導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第01講 直接討論法（含答案及解析）

第01講直接討論法【典型例題】例1．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．例2．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．例3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．例4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．例5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．例6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)求曲線在，（1）處的切線方程；（2）若時，，求的取值范圍．3．已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時，；（2）若，求．4．已知點(diǎn)，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．6．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求的取值范圍．7．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若無最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．8．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若在上只有一個極值，且該極值小于，求的取值范圍．

第01講直接討論法【典型例題】例1．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1），①時，在恒成立，故在單調(diào)遞減，②時，由，解得：，由，解得：，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）由（1）可得，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（a），令（a），，易知函數(shù)（a）在單調(diào)遞增，又（1），當(dāng)時，（a），即，滿足題意，當(dāng)時，（a），即，不滿足題意，綜上所述的取值范圍為，．例2．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1），定義域?yàn)?，．?dāng)時，，；，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，；，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）可知：當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，在上恒成立；當(dāng)時，，即，解得．綜上所述，．例3．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1），當(dāng)時，，又，故，遞增，當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增；（2），即，時，遞增，恒成立，時，，故，令（a），（a），故（a）遞減，又，故，綜上：，．例4．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，①若，則，在單調(diào)遞增．②若，則由得．當(dāng)時，；當(dāng)，時，，所以在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．③若，則由得當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，故在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．（2）①若，則，所以．②若，則由（1）得，當(dāng)時，取得最小值，最小值為．從而當(dāng)且僅當(dāng)，即時，．③若，則由（1）得，當(dāng)時，取得最小值，最小值為．從而當(dāng)且僅當(dāng)，即時．綜上，的取值范圍為，．例5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，當(dāng)時，，則在上遞減，當(dāng)時，令得（負(fù)根舍去），令得；令得，所以在上遞增，在上遞減．（2）當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)時，在上遞減，且與的圖象在上只有一個交點(diǎn)，設(shè)此交點(diǎn)為，，則當(dāng)時，，故當(dāng)時，不滿足，綜上，的取值范圍為，．例6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1），，①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，③當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，（2）①當(dāng)時，恒成立，②當(dāng)時，由（1）可得，，，③當(dāng)時，由（1）可得：，，，綜上所述的取值范圍為，．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1），，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）若，因?yàn)?，取，則，，，此時，故此時不可能恒成立．若，此時恒成立．若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值在處取到，即（a），而．顯然當(dāng)時，，，此時（a）．當(dāng)時，，，此時（a），故此時．綜上所述，的取值范圍為，．2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)求曲線在，（1）處的切線方程；（2）若時，，求的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時，，，，（1），又（1），曲線在，（1）處的切線方程為：，即．（2）令，則，當(dāng)時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，（1），①當(dāng)時，（1），故在上單調(diào)遞增，且（1），此時符合題意；②當(dāng)時，由（1）及在上單調(diào)遞增，知，使得，即，不符合題意，綜上，的取值范圍是，．3．已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時，；（2）若，求．【解析】解：（1）證明：，，，考慮到，，所以①當(dāng)，時，，此時，②當(dāng)，時，，所以單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞減，，③當(dāng)，時，，所以單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)，時，，綜上所述，當(dāng)時，．（2）構(gòu)造函數(shù)，考慮到，，，，由（1）可知：在時恒成立，所以在，上單調(diào)遞增，①若，則在，為負(fù)，為正，在，單調(diào)遞減，遞增，所以，而當(dāng)時，，故滿足題意．②若，，因?yàn)?，所以，由零點(diǎn)存在定理，必存在，，使得，此時滿足時，，單調(diào)遞減，所以，矛盾，舍去；③若，，因?yàn)楫?dāng)時，，所以當(dāng)時，，此時必存在，使得，此時滿足，時，，單調(diào)遞增，所以，矛盾，舍去，而當(dāng)時，當(dāng)，所以在，時，成立，單調(diào)遞增，，矛盾，舍去．綜上所述，．4．已知點(diǎn)，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，又，則，所以在上遞減；（2）①當(dāng)時，，對于，恒成立；②當(dāng)時，，設(shè)，，因?yàn)?，，所以，在遞增，又，所以，所以在遞增，且．當(dāng)時，，在遞增，因?yàn)?，所以恒成立；?dāng)時，，因?yàn)樵谶f增，又當(dāng)，，則存在，對于，恒成立，故在上遞減，所以，當(dāng)時，，不合題意．綜上可得，的取值范圍是，．5．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】解：（1）由，求導(dǎo)，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；綜上可知：當(dāng)時，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)；（2）①若時，由（1）可知：最多有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)，，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于和，當(dāng)，，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，的最小值小于0即可，由在是減函數(shù)，在，是增函數(shù)，，，即，設(shè)，則，，求導(dǎo)，由（1），，解得：，的取值范圍．方法二：（1）由，求導(dǎo)，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，令，解得：，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：，時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；綜上可知：當(dāng)時，在單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；（2）①若時，由（1）可知：最多有一個零點(diǎn)，②當(dāng)時，由（1）可知：當(dāng)時，取得最小值，，當(dāng)，時，，故只有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，由，即，故沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，，，由，故在有一個零點(diǎn)，假設(shè)存在正整數(shù)，滿足，則，由，因此在有一個零點(diǎn)．的取值范圍．6．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)時，，其導(dǎo)數(shù)，則切線的斜率，且，即切點(diǎn)的坐標(biāo)為；即切線方程為，即；（2）函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，其定義域?yàn)?，?種情況討論：①，，即時，，有恒成立，符合題意；②，當(dāng)，即時，令可得：，分析可得：在上，，為減函數(shù)；在，上，，為增函數(shù)；此時有，若恒成立，必有，即，解可得：；③，當(dāng)，即時，令可得：，分析可得：在，上，，為減函數(shù)；在，上，，為增函數(shù)；此時有，若恒成立，必有，即，解可得：；綜合可得：的取值范圍為，．7．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若無最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），．①當(dāng)時，時，；時，，在上遞減，在上遞增；②當(dāng)時，，，時，；時，，在上遞增，在上遞減，在上遞增；③當(dāng)時，，在上遞增；④當(dāng)時，，，時，；時，．在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）①時，由（1）知：（1），與題意不符，舍去；②時，，，由（1）知：要使無最小值，則：，，；③時，由（1）知：無最小值，符合題意；④，時，，（a），由（1）知：要使無最小值，則：，令，，，，令，，，，在，上遞增，（1），（2），（1）（2），故在上恰有一個零點(diǎn)，設(shè)為，時，，；，時，，即，故在上遞減，在，上遞增，又（1），（2），因此，時，恒成立，則，．綜上，，．8．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若在上只有一個極值，且該極值小于，求的取值范圍．【解析】解：（1），當(dāng)時，，由，解得：，由，解得：，故在遞減，在遞增，當(dāng)時，令，解得：或，設(shè)（a），（a），當(dāng)時，（