導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第26講 導(dǎo)函數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題（含答案及解析）

第26講導(dǎo)函數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題【典型例題】例1．已知函數(shù)．（1）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．例2．已知函數(shù)（1）若在，上恒成立，求的取值范圍；（2）證明：；（3）已知，求的整數(shù)部分．例3．已知函數(shù)，其中函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）若，求函數(shù)的解析式；（2）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：．例4．設(shè)函數(shù)，，．（1）設(shè)，求的最小值；（2）設(shè)，若在，上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：，時(shí)，．例5．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）用，表示，中的最大值，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)，，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：．例6．已知函數(shù)的最小值為0，其中．（1）求的值；（2）若對任意的，，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）證明：．例7．已知函數(shù)的最小值為0，其中．（1）求的值；（2）若對任意的，，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）證明．例8．已知函數(shù)的最小值為0，其中．（1）求的值；（2）若對任意的，，有成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（3）證明：（注例9．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）（?。┊?dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)的最大值；（ⅱ）證明：．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（Ⅰ）試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）若對于恒成立，求正整數(shù)的最大值；（Ⅲ）求證：．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求滿足條件的正整數(shù)的值；（3）求證：．3．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證：．4．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅲ）求證：，是自然對數(shù)的底數(shù)）．提示：．5．已知函數(shù)（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證；（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)，都有．6．已知函數(shù)（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)，都有．7．已知函數(shù)．（1）求的極值．（2）若對任意恒成立．①求實(shí)數(shù)的取值范圍．②證明：對任意正整數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．8．已知函數(shù)，，．（1）求的最大值；（2）若對，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明不等式（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．9．已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)列，，點(diǎn)在軸上的射影是，，且且，．（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對任意的正整數(shù)，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)四邊形的表面積是，求證：．10．函數(shù)（1）判斷時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以說明；（2）正項(xiàng)數(shù)列滿足①判斷數(shù)列的單調(diào)性并加以證明．②證明：．11．已知函數(shù)，．（1）求在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，不等式成立．12．已知函數(shù)，，．（Ⅰ）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對，總有成立．（1）求的取值范圍；（2）證明：對于任意的正整數(shù)，，不等式恒成立．13．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：．14．已知函數(shù)，（Ⅰ）若，且對于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求證：（1）（2）15．函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線在軸上的截距為．（1）求；（2）討論的單調(diào)性；（3）設(shè)，，證明：．16．已知函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)數(shù)列滿足且，證明：單調(diào)遞減且．17．已知函數(shù)在點(diǎn)，處的切線斜率為2．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）設(shè)，若對，恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）已知數(shù)列滿足，，求證：當(dāng)，時(shí)為自然對數(shù)的底數(shù)，．

第26講導(dǎo)函數(shù)與數(shù)列不等式的綜合問題【典型例題】例1．已知函數(shù)．（1）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【解析】解：（1）的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，若，則，在上是減函數(shù)，所以時(shí)，（1），即在，上不恒成立．②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上是增函數(shù)，又（1），所以．綜上所述，所求的取值范圍是，．（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，在，上恒成立．取得，所以．令，，得，即，所以，上式中，2，3，，，然后個(gè)不等式相加，得到：．例2．已知函數(shù)（1）若在，上恒成立，求的取值范圍；（2）證明：；（3）已知，求的整數(shù)部分．【解析】解：（1）函數(shù)，在，上恒成立，設(shè)，則在，上恒成立，，又，而當(dāng)，即時(shí)，①當(dāng)即時(shí)，在，上恒成立，（1）；②當(dāng)即時(shí)，時(shí)；且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；則①，又（1）與①矛盾，不符題意，故舍．綜上所述，的取值范圍為：，．（2）證明：由（1）可知時(shí)，在，上恒成立，則當(dāng)時(shí)，在，上恒成立，令依次取，，，，時(shí)，則有，，，由同向不等式可加性可得，即，也即，也即．（3）由（2）的結(jié)論，可得，，又，則有的整數(shù)部分為9．例3．已知函數(shù)，其中函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）若，求函數(shù)的解析式；（2）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：．【解析】解：（1）的導(dǎo)數(shù)為，則有，解得，由，得，，故；（2）由（1）知，令，，，則（1），，當(dāng)時(shí)，．若，則，是減函數(shù)，所以（1），即．故在，上不恒成立．當(dāng)時(shí)，．若，則，是增函數(shù)，所以（1），即，故當(dāng)時(shí)，．綜上所述，所求的取值范圍為，．（3）由（2）知當(dāng)時(shí)，有．令，有且當(dāng)時(shí)，．令，有，，2，3，，，將上述個(gè)不等式依次相加，得，整理得．例4．設(shè)函數(shù)，，．（1）設(shè)，求的最小值；（2）設(shè)，若在，上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：，時(shí)，．【解析】解：（1），則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，；（2），則，在，上為增函數(shù)，在，上恒成立，即在，上恒成立，，又，則；（3）證明：由（2）知，當(dāng)時(shí)，在，上為增函數(shù)，則，令，則，則，即，，累加得，，，即得證．例5．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）用，表示，中的最大值，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)函數(shù)，，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：．【解析】解：（1）因?yàn)椋?，令得?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)’恒成立，故恒成立當(dāng)時(shí)，’，又因?yàn)椤?，恒成立，所以在上恒成立所以，即在上恒成立令，則，，令’得，易得在上單增，在，上單減，所以（1），所以，即綜上可得，（3）設(shè)，則，所以在上單增，所以，即所以，所以．例6．已知函數(shù)的最小值為0，其中．（1）求的值；（2）若對任意的，，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）證明：．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)函數(shù)可得令，可得令，可得；令，可得時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值函數(shù)的最小值為0，，解得（2）解：當(dāng)時(shí)，取，有（1），故不合題意當(dāng)時(shí)，令，即，求導(dǎo)函數(shù)可得，可得，①當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減，從而對任意的，，總有，即對任意的，，有成立；②當(dāng)時(shí)，，對于，，因此在上單調(diào)遞增，因此取時(shí)，，即有不成立；綜上知，時(shí)對任意的，，有成立，的最小值為（3）證明：當(dāng)時(shí)，不等式左邊右邊，所以不等式成立當(dāng)時(shí)，在（2）中，取，得，．（2）綜上，．例7．已知函數(shù)的最小值為0，其中．（1）求的值；（2）若對任意的，，有成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）證明．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)函數(shù)可得令，可得令，可得；令，可得時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值函數(shù)的最小值為0，，解得；（2）解：當(dāng)時(shí)，取，有（1），故不合題意當(dāng)時(shí)，令，即，求導(dǎo)函數(shù)可得令，可得，，①當(dāng)時(shí)，．在上恒成立，因此在上單調(diào)遞減，從而對任意的，，總有，即對任意的，，有成立，故符合題意；②當(dāng)時(shí)，，對于，，因此在內(nèi)單調(diào)遞增．因此當(dāng)時(shí)，，即有不成立，故不合題意．綜上，的最小值為．（3）證明：當(dāng)時(shí)，不等式左邊右邊，所以不等式成立當(dāng)時(shí)，在（2）中，取，得，從而．（1）例8．已知函數(shù)的最小值為0，其中．（1）求的值；（2）若對任意的，，有成立，求實(shí)數(shù)的范圍；（3）證明：（注【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋傻茫河钟傻茫海趩握{(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，（2）由（1）得，在時(shí)，恒成立，令，則在時(shí)，恒成立，，當(dāng)，時(shí)，，，①當(dāng)，即時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，則，即，不滿足題意；②當(dāng)，即時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，則，即，滿足題意；③當(dāng)，即時(shí)，令，則，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，即，不滿足題意；綜上，當(dāng)時(shí)，成立，實(shí)數(shù)的范圍是．證明：（3）由（2）知：令得：，令，得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而．例9．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）（?。┊?dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)的最大值；（ⅱ）證明：．【解析】解：（1），，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有極值；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)的極小值，沒有極大值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即只要即可，由（1）時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（a）若即時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足題意；（b）當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，且（2），（3），（4），所以存在使得，則的解集為，綜上的取值范圍，其中，所以正整數(shù)的最大值3；證明：兩邊取對數(shù)得，即只要證，由知，令，則，，所以．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（Ⅰ）試判斷函數(shù)在上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）若對于恒成立，求正整數(shù)的最大值；（Ⅲ）求證：．【解析】（Ⅰ）解：，（2分），，，，，函數(shù)在上是減函數(shù)．（4分）（Ⅱ）解：恒成立，即恒成立，即的最小值大于．（6分）而，令，則，在上單調(diào)遞增，又（2），（3），存在唯一實(shí)根，且滿足，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，（a）故正整數(shù)的最大值是3（10分）（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知（12分）令，則，（16分）2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若恒成立，求滿足條件的正整數(shù)的值；（3）求證：．【解析】解：（1），，時(shí)，在上單調(diào)遞增；（2）時(shí)，（3），（4），設(shè)（b），則．因?yàn)榇藭r(shí)在上單調(diào)遞增可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（b），（b），，即，所以（b），，（b），，故正整數(shù)的值為1、2或3．（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，，，令，得則暫時(shí)不放縮），，．以上個(gè)式子相加得：所以，即．3．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證：．【解析】解：，，，①當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，②當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞增，在上遞減．（Ⅱ）方法1：構(gòu)造函數(shù)，，，①當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）在上遞增，又（1），不符合題意，②當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知在區(qū)間上遞增，在上遞減，所以，解得：．綜上：，所以的取值范圍為，．方法2：分離參數(shù)恒成立，等價(jià)于，設(shè)，，，令，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞增，在上遞減；所以（1），所以：．所以的取值范圍為，．（Ⅲ）證明：由知，當(dāng)時(shí)，恒成立，即（僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），①當(dāng)時(shí)，，即，所以，，，，，，上述不等式相加可得：，即：，即：，，②當(dāng)時(shí)，，即，即，所以，，，，，，上述不等式相加可得：，即：，即：，，綜上：當(dāng)時(shí)，．4．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅲ）求證：，是自然對數(shù)的底數(shù)）．提示：．【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，由解得，由解得．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（4分）（Ⅱ）因當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，只需即可．（5分）由，（?。┊?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立．（6分）（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，因，，所以，①若，即時(shí)，在區(qū)間上，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上無最大值（或：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足條件；②若，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，同樣在，上無最大值，不滿足條件．（8分）（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，，，，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減，故成立．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（10分）（Ⅲ）據(jù)（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在，上恒成立（11分）則對任意的，有，．5．已知函數(shù)（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，．當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證；（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)，都有．【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值（1），函數(shù)無極大值；（Ⅱ）由，①當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足條件，②當(dāng)時(shí)，由，得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值即為最小值，，，，，綜上得，當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以恒成立，即，，令，得，，．6．已知函數(shù)（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)，都有．【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值（1），函數(shù)無極大值．（Ⅱ）由，，若，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)趨近于負(fù)無窮大時(shí)，趨近于負(fù)無窮大；當(dāng)趨近于正無窮大時(shí)，趨近于正無窮大，故函數(shù)存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故不滿足條件．若，恒成立，滿足條件．若，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，由得，解得．綜上，滿足恒成立時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是，．（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以恒成立，即，所以，令，得，則有，所以，所以，即．7．已知函數(shù)．（1）求的極值．（2）若對任意恒成立．①求實(shí)數(shù)的取值范圍．②證明：對任意正整數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】解：（1），當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，即無極小值，所以，當(dāng)時(shí)，即無極值，當(dāng)時(shí)，的極大值為，無極小值．（2）①，即恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以是函數(shù)在內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以（1），所以只要，即即可，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，．②證明：由①，當(dāng)時(shí)，，即，且等號(hào)只有在時(shí)成立，令，得，所以，即，所以．8．已知函數(shù)，，．（1）求的最大值；（2）若對，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明不等式（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】（1）解：由，，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為（1）；（2）解：對，總存在，使得成立，等價(jià)于存在，使得成立，由（1）知，，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，若，，單調(diào)遞減，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，使得，若，，若時(shí)，，即當(dāng)，則，使得，符合題意；③當(dāng)時(shí)，若，，單調(diào)遞增，，則，使得，符合題意．綜上可知，所求實(shí)數(shù)的范圍是；（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，若，，，令，，，，．有，再由（1）可得，，則，即，也即，，，．則．9．已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)列，，點(diǎn)在軸上的射影是，，且且，．（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對任意的正整數(shù)，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)四邊形的表面積是，求證：．【解析】（1）解：由且得且，，，且是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．．，．（2），，，又，故數(shù)列單調(diào)遞減，（此處也可作差證明數(shù)列單調(diào)遞減）當(dāng)時(shí)，取得最大值為．要使對任意的正整數(shù)，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，則須使，即，對任意，恒成立，，解得或，實(shí)數(shù)的取值范圍為，，．（3），而，四邊形的面積為，故．10．函數(shù)（1）判斷時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以說明；（2）正項(xiàng)數(shù)列滿足①判斷數(shù)列的單調(diào)性并加以證明．②證明：．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，令，，則，故在上單調(diào)遞增，所以，所以即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，（2）①數(shù)列為遞減數(shù)列，證明如下：因?yàn)?，所以，要證明數(shù)列為遞減數(shù)列，只要證明，即，只要證，，即，由，所以即，由（1）可知結(jié)論成立，②要證明：，由，只要證明，只要證，由于，此時(shí)成立，所以即證，即，即，即，，令，，則，因此在上單調(diào)遞增，所以，于是成立，原不等式成立．11．已知函數(shù)，．（1）求在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，不等式成立．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?），（1），函數(shù)在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即；（2）設(shè)，，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，不等式恒成立，且，，（1）即可，故，（3）由（2）可知：當(dāng)時(shí)，恒成立，令，由于，．故，，整理得：，變形得：，即：，2，，時(shí)，有’兩邊同時(shí)相加得：，所以不等式在上恒成立．12．已知函數(shù)，，．（Ⅰ）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對，總有成立．（1）求的取值范圍；（2）證明：對于任意的正整數(shù)，，不等式恒成立．【解析】解：（Ⅰ），定義域?yàn)?，，?分）①當(dāng)時(shí)，令，，，令，；②當(dāng)時(shí)，令，則或，令，；（3分）③當(dāng)時(shí)，恒成立；④當(dāng)時(shí)，令，則或，令，；（4分）綜上：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為．（5分）（Ⅱ）（1）由題意，對任意，恒成立，即恒成立，只需．（6分）由第（Ⅰ）知：，顯然當(dāng)時(shí)，（1），此時(shí)對任意，不能恒成立；（8分）當(dāng)時(shí)，，；綜上：的取值范圍為．（9分）（2）證明：由（1）知：當(dāng)時(shí)，，（10分）即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，可以變換為，（12分）在上面的不等式中，令，，，，則有不等式恒成立．（14分）13．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：．【解析】（1），故其定義域?yàn)?，，令，得，令，得．故函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），，，令又，令解得．當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，，變化如下表0由表知，當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，且最大值為，所以，（3）由（2）知，所以則所以即14．已知函數(shù)，（Ⅰ）若，且對于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求證：（1）（2）【解析】解：（Ⅰ）由，可知是偶函數(shù)．