直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（九大題型）講義（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

第04講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：直線與圓的位置關(guān)系....................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：圓與圓的位置關(guān)系......................................................4

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷...............................................5

題型二：弦長(zhǎng)與面積問題.........................................................6

題型三：切線問題'切線長(zhǎng)問題...................................................7

題型四：切點(diǎn)弦問題.............................................................8

題型五：圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問題.............................................9

題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題..................................10

題型七：圓與圓的位置關(guān)系......................................................11

題型八：兩圓的公共弦問題......................................................12

題型九：兩圓的公切線問題......................................................13

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................14

05課本典例高考素材............................................................15

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................16

易錯(cuò)點(diǎn)：求與圓的切線有關(guān)的問題................................................16

答題模板：已知直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)................................16

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的考

2024年甲卷(文)第12題，5分

查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變

(1)直線與圓的位置關(guān)2023年乙卷(理)第12題，5分

化不大，但命題形式上比較靈活，備考時(shí)應(yīng)熟

系2023年I卷第6題，5分

練掌握相關(guān)題型與方法，除了直線與圓、圓與

(2)圓與圓的位置關(guān)系2023年H卷第15題，5分

圓的位置關(guān)系的判斷外，還特別要重視直線與

2022年I卷第14題，5分

圓相交所得弦長(zhǎng)及相切所得切線的問題.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

(2)能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.

匐2

〃知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

直線與圓、圓與圓的位

置關(guān)系

相交

老占突硒?力理慳宙

------

知識(shí)JJ

知識(shí)點(diǎn)1:直線與圓的位置關(guān)系

1、幾何法(圓心到直線的距離和半徑關(guān)系)

圓心(0力)到直線Ac+By+C=0的距離，則4=如+刖+□:

A/A2+B2

d<ro直線與圓相交，交于兩點(diǎn)P,Q,|P2l=2/2一建；

d=ro直線與圓相切；

d>ro直線與圓相離

2、代數(shù)方法(幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù))

fAx+By+C=O

由［(x-a)2+(y一份？=r2，

消元得到一元二次方程px2+qx+1=0，px1+qx+t=o判別式為△,則:

A>0o直線與圓相交；

A=0o直線與圓相切；

A<0o直線與圓相離.

【診斷自測(cè)】已知圓C：(x-3)2+(y-2)2=9,直線/：陽->-3m+3=0,則直線/與圓C的位置關(guān)系為

()

A.相交B.相切C.相離D.不確定

知識(shí)點(diǎn)2：圓與圓的位置關(guān)系

用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：

設(shè)兩圓a，q的半徑分別是火,廠，(不妨設(shè)尺>廠)，且兩圓的圓心距為d,貝U：

d<R+r=兩圓相交；

d=R+r=兩圓外切；

R-r<d<R+r=兩圓相離

d=R-ro兩圓內(nèi)切；

OVd<A-r=兩圓內(nèi)含(d=0時(shí)兩圓為同心圓)

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示:

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

幾何特征d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd-R-rd<R-r

代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解

公切線條數(shù)43210

【診斷自測(cè)】(2024?廣東廣州.二模)若直線皿史1與圓O:/+y2=i相切，則圓。-4+⑶-力2=；與圓o

()

A.外切B.相交C.內(nèi)切D.沒有公共點(diǎn)

解題方法總結(jié)

關(guān)于圓的切線的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)過圓/+/=/上一點(diǎn)尸?,,%)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2

(2)過圓(x—a)2+(y_b)2=/上一點(diǎn)尸(灰,打)的圓的切線方程為

2

(%-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r

(3)過圓％2+y2+￡>%+Ky+尸=0上一點(diǎn)尸(看,%)的圓的切線方程為

xox+yoy+D-^^+E-^^+F=0

(4)求過圓三+、2=/外一點(diǎn)尸8打)的圓的切線方程時(shí)，應(yīng)注意理解：

①所求切線一定有兩條；

②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對(duì)所求直線的斜率是否存在加以討論.設(shè)切線方程為>-%=左。-％),利用

圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于女的方程，求出k值.若求出的k值有兩個(gè)，則說明斜率不存在的情

形不符合題意；若求出的k值只有一個(gè)，則說明斜率不存在的情形符合題意.

題型洞察

題型一：直線與圓的位置關(guān)系的判斷

【典例1-1】(2024?安徽?模擬預(yù)測(cè))已知直線/:x+(l+a)y=2—。，圓C:Y+；/_6x+4y+12=0,則該動(dòng)

直線與圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不確定

【典例1-2】已知集合A={(尤,y)|x-y=l},B=j(x,y)|(x-2)2+(j+3)2=9},則AcB的子集個(gè)數(shù)為

().

A.2B.3C.4D.1

【方法技巧】

判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法

（1）幾何法：利用d與r的關(guān)系.

（2）代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

【變式1-1】已知圓C經(jīng)過三點(diǎn)（5,3）,（—2,2）,（-1,-5）,則直線/：3x+4y+8=0與圓C的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切

C.相交且直線/過圓心D.相交且直線/不過圓心

【變式1-2】直線/：氏0$。+*11"2=。與圓0：/+3；2=1的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【變式1-3】集合人工卜丫獷+y=水?！怠＃?，集合8={（尤,刈閔+*2},若Ac5中有8個(gè)元素，貝!

值可能為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式1-4】已知2尤%=6,則圓/+；/=i與直線不工+%，=2的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交C.相離D.不確定

題型二：弦長(zhǎng)與面積問題

【典例2-1]（2024?江西上饒?模擬預(yù)測(cè)）直線2x-sin6+y=0被圓f+/一20+2=0截得最大弦長(zhǎng)為

【典例2-2]（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知直線依->+2=0與圓

（7:尤2+丫2一2天-3=0交于48兩點(diǎn)，若鈍角VABC的面積為百，則實(shí)數(shù)。的值是—.

【方法技巧】

弦長(zhǎng)問題

①利用垂徑定理：半徑『，圓心到直線的距離心弦長(zhǎng)/具有的關(guān)系,=/+j）2,這也是求弦長(zhǎng)最常

用的方法.

②利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦

長(zhǎng).

③利用弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線/:y=^+b,與圓的兩交點(diǎn)（王，％）,（芍，女），將直線方程代入圓的方程,

消元后利用根與系數(shù)關(guān)系得弦長(zhǎng)：1=^/i+^5-七1=，（1+3）［（西+々）2-4P2］=&1+K）-W.

［變式2-1］（2024?高三?北京.開學(xué)考試）直線尤_y+3=0被圓Y+y2+2x_4y=0所截得的弦長(zhǎng)為—.

【變式2-2］（2024.天津武清?模擬預(yù)測(cè)）已知直線為+＞-5=0與圓C：f+;/-4x+2y-n?=。相交于A,

B兩點(diǎn)，且|AB|=4,則實(shí)數(shù)根=.

【變式2-3］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-Sx=0,過點(diǎn)尸（加,“）的動(dòng)直線/與圓C交于點(diǎn)

M,N,若△MCN的面積最大值為4百，則巴的最大值為.

m

【變式2-4］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)A（0,-3）的直線/與圓

C:無2+（＞_2）2=9相交于M,N兩點(diǎn)，若50的=引“.，則直線/的斜率為.

【變式2-5】直線/與圓0：/+尸=4交于A,B兩點(diǎn),若。4.08=T，則|鈿|=.

【變式2-6】已知直線y=x+4與圓。乂%一1）2+（＞一3）2=8交于河，N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝I］

\MN\^_,OMON=—.

【變式2-7］（2024?江蘇南京三模）已知圓。:/+丁=2,過點(diǎn)M（l,3）的直線/交圓。于A,3兩點(diǎn)，且

\AB\=2,則直線/的方程為.

題型三：切線問題、切線長(zhǎng)問題

【典例3-1】圓C:（x-iy+y2=4在點(diǎn)網(wǎng)°，括）處的切線方程為.

【典例3-2】已知圓C：（X-2）2+/=1,過直線x-0y=O上點(diǎn)尸引圓C的切線，切點(diǎn)為A,B,則當(dāng)

△ABC的面積最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【方法技巧】

（1）圓的切線方程的求法

①點(diǎn),%）在圓上，

法一：利用切線的斜率右與圓心和該點(diǎn)連線的斜率左切的乘積等于-1,即%.-k,=-l.

法二：圓心。到直線/的距離等于半徑r.

②點(diǎn)Af（%,%）在圓外，則設(shè)切線方程：y—y0=k（x—x0）,變成一般式：kx-y+yo—kxo=O,因?yàn)?/p>

與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出h

注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有

一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上.

(2)常見圓的切線方程

2212

過圓x+y=r上一■點(diǎn)P(x0,%)的切線方程是xox+yoy=r;

過圓(x—a)?+(y—b)”=/上一"點(diǎn)尸(x。，_y0)的切線方程是(x0—a)(x—a)+(_y0—b)(y—b)—r~~

【變式3-1](2024.河北邢臺(tái).一模)已知。>0,過點(diǎn)式恰好只有一條直線與圓E：尤2+/-4x+2y=。

相切，則。=—,該直線的方程為一.

【變式3-2](2024?高三?貴州安順?期末)在平面直角坐標(biāo)系X。，中，一條光線從點(diǎn)A(2,0)時(shí)出，經(jīng)直線

>反射后，與圓C:(x-4)2+(y-2產(chǎn)=1相切，寫出一條反射后光線所在直線的方程—.

【變式3-3](2024?安徽?三模)已知曲線G：(x-2>+(y+l)2=5與曲線C2：y=/在第一象限交于點(diǎn)A,記

兩條曲線在點(diǎn)A處的切線的傾斜角分別為以尸9<6)，則tan(尸-0=.

【變式3-4】關(guān)于曲線C:(x-租)2+(y-2租)2=5有以下五個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)機(jī)=1時(shí)，曲線C表示圓心為(1,2),半徑為豐的圓；

②當(dāng)m=0,〃=2時(shí)，過點(diǎn)(3,3)向曲線C作切線，切點(diǎn)為A,B,則直線A8的方程為3x+3y-2=0；

③當(dāng)機(jī)=1,〃=0時(shí)，過點(diǎn)(2。向曲線C作切線，則切線方程為了=-彳(》-2)；

④當(dāng)〃=加力0時(shí)，曲線C表示圓心在直線>=2元上的圓系，且這些圓的公切線方程為>=彳或y=7尤；

⑤當(dāng)〃=4,機(jī)=0時(shí)，直線區(qū)—y+l—2左=0(左cR)與曲線C表示的圓相離.

以上正確結(jié)論的序號(hào)為.

【變式3-5]圓O：/+y2=l,直線/m+y=3,若直線上存在點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作圓。的兩條切線，切點(diǎn)是

A,B,使得/4尸8=60°,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

題型四：切點(diǎn)弦問題

【典例4-1】已知點(diǎn)尸是直線2尤+>-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓O：尤2+丁=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為

A,B,則點(diǎn)2(|,1)到直線AB的距離的最大值為一.

【典例4-2】(2024.高三.黑龍江牡丹江?期中)過原點(diǎn)。作圓C:尤2+V+4x+4y+5=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)

分別為A,8,則直線AB的方程為.

【方法技巧】

過圓—+y2=產(chǎn)外一點(diǎn)尸（/，%）作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為No'=尸2

過曲線上產(chǎn)（々,為）,做曲線的切線，只需把一替換為x°x,/替換為X替換為三，y替

2

換為為士2即可，因此可得到上面的結(jié)論.

2

【變式4-1］（2024.貴州.高三凱里一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓C：/+V—2y=0,過直線/:x+y+l=0

上任意一點(diǎn)乙作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A3兩點(diǎn)，貝的最小值為.

【變式4-2］（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若圓c：V+（,-2）2=16關(guān)于直線?+勿-12=0對(duì)稱，動(dòng)點(diǎn)p在

直線y+6=0上，過點(diǎn)P引圓C的兩條切線尸〃、PN，切點(diǎn)分別為加、N，則直線"N恒過定點(diǎn)Q，點(diǎn)

Q的坐標(biāo)為（）

A.（1,1）B.（-1,1）C.（0,0）D.（0,12）

【變式4-3】已知圓C:/+y2一2x—4y-4=0,P為直線/：x+y+2=0上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓C的兩條切線,

切點(diǎn)分別為A和8,當(dāng)四邊形叢CB的面積最小時(shí)，則直線的方程為一.

【變式4-4】已知圓。:/+/一2工-4、-4=0,尸為直線/：尤+>+2=。上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓C的兩條切

線，切點(diǎn)分別為A和8，A3的中點(diǎn)為Q,若點(diǎn)T的坐標(biāo)為（《，《），則|42|的最小值為

【變式4-5］（2024?廣東湛江.一模）已知點(diǎn)尸為直線尤-V-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，過尸作圓O:/+V=3的兩條

切線，切點(diǎn)分別為A,B,若點(diǎn)〃為圓E:（尤+2）2+（y-3）2=4上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離的最大

值為_.

【變式4-6］（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）己知點(diǎn)M在拋物線「：#=4y上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M的兩直線4,與圓

（7:/+（了-3）2=4相切，切點(diǎn)分別為A8,當(dāng)取最小值時(shí)，直線48的方程為.

題型五：圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問題

【典例5-1】（2024?廣東?一模）已知直線小丘—y+l—6%=O0teR）與直線4：x+g+6+A:=0（ZeR）相

交于點(diǎn)若恰有3個(gè)不同的點(diǎn)M到直線/：x-y+6=0的距離為1,則匕=（）

A.+1B.+5/2C.±5/3D.±2

【典例5-2】若圓爐+/=/行〉。）上僅有4個(gè)點(diǎn)到直線x-y-2=0的距離為1,則實(shí)數(shù)，?的取值范圍為

（）

A.^A/2+1,+00）B.^-\/2—l,y/2+ljC.D.（0,V^+l）

【方法技巧】

臨界法

【變式5-1】已知圓O:Y+y2=4上到直線/:x+y=a的距離等于1的點(diǎn)恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)。的值為

A.-2立或20B.20C.72D.-夜或&

【變式5-2]（2024.江蘇南京.模擬預(yù)測(cè)）圓C：尤2+（y_2）2=R2（R>0）上恰好存在2個(gè)點(diǎn)，它到直線

y=gx-2的距離為1,則R的一個(gè)取值可能為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式5-3】設(shè)點(diǎn)尸是函數(shù)（=_1_人+2了+3圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo)（2a,a-3）（aeR）,當(dāng)|P0取得

最小值時(shí)圓C：（x+of+U-2）2=/&>0）上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-10=0的距離為1,則實(shí)數(shù)，的取

值范圍為（）

'2232]「22JA八/“八

A.—B,C.（3,5）D.（4,6）

【變式5-4]（2024?山西.二模）已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C:x2+,2+2x_4y+a=o上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直

線2x-y-l=0的距離為2,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-4-475,475-4）B.[-4-475,475-4]

C.（-2-275,275-2）D.[-2—2近,2君—2]

題型六：直線與圓位置關(guān)系中的最值（范圍）問題

【典例6-1】（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)。力滿足〃+62=0-8,則的最小值為（）

A.J2B.2C.述D.4

2

【典例6-2】（2024?河南?三模）已知為圓C:尤2+y2-2x-4y=0上兩點(diǎn)，且|肱V|=4,點(diǎn)尸在直線

/:尤7+3=0上，貝”尸河+明的最小值為（）

A.2近-2B.20

C.272+2D.272-75

【方法技巧】

直線上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最近或最遠(yuǎn)距離問題，這樣的題目往往要轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)與圓心距離的最

近和最遠(yuǎn)距離再加減半徑長(zhǎng)的問題.

【變式6-1】直線4：區(qū)-y+2=。與直線4：x+外-2=。交于P點(diǎn)，當(dāng)左變化時(shí)，點(diǎn)尸到直線x-y-4=0的

距離的最大值是.

【變式6-2]（2024?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè)）直線/：6ix+y—2a—2=0（awR）,與圓C：/+V_4x-4y=I相交

于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線加：2%+丫+6=0上一動(dòng)點(diǎn)，則尸APB的最小值是.

【變式6-3】已知圓C:(x-l)2+(y-l)2=4,過點(diǎn)“(2,2)的直線/與圓C交于A&,%),3(孫％)兩點(diǎn)，則

四+M一6|+民+%-6|的最小值為.

【變式6-4】已知力01，乃)、“孫必)滿足：x；+y：=l,x^+yl=1,x1x2+yxy2=,則代數(shù)式

|3^-4yJ+|3x2-4y2|的取值范圍是.

【變式6-5]若Y+y2=4，則J(x+2y+(y-的最小值為—?

^(x+2)2+(y-l)2表示點(diǎn)尸(x,同到點(diǎn)A(-2,1)的距離,

|x-l|表示點(diǎn)P(x,y)到直線X=1的距離，設(shè)點(diǎn)P在直線X=1上的射影點(diǎn)為B，

【變式6-6](2024.湖北武漢.武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知圓0：9+｝；2=/與直線3彳+43；-10=0相切,

函數(shù)/(x)=log“(2x-l)+0'過定點(diǎn)尸，過點(diǎn)p作圓O的兩條互相垂直的弦AC,3￡)，則四邊形ABCD面積

的最大值為.

AC±BD'

【變式6-7](2024?山東青島?三模)已知向量a,b，C滿足,卜忖=1,a-(a-b)=；,僅-c)_L(36-cJ,

則卜-。|的最小值為()

A.73-1B.73C.2D.1

題型七：圓與圓的位置關(guān)系

【典例7-1】(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知圓E:(x-2)2+(y-4)2=25,圓典。-2產(chǎn)+(>_2)2=1,則這

兩圓的位置關(guān)系為()

A.內(nèi)含B.相切C.相交D.外離

【典例7-2](2024-山東?模擬預(yù)測(cè))已知圓〃:d+y?+2?=0(。>0)的圓心到直線3x+2y=2的距離是

歷,則圓/與圓N:(無-2『+(y+2)2=l的位置關(guān)系是()

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.內(nèi)含

【方法技巧】

已知兩圓半徑分別為小與，兩圓的圓心距為d,貝U：

（1）兩圓外禺=々+弓<d;

（2）兩圓外切=a+2=d；

（3）兩圓相交o"-2Kdeq+々；

（4）兩圓內(nèi)切o|4—馬|=d；

（5）兩圓內(nèi)含=>|4-馬|>d；

【變式7-1]（2024.陜西銅川.模擬預(yù)測(cè)）已知4（-2,0）,B（2,0）,若圓―2+（y-3a+2）2=4上存在

點(diǎn)尸滿足尸4PB=5，則。的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[-2,1]C.[-2,3]D.[-3,2]

【變式7-2]（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：（尤+5y+（yT2）2=4和兩點(diǎn)A（O/）,8（0,-?0>0）,

若圓C上存在點(diǎn)尸，使得NAP3=90。，則6的取值范圍為（）

A.[11,15]B.[10,16]C.[8,12]D.[9,13]

【變式7-3]（2024?江西鷹潭?三模）已知加eR,直線（：+y+2機(jī)=。與/2：7y+4機(jī)=。的交點(diǎn)p在圓

C：（x-3）2+（y-4）2=r2（r>0）±,貝」的最大值是（）

A.40B.372C.26D.375

【變式7-4]（2024.北京.三模）已知圓C:1-有『+（>-1）2=1和兩點(diǎn)A（V,0）,8（r,0）（r>0）,若圓C上存

在點(diǎn)尸，使得PAPB=0，則/的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【變式7-5]（2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè)）若圓C:/+y2-2y-l=0上存在唯一點(diǎn)P,使得|網(wǎng)=拒|尸。，

其中A（q,0）,則正數(shù)。的值為（）

A.3±A/3B.2±73C.3土出D.2±75

題型八：兩圓的公共弦問題

【典例8-1]（2024?湖南衡陽?三模）己知圓。：元2+/=4,圓C與x軸相切于點(diǎn)尸（2,0）,與V軸正半軸交

于A,8兩點(diǎn)，且|A3|=3,則圓。和圓C的公共弦所在的直線方程為.

【典例8-2]（2024.四川?模擬預(yù)測(cè)）圓G：/+V-2尤=10與圓：（尤+2）2+（y-4）2=16的公共弦長(zhǎng)

為.

【方法技巧】

兩圓的公共弦方程為兩圓方程相減可得.

【變式8-1】圓C|：f+y2=i與圓G：x2+y2-2x-2y+l=0的公共弦所在直線被圓C3：

（x—2）2+（y—所截得的弦長(zhǎng)為____.

4

【變式8-2】已知圓G：/+（y-2）2=l與圓G：（x-2）2+（y-l）2=4相交于4,8兩點(diǎn)，則

C1C1-（C.A+C1B^=.

【變式8-3】已知以1為半徑的圓A的圓心A在x軸上，以2為半徑的圓3的圓心3在V軸上，且兩圓公共

弦所在直線為尤-2y=0,則這兩個(gè)圓的公共弦長(zhǎng)為.

題型九：兩圓的公切線問題

【典例9-1】（2024.高三.山東?開學(xué)考試）圓C］：尤2+;/+8%-2，+9=0和圓。2:/+丁+6；（：-4'+11=。的公

切線方程是（）

A.y=-x+lB.y=一1+1或y=x+5

C.y=-x+5D.y=%+l或y=2x+5

【典例9-2】圓（龍一4y+y2=9和圓x?+（y—3）2=4的公切線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【方法技巧】

待定系數(shù)法

【變式9-1］（2024.河北石家莊.三模）已知圓G：f+y2=l和圓C2：x2+V-6x-8y+9=。，則兩圓公切線

的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式9-2］若直線/與圓G：（x+iy+y2=l,圓C2：（xT），y2=4都相切，切點(diǎn)分別為A、B,則|鉆|=

（）

A.1B.72C.73D.20

【變式9-3］（2024?山東聊城.二模）若圓G：尤2+丁=1與圓Cz：（x-a）2+（y-b）2=4恰有一條公切線，則下

列直線一定不經(jīng)過點(diǎn)（。,6）的是（）

A.2x+y-0=OB.2尤-y+2=O

C.x+y—sfl=0D.x—y+2=0

【變式9-4］（2024?高三.全國(guó)?單元測(cè)試）若直線x+畋+1=0是6：5-1）2+（丁+2）2=產(chǎn)">0）與

G：（x-2）2+（y_2>=4的公切線，則實(shí)數(shù)「的值為（）

、34n17〃12

A.—B.—C.—D.一

131272

【變式9?5】已知圓G：f+丁2+4/+3=0,圓G：/+y2—8%+12=0,下列直線中不能與圓G，G同時(shí)相

切的是（）

A.\/3x+3y=0B.百x-3y=0

C.x+,35y+8=0D.x—435y-8=0

3

1.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知直線口+外一。+2b=0與圓Cx2+/+4^-1=0交于A,5

兩點(diǎn)，貝！的最小值為（）

A.2B.3C.4D.6

2.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知人是〃工的等差中項(xiàng)，直線以+b+。=0與圓

_￥2+,2+4,_1=0交于43兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為（）

A.1B.2C.4