福建省福州市2025屆高三年級上冊第一次質量檢測數(shù)學試題（含答案）

福建省福州市2025屆高三上學期第一次質量檢測數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={x|x2-4x-5<0],B={x|0WxW6},則2CB=（）

A.{x|-5<%<6}B.{x|-l<x<6]

C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<5}

2.已知復數(shù)z=2i，則|z|=（）

A.誓B.1C.依D.5

3.以坐標原點為頂點，1軸非負半軸為始邊的角a,其終邊落在直線y=2%上，則（）

A.sincr=B.cosa=咯C.tana=2D.sin2a=-g

4.以y=±3%為漸近線的雙曲線可以是（）

A.y-y2=1B.x2-^=1C.=1D.y2_'=i

5.如圖，梯形ZBG）的腰CO的中點為E,且記荏=沆而=蔡，則族=（）

C

1—>-*1—>-*—*1-*1—*3~*

幾九

A.——乙Tn+2B.—乙Tn+2C.—2m+—乙nD.——乙TIT+—乙n

6.已知圓/+y2+47nx—2my+m=0（meR）與久軸相切，則m=（）

A.1B.0或彳C.0或1Dy

7.已知圓錐S。的底面半徑為1,過高線的中點且垂直于高線的平面將圓錐SO截成上、下兩部分，若截得小

圓錐的體積為噌兀，則圓錐S。的側面積為（）

A.47rB.27rC.避兀D.n

8.大氣壓強p（單位：kPa）與海拔h（單位：機）之間的關系可以由p=poe-"近似描述，其中po為標準大氣壓

強，k為常數(shù).已知海拔為5000科8000機兩地的大氣壓強分別為54kPa,36kp.若測得某地的大氣壓強為

80kPa,則該地的海拔約為（）（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.295mB.995mC.2085mD.3025m

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

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29

9.已知（1—2%）9=a。+arx+a2xH---Fa9x,則（）

A.a0=1B.a±=18

1+39

C.+。2+…+。9=—1D.+。3+。5+。7+。9=

10.如圖是函數(shù)/(%)=sin(3%+0)的部分圖象，貝！J()

|6V3

A.兀是/⑺的一個周期B.f⑨=f得)

C/⑨>/(苧)Dj(x)在[0,3用上恰有6個零點

11.已知函數(shù)/'(X),g(x)均為定義在R上的非常值函數(shù)，且。(久)為/'(X)的導函數(shù).對V久,yeR,f(x+y)+f

(*-y)=2/1(x)/O)且/1(1)=。則()

A./(0)=0B.f(x)為偶函數(shù)

C.g(x)+g(2024-x)=0D.[/(x)]2+[f(l-x)]2=1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知正三棱柱的底面邊長為2,高為避，則其體積為.

13.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,點M在C上，且點M到直線久=-2的距離為6,則|MF|=.

14.已知等差數(shù)列｛斯｝的前幾項和為S“"6=-600,當且僅當幾=30時S'取得最小值，則｛斯｝的公差的取值

范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

數(shù)列｛an｝滿足的=2,an+1-3an+2.

(1)證明數(shù)列｛斯+1｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛an｝的前n項和S“.

16.(本小題12分)

已知A/IBC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,且2acosC=避6cosc+避c.cosB

(1)求角C；

(2)若a=4力=避，。為4B中點，求CD的長.

17.(本小題12分)

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如圖，在四棱錐S—ABC。中，BC1^^SAB,AD//BC,SA=BC=1,SB=也，Z.SBA=45。.

AD

(1)求證：SA1平面ABCD；

(2)若4。=|,求平面SCO與平面SAB的夾角的余弦值.

18.(本小題12分)

已知橢圓W：/+t=l(a>b>0)的離心率為］且過點(2,0).

(1)求勿的方程；

(2)直線%—/ny+1=0(mH0)交加于4,8兩點.

(i)點4關于原點的對稱點為C,直線BC的斜率為k,證明：［為定值；

(ii)若“上存在點P使得而，而在荏上的投影向量相等，且-PAB的重心在y軸上，求直線的方程.

19.(本小題12分)

閱讀以下材料：

①設(。)為函數(shù)/O)的導函數(shù).若/'(X)在區(qū)間。單調遞增；則稱/(%)為區(qū)。上的凹函數(shù)；若((無)在區(qū)間。上

單調遞減，則稱/(久)為區(qū)間。上的凸函數(shù).

②平面直角坐標系中的點P稱為函數(shù)/(%)的，切點”，當且僅當過點P恰好能作曲線y=/(%)的k條切線,

其中keN.

(1)已知函數(shù)/'(x)=a/+4―3(2a+l)x2—x+3.

(i)當aWO時,討論人(久)的凹凸性；

(九)當a=0時，點「在丫軸右側且為/0)的“3切點”，求點P的集合；

(2)已知函數(shù)g(x)=久e"點Q在y軸左側且為g(K)的“3切點”，寫出點Q的集合(不需要寫出求解過程).

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參考答案

1.D

2.C

3.C

4.B

5.4

6.D

7.B

8.C

9.AD

1Q.ABD

11.BCD

12.3

13.5

14.(24,25)

15.⑴

證明：因為an+i=3冊+2,所以冊+1+1=3冊+3=3(a”+1),

又因為%+1=3HO,所以等青=3,

數(shù)列｛a?+1｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列.

⑵

解：由(1)知即+1=3九，所以冊=3九一1,

所以Sn=(3+32+33+???+3n)-n=3.占3")f=

16.⑴

因為2acosC=避bcosC+y/^c?cosB,

由正弦定理，得2sirh4cosc=避sinBcosC+斕cosBsinC

=避sin(B+C)

=/sin(7r—Z)

=退sinA,

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因為0<4<7T,貝!JsinZW0,所以cosC=得,

7T

由于OVC<7T,則C=%;

(2)

因為。為4B中點，故而=*不+而)，

所以而[2=*褊+兩2

=J|西2+1函2+：函|函cos￡

4426

]]1/3

=彳x34--x16+萬x"\/3x4x—

44Z2

31

=彳，

所以CD的長為手.

17.⑴

解法一：在aSAB中，

因為S2=1,ASBA=45°,SB=",

由正弦定理，得急而=鼻，所以/=/16，

所以sin/SAB=1,

因為0°<NS2B<180°,所以NSAB=90°,所以S41AB.

因為BC1平面S4B,S4u平面S4B,所以BC1SA,

又BCnZB=B,BC,ABu平面4BCD

所以SA1平面4BCD；

方法二：證明：設4B=x,在aSAB中，

因為S4=1,ASBA=45°,SB=*,

由余弦定理，得SA?=SB2+AB2-2SB-ABcos^SBA,

所以1=2+%2—2"XCOS45°,即%2一2%+1=0,解得x=1.

所以sa2+AB2=SB2=2,所以saiAB.

因為BC1平面SAB,SAu平面SAB,

所以BC1SA,

又BCCtAB=B,BC,ABu平面4BCD

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所以$41平面ABCD；

解法三：設=X，在aSAB中,

因為S2=1/SB4=45°,S8=",

由余弦定理，得S4=SB2+AB2-2SB-ABcos^SBA,

所以1—2+x2-2V2XCOS45",即/—2久+1=0,解得x=1.

fiJr^SA2+AB2=SB2=2,所以S41AB.

因為BC1平面S4B,8Cu平面ABCD,

所以平面2BCD_L平面S4B；

又平面4BCDC平面$48=AB,SA1AB,SAu平面S4B,

所以S41平面4BCD；

(2)

解法一：由(1)知S4J.平面力BCD,

y.AB,ADu平面4BCD,所以S41AB,SA1AD,

因為BC1平面SAB,ABu平面$4B,所以BC1AB,

因為4D〃8C,所以4。1AB,

所以SA/D/B兩兩垂直.

以點A為原點，分別以力D/B/S所在直線為久軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

ADX

則s(0,0,i),CQi,0M&0,0),所以元=(1,1,—1)防=(1,0,-1),

設平面SCD的法向量為可=(x,y,z),

則｛黑；1§'即［2：1§二31KI"取"=2,則可=(2,—1,1),

顯然平面S4B的一個法向量雨=(1,0,0),

所以COS標河=注焉=,22+(4)2+12=字

所以平面SCD與平面S4B的夾角的余弦值為乎.

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解法二：由(1)知SA1平面力BCD,過B作BM〃S4則BM1平面力BCD,

又AB,BCu平面4BCD,所以BM1AB,BM1BC,

因為BC1平面S48,

又ABu平面S4B,所以BC1AB,

所以BMB4BC兩兩垂直.

以點B為原點，分別以B4BGBM所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則S(L0,l),C(0,l,0),D(iq,0),所以元=(-1,1-1),CD=0),

設平面SCD的法向量為可=(x,y,z),

-X+y

‘可sc--

nJISC,-1-0,

則即coX--y取y=2,則可=(1,2,1),

njlCD,Hl2

顯然平面S4B的一個法向量超=(0,1,0),

"所I以〃COSTl1J/,厄4=1二ml；?2|7l2l]=/調+22+l12=—3

所以平面SCO與平面S48的夾角的余弦值為空.

解法三：延長CD、B4交于點用，連接SM,

則平面SCDC平面S4B=SM,

在-SBM中，

由余弦定理，得SM2=SB2+MB2-2SB-MBcos乙SBM,

所以SM2=(")2+22-2X*X2義#=2,所以S"2+SB2=BM2,

所以SM1SB,

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因為BC1平面SAB,SMu平面亂48,

所以SM1BC,又SM1SB,SBC\BC=B,

所以SM1平面SBC,

又SCu平面SBC,所以SM1SC,

所以NBSC為平面SCD與平面S4B的夾角，

因為BC1平面SAB,SBu平面SAB,

所以BC1SB,

因為SB=",BC=1,得SC=A/3,

所以cos/BSC增=點=*,

所以平面sen與平面SAB的夾角的余弦值為坐.

18.（1）

c1

---

Q.2

Q.2

由題意，得.

b22

-a

所以W的方程為曰+白=1;

⑵

依題意可設點4（一打,一打）,8（＞2，丫2），且打Hx2,

（i）證明：因為點4關于原點的對稱點為C,所以C（-Xi，-月）,

2

X?-+=277723

克Z13X^B1

所以2--^-^-

2=-2---

因為點4B：在W上，所以+4314

4723

因為直線4B:x—my+1=0（m70）的斜率為《，直線BC的斜率為k,

所以=合y+yiyl-yj3即K為定值_3.

527H

x2+xixl-xl4,即小刀恒4'

（譏）設弦4B的中點。的坐標為（即,〉。）,

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點P的坐標為(%p,yp),△P4B的重心G的坐標為OG/G)，

'之+比=1

由43—,得(3租2+4)y2—67ny—9=0,

{x—my+1=0

222

所以/=36m+36(3m+4)=144(m+1)>0,且yi+丫2=37n2+4'

因為APAB的重心G在y軸上，所以—+.+燈=0,

所以孫=-(xi+%2)=-(myi-1+my2-1)=—m(yi+y2)+2=-m-3J；二1+2=

KChir—工1+支24__yi+y23m

所以和_2-3m2+4-yo-2-3m2+4>

因為Q,而在同上的投影向量相等，所以|P4|=|PB|,且PD1AB,

所以直線PD的方程為丫-*=-m(x-xD),

所以yp=yfl-m(xP-xD)=島L婷缶+金^)=一^^，

所以點

v3m2+43m2+4，

(8、2(9mA2

又點「在W上，所以137n2+/+，3*+/=1,

43

即m2(37n2—1)=0,

又因為m40,所以爪=±乎，所以直線4B的方程為3x±狙丫+3=0.

19.(1)

因為/(%)—ax4+X3-3(2a+l)x2—%+3,

所以/'(%)=4ax3+3x2-6(2a+l)x—1,

令h(%)=4ax3+3/—6(2a+l)x—1,

所以“(%)=12a%2+6x-6(2a4-1)=6(2ax+2a+l)(x—1).

(i)當a=0時，九'(%)=6(久—1),令"(%)NO,解得％Nl；

令h'(x)<0,解得％<1；

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故人久)為區(qū)間［1,+8)上的凹函數(shù)，為區(qū)間(一8,1］上的凸函數(shù)；

當一)<a<0時，令"⑶>0,解得1<%<—竽

qza

令1(%)<0,解得X<1或%>士

故/(%)為區(qū)間［L一當上4上的凹函數(shù)，為區(qū)間(一8,1］和［一。二,+8)上的凸函數(shù)；

乙Cv乙(X

當a=-J時，h,(x)=-3(x-l)2<0,故/(久)為區(qū)間(一8,+8)上的凸函數(shù)；.

q

1

當a<-尚時，令T(x)20,

解得一智'WxWL

令h'(久)<0,解得x>1或x<―?彳:I

故/。)為區(qū)間［—卷好,1］上的凹函數(shù)，為區(qū)間(一8,—粵上工|和［1,+8)上的凸函數(shù)；

乙Ct乙CC

綜上所述，當a<—亨時，/(久)為區(qū)間［—與夏,1］上的凹函數(shù)，為區(qū)間(—巴—今愛］

和［1,+8)上的凸函數(shù)；

當。=一;時，/(%)為區(qū)間(-8,+8)上的凸函數(shù)；

當一!<a<0時，f(x)為區(qū)間［1,一竽耳上的凹函數(shù)，為區(qū)間(—8,1］和［一然二,+8)

上的凸函數(shù)；

當a=0時，/(x)為區(qū)間［1,+8)上的凹函數(shù)，為區(qū)間(-8,”上的凸函數(shù)；

(ii)當a=0時，/(x)=%3—3x2—x+3,/'(x)=3x2—6x—1,

故在點(t,f(t))處的切線方程為y=(3t2-6t-l)(x-t)+t3-3t2-t+3.

設PQ2)Q>0)為f(x)的“3切點”，

則關于t的方程〃=(3t2-6t-l)(u-t)+t3-3t2-t+3有三個不同的解，

即關于t的方程u=-2t3+(3+3u)t2-6ut+3-n有三個不同的解，

令F(t)