2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)模型及其應(yīng)用（五大題型）（練習(xí)）（解析版）

第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用

目錄

模擬基礎(chǔ)練.....................................................................2

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型............................................................2

題型二：對勾函數(shù)模型..........................................................................4

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)'幕函數(shù)模型...................................................6

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題................................................................8

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題...............................................................10

重難創(chuàng)新練....................................................................12

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................24

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

1.（2024?高三?四川巴中?期末）已知甲、乙兩個(gè)城市相距120千米，小王開汽車以100千米/時(shí)勻速從甲城

市駛往乙城市，到達(dá)乙城市后停留1小時(shí)，再以80千米/時(shí)勻速返回甲城市.汽車從甲城市出發(fā)時(shí)，時(shí)間x

（小時(shí)）記為0,在這輛汽車從甲城市出發(fā)至返回到甲城市的這段時(shí)間內(nèi)，該汽車離甲城市的距離y（千米）

表示成時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)為（）

fl00x,0<x<1.2

A.y=\

[80x,x>1.2

fl00x,0<x<1.2

B.y=5

[120-80x,x>1.2

100x,0<x<1.2

C.y=<120,1.2<x<2.2

120-80x,2.2<x<3.7

100x,0<x<1.2

D.y=<120,1.2<x<2.2

296-80x,2.2<x<3.7

【答案】D

【解析】當(dāng)04x4五=1.2時(shí)，y=100x,

當(dāng)1.2<xW2.2時(shí)，J=120,

當(dāng)2.2<xW2.2+——=3.7時(shí),y=120-80（x-2.2）=296-80%,

80

100x,0<x<1.2

綜上：y=120,1.2<x42.2

296-80x,2.2<x<3.7

故選：D.

2.汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.

剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù).在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)

情況不對，同時(shí)剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超

過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速nkm/h之間的關(guān)系為S甲=高丫2v,乙車的剎車距離sm與車速

nkm/h之間的關(guān)系為$乙=+v.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現(xiàn)象（）

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【答案】C

【解析】對于甲車，令擊聲一5丫々6,BPv2-10v-600?0

解得vp-20km/h（舍）或VQ30km/h,所以甲未超速；

對于甲車，令擊I?-焉vaio,gpv2_10v_2000?0

解得VQ-40km/h（舍）或v=50km/h,所以乙超速；

故選:C.

3.（2024?高三?浙江?開學(xué)考試）某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個(gè)時(shí)段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià).

高峰時(shí)間段用電價(jià)格表：

高峰月用電量（單位：千瓦時(shí)）高峰電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）

50及以下的部分0.568

超過50至200的部分0.598

超過200的部分0.668

低谷時(shí)間段用電價(jià)格表:

低谷月用電量（單位：千瓦時(shí)）低谷電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）

50及以下的部分0.288

超過50至200的部分0.318

超過200的部分0.388

若某家庭7月份的高峰時(shí)間段用電量為250千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為150千瓦時(shí)，則該家庭本月應(yīng)付

電費(fèi)為（）元

A.200.7B.207.7C.190.7D.197.7

【答案】D

【解析】高峰時(shí)段電費(fèi)為50x0.568+150x0.598+50x0.668=151.5元，

低谷時(shí)段電費(fèi)為50x0.288+100x0.318=46.2元，

共計(jì)151.5+46.2=197.7元.

故選：D

題型二：對勾函數(shù)模型

4.如圖，有一張單欄的豎向張貼的海報(bào)，它的印刷面積為72dm2（圖中陰影部分），上下空白各寬2dm,

左右空白各寬1dm,則四周空白部分面積的最小值是（）dm2.

C.120D.88

【答案】A

72

【解析】設(shè)陰影部分的長為xdm,則寬為一dm,四周空白部分的面積是ydm4

x

（72、（144、I144144

由題意得：^=（x+4）I+2I-72=8+21x+>8+2x2Jx-------=56,當(dāng)且僅當(dāng)工=,即x=12時(shí)等號成立.

故選：A

5.一家金店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店內(nèi)購買20g黃金，店員先將10g的祛碼放在

天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的祛碼放在天平右盤中，再取出一些黃

金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.記顧客實(shí)際購得的黃金為xg,則不與

20的大小關(guān)系為（）

A.%<20B.x>20

C.x=20D.無法確定

【答案】B

【解析】設(shè)天平左臂長為加，右臂長為〃，機(jī),〃〉0且相。孫左盤放的黃金為不克，右盤放的黃金為巧克,

10m=nx10m

2解得％

mx{=10nmn

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)="時(shí)，取到等號,

由于相中“，所以x>20.

故選：B

6.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特.一模）小明在春節(jié)期間，預(yù)約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅

畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時(shí)可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠(yuǎn)

處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）己知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3

米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（）

如圖，設(shè)觀賞者的眼睛在點(diǎn)。處，油畫的上沿在點(diǎn)A處，下沿在點(diǎn)B處,

點(diǎn)C在線段A3延長線上，且保持與點(diǎn)。在同一水平線上，

則=e即觀賞時(shí)的視角.

依題意AB=2,3C=1,AC，QC,

不妨設(shè)OC=x,則3￡)=JX2+I,AD=&+9,

2X2+6Ix4+6x*2+9

在中，由余弦定理，cos6=

VX4+10X2+9

Vx4+10x2+9V/+1+1°

因x>0,則/+=?2d=6,當(dāng)且僅當(dāng)犬=9時(shí)，即X=6時(shí)等號成立,

go

由犬——N6可得x2H—5+10之16,

XX

0<―4__J4

則犬+e+1。一4,則J八1+1。一2，

XVX2

IT7T

因函數(shù)y=cosx在（0,芻上單調(diào)遞減，故得0?段3

26

即最大視角為：，此時(shí)觀賞者距離油畫的直線距離為退。1.73.

6

故選：A.

7.某廠計(jì)劃建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長方體無蓋水池.若池底的造價(jià)為120元每平方米，池壁的造價(jià)

為100元每平方米，則這個(gè)水池的最低造價(jià)為元.

【答案】2080

【解析】因?yàn)樗氐娜莘e為8m③，深為2m,所以底面積為4m

/、4

設(shè)水池池底的一邊長為mi（x>0）,則另一邊長為-m,

x

貝IJ總造價(jià)y=4xl20+100x（2x+2-gjx2

=480+400^+-^

>480+400x2=2080（元）.

4

當(dāng)且僅當(dāng)尤=—,即尤=2時(shí)，y取最小值為2080.

x

所以水池的最低造價(jià)為2080元.

故答案為：2080.

8.某景區(qū)的平面圖如圖所示，其中AB,AC為兩條公路，Zfi4c=135。，P為景點(diǎn)，AP=10,AP±AC,

現(xiàn)需要修建一條經(jīng)過景點(diǎn)尸的觀光路線MN,M,N分別為A3,AC上的點(diǎn)，則AAW面積的最小值

為.

AMB

【答案】200

【解析】設(shè)AN=b,由工人印+&APM=S^AMN，

可得gA/V-AP+gAM?APsin45°=gAM-AN-sinl35°,BP10a+10y/2b=ab-

由10a+10技=abN2?0a.10亞，解得“62400收，當(dāng)且僅當(dāng)。=20后，匕=2。時(shí)，等號成立，止匕時(shí)取

得最小值.

故，AMN面積的最小值為:。加山135。=200.

故答案為：200.

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型

9.某食品的保鮮時(shí)間》（單位：小時(shí)）與儲存溫度x（單位：。C）滿足函數(shù)關(guān)系>（e=2.718為自

然對數(shù)的底數(shù)，k、b為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時(shí)間設(shè)計(jì)192小時(shí)，在22℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí),

則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是一小時(shí).

【答案】24

eb=192

e-192

【解析】由題意得e*-8'即

2

所以該食品在33℃的保鮮時(shí)間是:

故答案為：24.

10.考古學(xué)家對四川廣漢“三星堆古墓”進(jìn)行考古發(fā)據(jù)，科學(xué)家通過古生物中某種放射性元素的存量來估算古

生物的年代，已知某放射性元素的半衰期約為4200年（即：每經(jīng)過4200年，該元素的存量為原來的一半），

已知古生物中該元素的初始存量為經(jīng)檢測古生物中該元素現(xiàn)在的存量為年，請推算古生物距今大約—

年（參考數(shù)據(jù)：睇必.3）.

【答案】5600

]

【解析】由半衰期的定義可知，每年古生物中該元素的存量是上一年該元素存量的（J14200,

因此該元素的存量y與時(shí)間x（年）的關(guān)系式為y而，x>0,

4r41-2館2

——，貝U-----------=log1—=

1042001101g2

lg2

解得「嗎123叭56。。,

1g2

所以該古生物距今大約5600年.

故答案為：5600

11.某醫(yī)院開展某種病毒的檢測工作，第"天時(shí)每個(gè)檢測對象從接受檢測到檢測報(bào)告生成平均耗時(shí)外〃）（單

~j=,n<M

位：小時(shí)）,t（n）=-,“°,即為常數(shù)）.已知第16天檢測過程平均耗時(shí)為16小時(shí)，第64天和

%n>N

k

第67天檢測過程平均耗時(shí)均為8小時(shí)，那么可得到第49天檢測過程平均耗時(shí)為小時(shí).（精確到1小

時(shí)）

【答案】9

【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知，當(dāng)〃時(shí)，，（"）=+單調(diào)遞減；當(dāng)〃2N。時(shí)，《〃）=乎為常數(shù).

且第64天和第67天檢測過程平均耗時(shí)均為8小時(shí),

所以有‘(16)=^^=；=16,

64

所以電=64,t^n)=—j=(n<N°).

又收)=.=梟=8,所以*64.

64j

--,n<64

所以，t(n)=<4n^

8,n>64

所以"2號4

故答案為：9.

12.測量地震級別常用里氏級，它是地震強(qiáng)度(即地震釋放的能量)的常用對數(shù)值.如日本1923年地震是

8.9級，舊金山1906年地震是8.3級，問日本1923年地震強(qiáng)度是舊金山1906年地震強(qiáng)度的

倍.(在2。03)

【答案】4

【解析】設(shè)地震強(qiáng)度為X,則地震級別為/(x)=lgx,

設(shè)日本1923年地震強(qiáng)度為a,舊金山1906年地震強(qiáng)度為b,

?fig=8.9a

由題意可得Q。，貝iJlgQ—坨人=坨7=8.9—8.3=0.6,

[lg0=8.3b

因?yàn)閘g220.3,則1g,。21g2=lg4,所以

bb

即日本1923年地震強(qiáng)度是舊金山1906年地震強(qiáng)度的4倍.

故答案為：4.

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題

13.(2024.浙江紹興.模擬預(yù)測)人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代.目前，數(shù)據(jù)量己經(jīng)從TB(1TB=1O24GB)級別躍升

到PB(1PB=1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)級別.國際數(shù)據(jù)公司(IDC)的研究結(jié)果表明,

2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.500ZB,2010年增長到1.125ZB.若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量產(chǎn)與年份

f的關(guān)系為「二雄廣,期，其中4，。均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.

【答案】1.5《

【解析】由題意，1.125=0.5產(chǎn)。-2叫所以a=1.5,所以尸=0.515'-2%

所以2022年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為051.5",則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量0.515巴

所以2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的一心：=1.5倍.

0.5.1.514

故答案為：1.5

14.科學(xué)家在研究物體的熱輻射能力時(shí)定義了一個(gè)理想模型叫“黑體”，即一種能完全吸收照在其表面的電磁

波（光）的物體.然后，黑體根據(jù)其本身特性再向周邊輻射電磁波，科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)單位面積的黑體向空間

輻射的電磁波的功率B與該黑體的絕對溫度T的4次方成正比，即3為玻爾茲曼常數(shù).而我們在

做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的過程中，往往不用基礎(chǔ)變量作為橫縱坐標(biāo)，以本實(shí)驗(yàn)結(jié)果為例，3為縱坐標(biāo)，以廣為橫

坐標(biāo)，則能夠近似得到（曲線形狀），那么如果繼續(xù)研究該實(shí)驗(yàn)，若實(shí)驗(yàn)結(jié)果的曲線如圖所示，試寫

出其可能的橫縱坐標(biāo)的變量形式.

Ox

【答案】射線B為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo).

【解析】（1）因?yàn)?=bT4,。為玻爾茲曼常數(shù).B為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo)，因?yàn)閤=〃20,所以

B=bx（x>0）,所以曲線是一條射線；

（2）由于曲線的形狀類似y=?,根據(jù)曲線可知可能的橫縱坐標(biāo)的變量形式：B為縱坐標(biāo)，以78為橫坐標(biāo)，

故答案為：B為縱坐標(biāo)，以為橫坐標(biāo).

故答案為：（1）射線；（2）8為縱坐標(biāo)，以八為橫坐標(biāo).

15.（2024?北京朝陽?二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力/滿足公式/=：夕。^2,其中。是

空氣密度，S是該飛行器的迎風(fēng)面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于

多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率？=介.當(dāng)O，S不變，v比原來提高

10%時(shí)，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則P比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使P不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

【答案】C

112P

【解析】由題意，f=^pCSv\P=jv,所以尸三陽城，C=將”，

A：當(dāng)P，S,C不變，”比原來提高10%時(shí)，

貝^=|pCS（l+10%）3v3=1/?C5（1.1）3V3=1.33-|pCSv3,

所以尸比原來提高超過30%,故A錯(cuò)誤；

B：由選項(xiàng)A的分析知，/]=1.33.lpCSv3,

所以尸比原來提高不超過40%,故B錯(cuò)誤;

C當(dāng)“，p不變’V比原來提高1。％時(shí)，。廣記升=而顯=0.75即,

所以C比原來降低不超過30%,故C正確；

D：由選項(xiàng)C的分析知，C比原來降低不超過30%,故D錯(cuò)誤.

故選：C

16.小微企業(yè)是推進(jìn)創(chuàng)業(yè)富民、恢復(fù)市場活力、引領(lǐng)科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來，融資難、融資貴制約

著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實(shí)際還款比例P與小微企業(yè)的年收入無（單

一0.968+西

位：萬元）的關(guān)系為尸eR）.已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時(shí)，其實(shí)際還款比例為50%,

若銀行希望實(shí)際還款比例為40%,則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：1113^1.0986,1112^0.6931）（）

A.46.49萬元B.53.56萬元C.64.43萬元D.71.12萬元

【答案】A

-0.968+80左

【解析】由題意知968+8化簡得e"968+賴

50%=]《-u.yOo+oU。r=C=1,

故一0.968+80左=0,得左=0.0121.

-0.968+0.0121X）

則當(dāng)P=40%時(shí)，40%=]：..968+。。⑵」化簡得e4968+。。⑵，=；,

兩邊同時(shí)取對數(shù)，-0.968+0.0121x=ln2-ln3?-0.4055,得x=46.49,

故當(dāng)實(shí)際還款比例為40%時(shí)，小微企業(yè)的年收入約為46.49萬元.

故選：A

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題

17.（2024.江西.二模）茶文化起源于中國，中國飲茶據(jù)說始于神農(nóng)時(shí)代.現(xiàn)代研究結(jié)果顯示，飲茶溫度最

好不要超過6CTC.一杯茶泡好后置于室內(nèi)，1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為80℃,68℃,給出三

個(gè)茶溫T（單位：。C）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間f（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①T=R+。（a＜0）；②

T=log/+仇0＜。＜1）；③7=20+》屋。＞0,0＜。＜1）.根據(jù)生活常識，從這三個(gè)函數(shù)模型中選擇一個(gè)，模

擬茶溫T（單位：。C）關(guān)于茶泡好后置于室內(nèi)時(shí)間r（單位：分鐘）的關(guān)系，并依此計(jì)算該杯茶泡好后到飲

用至少需要等待的時(shí)間為（參考數(shù)據(jù)坨2“0.301,坨3。0.477）（）

A.2.72分鐘B.2.82分鐘

C.2.92分鐘D.3.02分鐘

【答案】B

【解析】依據(jù)生活常識，茶溫一般不會低于室內(nèi)溫度，因此選擇模型③,

_4

80=20+ba,解得“下

得至!J

68=20+ba2,

b=75,

W60n048=△3坨2-lg3-lg5

因止匕20+75??2.814.

一15-21g2-lg5

故選：B

18.（2024?福建?模擬預(yù)測）視力檢測結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下

表：

小數(shù)記錄九0.10.120.15L11.21.52.0

五分記錄y4.04.14.2L55.15.25.3

現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y=5+igx,②>=5+1ig1,X表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，y表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇

10x

最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測視力時(shí)，醫(yī)生告訴他的視力為4.7,則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)

為（附10°3=2,5422=0.7,10知=0.8）（）

A.0.3B.0.5C.0.7D.0.8

【答案】B

【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故合適的函數(shù)模型為y=5+igx,

令y=5+lg尤=4.7,解得x=10《3=0.5.

故選：B.

19.（2024.高三?云南?期中）在一段時(shí)間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期（增加一倍所需的

時(shí)間）為21個(gè)月，貝！]100只野兔增長到100萬只野兔需要（）個(gè)月.（記。=lg2,b=log212）

A.84aB.—C.846D.—

ab

【答案】B

【解析】設(shè)2k個(gè)月后野兔總只數(shù)為y,

y=100.2\則1002=1。6,

48484

則xn0ogzlOu：,所以21X=T^=一.

1g2lg2a

故選：B.

20.（2024.云南昆明?模擬預(yù)測）飲酒駕車、醉酒駕車是嚴(yán)重危害《道路交通安全法》的違法行為，將受到

法律處罰.檢測標(biāo)準(zhǔn)：“飲酒駕車：車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,小于

80mg/100ml的駕駛行為;醉酒駕車:車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100ml的駕駛行為

據(jù)統(tǒng)計(jì)，停止飲酒后，血液中的酒精含量平均每小時(shí)比上一小時(shí)降低20%.某人飲酒后測得血液中的酒精含

量為100mg/100ml,若經(jīng)過小時(shí)，該人血液中的酒精含量小于20mg/100ml,貝!]〃的最小值為（參

考數(shù)據(jù)：館2。0.3010）（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】經(jīng)過小時(shí)，該人血液中的酒精含量為100x0.8"mg/100ml,

由題意得，100x0.8"<20,即0.8"<0.2,

lg0.2lg2-llg2-l'0.3010-1

解得:n>log0.2=~7.2,

08lg0.8-lg8-l31g2-l~3x0.3010-1

所以”的最小值為8.

故選：B.

21.（2024?山西朔州?模擬預(yù)測）為研究每平方米平均建筑費(fèi)用與樓層數(shù)的關(guān)系，某開發(fā)商收集了一棟住宅

樓在建筑過程中，建筑費(fèi)用的相關(guān)信息，將總樓層數(shù)x與每平米平均建筑成本y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)整理

成如圖所示的散點(diǎn)圖：

f每平米平均建筑成本/萬元

20-

?

15?

1°一?

5-?

O1020*3040樓層數(shù)/層

則下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為每平米平均建筑費(fèi)用》和樓層數(shù)尤的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bex

b2

C.y=a+—D.y=a+bx

x

【答案】c

【解析】觀察散點(diǎn)圖，可知是一個(gè)單調(diào)遞減的曲線圖，結(jié)合選項(xiàng)函數(shù)的類型可得回歸方程類型是反比例類

型，故c正確.

故選：C.

1.（2024?北京?三模）2024年1月17日我國自行研制的天舟七號貨運(yùn)飛船在發(fā)射3小時(shí)后成功對接于空間

站天和核心艙后向端口，創(chuàng)造了自動(dòng)交會對接的記錄.某學(xué)校的航天科技活動(dòng)小組為了探索運(yùn)動(dòng)物體追蹤技

術(shù)，設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：目標(biāo)尸在地面軌道上做勻速直線運(yùn)動(dòng)；在地面上相距7m的A,8兩點(diǎn)各放置一個(gè)傳

感器，分別實(shí)時(shí)記錄48兩點(diǎn)與物體尸的距離.科技小組的同學(xué)根據(jù)傳感器的數(shù)據(jù)，繪制了“距離-時(shí)間”函

數(shù)圖像，分別如曲線。，6所示和馬分別是兩個(gè)函數(shù)的極小值點(diǎn).曲線。經(jīng)過和&，4），曲線6

rr

經(jīng)過色，弓）.已知哂=^\=4m,/2=4s,并且從f=0時(shí)刻到f=芍時(shí)亥!]P的運(yùn)動(dòng)軌跡與線段AB相交.分析曲

線數(shù)據(jù)可知，尸的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線AB所成夾角的正弦值以及尸的速度大小分別為（）

B.士巫m/s

72

D.2Mli/s

72

【答案】B

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與y軸重合,其在t=。工/時(shí)刻對應(yīng)的點(diǎn)分別為。（坐標(biāo)原點(diǎn)），D,E,P的速度為vm/S,V>0,

因?yàn)檫?r^r\=4m,q=2S/2=4S,可得馬=2m,

由題意可知：均與y軸垂直，且|仞|=4皿忸/=2gOD|=|D￡|=2vm,

作BC±AD垂足為C,則|AC|=6m,|BC|=2Vm,

因?yàn)闀r(shí)+忸C『=L，即36+4,=49，解得人平;

又因?yàn)?C〃y軸，可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線AB所成夾角即為/ABC,

AC6

所以尸的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線42所成夾角的正弦值為sinWC二方

7

故選：B.

2.（2024.湖南益陽?三模）二手汽車價(jià)位受多方因素影響，交易市場常用年限折舊法計(jì)算車價(jià)位，即按照

同款新車裸車價(jià)格，第一年汽車貶值20%,從第二年開始每年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5

年的二手車，價(jià)格不超過8萬元.根據(jù)年限折舊法,設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價(jià)位是皿加eN）萬,

則m=（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【解析】依題意，租（1-20%）（1-10%）448,解得加」八。8=空零,

0.8x0.96561

則加V15.24,又根￡?<,則根=15.

故選：C.

3.（2024.重慶.模擬預(yù)測）物理學(xué)家本?福特提出的定律：在6進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以〃開頭的數(shù)出現(xiàn)

的概率為8（〃）=log〃=，應(yīng)用此定律可以檢測某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯(cuò)誤.根據(jù)此定

n

律，在十進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（）倍（參

考數(shù)據(jù)：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

【答案】C

-I-1

【解析】由題意，以〃開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為85）=iog〃0,

n

可得/⑴=lg2,^o（9）=lgy=lglO-lg9=l-21g3,

所以&*二館2-6.5

為⑼L21g3

故選：C.

4.（2024?北京通州.二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時(shí)間t（單位：

月）的關(guān)系式為S=（。>0,且。片1）,圖象如圖所示.則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

①浮萍每個(gè)月增長的面積都相等；

②浮萍蔓延4個(gè)月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個(gè)月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時(shí)間分別是1,4，4，則乙+4=6.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由已知可得"=2,則S=2"i.

對于①，浮萍蔓延1月至2月份增長的面積為23-2?=4（平方米），

浮萍蔓延2月至3月份增長的面積為24-23=8（平方米），①錯(cuò)；

對于②，浮萍蔓延4個(gè)月后的面積為25=32（平方米），②對；

r\n+2_Qn+1

對于③,浮萍蔓延第〃至〃+1個(gè)月的增長率為二=1,所以，浮萍蔓延每個(gè)月增長率相同，都是100%，

2"+i

③錯(cuò)；

對于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時(shí)間分別是％,馬，。

2+1

則2廿1=3,2'=4，2GM=12=3x4=2”?Z'N=2'計(jì)'2+2,所以％=彳+勻+1,④錯(cuò).

故選：B.

5.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）2023年10月31日，國務(wù)院新聞辦舉行“權(quán)威部門話開局”系列主題新聞發(fā)

布會的第28場發(fā)布會.會上提出蒙古國、中國，包括東北亞的日本、韓國，都是沙漠化的受害者，所以防沙治

沙、植樹造林符合本地區(qū)各國和人民當(dāng)前及長遠(yuǎn)利益.根據(jù)對中國國家整理的中國沙塵暴資料的分析，發(fā)現(xiàn)持

續(xù)時(shí)間大于/的沙塵暴次數(shù)N滿足N=A?1（?仍，目前經(jīng)測驗(yàn)A地情況氣象局發(fā)現(xiàn)，f=300時(shí)，次數(shù)

N=5,t=600時(shí)，次數(shù)N=3,據(jù)此計(jì)算N=4時(shí)對應(yīng)的持續(xù)時(shí)間f約為（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2?0.301,lg3?0.477）

A.389B.358C.423D.431

【答案】D

【解析】]黑=:兩式相比，得IO*期="\A?10-3006|A=5?Ag,

[A10=3553

又IO"期=|兩邊取對數(shù)可得電胎由嗔坨3?300bIg5-lg3?blg：o：g3,

所以N二上?10,卜300,

3

25."g5-lg3z.rVlg5-lg31?

令N二三?10(卜3004,即10,卜300,

325

取對數(shù)并化簡可得lgl2-lg25=-IgjoN，

因?yàn)镮gl2=21g2+lg3,lg25=21g5=2-21g2,

300?(4lg2lg3-2)_300倉40.301+0.477-2)?

所以Qg

f=Ig2+lg3-1-0.301+0.477-1"

所以6431.

故選：D.

6.（2024.貴州遵義.一模）近年來，中國成為外來物種入侵最嚴(yán)重的國家之一，物種入侵對中國生物多樣

性、農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)等構(gòu)成巨大威脅.某地的一種外來動(dòng)物數(shù)量快速增長，不加控制情況下總數(shù)量每經(jīng)過7個(gè)

月就增長1倍.假設(shè)不加控制，則該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長到1億只大約需要（坨2。0.3010）（）

A.8年B.10年C.12年D.20年

【答案】C

【解析】設(shè)經(jīng)過尤個(gè)月動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長到1億，

所以100?2,=1。8，所以方=1（）6,

兩邊同時(shí)取對數(shù)可得：坨2亍=lgl（）6=6，

x4242

所以一Jg2=6,所以x=----?----------?139.53,

71g20.3010

所以該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長到1億只大約需要12年.

故選：C.

7.（2024?四川?模擬預(yù)測）2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實(shí)現(xiàn)時(shí)速350km

自動(dòng)駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小.如果用聲強(qiáng)/（單位：W/n?）表示聲音在傳播途

徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級L（單位：dB）與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為L=41g（a/）,其中冊為基

準(zhǔn)聲強(qiáng)級，。為常數(shù)，當(dāng)聲強(qiáng)/=電時(shí)，聲強(qiáng)級L=20dB.下表為不同列車聲源在距離20m處的聲強(qiáng)級：

聲源與聲源的距離（單位：m）聲強(qiáng)級范圍

內(nèi)燃列車20[50,80]

電力列車20[20,50]

高速列車20{10}

設(shè)在離內(nèi)燃列車、電力列車、高速列車20m處測得的實(shí)際聲強(qiáng)分別為小匕A，則下列結(jié)論正確的是（）

A.4=30B.Z,>/2C.Z2>10/3D.^<100/2

【答案】B

【解析】對于A：因?yàn)槁晱?qiáng)/=W時(shí)，聲強(qiáng)級L=20dB,

a

所以乙=4地，??]=20,解得'=20,故A錯(cuò)誤；

對于B：因?yàn)橐乙灰?20,（叫）Tg（叱）]=201gy>0,

所以?并，即故B正確;

(心)-(叱)]=k

對于C：L?-L3=20[lg1g201g>20-10=10

13

Iii

所以,2102,即故C不正確;

13

右_4=20[lg(a/J—lg(a/2)]=201g4480—20=60,

對于D,

所以?V10',即，（IO。。/?,故D不正確.

A

故選：B.

8.（2024?陜西商洛?三模）近年來商洛為了打造康養(yǎng)之都，引進(jìn)了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾

過程中廢水的污染物數(shù)量N（mg/L）與時(shí)間f（小時(shí)）的關(guān)系為"="“，（N。為最初的污染物數(shù)量）.如

果前3小時(shí)消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要（）

A.2.6小時(shí)B.6小時(shí)C.3小時(shí)D.4小時(shí)

【答案】C

【解析】由題意可得N°e應(yīng)=\乂，可得e3=m，

k,

設(shè)N0&=0.64N。=「JNo,

.?.e，=（e3）2=e.,解得f=6,

因此，污染物消除至最初的64%還需要3小時(shí).

故選：C.

9.（多選題）（2024.遼寧?二模）半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，

用/⑺表示從r=0開始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間r變化的函數(shù)，若/（0）=1000,則下面選項(xiàng)中，符合摩爾定律公

式的是（）

A.若，是以月為單位,則"）=1。。。+卷°，

B.若r是以年為單位,則/⑶=1000x（6/

C.若，是以月為單位，則1g/⑺=3+譬f

D.若，是以年為單位，則

1g/。~

【答案】BC

【解析】選項(xiàng)A,/(24)=2000=2f(0),/(48)=30002/(24),A不符合;

選項(xiàng)B,/'(2)=2000=2/(0),/(4)=4000=2/(2),/(2?)=1000x2",zieN*,符合;

選項(xiàng)C,lg/?)=3+譬f,貝U/Q)=IO"詈=iooox21，/(24)=2x1000,『(48)=4000=2/(24),

/(24?)=1000x2","eN*,符合，

選項(xiàng)D,+/(r)=1000x(1?+l)^

igJW-。十22

/(2)=2x1000=/(0),y(4)=1000x7^^2/(2),不符合?

故選：BC.

10.(多選題)(2024.安徽蚌埠?模擬預(yù)測)科學(xué)研究表明，物體在空氣中冷卻的溫度變化是有規(guī)律的.如

果物體的初始溫度為4℃,空氣溫度4。c保持不變，貝卜分鐘后物體的溫度e(單位：。0滿足：

e=%+儲-3若空氣溫度為該物體溫度從4°C(9044〈100)下降到30。&大約所需的

時(shí)間為％,若該物體溫度從7(FC,50。(2下降到3(FC,大約所需的時(shí)間分別為￡4,則()(參考數(shù)據(jù):

ln2~0.7,ln3-l.l)

A.々=20B.28<?!<30C.tx>2t3D.tx-t2<6

【答案】BC

【解析】有題意可知,6=10+(4-10)產(chǎn),

當(dāng)6=30,則30=10+(a—10)e《g\

2020

即e2gl—0.05%=In

(9,-10，一10

則4=20In三看，

其是關(guān)于4的單調(diào)遞增函數(shù),

90-10

當(dāng)4=90時(shí)，tx=20In=201n4=40In2?28,

10(10

當(dāng)4=100時(shí)，tx=20In^~=201n|=20(21n3-In2)?30,

則28%V30,故B正確;

當(dāng)4=70時(shí)，t]=201n7,0=201n3-22,

故A錯(cuò)誤;

當(dāng)4=50時(shí)，t=20In50~10=201n2?14,

20

此時(shí)滿足％±2*-z2>6,故C正確，D錯(cuò)誤,

故選：BC.

11.（多選題）（2024.全國.模擬預(yù)測）小菲在學(xué)校選修課中了解了艾賓浩斯遺忘曲線.為了解自己記憶一

組單詞的情況，她記錄了隨后一個(gè)月的有關(guān)數(shù)據(jù)，繪制圖象，擬合了記憶保持量y與時(shí)間x（單位：天）之

7

-----x+l,OvxVl

20

間的函數(shù)關(guān)系y=/（》）=<.則下列說法中正確的是（

O24681012x

A