河北省張家口市2023-2024學(xué)年高二年級下冊期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省張家口市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:..姓名:.班級:考號:

一、單選題

1.已知集合”={1,2,3,4},Af={x|x2-x-2<0},則()

A.{1,2}B.{1,2,3}C.{2,4}D.{2,3,4}

2.某研究中心對治療哮喘的兩種藥物的療效是否有差異進行實驗，并運用2*2列聯(lián)表進行

檢驗，零假設(shè)4：兩種藥物的療效無差異，計算出爐。5.389,根據(jù)下面的小概率值。的

獨立性檢驗表，認(rèn)為“兩種藥物的療效存在差異”犯錯誤的概率不超過(

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.5%B.1%C.0.5%D.0.1%

3.在（尤-3『的展開式中，X’的系數(shù)為（）

A.-135B.135C.-1215D.1215

52

4.已知。>0/>0,且—+丁=1,貝lJa+6的最小值為（）

ab

A.473B.3>/2C.4+26D.7+2V10

5.求整數(shù)的正整數(shù)因數(shù)時可將其改寫成若干個質(zhì)數(shù)的乘積，例如12=3以22,12的正整數(shù)

因數(shù)只需分別從{303},{2°,2:2?}中各選一個元素相乘即可，則2025的正整數(shù)因數(shù)的個

數(shù)為()

A.8B.10C.15D.16

6.已知函數(shù)/(x)=sinx-xcosx,若a=/(e),b=/(In4),c=/(sin2),則a,b,c的大

小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

7.過點(3,0)作兩條直線與曲線/(x)=xe*(e是自然對數(shù)的底數(shù))相切，切點的橫坐標(biāo)分別

為X,,則X1Z的值為()

A.-eB.eC.-3D.3

試卷第1頁，共4頁

8.已知不等式+（其中x>0）的解集中恰有三個正整數(shù)，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

932A9321

A.（3,8]B.[3,8)C.D.?

In4ln5h4ta5j

二、多選題

9.下列關(guān)于一元線性回歸模型的敘述正確的有（）

A.經(jīng)驗回歸直線？=晟+&經(jīng)過樣本中心點（只歹），點（只方可以不在樣本中

B.對于經(jīng)驗回歸直線j）=g無+2（方>0）,x增加一個單位，/平均增加E個單位

C.殘差平方和方他一無『越小，模型的擬合效果越差

Z=1

D.若相關(guān)系數(shù)r=0.018,則>與x的相關(guān)程度很強

10.已知a,beR,下列條件中，能使不等式山成立的充分條件有（）

A.a=2bB.a2-b2>3C.a2=b2+eD.a-b>e

11.已知函數(shù)/3=￡'+°（0,40均為常數(shù)且"0）的導(dǎo)函數(shù)/'（力滿足/'3=3/@）+3,

且"0）=1，則下列說法正確的有（）

三、填空題

12.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（l,4）,若尸（X<2-a）=0.2,貝!]尸（XWa）=.

13.已知隨機變量X?8（",?）,若期望E（X）=20,方差。（x）=10,則”的值為.

14.不透明的盒子中裝有大小質(zhì)地相同的4個紅球、2個白球，每次從盒子中摸出一個小球,

若摸到紅球得1分，并放回盒子中搖勻繼續(xù)摸球；若摸到白球，則得2分且游戲結(jié)束.摸球

"次后游戲結(jié)束的概率記為《，則乙=;游戲結(jié)束后，總得分記為X,則X的數(shù)學(xué)

期望￡(X)=

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.已知函數(shù)/(x)=--e\

⑴求“X)的圖象在點(0J(0))處的切線方程；

(2)若g(x)=/(x)(/'(x)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，求g(x)在區(qū)間［05上的最大值和最小值.

16.小明同學(xué)設(shè)置手機密碼的六位數(shù)字，準(zhǔn)備將e(eB2.71828…)的前6位數(shù)字(1,2,

2,7,8,8,)按照一定的順序進行設(shè)置.

(1)記事件A：相同的數(shù)字排在一起，求事件A發(fā)生的概率尸(4)；

(2)記事件8：只有一組相同的數(shù)字排在一起，求事件3發(fā)生的概率尸(2);

(3)記事件C：相同數(shù)字不相鄰且相同數(shù)字之間只有一個數(shù)字，求事件C發(fā)生的概率尸(C).

17.已知函數(shù)/'(x)=X?-2x+aln(l+x)(aeR).

(1)當(dāng)a=T時，求函數(shù)/(x)的極值；

⑵討論/(x)的單調(diào)性.

18.已知不透明的盒子中有8個相同的乒乓球，球上標(biāo)有數(shù)字1,2,3,…，8,有放回地

隨機抽取兩次(每次抽取1個球)，記下球上的數(shù)字“，b,原點。(0,0)和點點

N(a,b).

⑴記事件/:兩.麗=0或南.麗=0.求事件A發(fā)生的概率尸(㈤.

⑵記事件3:△MON的面積不大于5.求事件8發(fā)生的概率?(8).

(3)記事件是銳角.事件。:△MON是銳角三角形.求在事件C發(fā)生的條件下事件

O發(fā)生的概率尸⑷C).

19.某臺球選手采用如下方法進行障礙球訓(xùn)練:在不透明的盒子里裝有3個紅球和2個黑球,

這5個球除顏色外完全相同，每次擊球前從盒中任取一個球放置到障礙點，然后用母球擊

球.如果障礙球被打進，則繼續(xù)從盒子中取球放置到另一個障礙點，進行第二次擊球；如果

障礙球沒被打進，則繼續(xù)在同一點進行第二次擊球；如此反復(fù)進行下去，直到5個球全部被

打進去為止.假設(shè)該選手在每個障礙點將球打進的概率都是1.

(1)記事件w="三次擊球共打進一個紅球和一個黑球”，記事件4="第，次擊球打進紅球

1=1,2,3)”，事件與="第，?次擊球打進黑球［=1,2,3)“，事件￡="第，?次擊球沒打進球

試卷第3頁，共4頁

。=1,2,3)”，寫出事件”的樣本空間中包含的所有基本事件，求尸(M)的值；

(2)記第"次"EN*/>5)擊球后5個球全部被打進的概率為P?,求A的最大值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案AABDCBCDABBC

題號11

答案ABD

1.A

【分析】首先解一元二次不等式求出集合N,再根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】由V—x—2W0,即（x+l）（x—2）<0,解得—1W2,

所以N=卜卜2r_2W0}=1|-l<x<2},又河={1,2,3,4},

所以MnN={l,2}.

故選：A

2.A

【分析】根據(jù)5.389>3.841,5.389<6.635,得到犯錯誤的概率不超過5%.

【詳解】72?5.389>3.841,?5.389<6.635,

故“兩種藥物的療效存在差異”犯錯誤的概率不超過5%.

故選：A

3.B

【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.

【詳解】對（》-3）6有&|=?"1（_3）'=（_3）'晨--"

則4=（-3ye?-、9x15/=135/,故/的系數(shù)為135.

故選：B.

4.D

【分析】借助基本不等式“1”的活用計算即可得.

【詳解】由”>0,6>0,則4+6=（4+6）（2+2]=5+2+旺也27+2、把也=7+2跖,

\ab）abNab

當(dāng)且僅當(dāng)也=當(dāng)，即后=回時，等號成立.

ab

故選：D.

5.C

答案第1頁，共11頁

【分析】首先分解質(zhì)因數(shù)，再根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算可得.

【詳解】因為2025=52x33

所以2025的正整數(shù)因數(shù)只需分別從付5,5",/BSP,31中各選一個元素相乘即可，

有3x5=15種取法，即有15個正整數(shù)因數(shù).

故選：C.

6.B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在(0,兀)上的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性判斷即可.

【詳解】因為/(x)=sinx-xcosx,

所以/'(無)=cosx-cosx+xsinx=xsinx,

所以當(dāng)xe(O,兀)時，r?>0,

所以在(0,兀)上單調(diào)遞增，

因為0<sin2<l<ln4<2<e<7t,

所以/(sin2)</(ln4)</(e),即

故選：B.

7.C

【分析】根據(jù)過一點作函數(shù)圖象的切線問題，設(shè)切點，得切線方程，再代入定點求解即可.

【詳解】由/(x)=xe\得/V)=eA+xe*=(x+l)e\

設(shè)切點坐標(biāo)為的混')，則切線斜率為(〃?+1?，所以切線方程為

y-mem=(m+l)ew(x-m).

因為點(3,0)在切線上，所以0-me"'=(/M+l)e"'(3-M，即-3=0,

結(jié)合題意，則為，％是上述方程的根，所以根據(jù)韋達定理得再％=-3.

故選：C.

8.D

【分析】由題可知，設(shè)函數(shù)〃x)="ln(x+l),g(x)=/-2/,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g(x)的極值點，

得出單調(diào)性，根據(jù)“111(尤+1)--+2工2>0在區(qū)間(0,討)內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，轉(zhuǎn)化

為〃x)>g(x)在區(qū)間(0,—)內(nèi)的解集中有且僅有三個整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實數(shù)。的取值

答案第2頁，共11頁

范圍.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x+l)"=〃ln(x+l),g(x)=x3-2x2,

,4

因為g(%)=3%2—4%,令g'(x)=O,貝l」x=O或％=

44

貝時，g'(%)<0,或x<0時，g'(x)>0,g(0)=g(2)=0,

g(x)在上(-8,0),［：,+8］遞增，在。，上遞減，

當(dāng)時，/(x)〉g(x)至多一個整數(shù)根；

當(dāng)。>0時，/(%)>g(x)在(0,+oo)內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù),

⑶〉g⑶Lln4>33-2x32

根據(jù)圖象，只需八,/八，C43CA29

[/(4)<g(4)儲In5?43—2x42

所以9拿32.

In4In5

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于分出兩個函數(shù)/'(xhalna+l),g(x)=x3-2x2,結(jié)

合導(dǎo)數(shù)研究其函數(shù)圖象的關(guān)系從而得解.

9.AB

【分析】根據(jù)回歸直線的相關(guān)性質(zhì)判斷AB選項，根據(jù)殘差平方和的性質(zhì)判斷C選項，根據(jù)

回歸直線的性質(zhì)判斷D選項.

【詳解】A選項，回歸直線一定通過樣本點的中心，但樣本點的中心可以不在樣本中，A選

項正確；

B選項，由方>0及回歸直線的性質(zhì)，x增加一個單位，步平均增加3個單位，B選項正確；

C選項，殘差的平方和越小，模型擬合效果越好，C選項錯誤；

D選項，相關(guān)系數(shù)的絕對值接近1時，才可以說>與x的相關(guān)程度很強，

但很明顯「=0.018和1的偏差很大，因此N與x的相關(guān)程度不強，D選項錯誤.

答案第3頁，共11頁

故選：AB

10.BC

【分析】結(jié)合對數(shù)運算與充分條件的定義逐項判斷即可得.

【詳解】對A：若a=2b=l,則ln(/一/)=出：<1,不符合要求，故A錯誤；

對B：若力-/>3,則ln(/_62)>ln3>lne=l,符合要求，故B正確；

對C：若/=/+e,則ln(/_/)=lne=l,符合要求，故C正確；

對D：若a-b>e,取。=?,b=-e,則o-Z?=2e>e,

此時/=。2-e2=0,不符合要求，故D錯誤.

故選：BC.

11.ABD

【分析】結(jié)合題意計算即可得。、b、c,從而可得了'(X),即可得A、B；結(jié)合/(X)可得

函數(shù)單調(diào)性，即可得C；解出不等式4/(x)>/'(x)即可得D.

【詳解】由/(x)=a*+c,則/(力=涓,又俳(x)=3/(x)+3,

故0加加=3a*+3c+3,又"0)=1,即/'(O)=ae°+c=a+c=l,

ab=3afa=2

即有3c+3=0,解得卜=3,

a+c=l[c=—1

gp/(x)=2e3l-l,r(x)-6e3\則/'(0)=Ge"。=6,故A、B正確；

對C：由/'(力=663，>0恒成立，故〃x)單調(diào)遞增，故“X)無極值點，故C錯誤；

對D："四>/'(%)即為863'-4>6€31即e">2,解得故D正確.

故選：ABD.

12.0.84g

【分析】借助正態(tài)分布的性質(zhì)計算即可得.

【詳解】由2…"=1,故尸(X<2-a)=尸(X>a)=0.2,

2

則P(X<a)=l-P(X>a>0.8.

故答案為：0.8.

答案第4頁，共11頁

13.40

【分析】根據(jù)二項分布的期望和方差公式得到方程組，求出p=；,〃=40.

【詳解】由題意得秋=20,物（1-刀=10,解得p=g,〃=40.

故答案為：40

4

14.4

27

【分析】借助概率乘法公式可得空一；借助期望的計算公式與錯位相減法計算可得空二.

2214

【詳解】4丁丁丁為

X的可能取值為2,3,4,…，左，…，k>2旦keZ,

則尸（X"）=]

n-X

1c12.+…+卜2

則E（X）=lim—x2+—xX9+1），

',"一>+??33

2

則§*幻=“%xg+1）

則：￡（'）=lim12

HX—H--XX〃+）

3〃->+833

即E（X）=1呼4-（n+4}|2

=4-lim?+4）

n->+oo'/

X^lim（?+4）^|j=0,故E（X）=4.

4

故答案為：—；4.

27

【點睛】關(guān)鍵點點睛：空二的關(guān)鍵點在于借助數(shù)列的求和方法中的錯位相減法求和.

15.（l）x+j+l=0

答案第5頁，共11頁

(2)最大值為2In2-2,最小值為-1

【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得；

(2)借助導(dǎo)數(shù)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性后，計算即可得其在區(qū)間［0,1］上的最大值與最小值.

【詳解】(1)f'(x)=2x-ex,/,(0)=2x0-e°=0-l=-l,/(0)=02-e1=-1,

則有廣(T)=(-Q(X-O),化簡得x+y+i=o,

即/(x)的圖象在點(0,/(0))處的切線方程為x+y+1=0；

(2)g(x)=f'(x)=2x-ex,貝l|g〈x)=r(x)=2-e)

則當(dāng)xe(O』n2)時，g'(x)>0,當(dāng)xe(ln2,l)時，g'(x)<0,

故g(x)在(O,ln2)上單調(diào)遞增，在(In2,1)上單調(diào)遞減，

則g(x)有最大值g(ln2)=21n2-2,

又g(O)=2xO-e°=-1,g(l)=2xl-e1-2-e>-l,

故g(x)在區(qū)間［0,1］上的最大值和最小值分別為21n2-2、-1.

2

16.(1)—

v15

2

⑵3

1

⑶5

【分析】(1)借助捆綁法處理元素問題，結(jié)合概率公式計算即可得；

(2)相同元素問題使用倍縮法處理后，結(jié)合概率公式計算即可得；

(3)分兩個2之間是否為8進行討論，結(jié)合概率公式計算即可得.

【詳解】(1)將相同的數(shù)字排在一起，只需將兩個2、兩個8分別看成同一元素，

與另外兩個元素全排列即可，此時共有A；=24種不同排法，

A6720

任意排列時共有=7=180種不同排法，

Aj-A-4

故P(/)=21=2；

'718015

答案第6頁，共11頁

r1A5

(2)只有一組相同的數(shù)字排在一起，共有120種不同排法,

則尸⑶喘2

3

(3)若兩個2之間不是8,兩個8之間不是2,則有C；C；C；=8種不同排法,

若兩個2之間是8,則必有8282或2828的排序,

此時共有C；團=12種不同排法，故共有20種不同排法,

則尸?哦2

9

17.(l)〃x)極小值為|一,無極大值

(2)答案見解析

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，再求解極值即可.

(2)利用導(dǎo)數(shù)含參討論函數(shù)單調(diào)性即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=一1時，f(x)=x2-2x-ln(l+x),

2

定義域為x-,所以"%)=2x-2--二i二2三x-上3，

1+x1+x

令八x)<0,xe(-l,平),令r(x)>0,xe佟,+oo),

所以〃x)在(-1，當(dāng))上單調(diào)遞減，在(日,+向上單調(diào)遞增，

所以/(X)極小值為f(x)=(9)2-2X半_ln(l+乎)，

=|_76-ln(l+^),“X)無極大值.

(2)由上問得/0)=2X一2+，一="*^,

l+x1+X

而A=_2x4(°_2)=16_8a,令A(yù)V0,解得ae[2,+<?),

此時八尤)>0恒成立，故/(x)在(-1,+?)上單調(diào)遞增，

令△>(),解得ae(y),2),令2/+。-2=0,

解得%至或迎=-31互，當(dāng)〃e(0,2)時，

4—2〃<4,故J4—2a<2,—J4—2a>—2,—'—〉—1,

2

答案第7頁，共11頁

此時令/'(x)<0,xe(-生乳,江至)，

22

A，,/、、八zV4—2tz/"\/4—2a

令/(x)>0,xG(-1,-------)u(------,+oo),

此時/(X)在(-至,上單調(diào)遞減，

在(T,一」宇),(蟲|竺+00)上單調(diào)遞增，

當(dāng)4=0時，f{x)=x2-2x,

由二次函數(shù)性質(zhì)得/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)ae(-oo,0)時，4一2。>4,J4—2。>2,一/4一20<-2,

_2/4=2^<_B令/，(X)<0,

22

令f'(x)>0,xe(/4；2a，十句,

所以〃x)在(T,3pl)上單調(diào)遞減，在擊竺+8)上單調(diào)遞增,

綜上，當(dāng)。e(-鞏0)時，〃x)在(T,告電)上單調(diào)遞減，

在(。4；2“,+對上單調(diào)遞增，

當(dāng)4=0時，/(X)在(-1J)上單調(diào)遞減，在(1,+°°)上單調(diào)遞增，

當(dāng)”e(0,2)時，〃x)在可上單調(diào)遞減，

在(_1「"H),(蟲|竺+00)上單調(diào)遞增，

當(dāng)ae[2,+o))時，〃x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增.

7

18.(1)—

v732

43

(2)—

v764

【分析】⑴根據(jù)而.而=0得。=6,列出符合條件的基本事件可得答案；

(2)設(shè)N點到直線。加的距離為1=蚱4,由邑,叩=忖翅45得|。+6歸10,列出符合條

件的基本事件可得答案；

(3)設(shè)直線/：>=x,要想/MON是銳角則點N應(yīng)在直線N=x下方，其中滿足要求的點有

答案第8頁，共11頁

28個，古典概率概型公式計算出尸（C）,若△MON是銳角三角形，則點N落在直線/：y=x

與直線=之間，根據(jù)點的坐標(biāo)特征求出滿足要求的點，再求尸（0C）即可.

【詳解】（1）〃有8數(shù)字、b有8數(shù)字可取，有放回地隨機抽取兩次（每次抽取1個球）,

共有8x8=64種取法，OM=（1,-1）,ON=（a,b）,疝=（a-1,6+1）,

若而?礪=0，則。-6=0,即a=6,符合條件的基本事件

（1,1）,（20,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）,（7,7）,（8,8）有8種,

若弧"?麗=0，貝!=0,即a-b=2,符合條件的基本事件

（3,1）,（4,2）,（5,3）,（6,4）,（7,5）,（8,6）有6種，

所以「（止宵W

\a+b\

（2）直線。M的方程為了+>=0,設(shè)N點到直線。河的距離為d=

~^2~

\a+b\\a+b\

因為10M=VL所以xV2x<5,

22

可得卜+4410,符合條件的基本事件有

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（1,7）,（1,8）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（2,7）,（2,8）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（3,7）,

（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（7,1）,（7,2）,（7,3）,（8,1）,（8,2）,

共35個，尸作）=:;

（3）。有8數(shù)字、6有8數(shù)字可取，有放回地隨機抽取兩次（每次抽取1個球）,

共有8x8=64種取法，

設(shè)直線/與直線O"垂直，且過原點，因為勺.=-1,則直線/：y=x,

其64個點中，有8個落在直線N=x上，剩余56個點中，一半在直線N=x上方,

一半在直線>=無下方，要想是銳角，則點N應(yīng)在直線V=x下方，

其中滿足要求的點有28個，