湘教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)總結(jié)+講義

湘教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

—＞直角三角形

1、角平分線：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

如圖，：AD是/BAC的平分線（或/DAB=NDAC）,

PE±AC,PF±AB

；.PE=PF

角平分線的逆定理；角內(nèi)部的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這一點(diǎn)到角的角平分線上。

VPE±AC,PF±ABPE=PF

/.點(diǎn)P在/BAC的平分線ADh

c

2、線段垂直平分線：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。L

：CD是線段AB的垂直平分線，（或E為AB的中點(diǎn)，CD_LAB于點(diǎn)E）A

D

.*.PA=PB

3、勾股定理及其逆定理

①勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即:

。2+拉=C2

求斜邊，則C="。2+。2.求直角邊，則a=Jc2—或匕=Jc2—Q2

②逆定理如果三角形的三邊氏a、b、C有關(guān)系=C2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。

分別計(jì)算“。2+人”和“C2”，相等就是Rt^,不相等就不是RtZ\。

4、直角三角形全等

方法：SAS、ASA,SSS、AAS、HL。

HL:斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。

1

5、直角三角形的其它性質(zhì)

①直角三角形兩銳角互余

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

如圖，在Rt^ABC中，

VCD是斜邊AB的中線，

，CD=1AB。

②在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

如圖，在Rt^ABC中,

VZA=30°，

.?.BC=1A3。

③在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30°

如圖，在Rt/XABC中,

VBC=-1AB,

ZA=30°o

6、直角三角形的判定

1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。

2、有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。

在Z\ABC中，

ZA+ZB=90°,

???AABC是直角三角形.

3、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

4、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系。2+b2=。2,那么這個(gè)三角

形是直角三角形。

7、三角形中位線

定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做中位線。

2

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

如圖，在△ABC中，

A

：E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，（或EF是AABC的中位線）

.,.EF//BCHEF=-BC

2

二、四邊形

1、多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和=（n—2）?180。；任意多邊形的外角和：360

內(nèi)角禾口

求n邊形的方法：〃=黑+2；過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)有：〃一3條對(duì)角線；

18Oo

n（n-3）

n邊形的對(duì)角線共有：一--條

2、中心對(duì)稱：（在直角坐標(biāo)系中即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)）

XI.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等.

X2.成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分.

X3.如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一

點(diǎn)對(duì)稱.

3、特殊四邊形的性質(zhì)和判定

（1）兩組對(duì)邊分別平行;

（2）兩組對(duì)邊分別相等;

平行四邊行性質(zhì)，（3）兩組對(duì)角分別相等;

（4）對(duì)角線互相平分；

（5）鄰角互補(bǔ).

在口ABCD中：

.-.AB//CD,BC//AD；（兩組對(duì)邊分別平行）

/.AB=CD,BC=AD；（兩組對(duì)邊分別相等）

.-.ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC.；（兩組對(duì)角分別相等）

.?.0A=0C,0B=0D；（對(duì)角線互相平分）

.-.ZBAD+ZADC=18Oo,NBAD+NABC=180。（鄰角互補(bǔ)）

3

(1)兩組對(duì)邊分別平行

⑵兩組對(duì)邊分別相等

⑶兩組對(duì)角分別相等>ABCD是平行四邊形(平行四邊形判定)

(4)一組對(duì)邊平行且相等

⑸對(duì)角線互相平分

(1)VAB//DC,AB=DC.

，四邊形ABCD是平行四邊形.(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

(2)VAB=CD,AD=BC.

四邊形ABCD是平行四邊形.(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)

(3)ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC.

...四邊形ABCD是平行四邊形.

(4)AB=CD,BC=AD；

二四邊形ABCD是平行四邊形.

(5)VOA=OC,OB=0D.

，四邊形ABCD是平行四邊形.

'⑴具有平行四邊形的所有通性;

矩形的性質(zhì)(2)四個(gè)角都是直角；

(3)對(duì)角線相等.

AB

(1)平行四邊形+一個(gè)直角'

(2)三個(gè)角都是直角>n四邊形ABCD是矩形.

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形

AB

'⑴具有平行四邊形的所有通性；

菱形的性質(zhì)，(2)四個(gè)邊都相等；

(3)對(duì)角線垂直且平分對(duì)角.

(1)平行四邊形+一組鄰邊等'

(2)四個(gè)邊都相等>=>四邊形四邊形ABCD是菱形.

⑶對(duì)角線垂直的平行四邊形

AB

'⑴具有平行四邊形的所有通性；

正方形，(2)四個(gè)邊都相等，四個(gè)角都是直角；

(3)對(duì)角線相等垂直且平分對(duì)角.

(1)平行四邊形+一組鄰邊等+一個(gè)直角'

(2)菱形+一個(gè)直角，一四邊形ABCD是正方形

⑶矩形+一組鄰邊等

4、面積公式

①S平行四邊形=底義高②S矩形=長(zhǎng)義寬③S正方形=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)

1

④S菱形=底義iWi=亍義(兩條對(duì)角線的乘積)，即：S=(aXb)+2

5、(1)中心對(duì)稱圖形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。

(2)軸對(duì)稱圖形：矩形、菱形、正方形；矩形的對(duì)稱軸是過(guò)一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線，有2條對(duì)

稱軸；菱形對(duì)稱軸是過(guò)對(duì)角線的直線，有2條對(duì)稱軸；正方形的對(duì)稱軸是過(guò)一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線

和過(guò)對(duì)角線的直線，有4條對(duì)稱軸。

6、有關(guān)中點(diǎn)四邊形問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)：

(1)順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；

(2)順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；

(3)順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；

(4)順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；

(5)順次連接對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；

(6)順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；

(7)順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形；

三、圖形與坐標(biāo)

1、有序?qū)崝?shù)對(duì):一組有順序的數(shù)。記作(a,b)

2、平面直角坐標(biāo)系：兩條互相垂直，原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。橫軸x軸，向右

5

為正；縱軸y軸，向上為正。

3、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

(1)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)

在第一象限0x〉O，y〉o(+,+)；在第二象限=x<O,y>0+)

在第三象限ox<0，y<0(-,-)；在第四象限ox>0,y<0(+,-)

(2)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征(坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限)

在x軸上f(x,0)f橫坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)等于0；

在y軸上f(0,y)一縱坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)等于0；

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上O即點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0)原點(diǎn)。

(3)兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線(直線y=x)上Ox與y相等；

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上=x與y互為相反數(shù)。

(4)和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；

平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。

4、點(diǎn)的對(duì)稱性：關(guān)于什么軸對(duì)稱什么坐標(biāo)不變

關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相反；P(X,y)f(x,-y)

關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)相同；P(x,y)—(-x,y)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)都相反；P(x,y)f(-x「y)

解題方法：相等時(shí)用“=”連結(jié)，相反時(shí)兩式相加=0。

5、坐標(biāo)平移：左右平移：橫坐標(biāo)右加左減，縱坐標(biāo)不變；

上下平移：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加下減。

6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

6

(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于0

(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于國(guó)

(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于?+產(chǎn)

7、坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)的距離：

點(diǎn)A(xj0)點(diǎn)lx2,。)則AB距離為：

點(diǎn)A(0,yj點(diǎn)(0,丫2)則AB距離為：

點(diǎn)A(xryj點(diǎn)lx2,丫2)則AB距離為：

8、中點(diǎn)坐標(biāo)

x+x

點(diǎn)A(x/0)點(diǎn)B區(qū),0)則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為：(一二2，。)

y1+y2

點(diǎn)A(0,yj點(diǎn)B(0,丫2)則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,''2')

X+xV+V

點(diǎn)A(X],yj點(diǎn)B小2，丫2)則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為：(-?-二,飛二？)

四、一次函數(shù)

1、判斷函數(shù)：兩個(gè)變量；區(qū)分自變量，因變量；自變量取一個(gè)值因變量有唯一的一個(gè)值與它相

對(duì)應(yīng)，一一對(duì)應(yīng)。

2、函數(shù)自變量的取值：整式取全體實(shí)數(shù)，分式則分母不為0；二次根式則根號(hào)下的式子被開(kāi)方

式三0；零次累和負(fù)指數(shù)次累底數(shù)W0;組合的公共部分；實(shí)際情況實(shí)際分析。

3、函數(shù)值；函數(shù)的表示方法：列表法、圖像法、公式法。

畫(huà)函數(shù)圖像的步驟：列表、描點(diǎn)、連線。

4、用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式的一般步驟:

(1)解設(shè)：函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b；

7

（2）代：將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到關(guān)于k,b的二

元一次方程組；

（3）解；求k,b；

（4）寫(xiě)；寫(xiě)出所求函數(shù)的解析式.

5、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為：kx+b=O（k、b為常數(shù)，

k/O）的形式而一次函數(shù)解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數(shù)，kWO）.當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)，?

即kx+b=O就與一元一次方程完全相同.

結(jié)論：由于任何一元一次方程都可轉(zhuǎn)化為kx+b=O（k、b為常數(shù)，kWO）的形式.所以解一

元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)一次函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.

從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值.

6、正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移⑹個(gè)單位長(zhǎng)度而得到

（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）

7、直線y=kx+b（k/0）與）；=上％+6（kw0）位置關(guān)系

111222

（1）兩直線平行=k=k且匕w匕（2）兩直線相交okwk

121212

（3）兩直線重合=k=k且匕=匕（4）兩直線垂直=-1

121212

正比例函數(shù)一次函數(shù)

概念一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，kRO）一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，*0）,那么y

的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，是y=kx,所以說(shuō)正

做比例系數(shù)比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

自變量X為全體實(shí)數(shù)

范圍

圖象一條直線

b

必過(guò)點(diǎn)(0,0)、(1,k)(0,b)和(--,0)

k

8

走向k>0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)一、三象限；k>0,b>0,直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限

k〈0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)二、四象限k>0,b<0直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限

k<0,b>0直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限

k<0,b<0直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限

增減性k>0,y隨x的增大而增大；（從左向右上升）

k<0,y隨x的增大而減小。（從左向右下降）

傾斜度出1越大，越接近y軸，圖像越陡；|k|越小，越接近x軸，圖像越平緩。

圖像的k相同b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移科個(gè)單位；

平