四川省成都列五2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考試卷+數(shù)學(xué)答案

高三數(shù)學(xué)一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式求出集合，，再根據(jù)交集的定義求解即可．【詳解】由，，則，即，故選：C.2.函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：D.3.展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)即可求解.【詳解】展開(kāi)式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，故選：C.4.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則滿(mǎn)足的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的定義域及單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，解不等式得.故選：D5.體育課上甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為（）A.0.38 B.0.24 C.0.14 D.0.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.【詳解】甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為，故選：A6.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以有，即，故選：A7.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，則的最小值為（）A.4 B.C. D.8【答案】D【解析】【分析】先求出對(duì)數(shù)函數(shù)的定點(diǎn),再結(jié)合點(diǎn)在線上得出1,最后應(yīng)用基本不等式常值代換計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以即因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故選：D.8.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，對(duì)于都有成立，且，當(dāng)，且時(shí)，都有．則給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為；③函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)；④方程在上有4個(gè)根；其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】對(duì)于①，令代入已知等式可求出，再結(jié)合其為偶函數(shù)可得f3=0，從而可求出函數(shù)的周期為6，利用周期可求得結(jié)果；對(duì)于②，由為偶函數(shù)，結(jié)合周期為6分析判斷；對(duì)于③，由當(dāng)，且時(shí)，都有，可得y=fx在上為嚴(yán)格增函數(shù)，再結(jié)合其為偶函數(shù)及周期為6分析判斷；對(duì)于④，由f3=0，的周期為6，及函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.【詳解】①：對(duì)于任意，都有成立，令，則，解得，又因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以f3=0所以，所以函數(shù)的周期為6，所以，又由，故；故①正確；②：由（1）知的周期為6，又因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以，而的周期為6，所以，，所以：，所以直線是函數(shù)y=fx的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．故②正確；③：當(dāng)，且時(shí)，都有．所以函數(shù)y=fx在上為嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=fx在上為嚴(yán)格減函數(shù)，而的周期為6，所以函數(shù)y=fx在上為嚴(yán)格減函數(shù)．故③正確；④：f3=0，的周期為6，所以，又在先嚴(yán)格遞減后嚴(yán)格遞增，所以在上除端點(diǎn)外不存在其他零點(diǎn)，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)y=fx在上有四個(gè)零點(diǎn)．故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查抽象函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱(chēng)性，單調(diào)性和周期性，解題的關(guān)鍵是利用賦值法求出f3=0，從而可得，得到周期為6，然后結(jié)合周期性和奇偶性分析判斷，考查分析問(wèn)題的能力，屬于較難題二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】對(duì)所給的函數(shù)注意判斷即可.【詳解】對(duì)A：是偶函數(shù)，在上遞減，排除A；對(duì)B：為偶函數(shù)，在上遞增，故B正確；對(duì)C：為偶函數(shù)，在上遞增，故C正確；對(duì)D：為奇函數(shù)，排除D.故選：BC10.已知函數(shù)，則（）A.在單調(diào)遞增B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.的最小值為D.在點(diǎn)處切線為【答案】ACD【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷ABC，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，判斷D.【詳解】，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以在1,+∞單調(diào)遞增，故A正確；，得，當(dāng)，f′x<0，當(dāng)，f′x>0，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，C正確，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D，f1=0，，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，故故選：ACD.11.在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類(lèi)似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（）A.開(kāi)口向上的拋物線的方程為B.ABC.直線截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，利用旋轉(zhuǎn)前后拋物線焦點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸變化，即可確定拋物線方程；對(duì)于B，聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即得；對(duì)于C，將直點(diǎn)線與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式求得弦長(zhǎng)，利用換元和函數(shù)的圖象即可求得弦長(zhǎng)最大值；對(duì)于D，利用以直線近似取代曲線的思想求出三角形面積，即可對(duì)陰影部分面積大小進(jìn)行判斷.【詳解】由題意，開(kāi)口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對(duì)稱(chēng)性，可得,故，即B正確；對(duì)于C，如圖，設(shè)直線與第一象限花瓣分別交于點(diǎn),由解得，由解得，,即得,則弦長(zhǎng)為：，由圖知，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最小值0，即在第一象限部分滿(mǎn)足，不妨設(shè)，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)圖象知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的切線與直線平行，由可得切點(diǎn)坐標(biāo)為,因,則點(diǎn)到直線的距離為，于是,由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查曲線與方程的聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結(jié)合圖形對(duì)稱(chēng)性特征，通過(guò)曲線方程聯(lián)立，計(jì)算判斷，并運(yùn)用函數(shù)的圖象單調(diào)性情況，有時(shí)還需要以直代曲的思想進(jìn)行估算、判斷求解.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12.__________.【答案】12【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知.故答案為：1213.已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，則與的大小關(guān)系是______．【答案】【解析】【分析】由得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，從而得到方程，求出，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性比較出大小.【詳解】以為，所以為二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，所以，解得．根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故答案為：14.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).點(diǎn)為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足.給出下列四個(gè)結(jié)論：①線段長(zhǎng)度的最大值為；②存在點(diǎn)，使得；③存在點(diǎn)，使得；④是等腰三角形.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①③④【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)驗(yàn)證垂直判斷①，找出平行直線再由坐標(biāo)判斷是否垂直可判斷B，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)條件列出方程組②，探求是否存在符合條件的解判斷③④【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)①，由正方體性質(zhì)知當(dāng)P在時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值為，此時(shí)，，所以，即滿(mǎn)足，故①正確；對(duì)②，取正方形的中心M，連接，易知，所以四邊形為平行四邊形，所以，故運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，，此時(shí)，，，即不滿(mǎn)足，綜上不存在點(diǎn)，使得，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，設(shè)，則，，若存在，由，可得方程組，化簡(jiǎn)可得，解得，顯然當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足題意，即存在點(diǎn)，使得，故③正確；對(duì)④，設(shè)，若，則，化簡(jiǎn)可得，由③知時(shí)可得，所以不妨取，此時(shí)在正方體表面上，滿(mǎn)足題意，故④正確.故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵之處在于建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算建立方程，探求是否存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，運(yùn)算比較復(fù)雜，屬于難題.四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等比中項(xiàng)公式列出關(guān)于和d的方程，求解即可得an的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得等比數(shù)列的第三項(xiàng)，進(jìn)而得，從而得到bn的通項(xiàng)公式，利用等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分組求和即可求出.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閍n為等差數(shù)列，設(shè)公差為d由，得，即，由，，成等比數(shù)列得，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以．所以．綜上．【小問(wèn)2詳解】由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，所以.綜上.16.如圖，在四棱錐中，底面為正方形、平面分別為棱的中點(diǎn)（1）證明：平面;（2）若，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題意易知，根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；（2）由題意，兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量與平面的法向量,再通過(guò)空間角的向量求解即可.【小問(wèn)1詳解】分別為的中點(diǎn)為正方形平面平面平面.【小問(wèn)2詳解】由題知平面建立如圖所示的空間直角堅(jiān)標(biāo)系，，則,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=則,令則,設(shè)直線與平面所或的角為,，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.為了調(diào)查學(xué)生喜歡跑步是否與性別有關(guān)，高三年級(jí)特選取了200名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡跑步不喜歡跑步合計(jì)男生80女生20合計(jì)已知在這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡跑步概率為0.6．（1）判斷：是否有90%的把握認(rèn)為喜歡跑步與性別有關(guān)？（2）從上述不喜歡跑步的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再在這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的運(yùn)動(dòng)，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．【答案】（1）沒(méi)有（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)卡方計(jì)算公式求解卡方，即可與臨界值比較求解，（2）根據(jù)分層抽樣比求解抽取人數(shù)，即可利用超幾何分布概率公式求解概率，進(jìn)而得分布列求解.【小問(wèn)1詳解】由題可知，從200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡跑步的概率為0.6，故喜歡跑步的人有（人），不喜歡跑步的人有（人）．

喜歡跑步不喜歡跑步合計(jì)男生8060140女生402060合計(jì)12080200∴，，，，，故無(wú)90%把握認(rèn)為喜歡跑步與性別有關(guān)．【小問(wèn)2詳解】按分層抽樣，設(shè)女生名，男生名，，解得，，∴從不喜歡跑步的學(xué)生中抽取女生2名，男生6名，故，1，2．，，，故X的分布為：012∴．18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先明確函數(shù)定義域和求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)特征對(duì)進(jìn)行和的分類(lèi)討論導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可得單調(diào)性.（2）證，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證，接著構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性和最值即可得證.【小問(wèn)1詳解】由題函數(shù)定義域?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，令，則時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】由（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上恒成立，故證證，即，令，則，故當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，故，所以當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：證明含參函數(shù)不等式問(wèn)題通常轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)最值問(wèn)題，第（2）問(wèn)證當(dāng)時(shí)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證，接著根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化和構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性和最值即可得證.19.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與的右支及漸近線的交點(diǎn)自上而下依次為，證明：；（3）求二元二次方程的正整數(shù)解，可先找到初始解，其中為所有解中的最小值，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；重?fù)上述過(guò)程，因?yàn)榕c的展開(kāi)式中，不含的部分相等，含的部分互為相反數(shù)，故可設(shè)，所以．若方程的正整數(shù)解為，且初始解，則的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）為定值1，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)和頂點(diǎn)到漸近線的距離求