人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓與三角形的綜合（解析版）

專題24.3圓與三角形的綜合

典例精析

【典例1】在R/fflABC中，勖CA=90。，CA=CB,點(diǎn)。是0ABC外一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)8,點(diǎn)。位于AC兩側(cè))，連

接CO,AD.

(1)如圖1,點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，連接OC,OD,當(dāng)0Ao。為等邊三角形時(shí)，0Aoe的度數(shù)是

(2)如圖2,連接B。，當(dāng)EAOC=135。時(shí)，探究線段B。，CD,ZM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,回。是0ABe的外接圓，點(diǎn)。在4c上，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，連接CE,DE,當(dāng)AE=L

BE=7時(shí)，直接寫出團(tuán)CDE面積的最大值及此時(shí)線段8。的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)得/CtM=90。，C0=0A,再由等邊三角形的性質(zhì)得ZODA=

/Z)CM=60°,然后求出NOOC=75°,即可求解；

(2)過點(diǎn)C作CH_LC。交的延長線于點(diǎn)證AACH咨ABCD(SAS),得BD=AH=HD+DA=

42CD+AD-,

(3)連接。C,由勾股定理得CE=5,過點(diǎn)。作ONJ_CE于N,延長0N交。。于點(diǎn)。，此時(shí)點(diǎn)。到CE

的距離最大，△CDE面積的面積最大，然后由三角形面積求出0N=音，則DN=OD-ON屋,即可求解三

角形COE的面積最大值，最后用勾股定理借助(2)的結(jié)論求出A￡),即可求出80.

【解題過程】

解：(1)回勖CA=90。，BC=AC,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),

1

團(tuán)團(tuán)COA=90°,CO=-AB=OA

2f

釀AO。是等邊三角形,

回00=04,團(tuán)0DARD0A=60°,

^OC=OD,^COD=^\COA-團(tuán)004=90°-60°=30°,

^\ODC=-(180°-0COD)=-x(180°-30°)=75°,

22

^ADC^ODC+SODA=75°+60°=135°,

故答案為：135。；

(2)解：線段BD,CD,ZM之間的數(shù)量關(guān)系為：BD=&CD+DA,

理由如下：過點(diǎn)C作C/fflC。交的延長線于點(diǎn)X,如圖2所示:

I*

HL

圖2

貝崛88=180°-a4DC=180°-135°=45°,

團(tuán)SDC”是等腰直角三角形，

0CH=CD,HD=42CD,

00BC4=9O°,

^}ACH=^BCD,

m\CtmBCD(SAS),

^BD=AH=HD+DA=y/2CD+AD；

(3)解：連接OC,如圖3所示：

圖3

00BCA=90",BC=AC,

fflACB是等腰直角三角形,

B0ABC=45°,

盟。是A4BC的外接圓，

回。是AB的中點(diǎn)，

EIOCHAB,OC^OA^-AB^-(AE+BE)=-x(1+7)=4,

222

^OE=OA-AE=4-1=3,

在RtLCOE中，由勾股定理得：CE=y/OC2+OE2=V42+32=5,

(BCE是定值，

回點(diǎn)。到CE的距離最大時(shí)，ACDE面積的面積最大，

0AB是回。的直徑，

過點(diǎn)。作OA0CE于N,延長ON與回。的交點(diǎn)恰好是點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)。到CE的距離最大，ACDE面積的面積

最大，

0SAOC￡=-OC?OE^-CE?ON,

22

arOCOE4X312

回ON=------=——=—,

CE55

團(tuán)OD=OC=4,

12a

⑦DN=OD-ON=4—上=

55

此時(shí)，在RtACNO中,CN=y/OC2-ON2=J42-(^)2=￡，

在RtLCND中,CD=y/CN2+DN2=J(y)2+(^)2=手，

在RtLABD中，BD2=AB2-A》=82-&》，

由(2)知，BD=V2CD+AD=V2X+AD=+AD,

082-AD2=(噂+A。)2,

財(cái)D=等，

0BD=幽+AD=幽+也=物更

5555

即△CZ)E面積的面積最大值為4,此時(shí)，BD=^.

學(xué)霸必刷

1.(2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí))已知48為。。的直徑，AB=6,C為。。上一點(diǎn)，連接C4cB.

圖②

⑴如圖①，若C為力B的中點(diǎn)，求NC4B的大小和力C的長；

(2)如圖②，若AC=2,。。為。。的半徑，且。。1CB,垂足為E,過點(diǎn)。作。。的切線，與4C的延長線相

交于點(diǎn)R求FD的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)由圓周角定理得乙4cB=90。，由C為48的中點(diǎn)，得AC=BC,從而AC=BC,即可求得4C48的度數(shù),

通過勾股定理即可求得AC的長度；

(2)證明四邊形ECED為矩形，F(xiàn)D=CE=^CB,由勾股定理求得BC的長，即可得出答案.

【解題過程】

解：(1)財(cái)B為。。的直徑，

團(tuán)乙4cB=90°,

由C為ZB的中點(diǎn)，得4C=BC,

EL4C=BC,得N4BC=NC4B,

在RtAABC中，/.ABC+/.CAB=90°,

EINCAB=45°；

根據(jù)勾股定理，有+BC2=7^2,

又4B=6,得2心=36,

S1AC=3V2；

(2)是。0的切線，

0OZ)1FD,即NODF=90°,

0001CB,垂足為E,

0ZCFD=90°,CE=.,

同(1)可得N4CB=90。，有NFCE=90。，

0ZFCF=/.CED=4ODF=90°,

團(tuán)四邊形ECFD為矩形，

0FZ)=CE,于是尸D=|CB,

在RtAABC中，由48=6,4C=2,得CB=yjAB2-AC2=4vL

0FZ)=2V2.

2.(2022?山西?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在0A8C中，AB=AC,^BAC<90°,以AB為直徑作回。分別交

BC,AC于點(diǎn)。，E,連接A。，過點(diǎn)。作回。的切線交AC于點(diǎn)F.

⑴試猜想BD和ED的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)若48=5夜,4。=2何，求AP的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，證明AO_LBC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出/BAO=/D4E,即可

得出答案；

(2)連接OD,先證明。。||AC,根據(jù)切線性質(zhì)，得出OO_LZ)￡得出_LAC,根據(jù)勾股定理得出CD=V10,

根據(jù)等積法求出DF=2V2,根據(jù)勾股定理得出4F=4V2.

【解題過程】

(1)解：BD=ED,理由如下：

0AB為回。直徑，

0EA￡>B=9O°,

EIAD0BC,

0AB=AC,

00BA￡)=EDAE,

0BZ)=ED.

(2)解：連接OZ),如圖所示:

0AD0BC,AB=AC=5y/2,

⑦BD—CD9

她0=50,

團(tuán)0。IIAC,

團(tuán)0月是團(tuán)。的切線，

團(tuán)。?；亍Ｊ?，

團(tuán)ZW4C,

在RtMCD中，

I22

CD=y/AC2-AD2=J（5V2）-（2V10）=V10,

11

叫ACD=jAZ）*CD=jAC*PF,

aoco2VioxVio萬

r回a。nr產(chǎn)?=----=----F-=2Q72,

AC5V2

在RtaADF中,

___/22

AF='AD2-DF2=J（2V10）-（2V2）=4A/2.

3.（2022?北京?人大附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1,A8是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，。為ZCAC的中點(diǎn),

連接BC,0D.

圖1圖2

(1)求證：O0IBC；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作的垂線與。。交于點(diǎn)E,作直徑E尸交BC于點(diǎn)G.若G為BC中點(diǎn)，。。的半徑為

2,求弦8C的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接由。為4C的中點(diǎn)，得力D=CD,則N4BD=NCBD,由等腰三角形的性質(zhì)得NABD=NBD。，

推出NCBD=NBD。，即可得亍正；

(2)由垂徑定理得0F18C,由平行線的性質(zhì)得D01EF,則ADOE是等腰直角三角形，zZ)ED=45°,易證AOGB

是等腰直角三角形，得BG*OB,再由8c=28G,即可得出結(jié)果.

【解題過程】

(1)證明：連接8D,如圖1所示：

圖1

SD為4C的中點(diǎn)，

^AD=CD,

團(tuán)乙ABD=^CBD,

回。0=08,

國乙ABD=￡BDO,

包乙CBD=cBDO,

團(tuán)。。IIBC；

(2)解：回G為3C中點(diǎn)，

WFLBC,

由(1)得：。。|母。，

回。。J_EF,

團(tuán)ADOE是等腰直角三角形,

回匕0ED=45。,

^DELAB,

EINE04=NB0G=45。，

團(tuán)AOGB是等腰直角三角形，

0BG=—OB——x2=V2,

22

0BC=2BG=2V2.

4.(2022?安徽宿州?模擬預(yù)測(cè))如圖，AB為O。的直徑，點(diǎn)E在弦AC的延長線上，過點(diǎn)￡作ED14E,

與。。相切于點(diǎn)。.

⑴求證：AD平分NB4C.

(2)若力C=3,AB=5,求CE和。E的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接OD.根據(jù)切線的性質(zhì)及平行線的判定得出4EII0D,利用平行線的性質(zhì)及等邊對(duì)等角即可證明；

(2)連接BC交OD于點(diǎn)G,根據(jù)垂徑定理得出BG=CG.由勾股定理得出BC=y/AB2-AC2=4,利用三

角形中位線的性質(zhì)及各線段間的數(shù)量關(guān)系即可得出結(jié)果.

【解題過程】

(1)證明：如圖，連接OD

團(tuán)即與。。相切于點(diǎn)

0OD1ED.

SED1AE,

團(tuán)4EII00,

^CAD=2LADO.

團(tuán)。4=OD,

國KOAD=/.ADO,

^/.OAD=Z.CAD,即AD平分NBZC.

(2)如圖，連接3C交0。于點(diǎn)G.

她3為。。的直徑，

^ACB=90°.

又回O0I/E,

a匕0GB=(ACB=90°,

團(tuán)0。1BC,

團(tuán)G為5C的中點(diǎn)，

@BG=CG.

團(tuán)4c=3,AB=5,

團(tuán)BC=VXB2-AC2=4,

團(tuán)點(diǎn)。點(diǎn)G分別為A3、5C的中點(diǎn)，

團(tuán)OB=0D=-AB=-,BG=-BC=2,

222

13

BOG=-AC=-,

22

團(tuán)4E=90°,乙GDE=90°,乙CGD=90°,

團(tuán)四邊形CEOG是矩形，

53I

^\CE=DG=OD-0G=---=1,DE=0G=-BC=2.

222

5.(2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)如圖，在她3C中，AB=AC,以AB為直徑作團(tuán)O,AC與回。交于點(diǎn)

5c與回O交于點(diǎn)過點(diǎn)。作CFIIZB,且CF=CD,連接3足

(1)求證：B尸是回。的切線;

(2)若aBAC=45。，AD=4,求圖中陰影部分的面積.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接BD,得4BDA=90°;利用A8=AC得到NABC=^ACB,由CF||4B得到NFCB=ZABC,故乙FCB=

Z.ACB;利用SAS證明三△BCD,得到Z_F=NBDC=90°,最后CFIL4B同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得乙4BF=

90°

(2)連接OE,與8。相交于M點(diǎn)，根據(jù)/BAC=45。，得△ABD是等腰直角三角形，由4。=4,得AB,OB,

OE長度；△ABC和△OBE是共一底角的等腰三角形，ik/.BOE=Z.BAC=45°,OE\\AC,4OMB=4ADB=

90°,△OBM是等腰直角三角形，即可算出陰影部分面積

【解題過程】

解：(1)連接8。

E1AB是O。的直徑

0ZBD4=90°

0ZBPC=90°

EL4B=AC

EIZXBC=/.ACB

SCFWAB

0/FCB=/.ABC,/.ABF+zF=180°

0ZFCB=/.ACB

0CF=CD,BC=BC

0ABCFm△BCD(SAS)

EIZF=/-BDC=90°

又EINABF+NF=180°

SZ.ABF=90°

SBF是0。的切線

(2)連接OE,與2。相交于M點(diǎn)

^BDA=90°,ABAC=45°,AD=4

0A4DB為等腰直角三角形

0B￡>=AD=4,AB=VXD2+BD2=4VL乙OBM=45°

[BOB=2>/2

HOF=OS=2V2

EINOEB=/.ABC

EL4B=AC,Z.BAC=45°

0ZBOF=/.BAC=45°

0OFIMC

EIZOMB=4ADB=90°

0A0MB為等腰直角三角形

EIBM=OM=2

向C_Cc457r（2次）22X2合一“。不

□S陰影一S扇形04B-S*BE-―芯__兀_2V2

6.（2022?陜西?交大附中分校模擬預(yù)測(cè)）如圖，回。是0A8C的外接圓，AB=AC,過點(diǎn)A作AD0A8,交國。

于點(diǎn)。，交8C于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作回。的切線，與ZM的延長線相交于點(diǎn)尸.

⑴求證：AF=AE；

（2）若回。的半徑為2,BE=3,求。E的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用與可得幾對(duì)互余的角，結(jié)合“同弧所對(duì)的圓周角相等”、“等邊對(duì)等角”相互代換

即可推出NF8Z=4EBA,再利用全等三角形證明4F=ZE即可；

(2)由全等可知BF=BE=3,利用勾股定理求出。F,用等面積法求出48,再用勾股定理求出AD,則4F=

DF-AD,然后計(jì)算DE的長.

【解題過程】

(1)證明：???ADLAB,

???乙D+Z-ABD=90°.

???BF是。。的切線，

??.BF1BD,

??.Z.FBA+Z.ABD=90°,

Z.D=Z-FBA,

???AB=AC,

Z.ABC=Z-C,

又「zC=z￡),zD=Z.FBA,

???乙ABC=乙ABF,

在與中，

'/-ABC=Z-ABF

AB=AB,

"4E=/.BAF=90°

??.AABE=^ABF(S/S),

??.AF=AE.

(2)解：???八ABE=LABF,

.?.BF=BE=3,

在中，BD=4,DF=VBF2+BD2=V32+42=5.

vBFxBD=DF義AB,

BFXBD3X412

AB=

DF55

2222

在Rt△ABD中，AD=y/BD-AB=J4-(y)=藍(lán),

169

???AF=DF-AD=5--=-

55f

■■-EF=2AF=-

???DE=DF-EF=5--^-.

55

7.(2022?湖北咸寧?模擬預(yù)測(cè))如圖，4B為。。的直徑，4。和過點(diǎn)O。上點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)

D,2D交O。于點(diǎn)E.

⑴求證：4c平分NZMB；

(2)已知4B=16,若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)證明力D||OC,根據(jù)等腰的性質(zhì)、等量代換證明ND4C=NC4。；

(2)連接。E,交4C于居則S陰影部分=5扇形AOE+SABOE，結(jié)合三角形的性質(zhì)和扇形面積公式求出陰影部分

即可.

【解題過程】

(1)解：證明：連接。C.

EICD是。。的切線，OC1CD.

EL4O1CD,回力D||OC.

BIND力C=Z.ACO.

0OC=OA,回NC40=N4C。.

回乙DAC=Z.CAO.

團(tuán)4C平分4048.

(2)解：連接。E,交AC于尸.

EIE為4c的中點(diǎn)，SAE=EC.

由（1）可知，AC平分SEC=CB.

S\AE=EC=CB,0ZXOF=-x180°=60°.

3

^B=-/-AOE=30°.

2

團(tuán)4B為直徑，且48=16,團(tuán)乙4E8=90°.

EL4E=-AB=-x16=8,BE=AB-cos30°=8V3.

22

團(tuán)S^BOE=3s“BE=3x3x8x8A/3=16V3.

回S陰影部分=S扇形/OE+S"BOE360+37T+65/^

8.（2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，線段經(jīng)過。。的圓心。，交圓。于點(diǎn)A,C,BC=1,A。為。。

的弦，連接8D,ABAD=^ABD=30°,連接。。并延長交。。于點(diǎn)E,連接BE交。。于點(diǎn)

E、~一

⑴求證：直線是。。的切線；

(2)求線段的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)圓周角定理可得乙8。。=2乙8力。=60°,從而得到Z.ODB=90°,即可求證；

(2)連接。M,RfABOD中,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BO=2OD,從而得到。。=OC=1,BD=V3,

再由DE為O。的直徑，可得DE=2,ADME=90°,從而得到BE=巾,再由S^BDE=：BD-DE=-DM,

可得DM=字，再由勾股定理，即可求解.

【解題過程】

(1)證明：BSBOD^BAD,

EINB。。=2/.BAD=60°,

又回乙48。=30°,

0ZODB=90°,即。DJ.BD,

又回。。為。。的半徑，

團(tuán)直線8。是。。的切線；

(2)解:如圖，連接DM,

RtSBOD,Z.DBO=30°,

田BO=2OD=OC+BC,

又BC=1,OD=OC,

團(tuán)。O=OC=1,

0BZ）=V3,

BDE為。。的直徑，

WE=2,乙DME=90°,

在Rf3\BDE中，BE=-JDE2+BD2=A/7,

11

回SABDE=々BD-DE=-BE-DM,

BDDE2V21

回OM=------=------,

BE7

在Rt^BDM中，BM=<BD2-DM2=—.

7

9.（2022?全國,九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在。。中，弦CD與直徑4B相交于點(diǎn)P,4ABe16°.

(1)如圖①，若482。=52。，求N4PC和NCD8的大小;

(2)如圖②，若CD14B,過點(diǎn)。作。。的切線，與4B的延長線相交于點(diǎn)E,求NE的大小.

【思路點(diǎn)撥】

(1)由同弧所對(duì)圓周角相等求得NC,進(jìn)而求得N4PC;連接AC,求得NB4C,進(jìn)而由同弧所對(duì)的圓周角相

等求得NCDB.

(2)連接0D,求得NPC8,進(jìn)而求得其所對(duì)圓心角乙8。。，再由三角心外角和內(nèi)角的關(guān)系求得NE.

【解題過程】

(1)解：WD=BD

0ZC=ABAD=52°

回乙4PC=〃+Z.ABC=68°

如圖，連接AC,為00直徑

團(tuán)乙4cB=90°

0Z5AC=180°-Z.ACB-Z.ABC=74°

BBC=BC

團(tuán)4COB=Z.BAC=74°

(2)解：如圖，連接0。

BCD1AB

也上CPB=90°

國kPCB=90°-乙PBC=74°

團(tuán)在。。中，乙BOD=2Z.BCD

S/.BOD=148°

EIDE是O。的切線

00￡>1DE即NODE=90°

ONE=乙BOD-90°=58°.

10.(2022?江蘇?九年級(jí)期中)如圖1,C、。為半圓。上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)。是弧BC的中點(diǎn).連接AC并延長,

與BD的延長線相交于點(diǎn)E.

(2)連接AD與。C、BC分別交于點(diǎn)F、H.

①若CE=C"，如圖2,求證：CH=CE；

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)如圖1中，連接BC.想辦法證明/E=/DCE即可；(2)①如圖2中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

ZCFH=ZCHF,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到NACO=NOBC,求得NOCB=NOBC,得到

NACO=NBCOqNAC8=45。，推出AC=BC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;②連接0。交BC于G.設(shè)

OG=x,則OG=2-x.利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可.

【解題過程】

(1)解：證明：如圖1中，連接BC.

回點(diǎn)。是弧BC的中點(diǎn).

WC=BD,

^\DCB=^DBC,

她3是直徑，

團(tuán)RL4C3=回BCE=90°,

團(tuán)團(tuán)匹+團(tuán)。8C=90°,BECD+^\DCB=90°,

mE=WCEf

?CD=ED；

(2)①證明：0CF=CH,

^\CFH=BCHF,

^\CFH=BCAF^CF,^CHA=BBAH+^\ABH,

團(tuán)團(tuán)CAD二團(tuán)A4H,

團(tuán)0ACO二團(tuán)08C,

回。008,

團(tuán)團(tuán)0C8二團(tuán)03C,

^\ACO=^BCO=^\ACB=45°,

2

釀CA3=國48C=45°,

BAC=BC,

團(tuán)團(tuán)AC”二團(tuán)BCE=90°,BCAH=^\CBE,

^\ACH^\BCE(ASA),

團(tuán)CH二CE；

②解：如圖3中，連接0。交BC于G.

o

圖3

設(shè)OG=x,則DG=2-元.

團(tuán)DC=BD,

團(tuán)團(tuán)COD二團(tuán)300,

回OC=OB,

團(tuán)0。團(tuán)BC,CG=BG,

在火煙0CG和尺煙3GO中，則有22-/=12_(2-x)2,

77

0%=-,即0G=」，

44

團(tuán)。4=03,

EIOG是0ABC的中位線，

SOG^-AC,

2

7

l?L4C=-.

2

11.(2022?浙江麗水?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，4B是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，4C=BC,點(diǎn)。是BC的

中點(diǎn)，連結(jié)。C,4D,交于點(diǎn)E,連結(jié)B&BD.

⑴求ZE84的度數(shù).

⑵求證：AE=V2BD.

(3)若DE=1,求O。的面積.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接OD.根據(jù)垂徑定理的推論求出N80C,根據(jù)圓心角定理的推論求出/80￡),根據(jù)圓周角定理求

出ZEAB,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角即可求出/

(2)根據(jù)圓周角定理的推論確定乙4。8=90。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角的和差關(guān)系求出/和NDEB,

根據(jù)等角對(duì)等邊和勾股定理確定BE=V2BD,再根據(jù)等價(jià)代換思想即可證明.

(3)根據(jù)線段的和差關(guān)系和勾股定理求出力B2,進(jìn)而求出。力2,最后根據(jù)圓的面積公式求解即可.

【解題過程】

(1)解：如下圖所示，連接OZX

囿4c=BC,

回0CM4R

團(tuán)團(tuán)50090°.

回點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，

EIZB0Z)=/.COD=-ABOC=45°.

2

ONE力B=-^BOD=22.5°.

2

國OA=OB,

團(tuán)OC垂直平分A3.

^\AE=BE.

盟EBA二團(tuán)EA氏22.5°.

(2)證明：MB是。。的直徑，

團(tuán)0A03=90°.

ME2=BD2+DE2.

團(tuán)團(tuán)EAB=22.5°,

mDBA=180°-^ADB-^EAB=67.5°.

WEBA=22.5°f

^\DBE=WBA^EBA=45°.

mDEB=180°-^ADB-^DBE=45°.

^\DBE=BDEB.

BBD=DE.

團(tuán)*=BD2+BD2=2BD2,

團(tuán)BE=>/2BD.

團(tuán)4E=BE=42BD.

(3)解：ED￡=1,

^BD^DE^l.

EL4E=y[2BD=V2.

EL4D=AE+DE=y/2+l.

國(2。4)2=AB2=AD2+BO?=4+2正.

04042=4+2夜.

國04=”

2

團(tuán)So。=nOA2=

12.(2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，在△28C中，以力B為直徑作。0,交BC于點(diǎn)D,交2C于點(diǎn)E,且

BD=CD,過點(diǎn)。作。。的切線交2C于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作48的垂線，交AB于點(diǎn)G,交。。于點(diǎn)H.

⑴求證：DF1AC；

(2)若。G=l,求4E的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)切線，得到=90°;連接OD,通過證OD是△ABC的中位線，證。。||AC,進(jìn)而得到Z_CTD=

4。。尸=90°,即可證明；

(2)連接DE,分別亍正AC=AB=2OB,CD=DE,得至UCF=BG,CF=EF,再利用AE=AC-CF-EF=20B-

2BG=2OG,即可求解.

【解題過程】

(1)證明：國過點(diǎn)。作。。的切線交4c于點(diǎn)F,

0ZODF=90°,

連接?！?gt;,

D

團(tuán)BD=CD,OA=OB,

團(tuán)0。是△ZBC的中位線，

回。D||AC,

BZ.CFD=Z.0DF=90°,

WF1AC.

(2)解：設(shè)圓與AC相交于點(diǎn)E,連接OE,

由(1)可知，0D||AC,

BZ.0DB=Z.C,

團(tuán)OD=OB,

團(tuán)匕ODB=乙ABC,

團(tuán)匕C=Z-ABC,

BAC=AB=2OBf

團(tuán)在7?力△CFD^Rt△BGO中，

/-DFC=乙DGB=90°

{乙C=乙ABC,

CD=BD

團(tuán)Rt△CFD=Rt△BGD^AAS^j,

回CF二BG,

又團(tuán)四邊形A3OE是圓內(nèi)接四邊形，

團(tuán)匕AED+/.ABC=180°,

又團(tuán)匕AED+MED=180°,

^\Z-ABC=Z-CED,

國4C=Z-CED,

^\CD=DEf

又EIDF14C,

SCF=EF,

EL4E=AC-CF-EF=20B-2BG,

即4E=2(0B-BG)=20G=2.

13.(2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，AB是回。的直徑，點(diǎn)C是團(tuán)。上的一點(diǎn)，0AB交AC于點(diǎn)E,BD

=20A.

⑵求證：DE=DC；

(3)若。。=5,0=3,求AE的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接0C.證/D=NC0B.由0O_LAB,得NC0B+NCO￡>=90°.可證NCOZ)=90°.即NDC。

=90°;

(2)由/Z)CE+/ACO=90。，ZAE0+ZA=90°^ZA=ZACO,/DEC=NAEO,可得/DEC=/DCE,

即DE=DC.

(3)先求得0c=4,AB=2OC=8,OE=OD-DE=2,AOE^AACB,得絲=也.

CBAC

【解題過程】

(1)證明：連接0C,如圖，

fflACO=0A,

03COB=E1A+E1ACO=20A,

又團(tuán)團(tuán)。=204,

0ED=0COB.

又laorraAB,

EBCOB+EICOD=90°,

0EZ)+0COD=9O°,BP0DCO=9O°,

EIOCIBDC,

又點(diǎn)C在回。上，

EICC是回。的切線；

(2)證明：aar>co=9o°,

03OCE+EL4co=90°,

又EIOZBAB,

0EAEO+EA=9O°,

又EHA=EIACO,0Z)￡C=EAEO,

^EDEC=SDCE,

ELDE=￡>C；

(3)解：E0DCO=90°,OD=5,DC=3,

0OC=VO￡>2-DC2=7s2-32=4,

EIOA=OC=4,

又DE=DC=3,

SOE=OD-DE=2,

在放AAEO中，由勾股定理得：AE2=OA2+OE2=42+22=20,

EM￡=2V5.

14.(2022?湖南?長沙市長郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí))如圖，AB為回。的直徑，尸。切回。于點(diǎn)C,與

B4的延長線交于點(diǎn)。，O￡0PO交尸。延長線于點(diǎn)E,連接。C,PB,已知尸8=6,DB=8,^EDB=^\EPB.

p

⑴求證：PB是回。的切線；

(2)求回。的半徑；

(3)連接8E,求BE的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)由已知角相等及直角三角形的性質(zhì)得到NOBP為直角，即可得證；

(2)在直角三角形PBD中，由PB與DB的長，利用勾股定理求出PQ的長，由切線長定理得到PC=PB=6,

由PD—PC求出CD的長，在直角三角形。CD中，設(shè)。C=r,則有。D=8—r,利用勾股定理列出關(guān)于r的方

程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑.

(3)延長PB、DE相交于點(diǎn)尸，證明/PEDwdPEFG4s力)，由全等三角形的性質(zhì)得出PD=PF=10,DE=EF,

求出DF的長，則可得出答案.

【解題過程】

(1)證明：???DE1PE,

.-.Z.DEO=90°,

Z.EDB=乙EPB,Z-BOE=Z.EDB+Z.DEO,Z.BOE=乙EPB+乙OBP,

??.Z,OBP=乙DEO=90°,

???OB1PB,

??.PB為。。的切線；

(2)解：在RtAPB。中，PB=6,DB=8,

根據(jù)勾股定理得：PD=，62+82=10,

???PD與PB都為。。的切線，

PC=PB=6,

DC=PD-PC=10-6=4；

在RtACD。中，設(shè)OC=r,則有。。=8—r,

根據(jù)勾股定理得：(8-r)2=r2+42,

解得：r=3,

則圓的半徑為3.

(3)延長PB、DE相交于點(diǎn)尸，

?.■2。與「3都為0。的切線，

.-.0P平分乙CPB,

??.Z.DPE=乙FPE,

PE1DF,

???乙PED=(PEF=90°,

又???PE=PE,

??.APED=APEF(ASA)f

.?.PD=PF=10,DE=EF,

??.BF=PF-PB=10-6=4,

在RtADBF中，DF=>JDB2+BF2=V82+42=4西，

???BE=-DF=2V5.

2

15.(2022?山東濟(jì)南?二模)如圖，。。是的外接圓，其切線AE與直徑3。的延長線相交于點(diǎn)E,且

乙ACB=60°.

(1)求證：AE=AB-,

(2)若DE=2,求O。的半徑.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接。4,AD,根據(jù)切線及圓周角定理可得/BAD=NE4。，利用各角之間的數(shù)量關(guān)系得出

/BAO=NEAD,再由圓周角定理可得NAO8=120。，結(jié)合圖形及各角之間的關(guān)系可得NABE=NE,利用等角

對(duì)等邊即可證明；

(2)設(shè)圓。的半徑為r,先根據(jù)圓周角定理得出NBA。=90。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得4B=再「，

從而可得AE=gr,然后在RtAHOE中，利用勾股定理求解即可得.

【解題過程】

⑴證明：如圖，連接。4,AD,

???AE是圓。的切線，

???OA1AE,即N04E=90。,

團(tuán)8。為圓。的直徑，

EI0BA￡)=9OO,

00BA￡)=0EAO,

^\BAD-^\OAD^OAE-S\OAD,

即回氏40二回EAQ,

甌AC5=60°,

0^40^=120°,

的4。。=60°,

團(tuán)04=。。，

團(tuán)AOAO為等邊三角形，

函4。0=60°,

0[?L4DE=12OO,

團(tuán)180°-IMOB-回5A0=1800-財(cái)。4回EAO,

即團(tuán)438二回E,

^AB=AE；

（2）解：設(shè)圓。的半徑為丁，貝IJ。/=。0=丁,8。=2丁，

vDE=2,

.?.0E=0D+DE=r+2,

???3。是圓。的直徑，

???匕BAD=90°,

由（1）可知，0A00=60。，

乙ABD=30°,

貝lj在Rt△480中，

22

AD=|SD=rtAB=y/BD-AD=后，

???AE=V3r,

在Rt△40E中，

由勾股定理得：。42+4￡2=。七2,即廠2+（百?。?=&+2）2,

解得r=2或r=—|（不符題意，舍去），

則圓。的半徑為2.

16.（2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1,在Rt△4BC中，乙2=90。，4B=4C,點(diǎn)。，E分別在邊ZB,AC

上，AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).

⑴觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

(2)探究證明：把AADE繞點(diǎn)4逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀，并

說明理由；

⑶拓展延伸：把AADE繞點(diǎn)2在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=10,請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用三角形的中位線得出PM=PN=3BD,進(jìn)而判斷出BD=CE,即可得出結(jié)論，再利用三角

形的中位線得出PM||CE,PN||BD得出NDPM=NDG4,4DPN=LADC,最后用互余即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出A48DWA4CE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM=^BD,PN=即可得出PM=PN,

同(1)的方法即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出8。最大時(shí)，APMN的面積最大，而BD最大值是AB+4。=14,即可得出結(jié)論.

【解題過程】

(1)解：???點(diǎn)N,P分別是BC,CD的中點(diǎn)，

PN||BD,PN=^BD,

■.?點(diǎn)P,M是CD,DE的中點(diǎn)，

1

???PM||CE,PM=-CE,

2

vAB=AC,AD=AE,

BD=CE,

PM=PN,

vPN||BD,

???乙DPN=/.ADC,

，??PM||CE,

???^DPM=ADCA,

???ABAC=90°,

???/.ADC+Z.DCA=90°,

???乙MPN=乙DPM+乙DPN=2LDCA+AADC=90°,

???PM1PN,

故答案為：PM=PN,PM1PN.

(2)解：△PMN是等腰直角三角形.理由如下：

???^BAC=^DAE=90°,

???^BAC-乙DAC=Z-DAE一乙DAC,即4BAD=Z.CAE,

vAB=AC,AD=AE,

/.△ABD主△ACE(SAS),

???Z-ABD=Z.ACE,BD=CE,

由三角形的中位線得，PN=^BD,PN||BD,PM=^CE,PM||CE,

PM=PN,ADPM=乙DCE,乙PNC=乙DBC,

??.△PMN是等腰三角形，

???Z-DPN=乙DCB+乙PNC=乙DCB+乙DBC,

???乙MPN=乙DPM+乙DPN

=乙DCE+乙DCB+乙DBC

=乙BCE+乙DBC

=乙ACB+Z-ACE+乙DBC

=乙ACB+乙ABD+乙DBC

=乙ACB+Z-ABC,

???^BAC=90°,

??.Z.ACB+AABC=90°,

???乙MPN=90°,

.?.△PMN是等腰直角三角形.

(3)解:由(2)知，APMN是等腰直角三角形，PM=PN=1BD,

則小PMN面積為工PN?=-BD2,

28

??.BD最大時(shí)，APMN面積最大，

如圖，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)4為圓心，4。長為半徑的圓上，

A

則當(dāng)點(diǎn)。在24的延長線上時(shí)，BD最大,最大值為48+40=4+10=14,

所以APMN面積的最大值為:X142=

82

17.(2022?全國?九年級(jí)課時(shí)練習(xí))已知NMON=a，點(diǎn)A,8分別在射線。M,ON上運(yùn)動(dòng)，AB=6.

圖①圖②圖③

⑴如圖①，若a=90。，取AB中點(diǎn)Q,點(diǎn)48運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A,8,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,B',D',

連接。D,。。'.判斷。。與。￡>'有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

(2)如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,求點(diǎn)。與點(diǎn)C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當(dāng)點(diǎn)A,8運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△408的面積最大?請(qǐng)說明理由，并求出△408面積

的最大值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得OD'=^A'B',進(jìn)而得出結(jié)論；

(2)作AAOB的外接圓/,連接C/并延長，分別交。/于。，和。，當(dāng)。運(yùn)動(dòng)到。，時(shí)，OC最大，求出C。

和等邊三角形AO5上的高07),進(jìn)而求得結(jié)果；

(3)以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,連接OC交AB于點(diǎn)T,在OT上取點(diǎn)E,使OE=BE,

連接BE,由(2)可知：當(dāng)OCL4B時(shí)，0c最大，BT=3,當(dāng)。4=08時(shí)，ZBOC=22.5°,此時(shí)OT最大，根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/OBE=/BOC=22.5°,由外角的性質(zhì)可得/BET=45°,則￡7三87=3,利用勾股定

理可得OE,由OT=O￡+ET可得OT,然后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.

【解題過程】

(1)解：0D=0D',證明如下：

???乙40B=a=90°,AB中點(diǎn)為D,

：.OD=-AB,

2

「為4B'的中點(diǎn)，^A'OB'=a=90°,

OD'

2

VAB=A'B',

：.OD=OD'；

(2)解：如圖1,

作0AOB的外接圓/,連接C/并延長，分別交回/于O和Q,

當(dāng)。運(yùn)動(dòng)到。，時(shí)，OC最大，

此時(shí)EAOB是等邊三角形，

^\BO,=AB=6,

OC^CO'=CD+DO'=^AB+^-BO'=3+3y/3；

(3)解回如圖，當(dāng)點(diǎn)A,8運(yùn)動(dòng)到。4=08時(shí)，0AOB的面積最大，證明如下國

以為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,連接OC交AB于點(diǎn)T,在OT上取點(diǎn)E,使OE=BE,連接

BE,

由(2)可知，當(dāng)。皿8時(shí)，OC最大，

團(tuán)等腰直角三角形ABC,AC^BC,EIAC2=90。,

又OC0A3于T,

^TC=AT=BT=-AB=3,

2

SOC^OT+CT^OT+3,

團(tuán)當(dāng)。4=02時(shí)，此時(shí)0T最大，即0c最大，

SEA0B的面積最大，

盟307=細(xì)402=22.5。，

2

00E=BE,

EBOBE=E]gOC=22.5°,

.-.乙BET=Z.0BE+Z.B0C=45°

???OT1AB

：.乙EBT=90°-ABET=45°

.-.乙EBT=乙BET=45°

???ET=BT=3,0E=BE=y/ET2+BT2=3V2

?-.OT=0E+ET=3A/2+3

綜上，當(dāng)點(diǎn)A,B運(yùn)動(dòng)到。4=02時(shí)，MOB的面積最大，MOB面積的最大值為|x6x（3迎+3）=9魚+9.

18.（2022?貴州遵義?二模）小穎復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖時(shí)，RtAABC（乙4cB=90°）進(jìn)行如下操作（如圖）：

①以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交區(qū)4于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)P,再分別以點(diǎn)P,。為圓心，大于《PQ的

長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)X,作射線28；

②以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交A8于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于|"N的

長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G,作射線AG交射線8”于點(diǎn)。；

③作射線CO交A8于點(diǎn)。，且NCD4=90。，以點(diǎn)。為圓心，。。為半徑作。。，交AC于點(diǎn)E,交BC于

點(diǎn)R構(gòu)成如圖所示的陰影部分.

⑴求證：Rt△力BC是等腰直角三角形；

(2)若力C=2,求圖中陰影部分的面積.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)尺規(guī)作圖可證點(diǎn)。是AaBC的內(nèi)心，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可證NACD=NBCD,再利用AS4可證明△

ADCWABDC,可得4C=BC,從而證得△4BC是等腰三角形，根據(jù)已知即可證得結(jié)論.

(2)連接。E,OF,根據(jù)(1)中結(jié)論可證得。。為AABC的內(nèi)切圓，從而得到。E=OF=?！?gt;,AE=AD,

BF=BD,CE=CF,即可證得四邊形OECF是正方形，從而得到CE=CF=0E=。F=。。，利用勾月殳定

理求得28,利用4B、AD,8。之間的關(guān)系，聯(lián)立方程即可求得O。的半徑，即可求得。。的面積，再利用

S陰影=SRSABC—SQO即可求得答案，

【解題過程】

(1)證明：由題意尺規(guī)作圖知，0B、。4分另I是乙4BC和NB4C的角平分線，

.?.點(diǎn)。是△ABC的內(nèi)心，

???CD平分N4CB,

Z.ACD=乙BCD,

CD1AB,

??.AADC=Z.BDC=90°,

在△4DC和△BDC中，

乙4co=乙BCD

CD=CD,

Z-ADC=Z-BDC

??AADC三△B0CQ4S/),

AC=BC,

.?.△ABC是等腰三角形，

又4ACB=90°,

Rt△ABC是等腰直角三角形.

(2)連接。E,OF,如圖所示,

由(1)得點(diǎn)。是△4BC的內(nèi)心，且。DJ.4B,。。是O。的半徑，

二。。為AABC的內(nèi)切圓，

AC,BC,4B均與O。相切，

0E1AC,OF1BC,且。E=OF=00,AE=AD,BF=BD,CE=CF,

：.AOEC=乙OFC=^ACB=90°,

.?.四邊形。ECF是正方形，

CE=CF=OE=OF=OD,

設(shè)。。得半徑為r,

由(1)知RtA48C是等腰直角三角形，

???BC=AC=2,

???AB=yjAC2+BC2=V22+22=242,

AD=AE=AC—r=2—r,BD=BF=BC—CF=2—r,

AD+BD=AB,

/.2-r+2-r=2迎,解得丁=2-V2,

???S。。=nr2=7Tx(2—V2)2=(6—4V2)7r,

又^^Rt^ABc=5"。,BC=-x2x2=2j

S陰影=SRIAABC~Soo=2—(6—4V2)TT,

??.圖中陰影部分的面積為2-(6-4V2)TT.

19.(2022?湖南?長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))如圖，45是團(tuán)。的直徑，點(diǎn)尸在回。上，且以二尸3,

點(diǎn)M是回。外一點(diǎn)，與團(tuán)。相切于點(diǎn)8,連接。M,過點(diǎn)A作交回。于點(diǎn)C,連接8c交于點(diǎn)

D.

p

⑴求證：是回。的切線；

⑵若A5=20,BC=16,連接尸C,求尸。的長；

⑶試探究AC、8。與尸。之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)連接。C,證明AOCM三△OBM,從而得到NOCM==90。即可得證；

(2)過點(diǎn)/作1PC于點(diǎn)“，利用圓周角定理，和等腰三角形的性質(zhì)和判定，以及勾股定理分別求出CH,P”,

再利用PC=C7/+P”進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)延長CB至點(diǎn)E,使得=連接PE,證明△PACw/kPBE,推出△PCE為等腰直角三角形即可得

證.

【解題過程】

(1)證明：如圖所示：連接。C,

團(tuán)MB是。。的切線，

=90°,

團(tuán)4C||OM,

國匕OAC=4BOM,乙ACO=乙COM,

團(tuán)。4=OC,

BZ.