2025年中考數(shù)學復習之四邊形

2025年中考數(shù)學復習熱搜題速遞之四邊

選擇題（共10小題）

1.如圖，在四邊形ABC。中，ZA+ZD=a,/ABC的平分線與的平分線交于點P,則/尸=（）

2.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,點E為BC的中點，將aABE沿AE折疊，使點B落在矩形

內點尸處，連接CF,則的長為（）

1

3.如圖，nABCZ）的對角線AC、8。交于點O,AE平分/BAO交8C于點E,且NAOC=60°,AB=產,

連接。E.下列結論：

①/CW=30°；

②S°ABCD=AB?AC；

?OB=AB-,

④OE=JBC,成立的個數(shù)有（）

41

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

5.如圖，在正方形A8C。的外側，作等邊三角形ADE,AC.BE相交于點F,則N8FC為（）

C.60°D.75°

6.如圖，四邊形A8CD是菱形，AC=8,DB=6,于H,則。H等于（)

C.5D.4

7.如圖，將□ABC。沿對角線AC折疊，使點B落在2,處,若N1=N2=44°,則N2為(

D.124°

8.一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是（

A.四邊形B.五邊形C,六邊形D.八邊形

9.如圖，口48。的對角線AC與8。相交于點。，AB±AC,若A2=4,AC=6,則8。的長是（

10.如圖，菱形ABCZ）的對角線AC,8。相交于。點，E,尸分別是A3,BC邊上的中點，連接跖.若

EF=W,BD=4,則菱形A8CD的周長為（）

A.4B.4V6C.4V7D.28

二.填空題（共5小題）

11.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC與BO相交于點。，AC=8,BD=6,OE±BC,垂足為點E,則

0E=

12.如圖，E,尸是正方形ABC。的邊A。上兩個動點，滿足?連接C尸交2。于點G,連接8E

交AG于點H.若正方形的邊長為2,則線段?！伴L度的最小值是.

13.如圖，在邊長為2的菱形ABC。中，乙4=60°,M是邊的中點，N是AB邊上的一動點，將△AMV

沿所在直線翻折得到△&'MN,連接A'C,則A'C長度的最小值是.

14.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4西,。為邊AB上一動點（2點除外），以CD為一邊作正方

CDEF,連接BE,則面積的最大值為

E

15.如圖，在DABCD中，AD=2AB,尸是的中點，作CE_LAB,垂足E在線段AB上，連接EF、CF,

則下列結論中一定成立的是.(把所有正確結論的序號都填在橫線上)

16.己知，正方形A3CD中，ZMAN=45°,NMAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交C8、DC(或

它們的延長線)于點M、N,AHLMN于點、H.

(1)如圖①,當/MAN繞點、A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系:；

(2)如圖②，當/M4N繞點A旋轉到BMWON時，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與43的數(shù)量關系還成立嗎？如

果不成立請寫出理由，如果成立請證明；

(3)如圖③，已知NMAN=45°,AHLMN于點H,且MH=2,NH=3,求A8的長.(可利用(2)

得到的結論)

圖①圖②圖③

17.如圖，在四邊形ABC。中，AB//DC,AB^AD,對角線AC,BD交于點O,AC平分過點C

作CELAB交AB的延長線于點E,連接OE.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)AB=V5,BD=2,求0E的長.

DC

18.在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,。是BC的中點，E是A。的中點，過點A作A/〃BC交BE的延長

線于點F.

(1)求證：4AEF咨ADEB；

(2)證明四邊形AOCF是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCE的面積.

19.如圖，分別以Rt^ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△AC。及等邊△ABE.已知N8AC=30°,

EF±AB,垂足為R連接。H

(1)試說明AC=EF；

(2)求證：四邊形AOFE是平行四邊形.

20.如圖，點〃是正方形ABCD的邊BC上一點，連接AM,點E是線段AM上一點，/COE的平分線交

AM延長線于點足

(1)如圖1,若點E為線段AM的中點，BM-.CM=\-.2,BE=V10,求AB的長;

(2)如圖2,若DA=DE,求證：BF+DF=V2AF.

圖1圖2

2025年中考數(shù)學復習熱搜題速遞之四邊形(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.如圖，在四邊形4BCD中，ZA+ZD=a,/4BC的平分線與的平分線交于點P,則NP=()

111

A.90°一加B.90°+如C.-aD.3600-a

222

【考點】多邊形內角與外角；三角形內角和定理.

【專題】幾何圖形問題.

【答案】C

【分析】先求出NABC+N3C。的度數(shù)，然后根據角平分線的性質以及三角形的內角和定理求解NP的

度數(shù).

【解答】解：：四邊形A3C。中，ZABC+ZBCD^360°-CZA+ZD)=360°-a,

；PB和PC分別為/ABC、ZBCD的平分線，

i1i

AZPBC+ZPCB=(NABC+NBCD)=.(360°-a)=180°-ja,

則NP=180°-(NPBC+NPCB)=180°-(180°-1a)=1a.

故選：C.

【點評】本題考查了多邊形的內角和外角以及三角形的內角和定理，屬于基礎題.

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,8C=6,點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點8落在矩形

內點F處，連接CF,則CF的長為()

【考點】矩形的性質；翻折變換(折疊問題).

【答案】D

【分析】連接BF,根據三角形的面積公式求出BH,得到BF,根據直角三角形的判定得到/2月。=90°,

根據勾股定理求出答案.

【解答】解：連接BR

：8C=6,點E為BC的中點，

:.BE=3,

又YA"%

：.AE=7AB2+BE?=5,

由折疊知，BFLAE（對應點的連線必垂直于對稱軸）

,皿ABXBE12

.?2代=虧’

則BF=曾，

?；FE=BE=EC,

：.ZBFC=90°,

【點評】本題考查的是翻折變換的性質和矩形的性質，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊

前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解題的關鍵.

1

3.如圖，nABCZ）的對角線AC、8。交于點O,AE平分/BAD交BC于點E,且NAOC=60°,AB=產,

連接。E.下列結論：

①/CW=30°；

②S°ABCD=AB?AC；

?OB=AB-,

@0E=\BC,成立的個數(shù)有（）

AD

O

BEC

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】平行四邊形的性質；等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角

三角形.

【專題】壓軸題.

【答案】C

【分析】由四邊形4BCD是平行四邊形，得到/ABC=/AOC=60°,ZBAD=120°,根據AE平分

ABAD,得到N8AE=NE4O=60°推出△ABE是等邊三角形，由于48=抑7,得到AE=抑7,得到

△ABC是直角三角形，于是得到/。4。=30°,故①正確；由于AC1AB,得到S^ABCD=AB-AC,故

11

②正確，根據AB=2BC,OB=?BD,且得到A2W02,故③錯誤；根據三角形的中位線定

理得到于是得到0￡=品。，故④正確.

【解答】解：：四邊形48。是平行四邊形，

ZABC^ZADC^60°,NBA。=120°,

:AE平分NBA。，

：.ZBAE^ZEAD^60°

.?.△ABE是等邊三角形，

'.AE—AB—BE,

1

?；AB=^BC,

1

：.AE=”。，

：.ZBAC=90°,

：.ZCAD=30°,故①正確；

VAC±AB,

S^ABCD=AB9AC,故②正確，

11

9：AB=^BC,OB=^BD,

?：BD>BC,

：.AB^OB,故③錯誤；

,:CE=BE,CO^OA,

：.OE=^AB,

1

.1.OE==rBC,故④正確.

故選：c.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，平行四邊形的

面積公式，熟練掌握性質定理和判定定理是解題的關鍵.

4.已知一個多邊形的內角和是900。，則這個多邊形是()

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

【考點】多邊形內角與外角.

【專題】計算題.

【答案】C

【分析】設這個多邊形是“邊形，內角和是(n-2)-180°,這樣就得到一個關于”的方程，從而求出

邊數(shù)n的值.

【解答】解：設這個多邊形是〃邊形，

則("-2)780°=900°,

解得：n=7,

即這個多邊形為七邊形.

故選：C.

【點評】根據多邊形的內角和定理，求邊數(shù)的問題就可以轉化為解方程的問題來解決.

5.如圖，在正方形ABC。的外側，作等邊三角形ADE,AC、BE相交于點R則N8FC為()

【考點】正方形的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質.

【答案】C

【分析】根據正方形的性質及等邊三角形的性質求出/山狙=15°,ZBAC=45°,再求/BBC.

【解答】解：???四邊形ABO是正方形，

C.AB^AD,

又???△AOE是等邊三角形，

：.AE=AD=DE,ZDAE=6Q°,

C.AB^AE,

:./ABE=/AEB,NBAE=90°+60°=150°,

：.ZABE=(180°-150°)4-2=15°,

又：/8AC=45°,

AZBFC=45°+15°=60°.

故選：C.

【點評】本題主要是考查正方形的性質和等邊三角形的性質，解題的關鍵是利用正方形和等邊三角形各

邊相等的性質及等邊對等角求出15°.

6.如圖，四邊形A8CO是菱形，AC=8,DB=6,OH_LA8于H,則?！ǖ扔?)

【考點】菱形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】A

【分析】根據菱形性質求出4。=4,0B=3,ZAOB=90°,根據勾股定理求出AB,再根據菱形的面

積公式求出即可.

【解答】解：設AC交于0,

:四邊形ABC。是菱形，

C.AO^OC,B0=0D,AC±BD,

VAC=8,DB=6,

；.A0=4,02=3,ZAOB=90°,

由勾股定理得：AB=V32+42=5,

1

■:S菱形ABCQ=2xACxBD=ABxDH,

1

x8x6=5xDH,

2

24

：.DH=g,

故選：A.

【點評】本題考查了勾股定理和菱形的性質的應用，能根據菱形的性質得出S菱形=

ABxDH是解此題的關鍵.

7.如圖，將□ABC。沿對角線AC折疊，使點B落在"處，若Nl=/2=44°,則為（）

C.114°D.124°

【考點】平行四邊形的性質.

【答案】C

【分析】由平行四邊形的性質和折疊的性質得出AC,由三角形的外角性質求出

1

ZBAC^ZACD^ZB'AC=jZl=22",再由三角形內角和定理求出即可.

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.ZACD^ZBAC,

由折疊的性質得：ZBAC^ZB'AC,

1

：.ZBAC=ZACD=ZB'AC=^Z1=22°,

.*.ZB=180°-Z2-ZBAC=180°-44°-22°=114°；

故選：C.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質、折疊的性質、三角形的外角性質以及三角形內角和定理；熟練

掌握平行四邊形的性質，求出/BAC的度數(shù)是解決問題的關鍵.

8.一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是（）

A.四邊形B.五邊形C,六邊形D.八邊形

【考點】多邊形內角與外角.

【答案】C

【分析】此題可以利用多邊形的外角和和內角和定理求解.

【解答】解：設所求多邊形邊數(shù)為小由題意得

（〃-2）780°=360°X2

解得n=6.

則這個多邊形是六邊形.

故選：C.

【點評】本題考查多邊形的內角和與外角和、方程的思想.關鍵是記住內角和的公式與外角和的特征:

任何多邊形的外角和都等于360°邊形的內角和為（n-2）-180°.

9.如圖，nABCZ）的對角線AC與8。相交于點O,ABLAC,若A2=4,AC=6,則8。的長是（）

A------------------D

丁

A.8B.9C.10D.11

【考點】平行四邊形的性質；勾股定理.

【答案】C

【分析】利用平行四邊形的性質和勾股定理易求80的長，進而可求出BD的長.

【解答】解：ABC。的對角線AC與相交于點。，

；.BO=DO,AO^CO,

,：AB1AC,42=4,AC=6,

：.ZBAO=90°,OA=3

BO=V32+42=5,

???82）=280=10,

故選：C.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質以及勾股定理的運用,是中考常見題型，比較簡單.

10.如圖，菱形A8CZ）的對角線AC,8。相交于。點，E,尸分別是A3,邊上的中點，連接跖.若

EF=V3,BD=4,則菱形ABC。的周長為（)

A.4B.4V6C.4V7D.28

【考點】菱形的性質；三角形中位線定理.

【答案】C

【分析】首先利用三角形的中位線定理得出AC,進一步利用菱形的性質和勾股定理求得邊長，得出周

長即可.

【解答】解：歹分別是ASBC邊上的中點，EF=W,

:.AC=2EF=2?

???四邊形ABCO是菱形，

：.AC±BD,OA=V3,OB=1B￡>=2,

：.AB=y/OA2+OB2=V7,

菱形ABCD的周長為4V7.

故選：C.

【點評】此題考查菱形的性質，三角形的中位線定理，勾股定理，掌握菱形的性質是解決問題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

11.如圖，在菱形ABC。中，對角線AC與BO相交于點O,AC=8,BD=6,0E1BC,垂足為點E,則

【考點】菱形的性質.

【專題】計算題.

【答案】見試題解答內容

11

【分析】先根據菱形的性質得AC_L3Q,OB=OD=^BD=3,0A=0C=^AC=4f再在RtZXOBC中利

用勾股定理計算出BC=5,然后利用面積法計算0E的長.

【解答】解：??,四邊形A3CD為菱形，

11

：.AC±BDf0B=0D=^BD=3,OA=OC=^AC=4,

在RtZ^OBC中，V0B=3,OC=4,

：.BC=V32+42=5,

OELBC,

11

：LOE?BC=3OB?OC,

22

門口

■.-OE=-3x4=T12-

故答案為苦.

【點評】本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條

對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.也考查了勾股定理和三角形面積公式.

12.如圖，E,尸是正方形ABC。的邊A。上兩個動點，滿足?連接C尸交2。于點G,連接8E

交AG于點若正方形的邊長為2,則線段。以長度的最小值是—逐-」.

【考點】正方形的性質.

【專題】壓軸題.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據正方形的性質可得AB=AD=CD,/BAD=NCDA,ZADG=ZCDG,然后利用“邊角

邊”證明AABE和全等，根據全等三角形對應角相等可得Nl=/2,利用“SAS”證明△AOG

和△CDG全等，根據全等三角形對應角相等可得/2=/3,從而得到/1=/3,然后求出NAH8=90°,

取42的中點0,連接。8、0D,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。H=32=1,利

用勾股定理列式求出。。，然后根據三角形的三邊關系可知當。、D、H三點共線時，OH的長度最小.

【解答】解：在正方形ABC。中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,/ADG=NCDG,

在△ABE和中,

AB=CD

乙BAD—/.CDA,

AE=DF

：.AABE^ADCF(SAS),

.*.Z1=Z2,

在△AOG和△COG中，

AD=CD

Z.ADG=Z.CDG，

DG=DG

：.AADG^ACDG(SAS),

；.N2=N3,

；./l=N3,

?/ZBAH+Z3=ZBAD=90°,

：.Zl+ZBAH=90°,

AZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中點。，連接OH、OD,

r,1

則OH=AO=揶=1,

在RtAAOD中，OD=y/AO2+AD2=Vl2+22=V5,

根據三角形的三邊關系，OH+DH>OD,

...當。、。、H三點共線時，。”的長度最小，

最小值=。。-08=有一1.

(解法二：可以理解為點H是在A8直徑的半圓通上運動當O、H、。三點共線時，DH長

度最小)

故答案為：V5-1.

【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半的性質，三角形的三邊關系，確定出QH最小時點”的位置是解題關鍵，也是本題的難點.

13.如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，ZA=60°,M是A。邊的中點，N是AB邊上的一動點，WAAW

沿MN所在直線翻折得到△&'MN,連接A'C,則A'C長度的最小值是一夕T

【考點】菱形的性質；翻折變換（折疊問題）.

【答案】V7-1.

【分析】根據題意，在N的運動過程中A'在以"為圓心、為直徑的圓上的弧上運動，當A'

C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時加、A'、C三點共線，得出A'的位置，進而利用銳角三

角函數(shù)關系求出A'C的長即可.

【解答】解：如圖所示：是定值，A,C長度取最小值時，即A'在MC上時，

過點M作MFLDC于點F,

?在邊長為2的菱形ABC。中，ZA=60°,M為A。中點，

：.2MD=AD=CD^2,ZFDM=60°,

：.ZFMD=3Q°,

11

：.FD=^MD=J,

.?.FM=DMXcos30°=苧，

：.MC^VFM2+CF2=V7,

"C=MC-MA'=V7-1.

【點評】此題主要考查了菱形的性質以及銳角三角函數(shù)關系等知識，得出A'點位置是解題關鍵.

14.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4層,。為邊AB上一動點（2點除外），以CD為一邊作正方

形CDEF,連接BE,則面積的最大值為8

E

【考點】正方形的性質；等腰三角形的性質；勾股定理.

【專題】矩形菱形正方形.

【答案】見試題解答內容

【分析】過點C作CGL3A于點G,作于點X,作于點由AB=AC=5,BC=

4V5,得到BM=CM=2萌，易證求得GB=8,設BD=x,貝!|Z)G=8-x,易證

111

且4DCG,EH=DG=8-x,所以SABDE=?EH=彳久(8—無)=一訝Q-4尸+8,當尤=4時，△

面積的最大值為8.

【解答】解：過點C作CGLBA于點G,作EHA.AB于點H,作AMLBC于點M.

'：AB=AC=5,BC=4V5,

:.BM=CM=2底

：.LAMBsACGB,

.BMAB

??=,

GBCB

2V55

即=-尸

GB4V5

???G3=8,

設則。G=8-x,

■:ED=DC,NEHD=NDGC,ZHED=ZGDCf

:?△EDH咨ADCG(AAS),

：.EH=DG=8-x,

111

S^BDE—2BD-EH=2x(8—x)——2(x—4)+8,

當x=4時，△BDE面積的最大值為8.

故答案為8.

E

【點評】本題考查了正方形，熟練運用正方形的性質與相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定

與性質是解題的關鍵.

15.如圖，在DABCD中，AD=2AB,E是的中點，作CE_LA8,垂足E在線段AB上，連接EF、CF,

則下列結論中一定成立的是①②④.(把所有正確結論的序號都填在橫線上)

【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】幾何圖形問題；壓軸題.

【答案】見試題解答內容

【分析】分別利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出△AE/FADMP(ASA),得出

對應線段之間關系進而得出答案.

【解答】解：①是的中點，

C.AF^FD,

:在DABCD中，AD=2AB,

：.AF=FD=CD,

：.ZDFC=ZDCF,

,JAD//BC,

ZDFC=ZFCB,

:./DCF=/BCF,

ZDCF=^ZBCD,故①正確；

延長交CD延長線于

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB//CD,

：./A=/MDF,

??,方為A0中點，

：.AF=FD.

在AAE/和中，

’4=ZFDM

'AF=DF，

^AFE=Z-DFM

：.AAEF^ADMF(ASA),

:.FE=MF,NAEF=NM,

丁CELAB,

：.ZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

?：FM=EF,

：?FC=FM,故②正確；

③?；EF=FM,

??S/\EFC=S^CFM,

?；MC>BE,

SABEC<2SAEFC

故5kBEC=2SaCE尸錯誤，即③錯誤；

④設N/EC=x,則N尸CE=x,

：.ZDCF=ZDFC=90°-x,

：.ZEFC=180°-2x,

:?/EFD=9U°-x+180°-2x=270°-3x,

VZAEF=90°-x,

:?/DFE=3/AEF,故④正確.

故答案為：①②④.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，得出△AEFg

是解題關鍵.

三.解答題（共5小題）

16.己知，正方形中，ZMAN^45°,/MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交C2、0c（或

它們的延長線）于點M、N,于點H.

（1）如圖①,當/MAN繞點A旋轉到BM=DN時,請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系:AH=AB；

（2）如圖②，當/MAN繞點A旋轉到8WWON時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與A8的數(shù)量關系還成立嗎？如

果不成立請寫出理由，如果成立請證明；

（3）如圖③，已知NMAN=45°,AHLMN于懸H,且MH=2,NH=3,求A//的長.（可利用（2）

解一元二次方程-因式分解法；全等三角形的判定與性質；勾股定理.

【專題】證明題；壓軸題；探究型.

【答案】見試題解答內容

【分析】（1）由三角形全等可以證明

（2）延長CB至E,使.BE=DN,證明絲/XANM,能得到

（3）分別沿AM、AN翻折△43和△ANH,得到△ABM和△AM）,然后分別延長和DN交于點C,

得正方形設則MC=JC-2,NC=x-3,在Rtz\MCN中，由勾股定理，解得x.

【解答】解：（1）如圖①

（2）數(shù)量關系成立.如圖②，延長CB至E,使BE=DN.

,「ABC。是正方形，

：.AB=AD,ND=NABE=90°,

AB=AD

在RtAAEB和RtAAND中，UABE=乙ADN,

BE=DN

：.RtAAEB^RtAAND(SAS),

:?AE=AN,NEAB=/NAD,

'：ZDAN+ZBAM=45°,

：.ZEAB+ZBAM=45°,

：.ZEAM=45°,

ZEAM=ZNAM=45°,

AE=AN

在△AEM和AANM中，^EAM=4NAM，

AM=AM

：.AAEM^AANM(SAS).

ASMEM=S/\ANMIEM=MN,

9：AB.A”是△AEM和△A7VM對應邊上的高，

(3)如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到和△AND,

：.BM=2,DN=3,NB=ND=NBAD=90°.

分別延長BM和DN交于點C,得正方形ABCD,

由(2)可知，AH=AB=BC=CD=AD.

設AH=x,則MC=x-2,NC=x-3,

在RtZXMCN中，由勾股定理，得MM=Md+NC2

：.52=(x-2)2+(x-3)2

解得Xl=6,X2=-1.(不符合題意，舍去)

：.AH=6.

AD

圖②

【點評】本題主要考查正方形的性質和三角形全等的判斷，難度中等.

17.如圖，在四邊形ABC。中，AB//DC,AB=AD,對角線AC,BD交于點O,AC平分NBA。，過點C

作交AB的延長線于點E,連接0E.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)^AB=V5,BD=2,求的長.

【考點】菱形的判定與性質；角平分線的定義；平行線的性質；勾股定理.

【專題】計算題；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)先判斷出/048=/。。!，進而判斷出得出CD=AD=AB,即可得出

結論；

(2)先判斷出。E=0A=0C,再求出02=1,利用勾股定理求出。4,即可得出結論.

【解答】(1)證明：

J.ZOAB^ZDCA,

〈AC為NDA3的平分線，

：.ZOAB=ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.CD^AD^ABf

U：AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

'：AD=ABf

?*?nABCD是菱形；

(2)解：:四邊形ABC。是菱形，

：.OA=OC,BDLAC,OB=加=1,

VCE1AB,

.?.OE=OA=OC,

在RtZWOB中，AB=V5,OB=1,

OA=7AB2—OB?=2,

：.OE=OA=2.

【點評】此題主要考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，角平分線的定義，勾股定理,

判斷出CZ)=AD=AB是解本題的關鍵.

18.在RtzXABC中，/A4c=90°,。是BC的中點，E是A。的中點，過點A作A/〃BC交BE的延長

線于點F.

(1)求證：LAEF出4DEB；

(2)證明四邊形AOC尸是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCE的面積.

【考點】菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理.

【專題】證明題.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)根據AAS證

(2)利用①中全等三角形的對應邊相等得到AF=BD.結合已知條件，利用“有一組對邊平行且相等

的四邊形是平行四邊形”得到AOb是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到

DC,從而得出結論；

(3)由直角三角形ABC與菱形有相同的高，根據等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結論.

【解答】(1)證明：@'：AF//BC,

：./AFE=ZDBE,

是AD的中點，。是BC的中點，

：.AE=DE,BD=CD,

在△AFE和△D8E中，

^AFE=/DBE

■/.FEA=乙BED，

ME=DE

:.AAFE咨ADBE(AAS)；

(2)證明：由(1)知，AAFE^ADBE,貝！JAE=DB.

,:DB=DC,

C.AF^CD.

,JAF//BC,

...四邊形ADCF是平行四邊形，

VZBAC=90°,。是3C的中點，

1

：.AD=DC=7C,

???四邊形AOC/是菱形;

(3)連接￡>F,

\'AF//BD,AF=BD,

四邊形ABDF是平行四邊形，

：.DF=AB=5,

..?四邊形AZXT是菱形，

S菱形ADCF=|AC-DF=1X4X5=10.

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應用，菱形的面積計

算，主要考查學生的推理能力.

19.如圖，分別以RtA48C的直角邊AC及斜邊A8向外作等邊及等邊△A8E.已知N8AC=30°,

EFLAB,垂足為F,連接。足

(1)試說明AC=EP；

(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形.

【考點】平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質.

【專題】證明題.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)首先中，由/B4C=30°可以得到AB=2BC,又因為△ABE是等邊三角形，EF

±AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可證明△AFEgZXBCA,再根據全等三角形的性質

即可證明AC=EB

(2)根據(1)知道EF=AC,而△ACQ是等邊三角形，所以跖=AC=AD,并且AZ)_L45,而E/QL

AB,由此得到跖〃A。，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADEE是平行四邊形.

【解答】證明：(1)?.?及△ABC中，ZBAC=30°,

：.AB=2BC,

又「△ABE是等邊三角形，EF±AB,

：.AB=2AF

：.AF=BC,

在RtAAFE和RtABCA中，

(AF=BC

VAE=BA'

.?.RtAAF￡^RtABCA(HL),

：.AC=EF；

(2);△AC。是等邊三角形，

AZZ)AC=60°,AC=AD,

：./DAB=ZDAC+ZBAC=90°

5L'：EFLAB,

C.EF//AD,

'：AC=EF,AC=AD,

：.EF=AD,

，四邊形ADFE是平行四邊形.

【點評】此題是首先利用等邊三角形的性質證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質和等邊三角形

的性質證明平行四邊形.

20.如圖，點〃是正方形ABC。的邊BC上一點，連接AM,點E是線段AM上一點，/COE的平分線交

AM延長線于點反

(1)如圖1,若點E為線段AM的中點，BM：CM=1：2,BE=V10,求AB的長;

(2)如圖2,若DA=DE,求證：BF+DF=V2AF.

圖1圖2

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】綜合題；壓軸題；轉化思想；等腰三角形與直角三角形.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)設則MC=2x,由此得到4B=BC=3x,在RtZvlBM中，根據直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半，可求AM長，再利用勾股定理可求長；

(2)要證明的三條線段沒有組成一個三角形或一條線段，所以延長即交過點A作垂直于AE的直線

于“點，證明△ABFgAAOH,把轉化到。H,從而三條線段放在了等腰直角三角形中便解決了問

題.

【解答】解：(1)設則CM=2x,BC=3x,

；8A=BC,：.BA^3x.

在RtZXABM中，￡為斜邊AM中點，

：.AM=2BE=2410.

由勾股定理可得4序=及出2+&82,

即40=/+9X2,解得X=2.

.\AB=3x=6.

(2)延長F0交過點A作垂直于Ab的直線于H點，過點。作。尸，A尸于尸點.

,:DF平分/CDE,

.\Z1=Z2.

?；DE=DA,DP±AF

???N3=N4.

VZ1+Z2+Z3+Z4=9O°,

???N2+N3=45°.

：.ZDFP=90°-45°=45°.

：.AH=AF.

'：ZBAF+ZDAF^90°,ZHAD-^-ZDAF=90°,

：.ZBAF=ZDAH.

又AB=AZ),

AABF^AADH(SAS).

：.AF=AH,BF=DH.

9：RtAE4H是等腰直角三角形，

：.HF=V2AF.

'：HF=DH+DF=BF+DF,

：.BF+DF=V2AF.

F

H

【點評】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及等腰三角形的性質、勾股定理,

綜合性較強，正確作出輔助線，把三條線段轉化到一個等腰直角三角形是解題的關鍵.

考點卡片

1.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩

個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一

元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得

到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

2.角平分線的定義

(1)角平分線的定義

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線.

(2)性質：若OC是NAOB的平分線

1

貝此4。。=/8。。=力乙402或4408=2/&。。=2/2。。.

(3)平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐.

3.平行線的性質

1、平行線性質定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內錯角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

4.三角形內角和定理

(1)三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內角，且每個內角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內角和定理：三角形內角和是180°.

(3)三角形內角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角.在轉化中借助平

行線.

(4)三角形內角和定理的應用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數(shù)方法

求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

5.全等三角形的判定與性質

(1)全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

(2)在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角

形.

6.等腰三角形的性質

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任意取出兩個

元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論.

7.等腰三角形的判定與性質

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解

決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析.

3、等腰三角形性質問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的

思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優(yōu)先選擇簡便方法來解決.

8.等邊三角形的性質

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對而言的.

(2)等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線

是對稱軸.

9.等邊三角形的判定與性質

(1)等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關角的計算奠定了基礎，它的邊角性

質為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性

質，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用.

(2)等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的

直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等.

(3)等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從?/p>

般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定;若從等腰三角形出發(fā),則想法獲取一個60°

的角判定.

10.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性質：

在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半.

(2)此結論是由等邊三角形的性質推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常

用來求邊的長度和角的度數(shù).

(3)注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角

三角形不能應用；

②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊.

11.直角三角形斜邊上的中線

(1)性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜邊的中點)

(2)定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一