天津市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊開學(xué)測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高三級部學(xué)科練習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科

一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分）

1.設(shè)全集"=W},集合A={0』，2},B={-1,2},則“@5）=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】先求出許3,再根據(jù)交集的定義可求AC（e5）.

【詳解】={-2,0,1},故A村3）={0,1}，

故選：A.

2.已知命題P：Vx>0,總有（x+l）e'>l,則為（）

A.3x0<0,使得（%+l）e而<1B.3x0>0,使得

C.Vx>0,總有（x+l）e*<lD.VxWO,總有

【答案】B

【解析】

【分析】直接寫出命題的否定即可.

【詳解】因為P：Vx>0,總有（x+l）e'>l,貝UM為三%〉0,使得（%+1,跖<1

故選:B

3.設(shè)。、Z?eR,則是“。同>b\b\"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)/（x）=x|x|，分析函數(shù)/（九）在R上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及充分條件、必要條件判

斷可得出合適的選項.

_冗2X<0

【詳解】設(shè)/'（x）=x[x[=<2'—，則函數(shù)/（九）在（一00，。]、[0,+8）上均為增函數(shù)，

xax>0

又因為函數(shù)/（可在R上連續(xù)，故函數(shù)“X）在R上單調(diào)遞增,

若a>b,則/(。)>/(5)，即a|H>同小

若網(wǎng),則/⑷>/(/?),可得口>).

因此，“a>b”是“。同>b\b\"的充要條件.

故選：C.

,則函數(shù)/(%)的圖象可能為()

【答案】B

【解析】

【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值特征進行鑒別即可解決.

1?x

【詳解】函數(shù)/(x)=xln—的定義域為(―1,1)

1-X

?-1—X1+x|=xlnj^|=/(x)

j(-%)=-xln------=—xln

1+x1-x

則/(%)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸軸對稱，排除選項AC；

1I1|1+-o1I

又/(3)=彳1口一|=-ln3>0,則排除選項D.

22]_JL2

2

故選：B

5.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()

x22

e-x「cosx+xe'-xsinx+4x

B,=-D.y=---——

y=-|nx|

X+1x+le

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.

【詳解】對A,設(shè)〃0==二，函數(shù)定義域為R,但/(一1)=土匕，/(1)=0,則/(-I)W/(1),

X+122

故A錯誤;

2

對B,設(shè)g(x)=cos：+-x,函數(shù)定義域為R,

X+1

cosx+x2

=g（x），則g（x）為偶函數(shù)，故B正確;

x2+l

對c,設(shè)函數(shù)定義域為{x|xw-1},不關(guān)于原點對稱，則MX）不是偶函數(shù)，故C錯誤;

X+1

對D,設(shè)0（x）=sm：：4x,函數(shù)定義域為R,因為o（l）=sm；+4*1)=^1,

則0（1）W0（—1）,則0（尤）不是偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

6.已知角。終邊經(jīng)過點（-1,-3）,則,.，'/'力川二（）

3sin（—兀一+4cos（3兀+0）

11

A.-B.一一C.-1D.1

55

【答案】C

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡，再進行弦化切代入即可.

刀sin（-，）+2cos（7i-e）-sinS-2cosSsin8+2cosStan0+2

【詳角牛】3sin（—兀一，）+4cos（3兀+夕）3sin8-4cos84cos0-3sin<94-3tan0

因為角，的終邊經(jīng)過點（T-3）,則tan6=3,則tan"+2=」+2=一匕

4-3tan04-3x3

故選：C.

a3b

7.已知2"=5,log83=Z?,則4~()

255

A.25B.5C.一D.-

93

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，幕的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出.

14。(2")5?25

【詳解】因為2“=5,人=1%3=3幅3,即2%=3,所以4"3=*=%^=品=6?

ib

34(2\Jy

故選：C.

8.已知。=log52,b=log050.2,C=0.5A2,則a,dc的大小關(guān)系為

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】

利用0,工,1等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小.

2

【詳解】a=log52<log575<1,

b=log050.2>log050.25=2,

0.51<O,502<0.5°-故！<c<l,

2

所以avcvZ?.

故選A.

【點睛】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進行比較.

~2

/、-X+ax—1,X1,

9.設(shè)函數(shù)/(x)=〈c(八，是R上的減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

2-(tz+l)x,x<l

A-[T|]C.(T,2]D.[|,2

【答案】A

【解析】

【分析】利用分段函數(shù)單調(diào)性及一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性計算即可.

-<1

23

【詳解】由題意可得：《a+1>0—1<a?—，

/、2

2—(a+l)xl2—1+a—1

故實數(shù)。的取值范圍是［-1,|.

故選：A.

10.已知函數(shù)/(%)滿足〃一2-%)=〃-2+兀)，對任意石,馬￡(Y°，—2］,且玉。冗2，都有

/(%)—/(々)>。成立,且/⑼=0,則〃”>0的解集是()

再-x2

A.(—8,—2)D(2,+8)B.(―2,2)

C.(f-4)U(。，”)D.(-4,0)

【答案】D

【解析】

【分析】由已知條件得到了(%)的圖象關(guān)于x=-2對稱，從而可知〃龍)在(-8,-2］上為增函數(shù)，在

(-2,+“)上為減函數(shù)，且/(-4)=0,再畫出折線圖表示出函數(shù)/(%)的單調(diào)性，即可得到答案.

【詳解】因數(shù)/(%)滿足/(—2—x)=/(—2+x).

所以/(%)的圖象關(guān)于%=-2對稱.

因為函數(shù)/(九)對任意玉，We(-00，—2］,且工產(chǎn)々，都有二-------^>0成立，

下一%2

所以/(九)在(-8,-2］上為增函數(shù).

又因為/(%)的圖象關(guān)于x=—2對稱，/(0)=0,

所以/(%)在(—2,+“)為減函數(shù)，且"-4)=0.

用折線圖表示函數(shù)/(尤)的單調(diào)性，如圖所示：

由圖知：/(x)>0^>-4<x<0.

故選：D.

11.已知函數(shù)/(%)的定義域為R,且/(2x—1)為奇函數(shù)，+為偶函數(shù)，當(dāng)1,1］時,

f(x)=ax+l,則“2025)=()

A.0B.1C.2D.2025

【答案】C

【解析】

【分析】由函數(shù)奇偶性，確定/(九)為周期函數(shù)，再結(jié)合/(—1)=0,求得。，即可求解.

【詳解】因為/(2x—1)為奇函數(shù)，所以/(%)關(guān)于點(—1,0)中心對稱，

又/(x+1)為偶函數(shù)，所以/(九)關(guān)于直線x=l對稱，

所以/(九)為周期函數(shù)且周期T=4x|l—(-1)=8,

???/(2025)=/(8x253+1)=/(1)=〃+1,*/f(—1)=—a+1=0,/.tz=1,/.f(2025)=?+1=2.

故選:C.

,、flnx,x>0

I，設(shè)函數(shù)小)大+(。+2卜+2初.<0若方程/(x)=HR+1恰有2個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范

圍是()

/cl「1/(11r,x

A.(-℃,0]o7，萬B.[一*]1[L+00)

C.(-co,0]u|-^jo[l,+co)D.(-co,0]u|-^-jo3，+°°]

【答案】D

【解析】

lnx-1八

------,x>0

X

【分析】化簡/(耳=。國+1,進行參變分離，求出

9,畫出圖像根據(jù)圖像

X2+2X-1,八1

---------,x<0,1。一1

L-2%-2

得出結(jié)論.

]nx-ax-l,x>Q

【詳解】化簡〃6=4乂+1得"》)二，

犬2+(2a+2)x+2a—1,九?0

lnx-l八

------,x>0

%

a-\

爐+2x―I

---------,x<0,九。一1

〔-2%-2

當(dāng)x>0時，設(shè)/z(x)=見匚,(x>0)

X

7“、2-lnx一2-lne2

h(x)二——2，h(e9):=0

xe4

當(dāng)0<x<e2時，〃'(%)>0,/?(%)在(0"2)上單調(diào)遞增;

當(dāng)e2<x時，〃(尤)<0,例>)在卜2,+8)上單調(diào)遞減;

11

n1白，且當(dāng)e2<x時，h(x)=lnx-1八

丸(X)max=以/)----->0；

e2x

當(dāng)xWO,xw—I時，設(shè)?)=『+2xT=_3+，(xW0,x，—l)

-lx-22x+1

易知函數(shù)，(x)在(―8,-1),(一1,0]分別單調(diào)遞減，7(0)=!

2

畫出函數(shù)圖像

根據(jù)圖像可得ae(-oo,0]

故選：D.

【點睛】本題采取的是數(shù)形結(jié)合的思想，在進行分離變量的時候要探討參數(shù)的取值范圍.

二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)

13.己知集合A={xGR||x+2|<3},集合8={尤GR|(x-M(x-2)<0},且4門8=(-1,〃)，則〃z+“=.

【答案】0

【解析】

【分析】

解絕對值不等式求出集合A,由AAB的結(jié)果得m的范圍，解一元二次不等式求出集合B即可求得AHB

從而求得n.

【詳解】A={xe7?||x+2|<3)={xe7?|-5<x<l},

由Ari8=(—1,〃)得

?JB={^m<x<2},畫出數(shù)軸，可得片T,“=1.

-63??-<!)-------x

-5-1012

所以m+n=O.

故答案為：0

【點睛】本題考查集合的交集運算，涉及絕對值不等式、一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.

2

3

14.log53-log9V5+^+[(—5療—(2』廣-------------

9

【答案】-

2

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算以及指數(shù)運算求解即可.

11

【詳解】log975=^41[(-5)4]4=(54)4=5

log53-410g53

119

原式=_+_+5_1=_

442

9

故答案為：—

2

15.函數(shù)f(%)=loSi(-2尤?+3%+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為

【答案】

【解析】

【分析】求出函數(shù)的定義域，確定/(%)=l°gi(-2V+3x+2)由y=logM”=-2%2+3無+2復(fù)合而成,

55

判斷這兩個函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.

【詳解】由題意知函數(shù)于(%)=log](-2%2+3%+2),

5

1

令e=—2x2+3x+2，則〃=—2x9+3x+2>0,—<x<2,

2

貝I]/(%)=log1(—2/+3x+2)即由y=log」/u=-2x2+3x+2復(fù)合而成,

55

由于y=log,w在(o,+8)上單調(diào)遞減，

5

故要求函數(shù)于(x)=log1(―2/+3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間，

5

91

即求M=-2x2+3x+2,(―5〈尤<2)的單調(diào)遞增區(qū)間,

3

而〃=-2x2+3x+2的對稱軸為x=一,

4

,1

則a=-2x2+3x+2,(--<x<2)的單調(diào)遞增區(qū)間為

故答案為：［一萬,1)

23

16.已知凡。為正實數(shù)，直線，=%—a與曲線y=ln(x+b)相切，則一+—的最小值為

ab

【答案】5+2指

【解析】

【分析】

函數(shù)求導(dǎo)，由切線方程丁=%-?？傻胊+b=l,再利用基本不等式求得最值.

【詳解】y=ln(x+與的導(dǎo)數(shù)為y=',

x+b

由切線的方程a可得切線的斜率為1,可得切點的橫坐標(biāo)為1-b,切點為(1-九。),

代入y=x—得Q+Z?=l,

---d。為正實數(shù)，

EI23/,、/23.c_2b3a、匚。［2b3a匚、「

貝!J—I—=(a+Z?)(—I—)=2+3H-----1-----25+2J=5+276，

ababab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)〃=逅〃，即〃=病—2/=3—而時，取得最小值5+2指.

3

故答案為：5+2A/6

【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

41

17.已知Q>Z?>0,當(dāng)4〃+--------+--------取到最小值時，a=.

2a+b2a—b

3

【答案】-##0.75

4

【解析】

4141

【分析】先將4〃+——-+--------化為2。+人+——-+2a-b+——再結(jié)合基本不等式即可求出最

2a+b2a-b2a+b2a—b

小值及此時。的值.

41

【詳解】知〃>b>0,當(dāng)4。+-----+------取到最小值時，a=

2a+b2a-b

4141

由題意知：4aH-----------1---------=2a+Z?-l-----------1-2ci—bH----------

2a+b2a—b2a+b2a—b

H("三+2

=6,

4131

當(dāng)且僅當(dāng)2。~\~b=--------,2。—b=---------，即o=—,b——時取等，

2a+b2a-b42

413

故當(dāng)4。+------+------取到最小值時,ci———.

2a+b2a—b4

,3

故答案為：一.

4

18.設(shè)函數(shù)〃尤)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x20時，/(%)=x2.若對任意的x?a,a+2],不等式

f(x+a)>2/(x)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】[也+8)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得函數(shù)的解析式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可

求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)九<0,則一x>0,因為當(dāng)x20時，f(x)=x2,則/(_尤)=(_%)2=尤2,

且函數(shù)/(九)是定義在R上的奇函數(shù)，貝U/(x)=—/(—X)=-Y

所以/。，貝i]2/(x)=/(0x).

x,x<0

因此，原不等式等價于/(x+a)2/(、歷x).

因為/(%)在R上是增函數(shù)，所以x+a2缶，即—1卜.

又xe[a,a+2],所以當(dāng)x=a+2時，(、歷一1卜取得最大值(、歷一1)(。+2).

因此，a>(V2-l)(a+2),解得

故a的取值范圍是[后,+8).

故答案為：[后,+勾

三、解答題(本大題共2小題，共28分)

19.已知函數(shù)〃x)=(x—l)e“—d.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求“X)的零點個數(shù).

(3)g(x)=/(x)-加在區(qū)間-L：上有兩個零點，求冽的范圍？

【答案】(1)/(%)的單調(diào)減區(qū)間為：(01n2)；單調(diào)增區(qū)間為：(—嗎0),(In2,內(nèi))

人「捉1(

(2)1個(3)L---2----4,-1J

【解析】

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)正負與原函數(shù)的關(guān)系求解即可；

(2)結(jié)合(1)問單調(diào)性，求出函數(shù)7(%)的值域，結(jié)合零點存在定理即可求解.

(3)將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，求出/(幻在區(qū)間-l,g上的值域即可求解.

【小問1詳解】

由題可得：f\x)=xex-2x=x(eA-2),

令/'(x)=0,解得：x=0或x=ln2,

令廣(%)<0,解得：0vxvln2；

令/'(x)>0,解得：％<0或%>ln2；

所以/(x)的單調(diào)減區(qū)間為：(01n2)；單調(diào)增區(qū)間為：(—8,0),(In2,+8)

【小問2詳解】

因為/(x)單調(diào)減區(qū)間為：(0,ln2)；單調(diào)增區(qū)間為：(-oo,0),(In2,+oo),

由于/(0)=-1<0,則f(x)在由oo,0)上無零點;

由于/(ln2)=2(ln2-l)-(ln2)2<0,則/(幻在(0,In2)上無零點;

由于/(2)=e2-4>0,則穴v)在(In2,2)上存在唯一零點；

綜上，函數(shù)/(%)在R上存在唯一零點.

【小問3詳解】

若g(x)=/(x)—加在區(qū)間t]上有兩個零點，則函數(shù)y=/(x)與丁=7〃在區(qū)間-l,g上有兩個交

點；

由(1)知，/(X)在(—1,0)上單調(diào)遞增，(0,g)上單調(diào)遞減；

/(-1)=-1-L/(0)=-1<0,=>/(-1),

所以函數(shù)y=/(x)與丁=加在區(qū)間-1,上有兩個交點，則—《￡一!三相<—1,

L2J24

即g(x)=/(x)在區(qū)間T，g上有兩個零點，則冽的范圍為―-￡—

22

20.已知函數(shù)/(%)=—2〃In九——,g(x)=。%一(2a+l)ln犬——,其中aeR.

JCx

(1)若/'(2)=0,求實數(shù)a的值

(2)當(dāng)a>0時，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若存在xe-,e2使得不等式/(x)Wg(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

e

【答案】(1)-

2

(2)答案見解析(3)[―e,+8)

【解析】

【分析】(D求導(dǎo)可得/'(%),由/'(2)=0代入計算，即可求解；

(2)求導(dǎo)可得g，(x)=If匕絲=1,然后分a=±a>±0<a<L討論，即可求解；