,B.f'(m)=a-g(m)=o,

當xe(-oo,〃7)時，a>g(x),貝lJ/'(x)>0,單調(diào)遞增,

當xe(m,+co)時，a<g(x),則/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

x=機為/'(x)的極大值點，故/(X)存在唯一的極值點；

(III)由(II)知/(幻中=/O),此時。=(l+"7)e",機>-1,

所以"(無)一。｝鵬=/(m)-?=(〃/—(根>一1),

令"(X)=(爐-x-l)e*,(x>_l),

若存在。，使得/0”“+3對任意了?11成立，等價于存在無€(-1,+<?),使得/z(x)46,gpZ?>/?(x)min,

h'(x)=(d+x-2)ex=(x-l)(x+2)e*,x>-l,

當xe(-l,l)時，h'(x)<0,7z(x)單調(diào)遞減，當xe(l,+oo)時，h'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，

所以/!(x)mn=h(Y)=-e,故62—e,

所以實數(shù)b的取值范圍[-e,+co).

【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明>與y=g(x)僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是

轉(zhuǎn)化為存在xe(-l,+oo),使得為x)46,gpZ?>/?(x)min.

J即時檢測

1.(2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃尤)=ei-lnx.

⑴當a=0時，求曲線y=〃x)在(L/。))處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若存在％e[e,+co),使/(毛)<。成立，求a的取值范圍.

【答案】⑴5=心

⑵a>e

【分析】(1)先求導(dǎo)，把切點的橫坐標代入導(dǎo)數(shù)方程得切線的斜率，再求切點坐標，從而求出切線方程，由

方程求出切線與羽y軸的交點即可求出三角形的面積.

(2)令Mx)=，則只要函數(shù)Mx)=在區(qū)間上,+8)的最小值小于ea即可.通過求導(dǎo)討論函數(shù)Mx)的單調(diào)

InxInx

性，從而可求函數(shù)的最小值，最后求出〃的取值范圍.

【詳解】(1)當a=0時，/(x)=ex-lnx,

尸(x)=e'—-,所以曲線y=F(x)在(1，F(xiàn)(1))處的切線的斜率左=e—1,又"l)=e,

切線方程為y=(e-l)x+L

與蒼V軸的交點分別是(」一,0),(0,1),

???切線與坐標軸圍成的三角形的面積s=

2(e-l)

(2)存在無0c使/(%0)<0即e%Y-lnXo<0,即eXvlnx。.

即存在毛e［e,+co),使e">E成立.

令/z(x)=f］，因此，只要函數(shù)/7(x)=f1在區(qū)間［e,+s)的最小值小于e。即可?

InxInx

下面求函數(shù)/z(x)=q在區(qū)間卜,y)的最小值.

Inx

ex(lnx--)

hf(x)=———'

Inx

令〃(x)=lnx-L因為M(%)二工十二>0,

xxx

所以"(九)為［e,+oo)上的增函數(shù)，Mi/(e)=l-->0.

e

,〃口)=及口>0在卜+功恒成立.

Inx

/.h(x)=——在［e,+8)遞調(diào)遞增，

Inx

函數(shù)h(x)=—在區(qū)間［e,+8)的最小值為/z(e)=ee,

Inx

/z(e)=ee<ea,得a>e.

【點睛】易錯點點睛：第二問的關(guān)鍵點在于把不等式能成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，在這類問題

中，最容易錯的地方是分不清恒成立和能成立的區(qū)別，若，犬)在給定區(qū)間內(nèi)恒成立，則〃要大于的

最大值；若。尤)在給定區(qū)間內(nèi)能成立，則。只需要大于/(%)的最小值.

2.(2023.安徽宿州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃尤)=x2+a(x-inx)---(e為自然對數(shù)的底數(shù)),a,beR.

X

(1)當6=0時，討論/'(力在(0,+e)上的單調(diào)性；

(2)當6=1時，若存在xe［l,e］,使/'(x)>0,求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

【分析】(1)對。分類討論，由導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)性；

(2)法一，由分離變量法，轉(zhuǎn)為由導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)最值，得出結(jié)論；法二，將函數(shù)拆分為前后兩個函數(shù),

對。分類討論，由導(dǎo)數(shù)法分別研究兩函數(shù)單調(diào)性及最值，得出結(jié)論；

【詳解】(1)當b=0時，f(x)=x2+a(x-}nx),的定義域為(0,+功,f\x)=2x+a--^2x'+ax-a

XX

當/+8aV0,QP-8<a<O0>h/'（x）“且不恒為0,所以在（0,+e）上單調(diào)遞增;

當a<-8時，方程2/+ax-a=0有兩不等正根一"土’"+8。,

4

結(jié)合定義域由1,勾〉0可得+由/'(x)<0可得

\7\7

—CL—d4?+8〃—CL+J"2+8。)

2

”,、[“\.._.、「―〃—J/+8——a+J/+8a,s.s.八—ci—y/ci+8tz.

所以,（x）在區(qū)間-----------，------------上單倜遞減，在區(qū)間0,-------------和

I7\J

—u.+d4、+8〃,乂、e、乂?

-----------------------------,+8上單倜遞增；

4

\7

當a>0時，方程2尤2+以一0=0有一負根一“々…"和一正根-"+后+8”,

44

結(jié)合定義域由用或>0可得XC-"<：+阻,+8,由r（x）<?？傻脁eQ~a+^

\7k7

a++8a2

所以“X）在區(qū)間0-^上單調(diào)遞減，在區(qū)間a+J：+8aM上單調(diào)遞增.

V7\7

綜上可知：

,,,_/\一〃—J—、+8〃—Cl+J"、+84,“、E、Az_、j_z_,_.八—Q—[a2+8〃v

當〃<—8時，/（%）在區(qū)間-,-上單倜遞減，在區(qū)間。,-和

\7\J

-〃+1a2+8〃,乂、E、乂1乂

-------------,+8上單調(diào)遞增；

4

\7

當—8Wa?0時，/（%）在（0,+。）上單調(diào)遞增；

a++8a

當。>0時一,/（X）在區(qū)間Q~^上單調(diào)遞減，在區(qū)間3#+8”,+8上單調(diào)遞增.

e2e2

（2）法一：分離變量可得：〃、嚏一廠，令/乙一（一“一，xe[l,e],則

cihr1））一

x-lnxx-lnx

(%-Inx)2

e

(lnx-2x+l)+x(21nx-x—1)

(1-Inx)2

易得當無c［l,e］時，lnx-2x+lv0,且21nx—x—IvO,從而尸(九)<0,

所以尸(x)在［1,e］單調(diào)遞減，于是a>F(x)^n=F(e)=-l-e.

即〃的取值范圍為(-1-e,+o)).

22

法二:當2=］時,f(x)=x+a(x-lnx)--，令g(x)=x+a(x-lnx),h(x)=-9則/(x)>0,即為，

而h［x)在［1,e］上單調(diào)遞減,所以當1<%<e時，/i(x)>/i(e)=l,

又g(e)=e2+ae-a,

i.當g(e)>/z(e),HPe2+ae-a>105t,a>-l-e,符合題意；

ii.當-84a4-l-e時，由(1)知g(x)在［l,e］上是增函數(shù),恒有g(shù)(x)Wg(e)V/z(e)=l,故不存在xw［l,e］,

使g(x)>〃(x);

iii.當°<一8時，由于IWxVe時，x-lnx>0,所以g(x)=/+a(x-lnx)</一8(無一Inx),

令m(x)=x2-8(x-InA:),則加⑴=2^-8+-=-4a+4)=0，所以加(%)在［，e］上是增函數(shù)，

XXX

最大值為現(xiàn)⑻，

又m(e)-/?(e)=e2-8(e-1)-1=e2-8e+7=(e-l)(e-7)<0,所以制e)</z(e),此時恒有g(shù)(x)</i(x),

因此不存在xe［l,e］,使g(x)>〃(%).

綜上可知，o>—1—e,即a的取值范圍為(-l—e,+oo).

【點睛】函數(shù)不等式恒成立或可能成立問題，一般可用分離變量法，轉(zhuǎn)為由導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)最值，得出結(jié)

論；或采用分類討論法，由導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性及最值，得出結(jié)論；

3.(2023?四川宜賓?宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？寄M預(yù)測)已知〃無)=?-"1)0'-；江+4、-1.(。€1<)

⑴討論“力的單調(diào)性；

(2)若a=-l,且存在xe(0,+co),使得VInx+gx?+(￡>+l)x,求6的取值范圍.

【答案】(1)見解析

⑵口,+?)

【分析】(1)分和a>0討論即可；

(2)代入。值，分離參數(shù)得-1,,設(shè)以彳)=士生汽二1,利用導(dǎo)數(shù)和隱零點法即可得到答案.

X

【詳解】(1)/W=(x-6z-l)ex,

所以/(%)—(-^—a)ex—a(x—a)=(%-a)(e*—aj,

若Q?0,e"->0,%E(-8,a)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,％e(a,+8)時,/'(%)>0,/(x)單調(diào)遞增；

若〃>0,由/'(x)=。得1=〃或%=lna,

1Q—1

設(shè)83)=。一1!14(”0),則短(0)=1-」=幺」，

aa

a￡(。，1)時,g'(〃)<0,g(a)單調(diào)遞減，

a￡(l，+8)時,g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增,

所以g(a)?g(l)=l>。,所以a>lna,

所以工￡(Ina,a)時,/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

XG(-co,lna),%￡(a,+8)時,/'(%)>0J(%)單調(diào)遞增.

綜上得，當a<0時,f(x)在(-8,〃)上單調(diào)遞減，在(〃,y)上單調(diào)遞增，

當a>0時,/(%)在(Ina,a)上單調(diào)遞減，在(~oo,lna),3y)上單調(diào)遞增.

(2)當。=一1時=

存在%￡(0,+oo)，使得f(x)<lnx+^x2+(Z?+l)x成立，

即xe-lnx-IV法成立，即62心,一山”-1成立,

X

設(shè)Mx）=士也二1則"（X）=x2ex+Inx

XX1

2xx

設(shè)m(x)=xe+Inx,加(x)=(爐+2])e+—>0,則m(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增,

--2

且m(l)=e>0,mee-1<0,

1

所以存在％e,1，使得m(xQ)=+Jnx0=0,

ln±

玉）

所以=---InXQ=—In—=

玉)X。X。

^y=xex,x>0,y=(x+l)ex>0,y=xe"在(0,+8)上單調(diào)遞增，得九0=1n'=—In/,

%0

1

所以e"=—,=-l,XG(O,xo)0t,m(x)<0,h'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減,

王)玉)

xG(%,+00)時,m(x)>0,E(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,

玉）玉）玉）玉）

所以武1,即匕的取值范圍是口,+8）.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用分離參數(shù)法得到62Q11^,然后設(shè)右。）=比'-1七1

XX

利用導(dǎo)數(shù)求解最小值，其中用到了經(jīng)典的隱零點法，是導(dǎo)數(shù)大題中的難點.

1nx

4.（2023?海南?？?海南華僑中學?？家荒＃┮阎瘮?shù)〃力=--+1.

x—1

⑴討論函數(shù)/（尤）的單調(diào)性；

（2）已知彳＞0,若存在不等式/L\\）Nin無成立,求實數(shù)幾的最大值.

（五）+1無T

【答案】⑴函數(shù)〃x）在（0,1）,（L-）上單調(diào)遞減

【分析】（1）對“X）求導(dǎo)，令g（x）=l-Inx,判斷/（x）與。的大小，即可求出g（x）的單調(diào)性，則g（x）＜0

在x?0』）U（l,M）恒成立,則廣（力＜0,即可求出函數(shù)〃尤）的單調(diào)性；

（2）將不等式轉(zhuǎn)化為24手在（1,+8）上能成立，令何力=?（無＞1）,對夕⑺求導(dǎo),可求出0（x）皿,即

可求出實數(shù)2的最大值.

【詳解】（1）函數(shù)〃尤）的定義域為（oJ）U（i,y）,

?1n

1------Inx11-Y

所以(.?.令g(x)=l------Inx,則g[x)=J-,

(1)XX

函數(shù)g（無）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+?＞）上單調(diào)遞減.

又?；g（l）=0,.?.當xe（O,l）U（l,y）時，g（x）＜0,.,./'（x）＜0,

二函數(shù)在（0,1）,（1,+⑹上單調(diào)遞減.

⑵且2>0,x>l,「?(血)-1>0,

(W+i1

:?黑土,.?，小舁,”…?。?/p>

e^G（l,+a））,由（1）知，函數(shù)在（1,+8）上單調(diào)遞減,

只需e八Wx在（1,+s）上能成立,

.?.兩邊同時取自然對數(shù)，得尢cWlnx,即24也在(1,內(nèi))上能成立.

X

令夕(x)=W(X>1),則<'(x)=l,

?.?當xe(Le)時,d(x)>0,.?.函數(shù)夕(尤)在(l,e)上單調(diào)遞增,

當*w(e,+co)時,d(x)<0,函數(shù)0(x)在(e,+oo)上單調(diào)遞減,

???。(無)2=。償)=：,，2《，

又力>0,/.0<?!<—,

e

實數(shù)力的最大值為

e

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵點在于由/(元)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為24平在(1,內(nèi))上能成立,

令9(同=?(%>1),對°(x)求導(dǎo)，可求出。⑺1mx,即可求出實數(shù)彳的最大值.

【基礎(chǔ)過關(guān)】

1.(2023?安徽安慶?安慶市第二中學?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=3x-L+61nx.

X

(1)當b=T時，求函數(shù)〃x)的極小值；

(2)若*e[l,e]上，使得4x-工-/。)〈-上也成立，求b的取值范圍.

XX

【答案】⑴2；⑵(-8,-2)[看1,+8；

【詳解】試題分析：(1)將參數(shù)值代入表達式，再進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)性，進

1A

而得到極值；(2)h(x)=x-b]nx+—<0,^,即/z(x)的最小值小于0即可，對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單

調(diào)性，得到最小值即可.

解析：

(1)當力=-4時，〃刈=士4+3=3-1)(1)

XXX

令r(x)=o,得*=；或x=i

且/(x)在0.；)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(L-X)上單調(diào)遞增

所以/(工)在時取得極小值為/(1)=2.

(2)由已知：三工￡,4x---/(x)<4x---/(x)+

XXXX

.1.11+人口門八1+Z??

4x----3x4----Z?lnxH-----v。，艮口：x—Z?lnx-----<0

xxxx

設(shè)，則只需要函數(shù)在上的最小值小于零.

又_(x+l)[x(l+b)]

x:

令，得(舍去)或.

①當l+b2e，即時，在上單調(diào)遞減，

故在上的最小值為，由，可得.

g*+1

因為^__->e-l，所以.

e—1

②當l+b￡l，即時，在上單調(diào)遞增，

故在上的最小值為，由%(1)=1+1+6<0,

可得(滿足).

③當，即時，在(L1-6)上單調(diào)遞減，在(1-b,e)上單調(diào)遞增,故在上的最小值為力(1-6)=2-5-iln(l-i).

因為0<ln(l-6)<1,所以0<61n(l-6)<6,

所以2-6-bln(l-6)>2,即，不滿足題意，舍去.

綜上可得或，

所以實數(shù)的取值范圍為.

點睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：

(1)根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

(2)若/(力>0就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為了(“)*>0,若

/(可<。恒成立=/(x)1mx<0;

(3)若〃x)>g(x)恒成立，可轉(zhuǎn)化為"%)血/8⑺1mx(需在同一處取得最值)

2.(2023?四川成都?四川省成都市玉林中學?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)〃x)=Fx2+lnnaeR).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若存在xe(l,y),〃x)>-a,求。的取值范圍.

【答案】(1)分類討論，答案見解析；(2)(一雙g]

【分析】⑴對函數(shù)求導(dǎo)，再按aW0和a>0分別討論導(dǎo)函數(shù)值正負而得解；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=fM+a,討論aV0時g(x)在(1,+8)的值的正負，a>0時再分段討論g(無)最小值情況即

可得解.

【詳解】⑴函數(shù)"X)的定義域為(0,+8)，廣(x)=-2奴+工=上工”,

XX

當aWO時，制x)>0,則〃x)在(0,+8)上遞增,

當a>0時，，由尸(x)=0,得了=-

由得尤e由/'(x)<0,得尤e

于是有/(x)在上遞增，在