專題15解直角三角形中的母抱子模型(原卷版+解析)

專題15解直角三角形中的母抱子模型【模型展示】特點通過在三角形外作高AC，構造出兩個直角三角形求解，其中公共邊AC是解題的關鍵.在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC為公共邊，DC+BD=BC.結論“母包子”型的關鍵是找到兩個直角三角形外的公共高【題型演練】一、單選題1．如圖，胡同左右兩側是豎直的墻，一架米長的梯子BC斜靠在右側墻壁上，測得梯子與地面的夾角為45°，此時梯子頂端B恰巧與墻壁頂端重合．因梯子阻礙交通，故將梯子底端向右移動一段距離到達D處，此時測得梯子AD與地面的夾角為60°，則胡同左側的通道拓寬了（

）A．米 B．3米 C．米 D．米2．如圖，在點F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達點E即米，在點E處看點D的仰角為64°，則的長用三角函數表示為（

）A． B． C． D．3．一天，小戰(zhàn)和同學們一起到操場測量學校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測得旗桿頂部A的仰角為45°，然后上到斜坡頂部D點處再測得旗桿頂部A點仰角為37°（身高忽略不計）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡長為2.6米，旗桿AB所在旗臺高度EF為1.4米，旗臺底部、臺階底部、操場在同一水平面上．則請問旗桿自身高度AB為（）米．（參考數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.84．如圖，在處測得點在北偏東方向上，在處測得點在北偏東方向上，若米，則點到直線距離為（

）．A．米 B．米 C．米 D．米二、填空題5．如圖所示，為了測量出某學校教學大樓的高度，數學課外小組同學在處，測得教學大樓頂端處的仰角為45°；隨后沿直線向前走了15米后到達處，在處測得處的仰角為30°，已知測量器高1米，則建筑物的高度約為______米．（參考數據：，，結果按四舍五入保留整數）6．永定塔是北京園博園的標志性建筑，其外觀為遼金風格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌．如圖，在A處測得∠CAD＝30°，在B處測得∠CBD＝45°，并測得AB＝52米，那么永定塔的高CD約是_____米．（≈1.4，≈1.7，結果保留整數）7．如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個觀測站，站在站的正東方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是________．8．如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點A，又在河的另一岸邊取兩個點B、C，測得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的長為200米，則河的寬度為_________．（結果保留根號）9．如圖，校園內有一棵與地面垂直的樹，數學興趣小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成60°角時，第二次是陽光與地面成30角時，已知兩次測量的影長相差8米，則樹高AB為多少？___．（結果保留根號）三、解答題10．某數學興趣小組學過銳角三角函數后，計劃測量中原福塔的總高度．如圖所示，在B處測得福塔主體建筑頂點A的仰角為45°，福塔頂部桅桿天線AD高120m，再沿CB方向前進20m到達E處，測得桅桿天線頂部D的仰角為53.4°．求中原福塔CD的總度．（結果精確到1m．參考數據：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）11．如圖，在數學綜合實踐活動中，某小組想要測量某條河的寬度，小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下利用無人機進行測量，在處測得，兩點的俯角分別為45°和30°（即，）．若無人機離地面的高度為120米，且點，，在同一水平直線上，求這條河的寬度．（結果精確到1米）．（參考數據：，）12．如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測角器的高度忽略不計，參考數據：，，13．如圖，山頂上有一個信號塔AC，已知信號塔高AC＝16米，在山腳下點B處測得塔底C的仰角是30°，塔頂A的仰角是45°，求山高CD（點A，C，D在同一條豎直線上）．（結果保留根號）14．二七紀念塔位于鄭州市二七廣場，是獨特的仿古，它是為紀念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀念性建筑物．學完三角函數知識后，某?！睌祵W社團”的劉明和王華決定用自己學到的知識測量二七紀念塔的高度．如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為，向塔方向前進38米在E處測得塔頂端A的仰角為，求二七紀念塔AB的高度（精確到1米，參考數據）．15．如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點處測得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達處，這時小島在船的北偏東方向海里處．（1）求輪船從處到處的航速．（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經過多少時間輪船才恰好位于小島的東南方向？16．如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——10飛機在點發(fā)現航展觀禮臺在俯角為21°方向上.飛機繼續(xù)向前飛行了800米到達點.此時測得點在點俯角為45°的方向上.請你計算當飛機飛到點的正上方點時（點、、在同一直線上），豎直高度約為多少米？（結果保留整數，參考數值：，，）17．科技改變生活，時代將對我們的生活產生意想不到的改變．某數學興趣小組要測量信號塔的高度，如圖，在起點處用高米(米)的測量儀測得信號塔的頂端的仰角為，在同一剖面沿水平地面向前走米到達處，測得頂端的仰角為，求信號塔的高度約為多少米?(精確到米．參考數據：)18．小明和小華進行社會實踐活動時，想利用所學的知識測量某旗桿AB的高度．小明站在點D處利用測傾器測得旗杄頂端A的仰角為45°，小華在BD之間放置一個鏡子，并調整鏡子的位置，當鏡子恰好放在點E處時，位于點D處的小明正好在鏡子中看到旗桿頂端A，此時DE的距離為1.4米，已知測傾器的高為1.75米．請你根據以上信息，計算旗桿AB的高度．19．周日，媽媽帶小嵐到商場的攀巖墻處玩耍如圖，是一攀巖墻，小嵐從攀巖墻底部處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻的處，當他到達處時，媽媽看向他的仰角為，當他到達墻頂處時，媽媽看向他的仰角為(小嵐媽媽的身高均忽略不計)，此時攀巖教練開始釋放手中的繩子，使小嵐以的速度下落到處，再減速下落到地面，則他從處下落到處需要多長時間?(結果保留整數，參考數據：)

20．炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風景名勝區(qū)向陽山（始祖山）上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河．數學活動小組的同學為測量像體的整體高度，在地面上選取兩點和，且點，及其中像體在同一平面內，像體底部與點，在同一條直線上，同學們利用高1m的測傾儀在處測得像頂的仰角為，在處測得像頂的仰角為，且．根據測量小組提供的數據，求該塑像的高度．（結果精確到1m，參考數據：，，．）21．如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點，，，在點處測得天線頂端的仰角為，從點走到點，測得米，從點測得天線底端的仰角為，已知，，在同一條垂直于地面的直線上，米．（1）求與之間的距離；（2）求天線的高度．（參考數據：，結果保留整數）22．為了維護我國海洋權力，海監(jiān)部門對我國領海實行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時60海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東方向上．（1）求B處到燈塔P的距離；（2）已知燈塔P的周圍50海里內有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？23．如圖，在港口A處的正東方向有兩個相距的觀測點B、C，一艘輪船從A處出發(fā)，北偏東方向航行至D處，在B、C處分別測得，求輪船航行的距離AD(參考數據：，，，，，）24．位于河南省登封市境內的元代觀星臺，是中國現存最早的天文臺，也是世界文化遺產之一．某校數學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道上架設測角儀，先在點處測得觀星臺最高點的仰角為，然后沿方向前進到達點處，測得點的仰角為．測角儀的高度為，求觀星臺最高點距離地面的高度(結果精確到．參考數據：)；“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為，請計算本次測量結果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．25．學完三角函數知識后，某?！皵祵W社團”的小明和小華決定用自己學到的知識測量紀念塔的高度．如圖，是高為的測角儀，在處測得塔頂端的仰角為40°，向塔方向前進在處測得塔頂端的仰角為63.4°，求紀念塔的高度(結果取整數)．參考數據：．26．如圖，是一座人行天橋示意圖，天橋離地面的高BC是10m，坡面AC的傾斜角∠CAB＝45°，在距離A點12m處有一建筑物HQ．為方便行人過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面CD的傾斜角∠CDB＝37°，若新坡面下D處需留至少4m人行道，則該建筑物HQ是否需要拆除？請通過計算說明理由．（參考數據：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）27．某中學九年級數學興趣小組欲利用所學知識測量白塔的高度，測量過程如下：如圖，先在點處用測角儀測得塔頂仰角為，然后沿方向前行12米到達點處，在點處用測角儀測得塔頂仰角為，已知測角儀高為1米，、、三點在一條直線上，求塔的高度.（結果保留根號）專題15解直角三角形中的母抱子模型【模型展示】特點通過在三角形外作高AC，構造出兩個直角三角形求解，其中公共邊AC是解題的關鍵.在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC為公共邊，DC+BD=BC.結論“母包子”型的關鍵是找到兩個直角三角形外的公共高【題型演練】一、單選題1．如圖，胡同左右兩側是豎直的墻，一架米長的梯子BC斜靠在右側墻壁上，測得梯子與地面的夾角為45°，此時梯子頂端B恰巧與墻壁頂端重合．因梯子阻礙交通，故將梯子底端向右移動一段距離到達D處，此時測得梯子AD與地面的夾角為60°，則胡同左側的通道拓寬了（

）A．米 B．3米 C．米 D．米【答案】D【分析】根據等腰直角三角形的性質分別求出EC、EB，根據正切的定義求出DE，結合圖形計算得到答案．【詳解】解：在中，，（米，在中，，（米，米，故選：D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．2．如圖，在點F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達點E即米，在點E處看點D的仰角為64°，則的長用三角函數表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據題目條件，利用外角的性質，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的長度．【詳解】∵∠F=32°，∠DEC=64°，∴∠DEF=,∴,由題可知，△DCE為直角三角形，在Rt△DEC中，即：,∴,故選：C【點睛】本題考查三角形的外角，等腰三角形的性質，解直角三角形的運算，解題關鍵是利用三角形的外角得出等腰三角形．3．一天，小戰(zhàn)和同學們一起到操場測量學校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測得旗桿頂部A的仰角為45°，然后上到斜坡頂部D點處再測得旗桿頂部A點仰角為37°（身高忽略不計）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡長為2.6米，旗桿AB所在旗臺高度EF為1.4米，旗臺底部、臺階底部、操場在同一水平面上．則請問旗桿自身高度AB為（）米．（參考數據：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8【答案】B【分析】如圖，作交的延長線于，延長交的延長線于，作于．設，在中，根據，構造方程解決問題即可．【詳解】解：如圖，作DH⊥FC交FC的延長線于H，延長AB交CF的延長線于T，作DJ⊥AT于J．由題意四邊形EFTB、四邊形DHTJ是矩形，∴BT=EF=1.4米，JT=DH，在Rt△DCH中，∵CD=2.6米，=，∴DH=1（米），CH=2.4（米），∵∠ACT=45°，∠T=90°，∴AT=TC，設AT=TC=x．則DJ=TH=（x+2.4）米，AJ=（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ==0.75，∴=0.75，解得x=2，∴AB=AT﹣BT=AT﹣EF=11.2﹣1.4=9.8（米），故選：B．【點睛】本題考查解直角三角形的應用測量高度問題，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，要熟練掌握仰角，坡度等概念，為中考常見題型．4．如圖，在處測得點在北偏東方向上，在處測得點在北偏東方向上，若米，則點到直線距離為（

）．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】設點到直線距離為米，根據正切的定義用表示出、，根據題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：設點到直線距離為米，在中，，在中，，由題意得，，解得，（米，故選：．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數的定義、正確標注方向角是解題的關鍵．二、填空題5．如圖所示，為了測量出某學校教學大樓的高度，數學課外小組同學在處，測得教學大樓頂端處的仰角為45°；隨后沿直線向前走了15米后到達處，在處測得處的仰角為30°，已知測量器高1米，則建筑物的高度約為______米．（參考數據：，，結果按四舍五入保留整數）【答案】21【分析】設AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，根據利用特殊角三角函數值可得關于x的方程，解之可得答案．【詳解】解：由題意可得四邊形FDCE，四邊形ECBG，四邊形FDBG均為矩形設AG=x米，由∠AEG=45°得EG=AG=x，FG=EG+EF=x+15，在Rt△AFG中，解得：∴故答案為：21【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，解題的關鍵是利用數形結合的思想找出各邊之間的關系，然后找出所求問題需要的條件．6．永定塔是北京園博園的標志性建筑，其外觀為遼金風格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌．如圖，在A處測得∠CAD＝30°，在B處測得∠CBD＝45°，并測得AB＝52米，那么永定塔的高CD約是_____米．（≈1.4，≈1.7，結果保留整數）【答案】74【分析】首先證明BD＝CD，設BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由∠A＝30°，推出AD＝CD，由此構建方程即可解決問題．【詳解】如圖，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°，∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，設BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CD，∴52+x＝x，∴x＝≈74（m），故答案為74，【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．7．如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個觀測站，站在站的正東方向上，從站測得船在北偏東的方向上，從站測得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是________．【答案】【分析】過點C作CD⊥AB于點D，然后根據等腰三角形和判定和性質以及解直角三角形的應用即可求出答案．【詳解】過點C作CD⊥AB于點D，根據題意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=4km，在Rt△CBD中，∴CD=BC?sin60°()∴船C到海岸線的距離是．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質以及解直角三角形的應用－方向角問題，解題的關鍵是熟練運用銳角三角函數的定義．8．如圖，為了測量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點A，又在河的另一岸邊取兩個點B、C，測得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的長為200米，則河的寬度為_________．（結果保留根號）【答案】（+1）m【分析】直接過點A作AD⊥BC于點D，利用tan30°==，進而得出答案．【詳解】過點A作AD⊥BC于點D，∵∠β=45°，∠ADC=90°，∴AD=DC，設AD=DC=xm，則tan30°=，解得：x=100（+1），答：河的寬度為100（+1）m．故答案是：100（+1）m．【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用、特殊角的的三角函數值，正確得出AD=CD是解題關鍵．9．如圖，校園內有一棵與地面垂直的樹，數學興趣小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成60°角時，第二次是陽光與地面成30角時，已知兩次測量的影長相差8米，則樹高AB為多少？___．（結果保留根號）【答案】米【分析】設，利用正切的定義以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可．【詳解】解：設米在中，，則在中，，則，即，解得即米故答案為米【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，涉及正切的定義，解題的關鍵是掌握正切三角函數的定義以及特殊角的正切值．三、解答題10．某數學興趣小組學過銳角三角函數后，計劃測量中原福塔的總高度．如圖所示，在B處測得福塔主體建筑頂點A的仰角為45°，福塔頂部桅桿天線AD高120m，再沿CB方向前進20m到達E處，測得桅桿天線頂部D的仰角為53.4°．求中原福塔CD的總度．（結果精確到1m．參考數據：sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）【答案】中原福塔CD的總高度約為389m．【分析】設AC為xm，則CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，可得BC=AC=x，從而得到CE=x+20，然后在Rt△DCE中，利用銳角三角函數，可得到tan∠DEC=，即可求解．【詳解】解：如圖，設AC為xm，則CD=（x+120）m，在Rt△ACB中，∠ABC=45°，∴BC=AC=x，∴CE=x+20，在Rt△DCE中，tan∠DEC=，∠DEC=53.4°，即≈1.346，解得：x≈269.0，∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的總高度約為389m．【點睛】本題主要考查了解直角三角形及其應用，明確題意，熟練掌握銳角三角函數關系是解題的關鍵．11．如圖，在數學綜合實踐活動中，某小組想要測量某條河的寬度，小組成員在專業(yè)人員的協(xié)助下利用無人機進行測量，在處測得，兩點的俯角分別為45°和30°（即，）．若無人機離地面的高度為120米，且點，，在同一水平直線上，求這條河的寬度．（結果精確到1米）．（參考數據：，）【答案】88米【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用銳角三角函數，用PQ表示出AQ、BQ的長，然后計算出AB的長．【詳解】解：，，，在Rt△APQ中，，，（米），在Rt△BPQ，，（米），（米），答：這條河的寬度約為88米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角、俯角問題．解決本題的關鍵是用含PQ的式子表示出AQ和BQ．12．如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測角器的高度忽略不計，參考數據：，，【答案】宣傳牌的高度為2米．【分析】過E分別作CD、AC的垂線，設垂足為F、C，則CF=EG，CG=EF，然后在、、中解直角三角形即可．【詳解】解：過分別作、的垂線，設垂足為、，則，，在中，斜坡的坡度，米，設米，米，，，米，米，在中，，米，（米），在中，（米），（米）．答：宣傳牌的高度為2米．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用-仰角、俯角問題，正確作出輔助線、構建直角三角形，將實際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關鍵．13．如圖，山頂上有一個信號塔AC，已知信號塔高AC＝16米，在山腳下點B處測得塔底C的仰角是30°，塔頂A的仰角是45°，求山高CD（點A，C，D在同一條豎直線上）．（結果保留根號）【答案】【分析】分別解和，得到、，根據即可求解．【詳解】解：在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，掌握正切的定義是解題的關鍵．14．二七紀念塔位于鄭州市二七廣場，是獨特的仿古，它是為紀念京漢鐵路工人大罷工而修建的紀念性建筑物．學完三角函數知識后，某?！睌祵W社團”的劉明和王華決定用自己學到的知識測量二七紀念塔的高度．如圖，CD是高為1米的測角儀，在D處測得塔頂端A的仰角為，向塔方向前進38米在E處測得塔頂端A的仰角為，求二七紀念塔AB的高度（精確到1米，參考數據）．【答案】二七紀念塔AB的高度約為62米【分析】由題意根據正切的定義分別用AG表示出，進而根據列出算式求出AG的長，計算即可．【詳解】解：在中，，，在中，，，，，，．答：二七紀念塔AB的高度約為62米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的概念以及熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．15．如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點處測得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達處，這時小島在船的北偏東方向海里處．（1）求輪船從處到處的航速．（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經過多少時間輪船才恰好位于小島的東南方向？【答案】（1）海里/小時．（2）小時．【分析】（1）過作，利用特殊三角函數解直角三角形，分別求得OC、BC、AC的長，進而可求得AB的長，再根據速度=路程÷時間解答即可；（2）如圖，根據題意可判斷△OCD為等腰直角三角形，則CD=OC，進而可得BD的長，再由時間=路程除速度求解即可．【詳解】（1）過作，由題意得海里，，，（海里），（海里），（海里），（海里），速度：（海里/小時）．（2）如圖，由題意，，點在的東南方向，∴△OCD為等腰直角三角形，∴（海里），（海里），（小時），經過小時后到達．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，特殊角的三角函數值，理解方位角的概念，熟練運用三角函數解直角三角形是解答的關鍵．16．如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——10飛機在點發(fā)現航展觀禮臺在俯角為21°方向上.飛機繼續(xù)向前飛行了800米到達點.此時測得點在點俯角為45°的方向上.請你計算當飛機飛到點的正上方點時（點、、在同一直線上），豎直高度約為多少米？（結果保留整數，參考數值：，，）【答案】豎直高度約為490米．【分析】根據題意直接利用解直角三角形的方法進行求解即可．【詳解】解：如圖：∴∵∴∵∴∴．答：豎直高度約為490米．【點睛】本題主要考查解直角三角形，關鍵是根據題意利用三角函數進行求解即可．17．科技改變生活，時代將對我們的生活產生意想不到的改變．某數學興趣小組要測量信號塔的高度，如圖，在起點處用高米(米)的測量儀測得信號塔的頂端的仰角為，在同一剖面沿水平地面向前走米到達處，測得頂端的仰角為，求信號塔的高度約為多少米?(精確到米．參考數據：)【答案】該信號塔的高度約為米【分析】本題首先假設AB的長度為x，繼而表示BE的長度，利用正切三角函數表示DE，進一步表示CE，最后再次利用正切三角函數列式求解．【詳解】由已知得：，，設為米，則米，在中，，，，在中，．，求解得：（米）．故該信號塔的高度約為米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，解題關鍵在于對各種三角函數概念的理解，并結合具體圖形情況，適時選取合適的三角函數以提升解題效率．18．小明和小華進行社會實踐活動時，想利用所學的知識測量某旗桿AB的高度．小明站在點D處利用測傾器測得旗杄頂端A的仰角為45°，小華在BD之間放置一個鏡子，并調整鏡子的位置，當鏡子恰好放在點E處時，位于點D處的小明正好在鏡子中看到旗桿頂端A，此時DE的距離為1.4米，已知測傾器的高為1.75米．請你根據以上信息，計算旗桿AB的高度．【答案】旗桿AB的高度為15.75米【分析】過點C作CF⊥AB于點F，可得四邊形FBDC是矩形，根據入射角等于反射角可得，∠CED＝∠AEB，所以tan∠CED＝tan∠AEB，進而可求AF的長，最后求出AB的長．【詳解】解：如圖，過點C作CF⊥AB于點F，可得四邊形FBDC是矩形，∴FB＝CD＝1.75，FC＝BD＝BE+1.4，根據題意，得∠ACF＝45°，∴AF＝CF，根據入射角等于反射角可知：∠CED＝∠AEB，∴tan∠CED＝tan∠AEB，∴，∴，∵AF＝FC，∴解得AF＝14，∴AB＝AF+FB＝14+1.75＝15.75（米）．答：旗桿AB的高度為15.75米．【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，涉及到入射角和反射角的問題，能夠正確理解正切的含義是解題的關鍵．19．周日，媽媽帶小嵐到商場的攀巖墻處玩耍如圖，是一攀巖墻，小嵐從攀巖墻底部處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻的處，當他到達處時，媽媽看向他的仰角為，當他到達墻頂處時，媽媽看向他的仰角為(小嵐媽媽的身高均忽略不計)，此時攀巖教練開始釋放手中的繩子，使小嵐以的速度下落到處，再減速下落到地面，則他從處下落到處需要多長時間?(結果保留整數，參考數據：)

【答案】小嵐從處下落到處需要【分析】在中，利用三角函數解直角三角形可得CD；在中，利用三角函數解直角三角形可得AD，進而得到AC的長度，即可求解．【詳解】解：根據題意可知，在中，即∴（m）在中，即答：小嵐從處下落到處需要．【點睛】此題主要考查利用三角形函數解直角三角形，熟練掌握銳角的三角函數概念是解題關鍵．20．炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風景名勝區(qū)向陽山（始祖山）上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河．數學活動小組的同學為測量像體的整體高度，在地面上選取兩點和，且點，及其中像體在同一平面內，像體底部與點，在同一條直線上，同學們利用高1m的測傾儀在處測得像頂的仰角為，在處測得像頂的仰角為，且．根據測量小組提供的數據，求該塑像的高度．（結果精確到1m，參考數據：，，．）【答案】該塑像的高度約為．【分析】延長CD交MN于E，則CE⊥MN，NE=BD=AC=1m，∠MDE=45°，∠MCE=35°，CD=AB=45m，在Rt△DEM中，求出ME=DE，在Rt△CEM中，利用勾股定理求出ME的長，即可得出答案．【詳解】延長交于，如圖所示：由題意得：，，，，在中，，∴，在中，，∴，解得：，∴；答：該塑像的高度約為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角問題；通過作輔助線得出直角三角形，正確求解是解題的關鍵．21．如圖，某樓房頂部有一根天線，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點，，，在點處測得天線頂端的仰角為，從點走到點，測得米，從點測得天線底端的仰角為，已知，，在同一條垂直于地面的直線上，米．（1）求與之間的距離；（2）求天線的高度．（參考數據：，結果保留整數）【答案】（1）之間的距離為30米；（2）天線的高度約為27米．【分析】（1）根據題意，∠BAD=90°，∠BDA=45°，故AD=AB，已知CD=5，不難算出A與C之間的距離．（2）根據題意，在中，，利用三角函數可算出AE的長，又已知AB，故EB即可求解．【詳解】（1）依題意可得，在中，，米，米，米.即之間的距離為30米．（2）在中，，米，（米），米，米．由．并精確到整數可得米．即天線的高度約為27米．【點睛】（1）本題主要考查等腰直角三角形的性質，掌握等腰直角三角形的性質是解答本題的關鍵．（2）本題主要考查三角函數的靈活運用，正確運用三角函數是解答本題的關鍵．22．為了維護我國海洋權力，海監(jiān)部門對我國領海實行了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務的海監(jiān)船以每小時60海里的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔P在北偏東方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時到達B處，此時測得燈塔P在北偏東方向上．（1）求B處到燈塔P的距離；（2）已知燈塔P的周圍50海里內有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？【答案】（1）B處到燈塔P的距離為60海里；（2）海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度數，證得△ABP為等腰三角形，即可解決問題；（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．【詳解】（1）過點P作PD⊥AB于點D，由題意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，∴PB=AB=60（海里），答：B處到燈塔P的距離為60海里；（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，∴PB=AB=60（海里）在Rt△PBD中，PD=BPsin60°60（海里），∵，∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，正確根據題意畫出圖形、準確標注方向角、熟練掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵．23．如圖，在港口A處的正東方向有兩個相距的觀測點B、C，一艘輪船從A處出發(fā)，北偏東方向航行至D處，在B、C處分別測得，求輪船航行的距離AD(參考數據：，，，，，）【答案】20km【分析】過點作，垂足為，通過解和得和，根據求得DH，再解求得AD即可．【詳解】解：如圖，過點作，垂足為在中，在中，在中，（km）因此，輪船航行的距離約為【點睛】此題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，銳角三角函數，勾股定理．作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．24．位于河南省登封市境內的元代觀星臺，是中國現存最早的天文臺，也是世界文化遺產之一．某校數學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道上架設測角儀，先在點處測得觀星臺最高點的仰角為，然后沿方向前進到達點處，測得點的仰角為．測角儀的高度為，求觀星臺最高點距離地面的高度(結果精確到．參考數據：)；“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為，請計算本次測量結果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次測量，求平均值【分析】（1）過點A作AE⊥MN交MN的延長線于點E，交BC的延長線于點D，根據條件證出四邊形BMNC為矩形、四邊形CNED為矩形、三角形ACD與三角形ABD均為直角三角形，設AD的長為xm，則CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的長度，再加上DE的長度即可